Matriks

A. Pengertian Matriks

Perhatikan ilustrasi dari data berikut:

images (3)

[sumber]

Dari ilustrasi di atas, ada bilangan 5, 12, 17, dan 23 di barisan atas atau pertama. Kemudian 6, 18, 22, dan 30 di barisan kedua serta 9 , 27, 33, dan 45 berada di barisan ketiga dari susunan bilangan-bilangan sebagaimana ilustrasi di atas.

Perhatikan juga bilangan 5, 6, dan 9 berada di kolom pertama(kita sebut saja demikian) dan 12, 18, dan 27 berada di urutan kolom kedua begitu seterusnya. Susunan bilangan-bilangan tersebut sebagaimana ilustrasi di atas selanjutnya dinamakan matriks. Jadi matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan atau elemen-elemen yang diatur dalam baris dan kolom dan diletakkan di dalam kurung biasa ” ( ) ” ataupun kurung siku ” [ ] “..

\LARGE\fbox{Contoh Dalam Kehidupan Sehari-Hari}

1. Diketahui data hasil penjualan tiket penerbangan tujuan Semarang dan Solo, dari sebuah agen tiket, selama empat hari berturut-turut disajikan dalam tabel berikut

\begin{tabular}{|r|l|c|r|c|c|}\hline Tujuan&hari\: ke&I&II&III&IV\\ \hline Semarang&&3&4&2&5\\ \hline Solo&&7&1&3&2\\ \hline\end{tabular}

Data di atas dapat disederhanakan menjadi matriks berikut

\begin{bmatrix} 3 & 4 & 2 & 5\\ 7 & 1 & 3 & 2 \end{bmatrix}

2. Seorang wisatawan domestik hendak berlibur ke beberapa tempat tujuan wisata yang terdapat di pulau Jawa. untuk mengoptimalkan waktu kemudian wisatawan tersebut mencatat beberapa jarak  antar kota, sebagai berikut:

\begin{matrix} Bandung-Bogor &126&km& &Bandung-semarang &367&km \\ Bandung-Cirebon & 130&km& &Bandung-Yogyakarta &428&km \\ Bandung-Surabaya& 675 &km& &Bogor-Cirebon&256&km \\ Bogor-Surabaya&801&km& &Cirebon-Yogyakarta &317&km \\ Bogor-Semarang &493&km& &Surabaya-Semarang &308&km \\ Bogor-Yogyakarta &554&km & &Surabaya-Yogyakarta &327&km \\ Cirebon-Surabaya &545&km & &Semarang-Yogyakarta &115&km \\ Cirebon-Semarang &237&km & & & \end{matrix}

Tentukanlah susunan antar kota tujuan tersebut, seandainya wisatawan domestik tersebut hendak memulai perjalanannya dari Bandung.

Jawab:

Data dari soal di atas dapat kita tuliskan jarak antar kota di Pulau Jawa apabila di Mulai dari Bandung

\begin{tabular}{|r|r|r|r|c|c|c|c}\hline Tujuan&Bandung&Cirebon&Semarang&Yogyakarta&Surabaya&Bogor\\\hline Bandung&0&130&367&428&675&126\\\hline Cirebon&130&0&237&317&545&256\\\hline Semarang&367&237&0&115&308&493\\\hline Yogyakarta&428&317&115&0&327&554\\\hline Surabaya&675&545&308&327&0&801\\\hline Bogor&125&256&493&554&801&0\\\hline \end{tabular}

Jika wisatawan domestik tersebut ingin menampilkan jarak-jarak tersebut, maka ia dapat menuliskannya sebagai berikut

\begin{bmatrix} 0 &130 & 367 &428 & 675 &126 \\ 130 & 0 &237 &317 & 545 &256 \\ 367 & 237 & 0 &115 & 308 & 493\\ 428 & 317 &115 & 0 &327 &554 \\ 675 & 545 &308 & 437 &0 &801 \\ 126& 256 &493 & 554 & 801 &0 \end{bmatrix}

Hal-hal yang berkaitan dengan matriks

  • Nama matriks : Biasanya di wakili satu huruf kapital
  • Ordo matriks : Ukuran matriks; baris x kolom
  • Kesamaan dua matriks : Dua matriks dikatakan sama jika elemen-elemen yang seletak juga sama.
  • Jenis-jenis matriks: ada bermacam-macam jenis matriks; ada matriks kolom, matriks baris, matriks persegi, matriks diagonal, matriks identitas dan lain-lain.
\LARGE\fbox{Contoh}

1. Tentukan ordo dari matriks-matriks berikut ini?

a. \begin{bmatrix} 2 & 3\\ 4 & 9 \end{bmatrix}

b. \begin{bmatrix} 8 & 0 & 11\\ 2014 & 2013 & 2012 \end{bmatrix}

c. \begin{bmatrix} 2 &3 &4 &5 & 10\\ -5 &-3 & -2 & -1 &7 \\ 1& 1 & 6 &9 &-9 \end{bmatrix}

d. \begin{bmatrix} -2\\ -3\\ 6\\ -5 \end{bmatrix}

e. \begin{bmatrix} 2 & -5 &3 \end{bmatrix}

f. \begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}

 

Jawab :

a. 2 x 2       b. 2 x 3      c. 3 x 5     d.  4 x 1    e.  1 x 3     f.  3 x 3

sebagai catatan misal untuk soal b) baris ada 2 dan banyak kolom 3 maka ordo matiks tersebut adalah 2 x 3

2. Jika  \begin{bmatrix} 1 &2 & 3\\ 4 & 5 &6 \\ 0 & 0 &0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & b &c \\ d& e &f \\ g & h & i \end{bmatrix}  tentukan nilai ( a + b + c + d) – ( e + f + g + h + i ) ?

jawab:

(1+2+3+4) – (5+6+0+0+0)=10 – 11 = -1

3. Tentukan nilai  x dan y pada persamaan matriks berikut

\begin{bmatrix} 2x-3 & 20\\ 31& y+2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7 &20 \\ 31 & -2 \end{bmatrix}

 

Jawab:

2x-3=7\: \Rightarrow \: 2x=10\: \Rightarrow \: x=5\: \: dan\: \: y+2=-2\: \Rightarrow \: y=-4

 

B. Transpose Matriks

Transpose dari suatu matriks adalah baris dan kolom dipertukarkan. misalkan A adalah sebuah matriks maka transpose dari matriks A adalah A^{t} secara otomatis ordo matriksnya juga ikut menyesuaikan. Kalau matriknya persegi ordo tidk berubah tetapi kalau tdak persegi pasti berubah.

Misal sebuah matriks A=\begin{bmatrix} 2 & 2 & 3\\ 4 & 4 & 5 \end{bmatrix}, maka transpose matriks A adalah  A^{t}=\begin{bmatrix} 2 & 4\\ 2 & 4\\ 3 & 5 \end{bmatrix}, perhatikan juga bahwa ordonya juga berubah.

\LARGE\fbox{Contoh}

Tentukanlah nilai a, b, c, dan d yang memenuhi  D^{t}=E  dengan D=\begin{bmatrix} 2a-4 &3b \\ d+2a & 2c\\ 4& 7 \end{bmatrix}  dan E=\begin{bmatrix} b-5 & 3a-c &4 \\ 3 & 6 & 7 \end{bmatrix}

 

Jawab:

Dari soal diketahui bahwa  D^{t}=E . Akibatnya \begin{bmatrix} 2a-4 & d+2a &4 \\ 3b& 2c &7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b-5 & 3a-c & 4\\ 3 & 6 & 7 \end{bmatrix}

dari kesamaan di atas diperoleh fakta sebagai berikut:

  • 3b=3 maka b=1, dan 2c=6 maka c=3
  • 2a-4=b-5\: \: maka\: \: 2a-4=-4\: \: sehingga\: \: a=0
  • Karena a=0 maka d= – 3

Jadi, nilai a=0, b=1, c=3, dan d= -3

 

C. Operasi Sederhana Matriks

1. Penjumlahan dan pengurangan dua buah matriks

Dua matriks atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan  hanya jika ordonya sama

Sebagai ilustrasi untuk matriks persegi ordo 2 x 2

 27

[sumber]

2. Perkalian dua buah matriks dapat dilakukan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua

perhatikan ilustrasi berikut

26

[sumber]

3. Perkalian matriks dengan skalar

sebagai ilustrsinya

28

\LARGE\fbox{Contoh}

1. Tentukan nilai dari operasi matriks A.B
, jikaA=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}, dan B=\begin{bmatrix} e & f\\ g & h \end{bmatrix}

Jawab:

30

[sumber]

2. Diketahui matriks P=\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 5 & -6 \end{bmatrix}Q=\begin{bmatrix} 5 & a\\ b & 3 \end{bmatrix} , dan R=\begin{bmatrix} 4 & 5\\ -11 & 2 \end{bmatrix}. Jika  PQ=R, maka nilai a dan b berturut-turut adalah… .

Jawab:

PQ=R

\begin{bmatrix} 2 &-1 \\ 5&-6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 & a\\ b & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & 5\\ -11 &2 \end{bmatrix} ,

\begin{bmatrix} 10-b & 2a-3\\ 25-6b & 5a-18 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & 5\\ -11 &2 \end{bmatrix} ,

Dari data di atas diperoleh \left\{\begin{matrix} 10 &- &b &=&4 \\ 2a &- &3 &=&5 \\ 25 &- & 6b &=&-11 \\ 5a &- &18 &=&2 \end{matrix}\right.

dari data di atas didapatkan pula bahwa a=4\: \: \: dan\: \: \: b=6

3. Jika diketahui matriks A=\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} , maka hitunglah A^{2014}

Jawab:

Perhatikan bahwa

A^{2}=AA=\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}=-1\times \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}=-1\times I=-I

Karena A^{2}=-I , maka A^{4}=I. Hal ini berarti setiap pangkat kelipatan 4 maka akan berupa matriks identitas ordo 2 x 2 .

Selanjutnya,  2014 dapat dituliskan sebagai 2014 = 4. (503) + 2 , akibatnya A^{2014}=A^{4.503+2}=A^{4.503}.A^{2}=I.A^{2}=A^{2}

Sehingga A^{2014}=A^{2}=\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}

\LARGE\fbox{Soal Latihan}

  1. Diketahui A=\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} dan B=\begin{bmatrix} 2 &2 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}. Tentukan nilai dari A.B
  2. Jika matriks P=\begin{bmatrix} 5 &-2a \\ 6 & x-1 \end{bmatrix} dan Q=\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ -3 & a \end{bmatrix}. Jika P^{t}=Q, maka nilai x adalah… .
  3. Misalkan \begin{bmatrix} -1 & 3\\ -4& 2a \end{bmatrix}-3\begin{bmatrix} 5 &3 \\ -4 &2 \end{bmatrix}=2\begin{bmatrix} -8 &-b \\ 4 &4 \end{bmatrix} , maka nilai 2a+b
  4. Diberikan matriks A=\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 0 & 1 \end{bmatrix}. Jika A^{2}=AA,\: \: A^{3}=A^{2}A,\: \:dan\: \: \: A^{4}=A^{3}A dan seterusnya, maka hitunglah A^{2014}

 

 

Sumber Referensi

  1. Budhi, Wono Setya. 2014. Bupena Matematika SMA/MA Kelas X Kelompok Wajib. Jakarta: Erlangga.
  2. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. 2013. Matematika Kelas X. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *