Kumpulan Soal dan Pembahasan Eksponen dan Logaritma

Kumpulan Soal dan Jawaban

1. Nilai dari  \frac{2^{5}-2^{7}}{2^{2}}=....

Jawab:

\frac{2^{5}-2^{7}}{2^{2}}=\frac{2^{2}(2^{3}-2^{5})}{2^{2}}=8-32=-24.

2. Sederhanakanlah \frac{a^{4}-b^{4}}{a-b}.

Jawab:

\frac{a^{4}-b^{4}}{a-b}=\frac{(a^{2}+b^{2})(a^{2}-b^{2})}{a-b}=(a^{2}+b^{2})(a+b).

3. Nilai x dari  \sqrt[3]{8^{x+2}}=(\frac{1}{32})^{2-x}.

Jawab:

\sqrt[3]{8^{x+2}}=(\frac{1}{32})^{2-x} \Rightarrow (2^{3})^{\frac{x+2}{3}}=(2^{-5})^{2-x}\Rightarrow 2^{x+2}=2^{5x-10}\Rightarrow x+2=5x-10\Rightarrow x=3.

4. Jika x> 0 dan x\neq 1 pada x^{p}=\frac{\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}{x} , maka nilai p adalah ….

Jawab:

Perhatikan bahwa \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}=\sqrt{x\sqrt{x^{\frac{3}{2}}}}=\sqrt{x^{\frac{7}{4}}}=x^{\frac{7}{8}}.

Sehingga persamaan menjadi

\frac{x^{\frac{7}{8}}}{x}=x^{p}\Rightarrow x^{-\frac{1}{8}}=x^{p}\Rightarrow p=-\frac{1}{8}.

5. (UN Mat SMA/MA IPA 2014) Bentuk sederhana dari  (\frac{4a^{-3}b^{-5}c}{36a^{-5}b^{-3}c^{-1}})^{2} adalah …

Jawab:

(\frac{4a^{-3}b^{-5}c}{36a^{-5}b^{-3}c^{-1}})^{2}=(\frac{a^{-3+5}b^{-5+3}c^{1+1}}{9})^{2}=(\frac{a^{2}b^{-2}c^{2}}{3^{2}})^{2}=(\frac{a^{2}c^{2}}{3^{2}b^{2}})^{2}=(\frac{ac}{3b})^{4}.

6. (UN Mat SMA/MA IPA 2014) Bentuk sederhana dari (\frac{3a^{-2}b^{3}c^{4}}{15a^{3}b^{-5}c^{-2}})^{-1} adalah ….

Jawab:

(\frac{3a^{-2}b^{3}c^{4}}{15a^{3}b^{-5}c^{-2}})^{-1}=(\frac{15a^{3}b^{-5}c^{-2}}{3a^{-2}b^{3}c^{4}})=5a^{3+2}b^{-5-3}c^{-2-4}=\frac{5a^{5}}{b^{8}c^{6}}.

7. (UN Mat SMA/MA IPA 2014) Bentuk sederhana dari  (\frac{3a^{-2}bc^{-3}}{24a^{5}b^{-3}c})^{-1} adalah ….

Jawab:

(\frac{3a^{-2}bc^{-3}}{24a^{5}b^{-3}c})^{-1}=(\frac{24a^{5}b^{-3}c}{3a^{-2}bc^{-3}})=8a^{5+2}b^{-3-1}c^{1+3}=\frac{8a^{7}c^{4}}{b^{4}}.

8. (UN Mat SMA/MA IPA 2014) Bentuk sederhana dari \frac{6}{3-2\sqrt{2}} adalah ….

Jawab:

\frac{6}{3-2\sqrt{2}}=\frac{6}{3-2\sqrt{2}}.(\frac{3+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}})=\frac{6(3+2\sqrt{2})}{9-8}=18+12\sqrt{2}.

9. (UN Mat SMA/MA IPA 2014) Bentuk sederhana dari \frac{9}{2\sqrt{2}-\sqrt{5}}=....

Jawab:

\frac{9}{2\sqrt{2}-\sqrt{5}}=\frac{9}{2\sqrt{2}-\sqrt{5}}.(\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{5}}{2\sqrt{2}+\sqrt{5}})=\frac{9.(2\sqrt{2}+\sqrt{5})}{8-5}=3(2\sqrt{2}+\sqrt{5}).

10. (UN Mat SMA/MA IPA 2014) Bentuk sederhana dari  \frac{12}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}} adalah ….

Jawab:

\frac{12}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}=\frac{12}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}.(\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}})=\frac{12(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{18-12}=2(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}).

11. (UN Mat SMA/MA IPA 2014) Nilai dari \frac{^{3}\log \frac{1}{9}+^{\sqrt{2}}\log 9.^{3}\log 16}{^{2}\log 10-^{2}\log 5}=....

Jawab:

\frac{^{3}\log \frac{1}{9}+^{\sqrt{2}}\log 9.^{3}\log 16}{^{2}\log 10-^{2}\log 5}=\frac{^{3}\log 3^{-2}+^{2^{\frac{1}{2}}}\log 3^{2}.^{3}\log 2^{4}}{^{2}\log \frac{10}{2}}=\frac{-2+\frac{2.4}{\frac{1}{2}}.^{2}\log 3.^{3}\log 2}{^{2}\log 2}=\frac{-2+16}{1}=14.

 

12. (UN Mat SMA/MA IPA 2014) Hasil dari \frac{^{3}\log 25.^{5}\log 81-^{4}\log 2}{^{3}\log 36-^{3}\log 4}=.....

Jawab:

\frac{^{3}\log 25.^{5}\log 81-^{4}\log 2}{^{3}\log 36-^{3}\log 4}=\frac{^{3}\log 5^{2}.^{5}\log 3^{4}-^{2^{2}}\log 2^{1}}{^{3}\log \frac{36}{4}}=\frac{2.4.^{3}\log 5.^{5}\log 3-\frac{1}{2}}{^{3}\log 3^{2}}=\frac{8-\frac{1}{2}}{2}=\frac{15}{4}.

 

13. Jadikanlah dalam bentuk \sqrt{a}\pm \sqrt{b} dengan a> b dari \sqrt{9-\sqrt{56}}.

Jawab:

\sqrt{9-\sqrt{56}}=\sqrt{9-\sqrt{4.14}}=\sqrt{7+2-2\sqrt{7.2}}=\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{7}-\sqrt{2}.

 

14. Jadikanlah dalam bentuk \sqrt{a}\pm \sqrt{b} dengan a> b dari \sqrt{5-\sqrt{21}}=.....

Jawab:

\sqrt{5-\sqrt{21}}=\sqrt{5-2.\frac{1}{2}.\sqrt{21}}=\sqrt{(\frac{7}{2}+\frac{3}{2})-2.\frac{1}{2}.\sqrt{7.3}}=\sqrt{(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}(\sqrt{14}-\sqrt{6}).

 

15. (Olimpiade Sains Mat SMA/MA Porsema NU Th 2012) Nilai  x  yang memenuhi jika (\sqrt{3+2\sqrt{2}})^{x}-(\sqrt{3+2\sqrt{2}})^{-x}=\frac{3}{2} adalah ….

Jawab:

Misalkan p=\sqrt{3+2\sqrt{2}}  maka p^{x}-p^{-x}=\frac{3}{2} \Rightarrow p^{x}-\frac{1}{p^{x}}=\frac{3}{2}.

Selanjutnya 2p^{2x}-3p^{x}-2=0 \Rightarrow (2p^{x}+1).(p^{x}-2)=0 maka p^{x}=-\frac{1}{2} atau p^{x}=2.

Sehingga yang memenuhi adalah p^{x}=(\sqrt{3+2\sqrt{2}})^{x}=2.

Untuk mencari x kita gunakan l0garitma, yaitu (\sqrt{3+2\sqrt{2}})^{x}=2\Rightarrow x=^{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}\log 2.

Karena \sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{(\sqrt{2}+1)^{2}}, kita mendapatkan jawaban akhir yaitu  x=^{\sqrt{2}+1}\log 2.

16. Tunjukkan bahwa

  1. \sqrt{1+a(a+1)(a+2)(a+3)}=a^{2}+3a+1
  2. \sqrt{16+a(a+2)(a+4)(a+6)}=a^{2}+6a+4
  3. \sqrt{81+a(a+3)(a+6)(a+9)}=a^{2}+9a+9
  4. \sqrt{256+a(a+4)(a+8)(a+12)}=a^{2}+12a+16
  5. \sqrt{625+a(a+5)(a+10)(a+15)}=a^{2}+15a+25
  6. \sqrt{n^{2}+a(a+n)(a+2n)(a+3n)}=a^{2}+3an+n^{2} , serta
  7.  Hitunglah nilai dari \sqrt{1+2012.2013.2014.2015}=.....

Jawab:

Akan ditunjukkan no. 1 saja dan nomor yang lain untuk dicoba sebagai latihan.

Perhatikan bahwa

\sqrt{1+a(a+1)(a+2)(a+3)}=\sqrt{1+a(a+3)(a+2)(a+1)}=\sqrt{1+(a^{2}+3a)(a^{2}+3a+2)}=\sqrt{1+(a^{2}+3a)^{2}+2(a^{2}+3a)}=\sqrt{(a^{2}+3a)^{2}+2(a^{2}+3a)+1}=\sqrt{(a^{2}+3a+1)^{2}}=a^{2}+3a+1.

17. Jika diketahui a^{b}=2^{2015}-2^{2014}\: ,\: \: tentukan\: nilai\: a+b\: ?

Jawab:

a^{b}=2^{2015}-2^{2014}=2^{2014+1}-2^{2014+0}=2^{2014}.2^{1}-2^{2014}.2^{0}=2^{2014}\left ( 2-1 \right )=2^{2014}.

Jadi, nilai  \left\{\begin{matrix} a & = & 2\\ b & = & 2014 \end{matrix}\right.,\: \: sehingga\: \: a+b=2016.

 

0 thoughts on “Kumpulan Soal dan Pembahasan Eksponen dan Logaritma

    • Terimakasih juga atas segala perhatiannya. Saya juga ikut senang tulisan yang sederhana ini sedikit ataupun banyak dapat memberikan kemanfaatan kepada orang lain.
      Yang terpenting jaga semangat belajar kita.
      Salam sukses untuk kita semua

  1. terima kasih pak…saya tidak mengerti sama sekali karena yang mengajar di sekolah saya adalah mahasiswa PL…ini sangat membantu

    • Terimakasih telah mampir.
      Berpikir kritis atau sebagian orang mengatakan berpikir kompleks, saya malah teringat cara membilang sebuah bilangan(mungkin apa yang akan saya ketengahkan dapat keluar dari kontek).
      Yang pertama:
      Misal “1” kita bilang satu, lalu “2” kita sebut dua dst. Demikian juga “34” kita menyebutnya tiga puluh empat dan “24” kita menyebutnya duapuluh empat, akan tetapi “14” kita menyebutnya empat belas, mengapa kok tidak sekalian sepuluh empat. Kadangkan kasihan juga anak2 seolah-olah anak mau gak mau harus megikuti dan akan memiliki model penyebutan yang berbeda dari yang lainnya sebagaimana yang saya sebutkan sebelumnya.
      Yang kedua:
      Kembali ke soal dengan tipe berpikir kritis, Alhamdulillah banyak, tetapi saya sendiri-secara pribadi-pinginnya soal yang biasa2 saja, Jujur kadang saya pusing juga kalau dah mentok dan miskin refernsi pula kalau ketemu soal dengan proses penyelesaiannya serba komplek. Walaupun demikian andai soal yang diujikan tidak ada yang namanya pilihan ganda dan sejenisnya-misal uraian saja-saya yakin kebanyakan siswa yang sedang belajar di sekolah sekarang ini dari tingkat dasar sampai menengah akan tambah kritis lagi dalam berpikir insyaAllah akan demikian juga guru-gurunya. Kemungkinannya seperti itu, tapi cobalah kita lihat hasil rilisan PISA 2015, di mana posisi kita(kalau tidak salah posisi pertama ditempati SINGAPURA dan saya yakin pada saatnya kita akan bisa menjadi lebih baik-yakin insyaAllah bisa). Sekali lagi maaf kalau tambah keluar kontek lagi?
      bagaimana menurut jenengan?

      BTW ngeblog juga sedikit banyak menambah kita berpikir kritis, setuju kan?.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *