Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

A. Nilai Mutlak

Nilai mutlak adalah jarak pada garis bilangan real antara bilangan yang dimaksud dengan dengan nol.

untuk  x bilangan real didefinisikan \left | x \right |=\left\{\begin{matrix} x &jika & x\geqslant 0\\ -x&jika & x< 0 \end{matrix}\right.

Contoh:

\left | 8 \right |=8,

\left | -8 \right |=8,

\left | 0 \right |=0

 

B. Persamaan Nilai Mutlak

Sifat-sifat nilai mutlak

  1. \left | ab \right |=\left | a \right |.\left | b \right |
  2. \left | \frac{a}{b} \right |=\frac{\left | a \right |}{\left | b \right |}
  3. \left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |,  (ketaksamaan segitiga)
  4. \left | a-b \right |\geqslant \left | \left | a \right |-\left | b \right | \right |
  5. \sqrt{x^{2}}=\left | x \right |
  6. \left | x \right |^{2}=x^{2}
  7. \left | x \right |< a\Leftrightarrow -a< x< a
  8. \left | x \right |> a\Leftrightarrow x<-a atau x> a

 

Contoh Soal:

1. Tentukan nilai x  yang memenuhi \left | x-3 \right |=2014
Jawab:

  • x-3=2014 ………………… 1)
  • -(x-3)=2014  ……………. 2)

Dari persamaan (1) diperoleh  x=2014+3=2017, dan dari persamaan (2) diperoleh -x+3=2014 \Rightarrow x=3-2014=-2011.
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x=-2011 atau x=2017

 

2. Tunjukkan bahwa \left | mn \right |=\left | m \right |.\left | n \right |
Bukti:

\left | mn \right |=\sqrt{(mn)^{2}}=\sqrt{m^{2}.n^{2}}=\sqrt{m^{2}}.\sqrt{n^{2}}=\left | m \right |.\left | n \right |

 

3. Tentukan nilai x yang memenuhi \sqrt{(x-3)^{2}}=7
Jawab:

\sqrt{(x-3)^{2}}=7

—————————————————   ,masing-masing ruas dikuadratkan

(x-3)^{2}=49 x^{2}-6x+9-49=0 x^{2}-6x-40=0 (x+4)(x-10)=0 x+4=0\:\: \: V\: \: x-10=0 x=-4\: \: \: atau\: \: x=10

 

4. Gambarkanlah grafik f(x)=\frac{\left | x \right |}{x} untuk x  bilangan real!

Jawab :

untuk

x=0\: \: \Rightarrow f(0)=\frac{\left | 0 \right |}{0}=\frac{0}{0} = tak tentu (indeterminate)

x=1\: \: \Rightarrow f(1)=\frac{\left | 1 \right |}{1}=\frac{1}{1}=1

 

x=2\: \: \Rightarrow f(2)=\frac{\left | 2 \right |}{2}=\frac{2}{2}=1

 

x=-1\: \: \Rightarrow f(-1)=\frac{\left | -1 \right |}{-1}=\frac{1}{-1}=-1

 

x=-2\: \: \Rightarrow f(-2)=\frac{\left | -2 \right |}{-2}=\frac{2}{-2}=-1

 

dan seterusnya

Perhatikanlah ilustrasi berikut ini

index.jpg27[sumber]

Soal Latihan

  1. Tentukan nilai dari \frac{\left | 40 \right |}{\left | 8 \right |}
  2. Tentukan nilai dari 2012-\left | 2013-\left | 2014 \right | \right |
  3. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan \left | x-20 \right |-30=23
  4. Carilah harga x yang memenuhi \sqrt{(x-5)^{2}}=-2
  5. Carilah harga x yang memenuhi \left | \frac{2x+3}{5} \right |=6
  6. Tunjukkan bahwa \left | \frac{x}{y} \right |=\frac{\left | x \right |}{\left | y \right |}
  7. Tunjukkan bahwa  \left | x \right |^{2}=x^{2}=\left | -x \right |^{2}
  8. Gambarlah grafik f(x)=\left | x \right |,\: \: untuk \: \: x\: \varepsilon \: R
  9. Gambarkanlah grafik f(x)=\left | 2x-1 \right |, untuk 1<x<10

 

C. Pertidaksaan Nilai Mutlak

Untuk k,\: x,\: y,\: bilangan real dan k>0, maka

  • \left | x \right |\geqslant 0
  • \left | x+y \right |\leqslant \left | x \right |+\left | y \right |
  • \left | x-y \right |\leqslant \left | x \right |+\left | y \right |
  • Jika x<y, maka x^{2}<y^{2}
  • \left | x \right |\leq k\: \: \Leftrightarrow \: \: -k\leq x\leq k
  • \left | x \right |\geq k\: \: \Leftrightarrow \: x\leq -k\: \, atau\: x\geq k

 

Contoh Soal:

1. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari \left | x-2014 \right |\leq 6

Jawab:

\left | x-2014 \right |\leq 6 -6\leq x-2014\leq 6\: \: \Leftrightarrow \: \: -6+2014\leq x-2014+2014\leq 6+2014\: \: \Leftrightarrow \: \: 2008\leq x\leq 2020 HP=\left \{ x\: |\: 2008\leq x\leq 2020,\: x\: \epsilon \: R\, \right \}

 

2. Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan harga mutlak dari \left | 2x-3 \right |\geq 5

Jawab :

  • 2x-3\leq -5\: \Leftrightarrow \: 2x\leq -5+3\: \Leftrightarrow \: 2x\leq -2\: \Leftrightarrow\: x\leq -1  , atau
  • 2x-3\geq 5\: \Leftrightarrow \: 2x\geq 5+3\: \Leftrightarrow \: 2x\geq 8\: \Leftrightarrow \: x\geq 4

Sehingga penyelesaiannya adalah  x\leq -1\: \: atau\: \: x\geq 4

3. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan harga mutlak dari \frac{2}{1+x}\leq \left | x \right |

Jawab:

\frac{2}{1+x}\leq \left | x \right |\: \Leftrightarrow \: \left | x \right |\geq \frac{2}{1+x}
  • x\leq -\frac{2}{1+x}\: \Leftrightarrow \: x+\frac{2}{x+1}\leq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{x(x+1)+2}{x+1}\leq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{x^{2}+x+2}{x+1}\leq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{definit\:\: positif}{x+1}\leq 0\: \Leftrightarrow \: x< -1, atau
  • x\geq \frac{2}{1+x}\: \Leftrightarrow \: x-\frac{2}{x+1}\geq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{x(x+1)-2}{x+1}\geq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{x^{2}+x-2}{x+1}\geq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{(x+2)(x-1)}{x+1}\geq 0\: \Leftrightarrow \: -2\leq x< -1\: \: atau\: \: x\geq 1

Jadi, penyelesaiannya adalah x< -1\: \: atau\: \: x\geq 1

 

Latihan Soal

  1. Penyelesaian dari pertidaksamaan \left | x-5 \right |<5 adalah ….
  2. Penyelesaian dari pertidaksamaan \left | 3x-2 \right |\geq 7 adalah ….
  3. Penyelesaian dari pertidaksamaan \left | x^{2}+5x \right |\leq 6 adalah ….
  4. Carilah nilai x yang memenuhi  x\: +\: \left | x-3 \right |\leq 3
  5. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan \left | x-1 \right |-2\left | x \right |>3  adalah ….
  6. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan \left | x-2 \right |^{2}>4\left | x-2 \right |+12
  7. Penyelesaian dari pertidaksamaan \left | \frac{5}{4x-3} \right |\leq 1 adalah ….
  8. Penyelesaian dari pertidaksamaan \left | \frac{2x-1}{x+5} \right |\leq 3

Sumber Referensi

  1. Enung, Untung. 2009. Mandiri Matematika SMAjilid 1 Untuk Kelas X. Jakarta: Erlangga.

0 thoughts on “Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

  1. Pak boleh tanya? materi ttng persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dan spltv tdk ada kaitan dgn persamaan linear dan pertidaksamaan kuadrat kan pak?boleh jelaskan ga pak apa aja indikator nya

    • Beberapa ada kaitannya. Misalkan materi persamaan linear diberikan sebelum pertidaksamaan. Efeknya materi yang pernah diberikan kalau ada hubungannya disinggungkan tujuan di antaranya mungkin biar ada kesinambungan.

      Berikut uraian yang saya adaptasi dari Silabus SMA yang berkaitan Persamaan linear dan kuadrat

      [latex]\begin{tabular}{|p{6.0cm}|p{3.0cm}|p{8.0cm}|}\hline Kompetensi&Materi Ajar&Indikator Pencapaian Kompetensi\\\hline Menyelesaikan persamaan linear dan sistem persamaan campuran linear dan kuadrat dalam dua variabel&Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat&Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel\\\cline{2-3} &Sistem persamaan linear dua variabel&Memberikan tafsiran geometri dari penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel\\\cline{3-3} &Sistem persamaan linear tiga variabel&Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel\\\cline{3-3} &&Mengerjakan soal dengan baik berkaitan dengan materi mengenai penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel dan sistem persamaan linear tiga variabel\\\cline{2-3} &Sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel&Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel\\\cline{2-3} &Sistem persamaan kuadrat (pengayaan)&Menentukan penyelesaian sistem persamaan kuadrat dua variabel\\\hline \end{tabular}[/latex].

      Berikut juga

      [latex]\begin{tabular}{|p{6.0cm}|p{3.0cm}|p{8.0cm}|}\hline Kompetensi&Materi Ajar&Indikator Pencapaian Kompetensi\\\hline Menyelesaikan pertidaksamaan satu variabel yang melibatkan bentuk pecahan aljabar&Pertidaksamaan linear&Menjelaskan sifat dan aturan yang digunakan dalam proses penyelesaian pertidaksamaan\\\cline{2-3} &Pertidaksa maan satu variabel berbentuk pecahan aljabar (pecahan bentuk linear dan kuadrat)&Menentukan penyelesaian pertidaksamaan satu variabel yang melibatkan bentuk pecahan aljabar (pecahan bentuk linear dan kuadrat)\\\cline{2-3} &Pertidaksa maan bentuk akar&\\ &Pertidaksa-maan bentuk nilai mutlak&Menentukan penyelesaian pertidaksamaan bentuk akar dan bentuk nilai mutlak\\\cline{2-3} &Pertidaksamaan linear&\\\cline{2-2} &Pertidaksa maan satu variabel berbentuk pecahan aljabar (pecahan bentuk linear dan kuadrat)&\\\cline{2-2} &Pertidaksamaan bentuk akar&\\\cline{2-2} &Pertidaksamaan bentuk nilai mutlak&\\\cline{2-2} &Penerapan konsep pertidaksamaan satu variabel dalam menyelesaikan masalah nyata&Mengerjakan soal dengan baik berkaitan dengan materi mengenai pertidaksa-maan linear, pertidak-samaan pecahan (pecahan bentuk linear dan kuadrat), pertidak-samaan bentuk akar, pertidaksamaan bentuk nilai mutlak, dan penerapan konsep pertidak-samaan satu variabel dalam menyelesaikan masalah nyata\\\hline \end{tabular}[/latex].

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *