Lanjutan Pembahasan UN Matematika IPA SMA/MA 2014 (2)

\boxed{21}. Seutas kawat dipotong menjadi lima bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. Panjang kawat terpendek 16 cm dan terpanjang 81 cm. Panjang kawat semual adalah ….

\begin{matrix} A. & 121\: cm\\ B. & 130\: cm\\ C. & 133\: cm\\ D. & 211\: cm\\ E. & 242\: cm\\ \end{matrix}.

Pembahasan:

Diketahui\: Barisan\: Geometri\: (BG)\: \left\{\begin{matrix} u_{1}=16 & \Rightarrow &a=16\\ & \\ u_{5}=81 & \Rightarrow &ar^{4}=81 \end{matrix}\right..

Maka nilai  r  adalah;

ar^{4}=81\\\\ 16\times r^{4}=81\\\\ \: \: r^{4}=\frac{81}{16}\\\\ \: \: r=\sqrt[4]{\frac{3^{4}}{2^{4}}}\\\\ \: \: r=\frac{3}{2}.

Ingat  Jika

\boxed{u_{p}=A,\: u_{q}=B,\:dengan\: \: p< q,\: \: maka\: \: r=\sqrt[q-p]{\frac{B}{A}}}.

Sehingga

S_{5}=\frac{a\left ( r^{5}-1 \right )}{r-1}\\\\ S_{5}=\frac{16\left ( \frac{3}{2}^{5}-1 \right )}{\frac{3}{2}-1}\\\\ S_{5}=32\left ( \frac{343}{32}-1 \right )\\\\ S_{5}=211.

\boxed{22}. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 9 cm. Jika titik T terletak pada pertengahan garis HF. Jarak titik A ke garis CT adalah ….

\begin{matrix} A. & 5\sqrt{3}\: cm\\\\ B. & 6\sqrt{2}\: cm\\\\ C. & 6\sqrt{3}\: cm\\\\ D. & 6\sqrt{6}\: cm\\\\ E. & 7\sqrt{3}\: cm \end{matrix}.

Pembahasan:

Fakta dari soal di atas dapat kita terjemahkan sebagai berikut

134

Sehingga panjang AT=\frac{9}{2}\sqrt{6}\: cm .

Jarak titik A ke garis CT kita misalkan AA’ dengan A’ terletak pada garis CT , maka

Luas_{\triangle ACT}=Luas_{\triangle ACT}\\\\ \frac{1}{2}\times alas\times tinggi=\frac{1}{2}\times alas\times tinggi\\\\ \frac{1}{2}\times AC\times TT'=\frac{1}{2}\times CT(alas)\times AA'\\\\ \not{9}\sqrt{2}\times 9=\frac{\not{9}}{2}\sqrt{6}\times AA'\\\\ AA'=\frac{9\times 2\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{3}}\\\\ AA'=6\sqrt{3}\: cm.

Jadi jarak titik A ke garis CT adalah  6\sqrt{3}\: cm.

\boxed{23}. Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah  \alpha  . Nilai  \sin \alpha = ….

\begin{matrix} A. & \frac{1}{2}\sqrt{2}\\\\ B. & \frac{1}{2}\sqrt{3}\\\\ C. & \frac{1}{3}\sqrt{3}\\\\ D. & \frac{2}{3}\sqrt{2}\\\\ E. & \frac{3}{4}\sqrt{3} \end{matrix}.

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi berikut

135

Dengan cara yang kurang lebih sama pada NO.22 diketahui AT=2\sqrt{6}\: cm.

Sehingga Nilai

\sin \alpha =\frac{ET}{AT}=\frac{\frac{1}{2}EG}{AT}=\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}.

\boxed{24}. Diberikan segi-4 ABCD seperti pada gambar.

136

Panjang  CD  adalah ….

\begin{matrix} A. & 6\sqrt{6}\: cm\\\\ B. & 13\: cm\\\\ C. & 12\: cm\\\\ D. & 2\sqrt{29}\: cm\\\\ E. & \sqrt{2}\: cm \end{matrix}.

Pembahasan:

Langkah awal kita tentukan panjang  BD , yaitu dengan menggunakan aturan Sinus untuk  \bigtriangleup ABD ,

ingat\\\\ \boxed{\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}}

maka

\boxed{\frac{BD}{\sin 45^{0}}=\frac{10}{\sin 30^{0}}=\frac{AB}{\sin \angle ADB}}

\Rightarrow \: \: BD=\frac{10}{\sin 30^{0}}\times \sin 45^{0}\\\\ \Rightarrow \: \: BD=\frac{10}{\frac{1}{2}}\times \frac{1}{2}\sqrt{2}\\\\ \Rightarrow \: \: BD=10\sqrt{2}.

Selanjutnya kita tentukan panjang  CD , dengan aturan cosinus

\begin{matrix} ingat\\ \\ a^{2}=b^{2}+c^{2}-bc\cos \angle A\\\\ b^{2}=a^{2}+c^{2}-ac\cos \angle B\\\\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-ab\cos \angle C \end{matrix}.

Untuk  \bigtriangleup CBD  , aturan cosinus untuk menentukan besar  CD  adalah

CD^{2}=BD^{2}+BC^{2}-2BD.BC.\cos \angle CBD\\\\ \Rightarrow \: \: CD^{2}=\left ( 10\sqrt{2} \right )^{2}+\left ( 14 \right )^{2}-2.10\sqrt{2}.14.\cos 45^{0}\\\\ \Rightarrow \: \: CD^{2}=200+196-280\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{2}\\\\ \Rightarrow \: \: CD^{2}=396-280\\\\ \Rightarrow \: \: CD^{2}=116\\\\ \Rightarrow \: \: CD=\sqrt{116}\\\\ \Rightarrow \: \: CD=2\sqrt{29}\: cm.

\boxed{25}. Himpunan penyelesaian persamaan  2\cos ^{2}x^{0}+5\cos x^{0}=3,\: \:\: 0\leq x\leq 360  adalah ….

\begin{matrix} A. & \left \{ 30,\: 60 \right \}\\\\ B. & \left \{ 30,\: 330 \right \}\\\\ C. & \left \{ 60,\: 120 \right \}\\\\ D. & \left \{ 60,\: 240 \right \}\\\\ E. & \left \{ 60,\: 300 \right \} \end{matrix}.

Pembahasan:

2\cos ^{2}x^{0}+5\cos x^{0}-3=0\\\\ \left ( \cos x^{0}+3 \right )\left ( 2\cos x^{0}-1\right )=0\\\\ \cos x^{0}+3=0\: \: atau\: \: \: 2\cos x^{0}-1=0\\\\ \cos x^{0}=-3\: \: (tidak memenuhi)\: \: atau\: \: \cos x^{0}=\frac{1}{2}\: \: (memenuhi)\\.

Sehingga  untuk yang memenuhi yaitu  \cos x^{0}=\frac{1}{2} , maka

\cos x^{0}=\frac{1}{2}\\\\ \Rightarrow \: \: \cos x^{0}=\cos 60^{0}\\\\ \Rightarrow \: \: x^{0}=\pm 60^{0}+k\times 360^{0}\\\\ \Rightarrow \: \: x^{0}=60^{0}+k\times 360^{0}\: \: atau\: \: x^{0}=-60^{0}+k\times 360^{0}\\ \bullet k=0\: \: \Rightarrow \: \: x^{0}=60^{0}\: \: atau\: \: x^{0}=-60^{0}\: \: (tm)\\\\ \bullet k=1\: \: \Rightarrow \: \: x^{0}=420^{0}\: \: (tm),\: \: atau\: \: x^{0}=300^{0}\: \: (mm)\\ \bullet k=2\: \: \Rightarrow \: \: semuanya\: \: \: (tm).

Jadi , Himpunan penyelesaiannya adalah  \left \{ 60^{0}, 300^{0} \right \}.

\boxed{26}. Nilai dari  \sin 75^{0}-\sin 15^{0}+\cos 45^{0} = ….

\begin{matrix} A. & \sqrt{3}\\\\ B. & \sqrt{2}\\\\ C. & \frac{1}{2}\sqrt{2}\\\\ D. & \frac{1}{3}\sqrt{2}\\\\ E. & 1 \end{matrix}.

Pembahasan:

Perhatikanlah tabel berikut

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \alpha ^{0}&0^{0}&15^{0}&30^{0}&45^{0}&60^{0}&75^{0}&90^{0}&180^{0}&270^{0}&360^{0}\\\hline \sin \alpha ^{0}&0&\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right )&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right )&1&0&-1&0\\\hline \cos \alpha ^{0}&1&\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right )&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right )&0&-1&0&1\\\hline \tan \alpha ^{0}&0&2-\sqrt{3}&\frac{1}{3}\sqrt{3}&1&\sqrt{3}&2+\sqrt{3}&TD&0&TD&0\\\hline \end{array}.

Sehingga

\sin 75^{0}-\sin 15^{0}+\cos 45^{0}=\\\\ =\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right )-\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right )+\frac{1}{2}\sqrt{2}\\\\ =\frac{1}{4}\sqrt{2}+\frac{1}{4}\sqrt{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2}\\\\ =\sqrt{2}.

\boxed{27}. Nilai dari  \lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{81x^{2}-10x+3} -9x+1\right )  = ….

\begin{matrix} A. & \frac{4}{9}\\\\ B. & \frac{2}{3}\\\\ C. & 1\\\\ D. & \frac{5}{3}\\\\ E. & \frac{5}{2} \end{matrix}.

Pembahasan:

\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{81x^{2}-10x+3}-9x+1 \right )\\\\ =\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{81x^{2}-10x+3}-\left ( 9x-1 \right ) \right )\\\\ =\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{81x^{2}-10x+3}-\sqrt{81x^{2}-18x+1} \right )\\\\ =\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{81x^{2}-10x+3}-\sqrt{81x^{2}-18x+1} \right )\left ( \frac{\sqrt{81x^{2}-10x+3}+\sqrt{81x^{2}-18x+1}}{\sqrt{81x^{2}-10x+3}+\sqrt{81x^{2}-18x+1}} \right )\\\\ =\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{-10x+3+18x-1}{\sqrt{81x^{2}-10x+3}+\sqrt{81x^{2}-18x+1}}\\\\ =\frac{-10+18}{9+9}\\\\=\frac{4}{9}.

Kita juga dapat menggunakan rumus singkat berikut:

\boxed{ \lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{ax^{2}+bx+c}-\sqrt{px^{2}+qx+r} \right )=\left\{\begin{matrix} \infty & jika & a> p\\\\ \frac{b-q}{2\sqrt{a}} & jika & a=p\\\\ -\: \infty & jika & a< p \end{matrix}\right.}.

\boxed{28}. Nilai  \lim_{x\rightarrow 0}\frac{4x\cos x}{\sin x+\sin 3x}  = ….

\begin{matrix} A. & 4\\\\ B. & 3\\\\ C. & \frac{4}{3}\\\\ D. & 1\\\\ E. & \frac{3}{4} \end{matrix}.

Pembahasan:

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{4x\cos x}{\sin x+\sin 3x}\\\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{4x\cos x}{2\sin \frac{1}{2}\left ( x+3x \right )\cos \frac{1}{2}\left ( x-3x \right )}\\\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x\cos x}{\sin 2x.\cos x}\\\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x}{\sin 2x}\\\\ =1.

\boxed{29}. Diketahui fungsi  g\left ( x \right )=\frac{1}{3}x^{3}-A^{2}x+7,\: \: A\: konstanta . Jika  f\left ( x \right )=g\left ( 2x+1 \right )   dan  f  turun pada  -\frac{3}{2}\leq x\leq \frac{1}{2} , nilai relatif  g   adalah ….

\begin{matrix} A. & \frac{4}{3}\\\\ B. & \frac{5}{3}\\\\ C. & 2\\\\ D. & \frac{7}{3}\\\\ E. & \frac{8}{3} \end{matrix}.

Pembahasan:

g\left ( x \right )=\frac{1}{3}x^{3}-A^{2}x+7\\\\ g\left ( 2x+1 \right )=\frac{1}{3}\left ( 2x+1 \right )^{3}-A^{2}\left ( 2x+1 \right )+7=f\left ( x \right )\\\\ f\left ( x \right )=\frac{8}{3}x^{3}+4x^{2}+\left ( 2-2A^{2} \right )x-A^{2}+7\frac{1}{3}\\\\ untuk\: \: f\: \: turun\: \: \Rightarrow \: \: f'\left ( x \right )=8x^{2}+8x+\left ( 2-2A^{2} \right ).

Artinya akar-akar dari persamaan  f'\left ( x \right ) adalah  di  x_{1}=-\frac{3}{2}  dan  di  x_{2}=\frac{1}{2} .

Selanjutnya

x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}\\ \Rightarrow \: \: \: \left ( -\frac{3}{2} \right ).\left ( \frac{1}{2} \right )=\frac{2-2A^{2}}{8}\\ \Rightarrow \: \: \: -3=1-A^{2}\\ \Rightarrow \: \: \: A^{2}=4.

Sehingga  persamaan  g\left ( x \right ) -nya adalah  g\left ( x \right )=\frac{1}{3}x^{3}-4x+7.

Untuk mencari nilai minimum relatif  g  , cukup kita turunkan 2 kali fungsi  g  tersebut kemudian kita uji dengan  harga  x  yang kita peroleh saat turunan pertama  fungsi  g sama dengan nol.

g\left ( x \right )=\frac{1}{3}x^{3}-4x+7\\\\ g'\left ( x \right )=x^{2}-4\: \: \: dan\: \: g''\left ( x \right )=2x\\\\ dan\: \:untuk\: \: g'\left (x \right )=x^{2}-4=0\\\\ x=\left | 2 \right |=\pm \: 2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=2 & , & g''\left ( 2 \right )=2.2=4> 0&,&saat&minimum&relatif&fungsi&g\\ & & \\ x=-2 & , & g''\left ( -2 \right )=2.(-2)=-4< 0&,&saat&maksimum&relatif&fungsi&g \end{matrix}\right..

Sehingga nilai minimum relatif fungsi g  adalah saat  x=2 , yaitu

g\left ( 2 \right )=\frac{1}{3}\left ( 2 \right )^{3}-4\left ( 2 \right )+7=\frac{8}{3}-1=\frac{5}{3}.

\boxed{30}. Hasil  \int \frac{x^{2}+2}{\sqrt{x^{3}+6x+1}}\: dx  = ….

\begin{matrix} A. & \frac{1}{3}\sqrt{x^{3}+6x+1}+C\\\\ B. & \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}+6x+1}+C\\\\ C. & \sqrt{x^{3}+6x+1}+C\\\\ D. & 2\sqrt{x^{3}+6x+1}+C\\\\ E. & 3\sqrt{x^{3}+6x+1}+C \end{matrix}.

Pembahasan:

Misalkan

u=x^{3}+6x+1\\ du=\left ( 3x^{2}+6 \right )\: \: dx\\ \frac{1}{3}du=\left ( x^{2}+2 \right )\: \: dx.

Selanjutnya

\int \frac{x^{2}+2}{\sqrt{x^{3}+6x+1}}\: dx=\int \frac{1}{\sqrt{x^{3}+6x+1}}\left ( x^{2}+2 \right )\: dx\\\\ =\int \frac{1}{\sqrt{u}}.\: \frac{1}{3}du\\\\ =\frac{1}{3}\int u^{-\frac{1}{2}}\: du\\\\ =\frac{1}{3}\left ( \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right )+C\\\\ =\frac{2}{3}.\sqrt{u}+C \\\\=\frac{2}{3}\sqrt{x^{3}+6x+1}+C.

\boxed{31}. Hasil  \int_{-1}^{2}\left ( x^{3}+3x^{2}+4x+5 \right )\: dx  = ….

\begin{matrix} A. & 34\frac{1}{4}\\\\ B. & 33\frac{3}{4}\\\\ C. & 32\frac{1}{4}\\\\ D. & 31\frac{3}{4}\\\\ E. & 23\frac{3}{4} \end{matrix}.

Pembahasan:

\int_{-1}^{2}\left ( x^{3}+3x^{2}+4x+5 \right )\: dx=\frac{x^{4}}{4}+x^{3}+2x^{2}+5x\: |_{-1}^{2}\\\\ =\frac{2^{4}}{4}+2^{3}+2.2^{2}+5.2\: -\left ( \frac{\left ( -1 \right )^{4}}{4}+\left ( -1 \right )^{3}+2.\left ( -1 \right )^{2}+5\left ( -1 \right ) \right )\\\\ =33\frac{3}{4}.

\boxed{32}. Nilai dari  \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left ( \sin 2x\cos 2x \right )\: dx  = ….

\begin{matrix} A. & -\frac{1}{2}\\\\ B. & -\frac{1}{4}\\\\ C. & 0\\\\ D. & \frac{1}{4}\\\\ E. & \frac{1}{2} \end{matrix}.

Pembahasan:

Diketahui  \frac{\sin 2x}{2}=\sin x\cos x, maka

\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left ( \sin 2x\cos 2x \right )\: dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left ( \frac{\sin 4x}{2} \right )\: dx\\\\ =\frac{1}{2}.\frac{1}{4}\left ( -\cos 4x \right )\: |_{0}^{\frac{\pi }{2}}\\\\ =-\frac{1}{8}\left ( \cos 4x \right )\:|_{0}^{\frac{\pi }{2}}\\\\ =\left (-\frac{1}{8}\cos 2\pi \right )-\left ( -\frac{1}{8}\cos 0 \right )\\\\ =\left ( -\frac{1}{8} \right )-\left ( -\frac{1}{8} \right )\\\\ =0.

\boxed{33}. Hasil  \int \left ( \sin ^{2}5x\cos 5x \right )\: dx  = ….

\begin{matrix} A. & \frac{1}{3}\sin ^{3}5x+C\\\\ B. & \frac{1}{3}\cos ^{3}5x+C\\\\ C. & \frac{1}{10}\sin ^{3}5x+C\\\\ D. & \frac{1}{15}\cos ^{3}5x+C\\\\ E. & \frac{1}{15} \end{matrix}.

Pembahasan:

Misalkan

u=\sin 5x\\ du=\cos 5x.5\: dx\\ \frac{1}{5}du=\cos 5x\: dx.

Selanjutnya

\int \left ( \sin ^{2}5x\cos 5x \right )\: dx=\int u^{2}.\: \frac{1}{5}du\\\\ =\frac{1}{5}\int u^{2}\: du\\\\ =\frac{1}{5}.\frac{1}{3}u^{3}+C\\\\ =\frac{1}{15}u^{3}+C\\\\ =\frac{1}{15}\sin ^{3}5x+C.

\boxed{34}. Luas daerah yang diarsir pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus

137

\begin{matrix} A. & \int_{0}^{4}4x\: dx & - & \int_{2}^{4}\left ( 2x-4 \right )\: dx\\\\ B. & \int_{0}^{4}4x\: dx & - & \int_{2}^{4}\left ( 2x+4 \right )\: dx\\\\ C. & \int_{0}^{4}2\sqrt{2}\: dx & - & \int_{2}^{4}\left ( 2x-4 \right )\: dx\\\\ D. & \int_{0}^{4}2\sqrt{2}\: dx & - & \int_{2}^{4}\left ( 4-2x \right )\: dx\\\\ E. & \int_{0}^{4}2\sqrt{x}\: dx & - & \int_{2}^{4}\left ( 4+2x \right )\: dx \end{matrix}.

Pembahasan:

Luas_{arsiran}=\int_{0}^{4}y_{1}\: dx-\int_{2}^{4}y_{2}\: dx\\\\ \Leftrightarrow \: \: Luas_{arsiran}=\int_{0}^{4}\sqrt{4x}\: dx-\int_{2}^{4}\left ( 2x-4 \right )\: dx\\\\ \Leftrightarrow \: \: Luas_{arsiran}=\int_{0}^{4}2\sqrt{x}\: dx-\int_{2}^{4}\left ( 2x-4 \right )\: dx.

\boxed{35}. Volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang dikuadran I yang dibatasi oleh kurva  x=2\sqrt{3}\: y^{2}  , sumbu Y , dan lingkaran  x^{2}+y^{2}=1 , diputar mengelilingi sumbu Y adalah ….

\begin{matrix} A. & \frac{4}{60}\pi &satuan&volume \\\\ B. & \frac{17}{60}\pi &satuan&volume \\\\ C. & \frac{23}{60}\pi &satuan&volume \\\\ D. & \frac{44}{60}\pi &satuan&volume \\\\ E. & \frac{112}{60}\pi &satuan&volume \end{matrix}.

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi berikut

103

Volumenya jika diputar mengelilingi  Sumbu Y adalah

V=\pi \int_{0}^{\frac{1}{2}}x_{1}^{2}\: dy+\pi \int_{\frac{1}{2}}^{1}x_{2}^{2}\: dy\\\\ \Leftrightarrow \: \: V=\pi \int_{0}^{\frac{1}{2}}\left ( 2\sqrt{3}y^{2} \right )^{2}\: dy+\pi \int_{\frac{1}{2}}^{1}\left ( 1-y^{2} \right )\: dy\\\\ \Leftrightarrow \: \: V=\frac{12}{5}y^{5}\pi |_{0}^{\frac{1}{2}}+\left ( y-\frac{1}{3}y^{3} \right )\pi |_{\frac{1}{2}}^{1}\\\\ \Leftrightarrow \: \: V=\pi \left ( \frac{12}{5}\times \frac{1}{32}+\left ( 1-\frac{1}{3} \right )-\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{8} \right ) \right )\\\\ \Leftrightarrow \: \: V=\frac{17}{60}\pi.

\boxed{36}. Perhatikan histogram berikut!

138

Modus dari data pada histogram adalah ….

\begin{matrix} A. & 23,25\\\\ B. & 23,75\\\\ C. & 24,00\\\\ D. & 25,75\\\\ E. & 26,25 \end{matrix}.

Pembahasan:

Perhatikan

\begin{tabular}{||c||c||}\hline Interval&Frekuensi\\\hline 3-7&4\\\hline 8-12&6\\\hline 13-17&8\\\hline 18-22&10\\\hline 23-27&12\\\hline 28-32&6\\\hline 33-37&4\\\hline 38-42&2\\\hline \end{tabular}.

Modus dari data tersebut di atas adalah

M_{o}=t_{b}+p\left ( \frac{d_{1}}{d_{1}+d_{2}} \right )\\\\ \Leftrightarrow \: \: M_{o}=22,5+5\left ( \frac{2}{2+6} \right )\\\\ \Leftrightarrow \: \: M_{o}=22,5+5\left ( \frac{1}{4}\right )\\\\ \Leftrightarrow \: \: M_{0}=22,5+1,25\\\\ \Leftrightarrow \: \: M_{o}=23,75.

Penjelasan:

\boxed{M_{o}=t_{b}+p\left ( \frac{d_{1}}{d_{1}+d_{2}} \right )}

\begin{tabular}{|c|p{6.0cm}|}\hline Nama\: Istilah&Keterangan\\\hline \boxed{t_{p}}&tepi bawah kelas modus\\\hline p&panjang interval kelas\\\hline \boxed{f_{o}}&frekuensi kelas modus\\\hline \boxed{f_{-1}}&frekuensi sebelum kels modus\\\hline \boxed{f_{+1}}&frekuensi sesudah kelas modus\\\hline \boxed{d_{1}}&\boxed{f_{0}-f_{-1}}\\\hline \boxed{d_{2}}&\boxed{f_{0}-f_{+1}}\\\hline \end{tabular}.

\boxed{37}. Kuartil atas dari data pada tabel berikut adalah ….

\begin{tabular}{|c|c|}\hline Data&Frekuensi\\\hline 20-25&4\\ 26-31&6\\ 32-37&6\\ 38-43&10\\ 44-49&12\\ 50-55&8\\ 56-61&4\\\hline \end{tabular}.

\begin{matrix} A. & 49,25\\\\ B. & 48,75\\\\ C. & 48,25\\\\ D. & 47,75\\\\ E. & 47,25 \end{matrix}.

Pembahasan:

Perhatikan kembali tabel berikut

\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline Data&Frekuensi&Frek.kum\: kurang\: dari\\\hline 20-25&4&4\\\hline 26-31&6&10\\\hline 32-37&6&16\\\hline 38-43&10&26\\\hline 44-49&12&38\\\hline 50-55&8&46\\\hline 56-61&4&50\\\hline \end{tabular}.

Q_{i}=t_{b}+p\left ( \frac{\frac{i}{4}n-\sum f_{i}}{f_{q}} \right )\\\\ \Leftrightarrow \: \: Q_{3}=43,5+6\left ( \frac{\frac{3}{4}\times 50-26}{12}\right)\\\\ \Leftrightarrow \: \: Q_{3}=43,5+\frac{11,5}{2}\\\\ \Leftrightarrow \: \: Q_{3}=43,5+5,75\\\\ \Leftrightarrow \: \: Q_{3}=49,25.

Penjelasan:

\boxed{Q_{i}=t_{p}+p\left ( \frac{\frac{i}{4}\times n-\sum f_{i}}{f_{q}} \right )}.

\begin{tabular}{|c|p{9,0cm}|}\hline Nama\: Istilah&Keterangan\\\hline \boxed{t_{p}}&tepi bawah kuartil ke-i\\\hline p&panjang interval kelas\\\hline n&banyaknya data\\\hline \boxed{\sum f_{i}}&jumlah semua frekuensi sebelum kelas kuartil ke-i\\\hline \boxed{f_{q}}&frekuensi kelas kuartil ke-i\\\hline \boxed{Q_{1}}&kuartil ke-i\\\hline \boxed{Q_{1}}&kuartil bawah\\\hline \boxed{Q_{2}}&Kuartil tengah=median\\\hline \boxed{Q_{3}}&kuartil atas\\\hline \end{tabular}.

\boxed{38}. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 akan disusun bilangan yang terdiri dari empat angka yang berbeda. Banyaknya bilangan yang lebih dari 3.000 adalah ….

\begin{matrix} A. & 120\\\\ B. & 180\\\\ C. & 240\\\\ D. & 360\\\\ E. & 720 \end{matrix}.

Pembahasan:

\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline Patokan&diinginkan&Banyak\: kemungkinan\\\hline 3.000&\boxed{< }&4x5x4x3\\\hline 3.000&&240\\\hline \end{tabular}.

atau

\begin{tabular}{|c|p{12.0cm}|}\hline Patokan&Pengisiian\: Tempat\\\hline 3.000\: \boxed{< }&ada 4 kotak yang perlu diisi\\\hline &kotak pertama adalah ditempati angka ribuan. Tempat ribuan ini yang mungkin menempati adalah salah satu dari bilangan 3, 4, 5 atau 6. Sehingga tempat rinuan yang akan menempati ada 4 kemungkinan. Tempat ratusan dapat ditempati semua bilangan baik 1, 2, 3, 4, 5 atau 6 tetapi salah satu dari bilangan tersebut telah ditempatkan di tempat ribuan. Sehingga tempat ratusan tinggal kemungkinan ada lima angka yang akan menempati . Sedangkan tempat puluhan tersisa 4 bilangan yang dapat digunakan dan tempat satuan tersisa 3 bilangan yang dapat diisikan ketempat tersebut\\\hline \end{tabular}.

\boxed{39}. Dari 7 orang finalis lomba menyanyi akan ditetapkan gelar juara I, II dan III. Banyak susunan gelar kejuaraan yang mungkin adalah ….

\begin{matrix} A. & 35\\\\ B. & 70\\\\ C. & 210\\\\ D. & 420\\\\ E. & 840 \end{matrix}.

Pembahasan:

Kita dapat mengerjakan langsung seperti No.38  yaitu 7 x 6 x 5 = 210 susunan atau menggunakan permutasi (karena susunan jelas ditentukan dan penting).

Kalau kita menggunakan permutasi , maka

P_{3}^{7}=P_{(7,3)}=\frac{7!}{(7-3)!}=\frac{7!}{4!}=\frac{7\times 6\times 5\times \not{4!}}{\not{4!}}=210.

\boxed{40}. Dua buah dadu dilambungkan bersama-sama satu kali. Peluang muncul jumlah mata dadu genap atau jumlah mata dadu lima adalah ….

\begin{matrix} A. & \frac{1}{9}\\\\ B. & \frac{7}{18}\\\\ C. & \frac{1}{2}\\\\ D. & \frac{5}{9}\\\\ E. & \frac{11}{18} \end{matrix}.

Pembahasan:

Perhatikanlah tabel berikut

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &1&2&3&4&5&6\\\hline 1&(1,1)&(1,2)&(1,3)&(1,4)&(1,5)&(1,6)\\\hline 2&(2,1)&(2,2)&(2,3)&(2,4)&(2,5)&(2,6)\\\hline 3&(3,1)&(3,2)&(3,3)&(3,4)&(3,5)&(3,6)\\\hline 4&(4,1)&(4,2)&(4,3)&(4,4)&(4,5)&(4,6)\\\hline 5&(5,1)&(5,2)&(5,3)&(5,4)&(5,5)&(5,6)\\\hline 6&(6,1)&(6,2)&(6,3)&(6,4)&(6,5)&(6,6)\\\hline \end{tabular}.

Kalau kita sederhanakan jika 2 dadu dilempar/undi adalah

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Mata\: dadu&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\hline Jumlah(36)&0&1&2&3&4&5&6&5&4&3&2&1\\\hline \end{tabular}.

Sehingga jumlah mata dadu genap ada (yang selanjutnya kita sebut sebagai reprentasi himpunan A)

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Mata\: dadu\: genap&&2&&4&&6&&8&&10&&12&Jumlah\\\hline S=Jumlah(36)&&1&&3&&5&&5&&3&&1&18\\\hline \end{tabular}.

Dan jumlah mata dadu 5 ada sebanyak (yang selanjutnya kita sebut sebagai reprentasi himpunan B)

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Mata\: dadu\: semuanya&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&Jumlah\\\hline S=Jumlah(36)&&&&&4&&&&&&&&4\\\hline \end{tabular}.

Jadi peluang muncul mata jumlah mata dadu genap atau jumlah mata dadu 5 adalah

P\left ( A\cup B \right )=P\left ( A \right )+P\left ( B \right )=\frac{n\left ( A \right )}{n\left ( S \right )}+\frac{n\left ( B \right )}{n\left ( S \right )}=\frac{18}{36}+\frac{4}{36}=\frac{22}{36}=\frac{11}{18}.

 

Mohon maaf apa bila terdapat banyak kekurangan dan ataupun kesalahan

Salam sukses untuk kita semua.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *