Turunan Fungsi Trigonometri

A. Pengenalan

Perubahan laju untuk nilai fungsi adalah sebagai berikut

\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Laju erubahan rata-rata}&\textrm{Laju perubahan sesaat}\\\hline \begin{aligned}&\\ &\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=\displaystyle \frac{f\left ( x_{2} \right )-f\left ( x_{1} \right )}{x_{2}-x_{1}}\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&\\ &\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}.

Secara definisi turunan fungsi f terhadap nilai x dinyatakan sebagai

f{'}(x)=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Jika nilai limitnya ada.

B. Notasi

  • Notasi turunan fungsi dilambangkan dengan f{'}k dengan {f}'(k)=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{f(k+h)-f(k)}{h}.
  • Lambang f{'}k dibaca  f  aksen  k  desebut  turunan atau derivatif  untuk fungsi f(x) terhadap x saat x=k.
  • Jika limitnya ada, dapat dikatakan fungsi   f(x) diferensiabel(dapat didiferebsialkan) saat x=k dan bentuk limitnya selanjutna dilambangkan dengan {f}'(k).
  • Misalkan fungsi f(x) memiliki turunan f{'}(x). Jika f{'}(x) tidak terdefinisi, maka f(x) tidak diferensiabel di x=k.

C. Bentuk Umum Turunan Pertama

Bentuk umum turunan fungsi ang selanjutnya disebut juga turunan pertama  fungsi y terhadap x dapat dinotasikan dengan berbagai bentuk berikut yaitu:

\color{blue}{y}\: '=\displaystyle \frac{dy}{dx}=\displaystyle \frac{d\left ( f(x) \right )}{dx}={f}'(x)=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

\colorbox{yellow}{\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{CONTOH SOAL}}}.

\begin{array}{ll}\ 1.&\textrm{Jika} \: \: g(x)=3x-5, \textrm{hitunglah laju perubahan fungsi}\: \: g\: \: \textrm{di}\: \: x=2\\ &\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Cara Pertama}&\textrm{Cara Kedua}\\\hline \begin{aligned} g(x)&=3x-5\\ g(2)&=3.2-5=1\\ {g}'(2)&=\underset{x\rightarrow 2}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{g(x)-g(2)}{x-2}\\ &=\underset{x\rightarrow 2}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{(3x-5)-(1)}{x-2}\\ &=\underset{x\rightarrow 2}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{3x-6}{x-2}\\ &=\underset{x\rightarrow 2}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle 3\\ &=3 \end{aligned}&\begin{aligned}g(2)\: \,&=1\\ g(2+&h)=3(2+h)-5=3h+1\\ g(2+&h)-g(2)=3h\\ {g}'(2)\: &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{g(2+h)-g(2)}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle\frac{3h}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: 3\\ &=3\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui}\: \: f(x)=2017x^{2},\: \: \textrm{tentukanlah}\: \: {f}'(x)\: \: \textrm{dan}\: \: {f}'(1)\\ &\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline {f}'(x)&{f}'(1)\\\hline \begin{aligned}f(x)&=2017x^{2}\\ f(x+h)&=2017(x+h)^{2}\\ &=2017\left ( x^{2}+2xh+h^{2} \right )\\ &=2017x^{2}+4034xh+2017h^{2}\\ {f}'(x)&=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{\left (2017x^{2}+4034xh+2017h^{2} \right )-\left (2017x^{2} \right )}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{4034xh+2017h^{2}}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle 4034x+2017h\\ &=4034x \end{aligned}&\begin{aligned}{f}'(x)&=4034x\\ \textrm{maka},&\\ {f}'(1)&=4034.1\\ &=4034\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}\end{array}

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *