Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel (SPtLDV)

SPtLDV adalah gabungan dari beberapa pertidaksamaan yang salah satu variabelnya berderajat paling tinggi dua(kuadrat) dan derajat yang lainnya paling kecil nol.

Grafik untuk Sitem pertidaksamaan Linear Dua Variabel(SPtLDV) adalah himpunan titik-titik yang merupakan seluruh penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut dan himpunan titik-titik ini selanjutnya disebut sebagai daerah himpunan penyelesaian.

Ada beberapa ketentuan untuk gambar kurva

  • Jika pertidaksamaan menggunakan lambang < \: \: atau\: > , maka kurva pembatasnya berupa garis putus-putus.
  • jika pertidaksamaan menggunakan lambang \leq \: \: atau\: \geq , maka kurva pembatasnya berupa garis tanpa putus-putus

 

\LARGE\fbox{Contoh Soal}

1. Sketsalah grafik dari sistem pertidaksamaan kuadrat-linear dari

\left\{\begin{matrix} y & \geq & x^{2} \\ y & < & x & +&2 \end{matrix}\right.

Jawab:

Untuk menyelesaikan sketsa grafik dari pertidaksamaan soal tersebut di atas, coba perhatikanlah langkah berikut;

untuk  y\geq x^{2} ,

\begin{tabular}{|r|r|c|c|c|c|}\hline x&-2&-1&0&1&2\\\hline y&4&1&0&1&4\\\hline (x,y)&(-2,4)&(-1,1)&(0,0)&(1,1)&(2,4)\\\hline \end{tabular}

untuk  y< x+2

\begin{tabular}{|r|r|c|c|c|c|}\hline x&-2&-1&0&1&2\\\hline y&0&1&2&3&4\\\hline (x,y)&(-2,0)&(-1,1)&(0,2)&(1,3)&(2,4)\\\hline \end{tabular}

Untuk penentuan titik potong, maka yang perlu kita lakukan adalah menyamakan y=y.

x^{2}=x+2\: \: \Rightarrow \: x^{2}-x-2=0\: \: \Rightarrow \: \left ( x+1 \right )\left ( x-2 \right )=0

sehingga diperoleh

 x=-1\: \: atau\: \: x=2

Langkah berikutnya gunakan titik uji untuk mengetahui daerah penyelesaian yang dimaksud, misalkan kita ambil contoh titik\: (1,1) , kemudian kita cobakan ke kedua pertidaksamaan tersebut.

Langkah berikutnya membuat sketsa grafik yang diinginkan dari

\left\{\begin{matrix} y & \geq & x^{2} \\ y & < & x & +&2 \end{matrix}\right.

perhatikanlah hasil akhir berikut

62

Daerah yang berwarna hijau merupakan daerah himpunan penyelesaian

2. Sketsalah grafik dari sistem pertidaksamaan berikut

\left\{\begin{matrix} x^{2}&+&y^{2}&\geq &4 \\ x^{2}&+&y^{2}&< &9 \end{matrix}\right.

Jawab:

Untuk menyelesaikan sketsa grafik dari pertidaksamaan soal tersebut di atas, coba perhatikanlah pula langkah berikut;

kedua pertidaksamaan di atas adalah (persamaan) lingkaran

lingkaran yang berada di dalam adalah x^{2}+y^{2}=4 adalah sebuah persamaan lingkaran dengan pusat di (0,0) dan berjari-jari 2. Sedangkan lingkaran yang berada di sisi luar (yang besar) memiliki persamaan x^{2}+y^{2}=9 adalah persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari-jari 3.

Perhatikanlah tabel berikut

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline No&Lingkaran1&lingkaran2&Pusat&jari-jari\\\hline 1&x^{2}+y^{2}=4&&(0,0)&2\\\hline 2&&x^{2}+y^{2}=9&(0,0)&3\\\hline \end{array}.

Untuk mengetahui daerah penyelesaian, tentukanlah titik ujinya. Misalkan titik uji kita tetapkan (2,2) kita masukkan ke kedua pertidaksamaan tersebut yaitu

\left\{\begin{matrix} x^{2}&+&y^{2}&\geq &4 \\ x^{2}&+&y^{2}&< &9 \end{matrix}\right.

ternyata memenuhi, silahkan cek sendiri

Sebagai perbandingan hasil pengecekannya,

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \multicolumn{4}{|c|}{Lingkaran1;\quad x^{2}+y^{2}\geq 4}\\\hline No&Titik\quad uji&Proses&Hasil/Keterangan\\\hline 1&(0,0)&0^{2}+0^{2}\geq 4&Salah\\\hline 2&(1,1)&1^{2}+1^{2}\geq 4&Salah\\\hline 3&(2,2)&2^{2}+2^{2}\geq 4&Benar\\\hline 4&(3,3)&3^{2}+3^{2}\geq 4&Benar\\\hline 5&(4,4)&4^{2}+4^{2}\geq 4&Benar\\\hline \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\hline \vdots &dst&dst&dst\\\hline \end{array}\qquad \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \multicolumn{4}{|c|}{Lingkaran2;\quad x^{2}+y^{2}< 9}\\\hline No&Titik\quad uji&Proses&Hasil/Keterangan\\\hline 1&(0,0)&0^{2}+0^{2}< 9&Benar\\\hline 2&(1,1)&1^{2}+1^{2}< 9&Benar\\\hline 3&(2,2)&2^{2}+2^{2}< 9&Benar\\\hline 4&(3,3)&3^{2}+3^{2}< 9&Salah\\\hline 5&(4,4)&4^{2}+4^{2}< 9&Salah\\\hline \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\hline \vdots &dst&dst&dst\\\hline \end{array}.

Sebagai langkah akhir tinggal kita sketsa saja grafik yang diinginkan yaitu

63

Daerah yang berwarna hijau merupakan daerah himpunan penyelesaian

\LARGE\fbox{Latihan Soal}

Lukislah grafik dari SPtLDV berikut

1. \left\{\begin{matrix} x^{2} & + & y^{2} &< &25 \\ y &> & 2x \end{matrix}\right.

2. \left\{\begin{matrix} y&\leq &3 \\ x^{2} &+ & y^{2}> 16 \end{matrix}\right.

3. \left\{\begin{matrix} y&\geq &x^{2}&+&2x \\ y^{2} &- & x^{2}&\leq & 9 \end{matrix}\right.

4. \left\{\begin{matrix} y&< &x^{2}&+&2 \\ y &\geq &3x&+&4 \end{matrix}\right.

5. \left\{\begin{matrix} x^{2}&+&y^{2}&< &16 \\ x^{2}&+&y^{2}&\geq &4 \end{matrix}\right.

6. \left\{\begin{matrix} x^{2}&+&4y^{2}&> &16 \\ y&-&x^{2}&\leq &0 \end{matrix}\right.

7. \left\{\begin{matrix} y & \geq & 1 \\ 2x & - & 3y &\leq &0 \\ x^{2} & + & y^{2} & < &0 \end{matrix}\right.

8. \left\{\begin{matrix} 4x & + & 3y&\leq &12 \\ y& \geq & x^{2} &- &1\\ x & \leq & 2 \end{matrix}\right.

9. \left\{\begin{matrix} y& \geq &x^{2} \\ y& \leq & 2&-&x^{2}\\ x &\geq & 0 \end{matrix}\right.

10. \left\{\begin{matrix} y & \geq &x^{2}&-&4x&+&3 \\ y & \leq & -x^{2}&+&2x&+&3 \end{matrix}\right.

 

Catatan:

Sebagai jawaban untuk no. 4

berikut ilustrasi grafiknya

Sumber Referensi

  1. Sukino. 2013. Matematika Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Jakarta: Erlangga.

0 thoughts on “Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel (SPtLDV)

    • [latex]\begin{aligned}\textrm{Untuk}\: &\: \textup{jawaban no.4}\\\\ \textrm{SPt}&\textrm{LDV}\: \begin{cases} &y<x^{2}+2 \\\\ &y\geq 3x+4 \end{cases} \end{aligned}[/latex].

      untuk gambar grafik pertidaksamaan saya sisipkan di pos

  1. Apa perbedaannya bab sistem pertidaksamaan dua variabel (linear kuadrat dan kuadrat-kuadrat) dengan sistem pertidaksamaan linear dua variabel? Saya masih bingung terimakasih

    • Sistem pertidaksamaan linear
      [latex]\begin{array}{|c|l|c|c|}\hline \textrm{NO}&\quad\qquad\qquad\textrm{NAMA}&\textrm{CONTOH}&\textrm{Penjelasan}\\\hline 1&\begin{aligned}&\textrm{Persamaan}\\ &\textrm{\textbf{linear} dua variabel} \end{aligned}&y=2x+1&\begin{aligned}&\textrm{Hanya berupa} \\ &\textrm{garis lurus saja} \end{aligned}\\\hline 2&\begin{aligned}&\textrm{Sistem pertidaksamaan}\\ &\textrm{\textbf{linear dua} variabel} \end{aligned}&y\geq 2x+1&\textrm{Ketiganya}\\\cline{1-3} 3&\begin{aligned}&\textrm{Sitem pertidaksanaan}\\ &\textrm{\textbf{linear kuadrat} dua variabel} \end{aligned}&\begin{cases} y\geq & 2x+1 \\ y\geq &6x^{2}-x \end{cases}&\textrm{menunjukkan}\\\cline{1-3} 4&\begin{aligned}&\textrm{Sistem pertidaksamaan}\\ &\textrm{\textbf{kuadrat-kuadrat} dua variabel} \end{aligned}&\begin{cases} y\leq & -x^{2}+1 \\ y\geq &6x^{2}-x \end{cases}&\textrm{luasan}\\\hline \end{array}[/latex].

      Sehingga perbedaan hanya terletak pada jenisnya saja yaitu antara linear dan kuadrat atau kuadrat dengan kuadrat. Karena jenisnya berbeda model penyelesaiannya pun juga ikut disesuaikan.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *