Logaritma (Kelas X Pemintan)

A. Mengingat Kembali Bilangan Bentuk Pangkat

\color{blue}\textrm{Perhatikanlah Soal-Jawab berikut}:\\ \begin{array}{ll}\\ 1.&\displaystyle 2^{5}=\underset{5}{\underbrace{2\times 2\times 2\times 2\times 2}}=32\\ 2.&\displaystyle 2^{4}=\underset{4}{\underbrace{2\times 2\times 2\times 2}}=16\\ 3.&\displaystyle 2^{3}=\underset{3}{\underbrace{2\times 2\times 2}}=8\\ 4.&\displaystyle 2^{2}=\underset{2}{\underbrace{2\times 2}}=4\\ 5.&\displaystyle 2^{1}=\underset{1}{\underbrace{2}}=2\\ 6.&\displaystyle 2^{0}=1\\ 7.&\displaystyle 2^{-1}=\displaystyle \frac{1}{2}\\ 8.&\displaystyle 2^{-2}=\displaystyle \frac{1}{4}\\ \vdots &\vdots \end{array}.

B. Logaritma

Logaritma adalah invers dari perpangkatan.

Kita ambil contoh pada soal-jawab di atas 2^{x}=32 , maka untuk mencari nilai x itu kita mungkin langsung dapat menjawab 5, tetapi bagai mana jika pertanyaannya \colorbox{Magenta}{2}^{y}=\colorbox{lime}{27}, bagaimana kita menentukan nilai y tersebut?

Oleh karnanya kita membutuhkan balikan(invers) dari bentuk perpangkatan bilangan di atas, yaitu Logaritma yang selanjutnya dalam penyebutannya cukup disebutkan dengan “log” saja.

Selanjutnya coba perhatikanlah untuk \colorbox{Magenta}{a} bilangan basis(pokok) dengan \colorbox{magenta}a,b>0 dan \colorbox{magenta}a\neq 1, maka berlaku:

^{\colorbox{magenta}a}\log\colorbox{lime}b=\color{blue}c.

C. Sifat-Sifat Operasi Aljabar Pada Logaritma

\color{magenta}\textrm{Perhatikanlah tabel berikut}\\ \begin{array}{|c|c|}\hline \LARGE\colorbox{blue}{Logaritma}&\LARGE\colorbox{green}{Eksponen}\\\hline \LARGE ^{a}\log b=c&\LARGE a^{c}=b\\\hline \multicolumn{2}{|c|}{\begin{matrix}\\ \bullet \quad a^{^{^{a}\log b}}=b\\\\ \bullet \quad ^{a}\log b\times d=\: ^{a}\log b+ \: ^{a}\log d\\\\ \bullet \quad ^{a}\log \displaystyle \frac{b}{d}=\: ^{a}\log b-\: ^{a}\log d\\\\ \bullet \quad ^{a}\log b=\displaystyle \frac{^{^{x}}\log b}{^{^{x}}\log a}\\\\ \bullet \quad ^{a}\log b=\displaystyle \frac{1}{^{^{b}}\log a}\\\\ \bullet \quad ^{a}\log b=m\Rightarrow \: ^{b}\log a=\displaystyle \frac{1}{m}\\\\ \bullet \quad ^{^{a^{n}}}\log b^{m}=\: \displaystyle \frac{m}{n}\times \: ^{a}\log b\\\\ \bullet \quad ^{a}\log b\times \: ^{b}\log c\times \: ^{c}\log d=\: ^{a}\log d\\\\ \bullet \quad ^{a}\log a=1\\\\ \bullet \quad ^{a}\log 1=0\\\\ \bullet \quad ^{a}\log a^{n}=n\\\\ \bullet \quad \log b=\: ^{10}\log b\\ \end{matrix}}\\\hline \end{array}.

\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}.

\color{blue}\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah nilai logaritma berikut}\\ &\textrm{a}.\quad ^{10}\log 10000\qquad \textrm{d}.\quad ^{2}\log 0,125\\ &\textrm{b}.\quad ^{10}\log 0,001\qquad \textrm{e}.\quad ^{3}\log 81\\ &\textrm{c}.\quad ^{2}\log 8\qquad\qquad\: \: \textrm{f}.\quad ^{3}\log \displaystyle \frac{1}{81}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{array}{|l|l|}\hline \begin{aligned}\textrm{a}.\: \: \textrm{Karena}&\: 10^{4}=10000\\ \textrm{maka}\: &^{10}\log 10000=4 \end{aligned}&\begin{aligned}\textrm{d}.\: \: \textrm{Karena}&\: 2^{-3}=\displaystyle \frac{1}{8}=0,125\\ \textrm{maka}\: &^{2}\log 0,125=-3 \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}\textrm{b}.\: \: \textrm{Karena}&\: 10^{-3}=\displaystyle \frac{1}{10^{3}}=0,001\\ \textrm{maka}\: &^{10}\log 0,001=-3 \end{aligned}&\begin{aligned}\textrm{e}.\: \: \textrm{Karena}&\: 3^{4}=81\\ \textrm{maka}\: &^{3}\log 81=4 \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}\textrm{c}.\: \: \textrm{Karena}&\: 2^{3}=8\\ \textrm{maka}\: &^{2}\log 8=3 \end{aligned}&\begin{aligned}\textrm{f}.\: \: \textrm{Karena}&\: 3^{-4}=\displaystyle \frac{1}{3^{4}}=\frac{1}{81}\\ \textrm{maka}\: &^{3}\log \displaystyle \frac{1}{81}=-4 \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{array}.

\color{blue}\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: a\: \: \textrm{yang memenuhi}\: \: ^{a}\log 81=4\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}^{a}\log 81=4\Leftrightarrow a^{4}&=81\\ a^{4}&=(\pm 3)^{4}\\ \textrm{karena}\: a> 0&,\: \: \textrm{maka}\: \: a=3 \end{aligned} \end{array}.

\color{blue}\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tuliskan kebalikan dari bentuk kesamaan berikut}\\ &\textrm{a}.\quad 4^{^{\frac{3}{2}}}=8\qquad\qquad\qquad \textrm{c}.\quad ^{2}\log 32=5\\ &\textrm{b}.\quad \left ( 2\sqrt{2} \right )^{^{-\frac{2}{3}}}=\displaystyle \frac{1}{2}\: \: \: \qquad \textrm{d}.\quad ^{100}\log 0,1=-\displaystyle \frac{1}{2}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{a}.\quad \begin{aligned}4^{^{\frac{3}{2}}}=8\: \: \Leftrightarrow \: \: ^{4}\log 8=\displaystyle \frac{3}{2} \end{aligned}\\ &\textrm{b}.\quad \begin{aligned}\left ( 2\sqrt{2} \right )^{^{-\frac{2}{3}}}=\displaystyle \frac{1}{2}\: \: \Leftrightarrow \: \: ^{2\sqrt{2}}\log \displaystyle \frac{1}{2}=-\frac{2}{3} \end{aligned}\\ &\textrm{c}.\quad \begin{aligned}^{2}\log 32=5\: \: \Leftrightarrow \: \: 2^{5}=32 \end{aligned}\\ &\textrm{d}.\quad \begin{aligned}^{100}\log 0,1=-\displaystyle \frac{1}{2}\: \: \Leftrightarrow \: \: 100^{^{-\frac{1}{2}}}=0,1 \end{aligned} \end{array}.

\color{green}\begin{array}{ll}\\ 4.&\color{black}\textrm{Tentukanlah nilai logaritma berikut}\\ &\textrm{a}.\quad ^{2}\log 64\qquad\qquad\qquad \textrm{d}.\quad ^{27}\log \displaystyle \frac{1}{9}\\ &\textrm{b}.\quad ^{25}\log 125\, \quad\qquad\qquad \textrm{e}.\quad ^{\frac{1}{25}}\log 5\\ &\textrm{c}.\quad ^{81}\log 2187\: \: \: \: \quad\quad\qquad \textrm{f}.\quad ^{5}\log \displaystyle \frac{1}{25}\\\\ &\color{black}\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{a}.\quad ^{2}\log 64=6\\ &\textrm{b}.\quad ^{25}\log 125=\displaystyle \frac{3}{2}\\ &\textrm{c}.\quad ^{81}\log 2187=\displaystyle \frac{7}{4}\\ &\textrm{d}.\quad ^{27}\log \displaystyle \frac{1}{9}=-\frac{2}{3}\\ &\textrm{e}.\quad ^{\frac{1}{25}}\log 5=-\displaystyle \frac{1}{2}\\ &\textrm{f}.\quad ^{5}\log \displaystyle \frac{1}{25}=-2 \end{array}.

Sebagai catatan adalah cara di atas dengan menggunakan pengertian dasar logaritma tanpa diselesakan dengan menggunkan sifat-sifat logaritma

PUSTAKA

  • Budhi, W.S. Widodo, U. 2017. Matematika untuk SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *