Barisan Dan Deret

A. Pola Bilangan

Pola dalam matematika kaitannya dengan bilangan adalah suatu susunan bilangan dengan aturan tertentu.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Misalkan beberapa kelereng disusun  dan dikelompokkan dalam bentuk persegi sebagaimana berikut

64

kalau kita cermati maka kita dari kiri ke kanan masing-masing jumlah kelereng pada tiap kelompok berturut-turut adalah; 1, 4, 9, 16, 25.

sehingga kalau kita rinci

65

Dapatkah Anda menentukan kelompok ke-6, ke-7, ke-8, dan seterusnya?

Kalau kita amati dari kelompok 1, 2, 3, 4, sampai 5 ternyata membentuk pola banyak kelereng tertentu

 \begin{tabular}{|c|c|c|}\hline Kelompok&Banyak kelereng&pola\\\hline \boxed{k_{1}}&1&1=1x1\\\hline \boxed{k_{2}}&4&4=2x2\\\hline \boxed{k_{3}}&9&9=3x3\\\hline \boxed{k_{4}}&16&16=4x4\\\hline \boxed{k_{5}}&25&25=5x5\\\hline ... &...&...\\\hline \boxed{k_{n}}&?&?=nxn\\\hline \end{tabular}

dengan memperhatikan pola bilangan di atas kita akan dengan mudah menemukan jumlah kelereng kelompok 6 , yaitu jumlahnya akan sama dengan 6 x 6 = 36 demikian seterusnya.

B. Menemukan Pola Barisan dan Deret

Perhatikan bilangan berikut

\frac{1}{2}, \frac{1}{6},\frac{1}{12},\frac{1}{20},\frac{1}{30},...,\frac{1}{9900}

kalau kita tabelkan sebagaimana berikut

\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline Suku ke&Nilai&Pola\\\hline \boxed{u_{1}}&\boxed{\frac{1}{2}}&\boxed{\frac{1}{2}=\frac{1}{1\times 2}}\\\hline \boxed{u_{2}}&\boxed{\frac{1}{6}}&\boxed{\frac{1}{6}=\frac{1}{2\times 3}}\\\hline \boxed{u_{3}}&\boxed{\frac{1}{12}}&\boxed{\frac{1}{12}=\frac{1}{3\times 4}}\\\hline ...&...&...\\\hline \end{tabular}.

kita akan dengan mudah menentukan suku ke-n atau u_{n} , yaitu akan mengikuti pola u_{n}=\frac{1}{n\times (n+1)}. Sehingga kita tidak akan kesulitan apabila ingin mengetahui suku ke-2014, yaitu

u_{2014}=\frac{1}{2014\times (2015)}.

C. Barisan Aritmetika

Menurut definisi

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan di mana beda setiap suku yang berurutan akan sama.

Perhatikan untuk

jika u_{1}=au_{2}=a+b, maka u_{3}=a+b+b=a+2b dan untuk suku seterusnya akan selalu ditambahkan dengan beda ” b “. Sehingga

b=u_{2}-u_{1}=u_{3}-u_{2}=u_{4}-u_{3}=...=u_{n}-u_{n-1}. Selanjutnya suku-suku pada barisan aritmetika dapat kita tuliskan sebagai berikut:

\begin{matrix} u_{1} & = & a&\\ u_{2} & = & u_{1}&+&b&=&u_{1}&+&1.b\\ u_{3} & = & u_{2}&+&b&=&u_{1}&+&2.b\\ u_{4} & = & u_{3}&+&b&=&u_{1}&+&3.b\\ u_{5} & = & u_{4}&+&b&=&u_{1}&+&4.b\\ ... & = & ...\\ u_{n} & = & u_{1}&+&(n-1)b \end{matrix}

D. Deret Aritmetika

adalah apabila jika pada barisan aritmetika dijumlahkan atau dihubungkan dengan tanda jumlah

Perhatikanlah untuk deret aritmetika berikut

misalkan deret aritmetika dilambangkan dengan S_{n}
, maka

S_{n}=a+\left ( a+b \right )+\left ( a+2b \right )+\left ( a+3b \right )+...+\left ( a+(n-1)b \right )

dan

S_{n}=a+\left ( a+b \right )+\left ( a+2b \right )+\left ( a+3b \right )+...+\left ( a+(n-1)b \right )\\ S_{n}=\left ( a+(n-1)n \right )+...+\left ( a+3b \right )+\left ( a+2b \right )+\left ( a+b \right )+a

——————————————————   +

2S_{n}=2a+(n-1)b+2a+(n-1)b+...+2a+(n-1)b\\ 2S_{n}=n\left ( 2a+(n-1)b \right )\\ S_{n}=\frac{n}{2}\left ( 2a+(n-1)b \right )\\ S_{n}=\frac{n}{2}\left ( a+a+(n-1)b \right )\\ S_{n}=\frac{n}{2}\left ( u_{1}+u_{n} \right )

\LARGE\fbox{Contoh Soal}

1. Perhatikan susunan bilangan memiliki pola sebagai berikut

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\hline 1&3&7&15&...&... \\\hline \end{tabular}

maka tentukanlah titik-titik pada kotak ke-5 dan ke-6 adalah… .

Jawab:

dengan melihat polanya kita menemukan hubungan sebagai mana ilustrasi berikut

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\hline 1&3&7&15&...&... \\\hline 1&1+2=3&3+4=7&7+8=15&15+16=31&31+32=63\\\hline 1&3&7&15&31&63\\\hline \end{tabular}

ternyata suku setelahnya diperoleh dengan cara suku sebelumnya ditambah dengan  2^{n-1}.

Misalkan

u_{2}=u_{1}+2^{2-1}=1+2^{1}=1+2=3\\ u_{3}=u_{2}+2^{3-1}=3+2^{2}=3+4=7\\ u_{4}=u_{3}+2^{4-1}=7+2^{3}=7+8=15\\ ...\\ dst

2. Diketahui barisan aritmetika 1,2,3,4,5,…, maka besar suku ke-15 atau u_{15} adalah… .

Jawab:

Dari soal diketahui bahwa

\left\{\begin{matrix} u_{1} &= & 1,&u_{2}&=&2,&u_{3}&=&3,&dst\\ &&&\\ b & = &u_{2}-u_{1}&=&u_{3}-u_{2}=1 \\ & & \\ u_{n} & = & a&+&(n-1)b \end{matrix}\right.

sehingga

u_{15}=a+(15-1)b\: \: ,\: maka\\ u_{15}=1+14.1=15

3. Perhatikanlah barisan bilangan berikut

4, 1, -2, -5, -8, …, maka besar suku ke 15 adalah… .

Jawab:

\left\{\begin{matrix} u_{1} &=&4, &u_{2}&=&1,&u_{3}&=&-2\\ & & \\ b & = & u_{2}-u_{1}&=&u_{3}-u_{2}=-3\\ & & \\ u_{n} & = & a&+&(n-1)b \end{matrix}\right.

maka u_{15}=a+(15-1)b\\ u_{15}=4+(14).-3\\ u_{15}=-38

4. Tentukanlah jumlah deret aritmetika dari

1+2+3+4+5+...+2014

Jawab:

diketahui\\ n=2014\\ u_{1}=1,\: u_{2014}=2014\\ S_{2014}=\frac{1}{2}\left ( u_{1}+u_{2014} \right ).

Sehingga

S_{2014}=\frac{2014}{2}\left ( 1+2014 \right )=1007\times 2015

E. Induksi Matematika

Misalkan P(n)  adalah sebuah pernyataan yang akan dibuktikan kebenarannya untuk semua bilangan asli n,

  1. P(1) bernilai benar
  2. Jika P(n) benar, maka P(n+1) untuk semua n bilangan asli.
\LARGE\fbox{Contoh Soal}

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku

1+2+3+4+...+n=\frac{1}{2}\left ( n\times (n+1) \right )

Bukti:

Misalkan

P(n)=1+2+3+4+...+n=\frac{1}{2}\left ( n\times (n+1) \right )

Langkah pertama:

untuk n=1 , diperoleh 1=\frac{1}{2}\left ( 1\times (1+1) \right ) adalah benar, maka P(1) benar.

Langkah kedua:

Anggap P(n=k) benar, yakni

P(k)=1+2+3+4+...+k=\frac{1}{2}\left ( k\times (k+1) \right ).

Langkah ketiga:

Akan ditunjukkan P(n=k+1) benar, yaitu

1+2+3+4+...+k+(k+1)=\frac{(k+1)\times ((k+1)+1)}{2}.

Sebagai bukti:

1+2+3+4+...+k+(k+1)=\frac{k\times (k+1)}{2}+(k+1)\\ =(k+1)\left ( \frac{k}{2}+1 \right )\\ =\frac{1}{2}\left ( k+1 \right )\left ( k+1 \right )\\ =\frac{1}{2}\left ( k+1 \right )\left ( (k+1)+1 \right )

Karena p(k+1) terbukti, maka

terbukti bahwa

1+2+3+4+...+n=\frac{1}{2}\left ( n\times (n+1) \right ) berlaku untuk setiap bilangan asli  n.

\LARGE\fbox{Latihan Soal}

1. Carilah nilai titik-titik berikut berkaitan dengan pola bilangan

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline 1&1&2&3&5&8&...&...\\\hline \end{tabular}

2. Seutas pita dibagi 10 bagian dengan panjang yang membentuk deret aritmetika. Jika pita terpendek 20 cm dan yang terpanjang 155 cm, maka panjang pita semula adalah… .

3. Suku ke-2 dari suatu deret aritmetika adalah 5. Jika jumlah suku ke-4 dan ke-6 adalah 28, maka suku ke-9 adalah… .

4. Jika jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah S_{n}=2n^{2}+3n , maka beda deret tersebut adalah… .

5. Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk n bilangan asli berlaku

  • 1+2+3+4+...+n=\frac{1}{2}\left ( n^{2}+n \right )
  • 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+...+n^{2}=\frac{1}{6}\left ( 2n^{3}+3n^{2}+n \right )
  • 1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+...+n^{3}=\frac{1}{4}\left ( n^{4}+2n^{3}+n^{2} \right )
  • 1^{4}+2^{4}+3^{4}+4^{4}+...+n^{4}=\frac{1}{30}\left ( 6n^{5}+15n^{4}+10n^{3}-n \right )

Sumber Referensi

  1. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. 2013. Matematika Kelas X. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
  2. http://www.atilim.edu.tr/~abdullah/md200401.pdf

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *