Persamaan dan Fungsi Kuadrat (K13)

\LARGE\fbox{Kelas X Wajib}

Bagi Anda sekalian yang menggunakan kurikulum 2013

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat}}.

1. Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat dalam variabel x adalah

\LARGE\boxed{\LARGE\boxed{{ax^{2}+bx+c=0}}}

dengan  a,b,c\in \mathbb{R},a\neq 0 \left\{\begin{matrix} a=koefisien\: x^{2}\\ \\ b=koefisioen\: x\\ \\ c=konstanta \end{matrix}\right..

2. Penyelesaian Persamaan Kuadrat

\begin{array}{llll}\\ &&a.&Memfaktorkan\\ &&&\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )=0,\quad atau\\ &&&\displaystyle \frac{1}{a}\left ( ax-p \right )\left ( ax-q \right )=0,\quad jika\: koefisien\: x^{2}\: lebih\: dari\: \: 1\\ &&b.&melengkapkan\: kuadrat\: sempurna\\ &&&\displaystyle x=-\frac{1}{2}b\pm \sqrt{\left ( \frac{1}{2}b \right )^{2}-c},\quad jika\: \left ( \frac{1}{2}b \right )^{2}-c\geq 0\\ &&c.&Rumus\: ABC\\ &&&\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \end{array}.

3. Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

\displaystyle x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\qquad\quad dan\qquad\quad x_{1}\times x_{2}=\frac{c}{a}.

4. Persamaan Kuadrat Baru dengan Akar-Akar  \displaystyle \mathbf{x_{1}}  dan  \displaystyle \mathbf{x_{2}}.

\displaystyle \mathbf{x^{2}-\left ( x_{1}+x_{2} \right )x+x_{1}.x_{2}=0}.

5. Fungsi Kuadrat

Adalah suatu fungsi yang berupa   f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c,\qquad dengan\: \: a,b,c\in \mathbb{R}.

Beberapa hal yang perlu diketahui berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat adalah:

  • Jika  a> 0, kurva terbuka ke atas.
  • Jika  a< 0 , kurva terbuka ke bawah.
  • Jika  D> 0, kurva memotong sumbu  x di dua titik yang berbeda.
  • Jika  D= 0, kurva menyinggung sumbu x.
  • Jika  D< 0, kurva tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu x.

5.1 Fungsi kuadrat jika grafiknya menyinggung sumbu X di titik  \left ( x_{1},0 \right ) dan melalui sebuah titik tertentu, maka persamaan fungsi kuadratnya adalah

\LARGE\boxed{y=f(x)=a\left ( x-x_{1} \right )^{2}}.

5.2 Fungsi kuadrat jika grafiknya memotong sumbu X di titik  \left ( x_{1},0 \right )\quad dan\quad \left ( x_{2},0 \right )  adalah

\LARGE\boxed{y=f\left ( x \right )=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )}.

5.3 Fungsi kuadrat jika grafiknya melalui titik puncak/balik/ekstrim  \left ( x_{p},y_{p} \right )  dan melalui sebuah titik tertentu, maka persamaan fungsi kuadratnya adalah

\LARGE\boxed{y=f(x)=a\left ( x-x_{p} \right )^{2}+y_{p}}.

\LARGE\fbox{\fbox{Contoh Soal}}

1. Persamaan kuadrat  \mathbf{x^{2}-9x+3}  mempunyai akar  r  dan  s. Jika \mathbf{x^{2}-bx+c}=0  memiliki akar  \mathbf{r^{2}}  dan  \mathbf{s^{2}}, maka nilai dari  \displaystyle \mathbf{\frac{a}{b}}  adalah ….

Jawab:

\begin{array}{llll}\\ &&&x^{2}-9x+3=0\left\{\begin{matrix} r\\ \\ s \end{matrix}\right.\\ &&&\displaystyle r+s=9\\ &&&\displaystyle rs=3\\ &&&x^{2}-bx+c=0\left\{\begin{matrix} r^{2}\\ \\ s^{2} \end{matrix}\right.\\ &&&\displaystyle \frac{b}{c}=\frac{\left ( r+s \right )^{2}-2rs}{\left ( rs \right )^{2}}=\frac{9^{2}-2.3}{3^{2}}=\frac{25}{3} \end{array} \\\\Jadi\quad \displaystyle \frac{b}{c}=\frac{25}{3}.

2. Diketahui persamaan kuadrat  x^{2}+2ax+b=0 memiliki akar yang berlawanan \displaystyle \left ( x_{1}=-x_{2} \right )
, tentukanlah  a  dan  b.

Jawab:

Diketahui bahwa

x^{2}+2ax+b=0\left\{\begin{matrix} a=1\\ b=2a\\ c=b \end{matrix}\right.\\\\\\\\ Sehingga\:untuk\\\\\\ \begin{aligned}x_{1}&=-x_{2}\\ x_{1}+x_{2}&=0\\ \left ( -2a \right )&=0\\ a&=0\\\\ serta\\\\ x_{1}.x_{2}&=b\\ \left ( -x_{2} \right ).x_{2}&=b\\ -x_{2}^{2}&=b \end{aligned}

3. Tentukanlah semua nilai  c sehingga persamaan  \displaystyle \mathbf{x^{2}-4x-c-\sqrt{8x^{2}-32x-8c}}=0  memiliki tepat dua solusi real  untuk  c.

Jawab:

\begin{aligned}x^{2}-4x-c-\sqrt{8x^{2}-32x-8c}&=0\\ x^{2}-4x-c&=\sqrt{8x^{2}-32x-8c}\qquad (dikuadratkan\: masing-masing\: ruas)\\ \left ( x^{2}-4x-c \right )^{2}&=8x^{2}-32x-8c\\ \left ( x^{2}-4x-c \right )^{2}-8\left ( x^{2}-4x-c \right )&=0\\ \left ( x^{2}-4x-c \right )\left ( x^{2}-4x-c-8 \right )&=0\\\\\\ \end{aligned}\\ karena\: D\geq 0\: (memiliki\: 2\: akar\: real)\\\\\\ \begin{aligned}x^{2}-4x-c=0&\qquad atau\qquad x^{2}-4x-c-8=0\\ D=\left ( -4 \right )^{2}-4.1.(-c)\geq 0&\qquad atau\qquad D=\left ( -4 \right )^{2}-4.1.(-c-8)\geq 0\\ 16+4c\geq 0&\qquad atau\qquad 16+4c+32\geq 0\\ c\geq -4&\qquad atau\qquad c\geq -12 \end{aligned}.

Kita ambil yang  c\geq -4.

Catatan:

Jawaban ini sekaligus koreksi jawaban di ebook Materi dan Contoh Soal Olimpiade Matematika MA/SMA pada soal yang sama. Apabila pembaca sekalian masih menemukan ada kesalahan, saya dengan senang hati menerima masukan dan sekaligus solusi yang paling tepat dari pembaca sekalian untuk pencerahan kepada saya khususnya dan pemirsa pada umumnya).

4. Jika  \alpha  dan  \beta  adalah akar-akar dari persamaan  \mathbf{ 2x^{2}-5x-3=0}  , maka tentukanlah nilai berikut tanpa menyelesaikan  persamaannya terlebih dahulu

\begin{array}{l}\\ a.\quad \alpha ^{2}+\beta ^{2}\qquad\quad b.\quad \frac{2}{\alpha }+\frac{2}{\beta }\qquad\quad c.\quad 3\alpha +3\beta\qquad d.\quad \alpha ^{2}\beta +\alpha \beta ^{2}\\\\ e.\quad \frac{1}{\alpha -4}+\frac{1}{\beta -4}\qquad f.\quad \alpha ^{3}+\beta ^{3}\qquad g.\quad \left ( \alpha -\beta \right )^{2} \end{array}.

Jawab:

Diketahui persamaan

2x^{2}-5x-3=0\left\{\begin{matrix} a=2\\ b=-2\\ c=-3 \end{matrix}\right.\\\\\\ \begin{aligned}\alpha +\beta &=-\frac{b}{a}\\ &=-\left ( \frac{-5}{2} \right )=\frac{5}{2}\\\\ \alpha \beta &=\frac{c}{a}\\ &=\frac{-3}{2} \end{aligned}\\\\\\ Perlu\: diingat\: juga\\\\ \left ( \alpha +\beta \right )^{2}=\alpha ^{2}+2\alpha \beta +\beta ^{2}.

\begin{array}{llll}\\ &&a.&\alpha ^{2}+\beta ^{2}=\left ( \alpha +\beta \right )^{2}-2\alpha \beta =\displaystyle \left ( \frac{5}{2} \right )^{2}-2\left ( -\frac{3}{2} \right )\\ &&&=\displaystyle \frac{25}{4}+3 =\frac{37}{4}\\\end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&b.&\displaystyle \frac{2}{\alpha }+\frac{2}{\beta }=\frac{2\left ( \alpha +\beta \right )}{\alpha \beta }\\ &&&=\displaystyle \frac{2\left ( \frac{5}{2} \right )}{-\frac{3}{2}}=-\frac{10}{3}\end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&c.&\displaystyle 3\alpha +3\beta =3\left ( \alpha +\beta \right )=3\left ( \frac{5}{2} \right )=\frac{15}{2}\end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&d.&\displaystyle \alpha ^{2}\beta +\alpha \beta ^{2}=\alpha \beta \left ( \alpha +\beta \right )\\ &&&=\displaystyle \left ( -\frac{3}{2} \right )\left ( \frac{5}{2} \right )\\ &&&=\displaystyle -\frac{15}{4} \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&e.&\displaystyle \frac{1}{\alpha -4}+\frac{1}{\beta -4}=\frac{\left ( \beta -4 \right )+\left ( \alpha -4 \right )}{\left ( \alpha -4 \right )\left ( \beta -4 \right )}\\\\ &&&=\displaystyle \frac{\alpha +\beta -8}{\alpha \beta -4\left ( \alpha +\beta \right )+16}\\\\ &&&=\displaystyle \frac{\frac{5}{2}-8}{\left ( -\frac{3}{2} \right )-4\left ( \frac{5}{2} \right )+16}\times \left ( \frac{2}{2} \right )\\\\ &&&=\displaystyle \frac{5-16}{-3-20+32}\\\\ &&&=\displaystyle \frac{-11}{9}\\\\ &&&=\displaystyle -\frac{11}{9} \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&f.&\displaystyle \alpha ^{3}+\beta ^{3}=\left ( \alpha +\beta \right )^{3}-3\alpha \beta \left ( \alpha +\beta \right )\\ &&&=\displaystyle \left ( \frac{5}{2} \right )^{3}-3\left ( -\frac{3}{2} \right )\left ( \frac{5}{2} \right )\\\\ &&&=\displaystyle \frac{125}{8}+\frac{45}{4}\\\\ &&&=\displaystyle \frac{215}{8} \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&g.&\displaystyle \left ( \alpha -\beta \right )^{2}=\alpha ^{2}-2\alpha \beta +\beta ^{2}\\ &&&=\alpha ^{2}+\beta ^{2}-2\alpha \beta \\ &&&=\displaystyle \frac{37}{4}-2\left ( -\frac{3}{2} \right )\\\\ &&&=\displaystyle \frac{37}{4}+\frac{12}{4}\\\\ &&&=\displaystyle \frac{49}{4} \end{array}.

5. (Soal Kompetisi Matematika SMU XVIII DKI Jakarta) Jika diketahui  x_{1},x_{2},x_{3},  dan  x_{4}  adalah akar-akar dari persamaan

\LARGE{\left ( x+1 \right )\left ( 2x+1 \right )\left ( 3x-1 \right )\left ( 4x-1 \right )+6x^{4}=0}.

dan diketahui pula x_{4}> x_{3} > x_{2} > x_{1}   dan  x_{1}+x_{4}=m  serta  x_{2}+x_{3}=n  , maka nilai  m\times n = ….

Jawab:

\begin{aligned}\left ( x+1 \right )\left ( 2x+1 \right )\left ( 3x-1 \right )\left ( 4x-1 \right )+6x^{4}&=0\\ \left ( \left ( x+1 \right )\left ( 2x+1 \right ) \right )\left ( \left ( 3x-1 \right )\left ( 4x-1 \right ) \right )+6x^{4}&=0\\ \left ( 2x^{2}+3x+1 \right )\left ( 12x^{2}-7x+1 \right )+6x^{4}&=0\\ 24x^{4}+22x^{3}-7x^{2}-4x+1+6x^{4}&=0\\ 30x^{4}+22x^{3}-7x^{2}-4x+1&=0\\ \left ( 5x^{2}+2x-1 \right )\left ( 6x^{2}+2x-1 \right )&=0\\ 5x^{2}+2x-1=0\quad V\quad 6x^{2}+2x-1&=0\\ \displaystyle x=\frac{-1}{5}\pm \frac{1}{5}\sqrt{6},\quad\quad x=\frac{-1}{6}\pm \frac{1}{6}\sqrt{7}&\\ \end{aligned}.

Selanjutnya kita urutkan nilai  x  dari besar kekecil, yaitu:

\begin{array}{l}\\ \quad x_{4}=\frac{-1}{5}+\frac{1}{5}\sqrt{6}\qquad\quad x_{3}=\frac{-1}{6}+\frac{1}{6}\sqrt{7}\\\\ \quad x_{2}=\frac{-1}{6}-\frac{1}{6}\sqrt{7}\qquad\quad x_{1}=\frac{-1}{5}-\frac{1}{5}\sqrt{6} \end{array}.

Sehingga

\begin{aligned}m=x_{1}+x_{4}&=\left ( \frac{-1}{5}-\frac{1}{5}\sqrt{6} \right ) +\left ( \frac{-1}{5}+\frac{1}{5}\sqrt{6} \right )=\frac{-2}{5}\\ n=x_{2}+x_{3}&=\left ( \frac{-1}{6}-\frac{1}{6}\sqrt{7} \right )+\left ( \frac{-1}{6}+\frac{1}{6}\sqrt{7} \right )=\frac{-1}{3}\end{aligned}\\\\\\ Jadi,\quad m\times n=\frac{-2}{5}\times \frac{-1}{3}=\frac{2}{15}.

6. Tentukan fungsi kuadrat, jika mempunyai titik balik (1, 4) dan melalui (0, 3)

Jawab:

Gunakan persamaan parabola/kuadrat yang melalui titik puncak, yaitu:

y=a\left ( x-x_{p} \right )^{2}+y_{p}\left\{\begin{matrix} \left ( x_{p},y_{p} \right )=\left ( 1,4 \right )\\ \\ \left ( x,y \right )=\left ( 0,3 \right ) \end{matrix}\right..

Selanjutnya

\begin{aligned}y&=a\left ( x-x_{p} \right )^{2}+y_{p}\\ 3&=a\left ( 0-1 \right )^{2}+4\\ a&=-1 \end{aligned}.

Sehingga persamaan kuadratnya adalah:

\begin{aligned}y&=a\left ( x-x_{p} \right )^{2}+y_{p}\\ y&=-1\left ( x-1 \right )^{2}+4\\ y&=-1\left ( x^{2}-2x+1 \right )+4\\ y&=-x^{2}+2x+3 \end{aligned}\\\\ \\ Jadi\\\\ \LARGE{y=-x^{2}+2x+3}.

7. Jumlah dari kuadrat dua bilangan ganjil berurutan adalah  130. Tentukan dua bilangan tersebut

Jawab:

Misalkan Bilangan ganjil berurutan yang dimaksud adalah A dan B, maka kita dapat menuliskannya dengan

\left\{\begin{matrix} A=(2x+1)\\ \\ B=(2x+3) \end{matrix}\right.\quad ,x\in \mathbb{N}.

Selanjutnya

\begin{aligned}A^{2}+B^{2}&=130\\ \left ( 2x+1 \right )^{2}+\left ( 2x+3 \right )^{2}&=130\\ 4x^{2}+4x+1+4x^{2}+12x+9&=130\\ 8x^{2}+16x+10-130&=0\\ 8x^{2}+16x-120&=0\\ x^{2}+2x-15&=0\\ \left ( x+5 \right )\left ( x-3 \right )&=0\\ \left ( x+5 \right )=0\quad V\quad \left ( x-3 \right )&=0\\ x=-5\quad V\quad x&=3 \end{aligned}.

dengan mengambil x = 3, kita mendapatkan bilangan ganjil yang dimaksud, yaitu

A=\left ( 2x+1 \right )=2(3)+1=7\qquad dan\qquad B=\left ( 2x+3 \right )=2(3)+3=9.

Jadi,  bilangan ganjil tersebut adalah 7 dan 9.

\LARGE\fbox{\fbox{Latihan Soal}}.

1. Tentukanlah jenis akar-akar persamaan berikut dengan tanpa menyelesaiakan persamaannya terlebih dahulu

\begin{array}{llll}\\ &&a.&4x^{2}-20x+25=0\\ &&b.&3x^{2}-7x-6=0\\ &&c.&5x^{2}+3x+4=0\\ &&d.&2014x^{2}-2015=0\\ &&e.&\sqrt{2}x^{2}-x-1=0\\ &&f.&x^{2}-2016x=0\\ &&g.&\displaystyle \frac{2}{x}-\frac{x+1}{x-1}=4\\ &&h.&\displaystyle \frac{x}{4}-\frac{3}{x+2}=2x\\ &&i.&\displaystyle \left ( a+1 \right )x^{2}+2ax+\left ( a-1 \right )=0\quad \left ( a> 0 \right ) \end{array}.

2. Jika  \alpha  dan  \beta  akar-akar persamaan kuadrat  3x^{2}-x-4=0 , tanpa menyelesaikan persamaannya terlebih dahulu, tentukanlah nilai dari

\begin{array}{llll}\\ &&a.&\left ( \alpha +\beta \right )\quad dan\quad \left ( \alpha \beta \right )\\ &&b.&\displaystyle \frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }\\ &&c.&\alpha ^{2}+\beta ^{2}\\ &&d.&\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }+\frac{\beta }{\alpha }\\ &&e.&\displaystyle \frac{1}{\alpha +1}+\frac{1}{\beta +1}\\ &&f.&\alpha ^{3}+\beta ^{3}\\ &&g.&\alpha -\beta \\ &&h.&\alpha ^{2}-\beta ^{2}\\ &&i.&\alpha ^{3}-\beta ^{3} \end{array}.

3. Tentukan  p  jika akar-akar dari persamaan kuadrat  3p+1=p\left ( x^{2}-x+2 \right )  saling berkebalikan kemudian carilah akar-akarnya.

4. Salah satu akar  persamaan  \left ( q-2 \right )x^{2}-2x+2+2q=0  adalah dua kali akarnya yang lain, maka nilai q ?.

5. Diketahui akar-akar persamaan kuadrat  x^{2}-2x-8=0  adalah  \alpha  dan  \beta. Buatlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah sebagai berikut:

\begin{array}{llll}\\ &&a.&\alpha \quad dan\quad \beta \\ &&b.&3\alpha \quad dan\quad 3\beta \\ &&c.&\displaystyle \frac{\alpha }{3}\quad dan\quad \frac{\beta }{3}\\ &&d.&\displaystyle \frac{1}{4\alpha }\quad dan\quad \frac{1}{4\beta }\\ &&e.&\left ( 3\alpha -2 \right )\quad dan\quad \left ( 3\beta -2 \right )\\ &&f.&\left ( \alpha +\beta \right )\quad dan\quad \left ( \alpha -\beta \right ) \end{array}.

6. Tentukanlah fungsi parabola jika diketahui:

  • Grafiknya melalui titik (-1, 8),  (0, 4), dan (1, 2).
  • grafiknya menyinggung sumbu X di titik (2, 0) dan melalui titik (0, -1)
  • grafiknya mempunyai koordinat titik balik (-1, -1) dan melalui titik (0, 1).

7. Perhatikanlah gambar segitiga berikut, kemudian tentukanlah panjang tiap sisi, keliling dan luasnya

156

8. Selisih dua bilangan positif adalah 3 dan jumlah dari kuadratnya adalah 117. Carilah dua bilangan tersebut.

9. Perhatikanlah gambar tabung berikut

157

Diketahui luas permukaan sebuah tabung dirumuskan sebagai

\mathbf{Luas\: (L)=2\pi r^{2}+2\pi rt}.

dengan  t  menyatakan tinggi tabung.  Jika luas permukaan tabung adalah  \mathbf{748\: cm^{2}}  serta tingginya adalah 10 cm, maka jari-jari tabung tersebut adalah ….

10. Perhatikanlah gambar berikut:

158

ABCD dan PQRS adalah persegi panjang sebagaimana ilustrasi gambar di atas.

(a). Tunjukkan bahwa luas PQRS adalah  4x^{2}-70x+300.

(b). Jika diketahui luas PQRS adalah setengah dari luas ABCD, buatlah sebuah persamaan dalam  x  dan carilah solusinya untuk mengetahui  panjang masing-masing sisi persegi panjang PQRS.

Sumber Referensi:

  1. Kurnianingsih, Sri, Kuntarti, Sulistiyono. 2007. Matematika SMA dan MA untuk Kelas X Semester 1 Standar Isi 2006. Jakarta: ESIS.
  2. Marwanta, dkk. 2013. Matematika SMA Kelas X. Jakarta: Yudistira.
  3. Marwanta, Sigit Suprijanto, Herynugroho, Suwarni Murniati, Kamta Agus Sajak, Soetiyono. 2004. Matematika Interaktif 1A Kelas 1 SMA Semester Pertama. Jakarta: Yudistira.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *