Contoh Soal Matriks

1. Jika diketahui matriks  A=\begin{pmatrix} -2\\ -3 \end{pmatrix}\: ,\: B=\begin{pmatrix} -1\\ 4 \end{pmatrix}\: ,\: C=\begin{pmatrix} 5\\ -2 \end{pmatrix},  tentukanlah

\begin{matrix} a. & A & + & B \\ b. & B & + & A \\ c. & B & - & C \\ d. & C & - & B \\ e.&(A+B)&+&C\\ f.&A&+&(B+C)\\ g.&(B-C)&-&A\\ h.&B&-&(A-C) \end{matrix}

Jawab:

a. A+B=\begin{pmatrix} -2\\ -3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2+-1\\ -3+4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\ 1 \end{pmatrix}.

b. B+A=\begin{pmatrix} -\\ 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\\ -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1+-2\\ 4+-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\ 1 \end{pmatrix}.

c. B-C=\begin{pmatrix} -1\\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5\\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1-5\\ 4--2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6\\ 6 \end{pmatrix}.

d. C-B=\begin{pmatrix} 5\\ -2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -1\\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5--1\\ -2-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6\\ -6 \end{pmatrix}

d, e, f, g, h sebagai latihan.

2. Diketahui  A=\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 3 & -1\\ 1 & 5 \end{pmatrix}\: ,\: B=\begin{pmatrix} 4 & 8\\ 3 & 2\\ -3 & 4 \end{pmatrix}\: ,\: C=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ -3 & 4\\ 5 & 1 \end{pmatrix}\: ,\: dan\: D=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4\\ -2 & 7 & 5 \end{pmatrix}. Tentukanlah matrik yang diwakili oleh

\begin{matrix} a.&A &+&B \\ b. &A^{t}&+&B^{t} \\ c. &B&-&C \\ d. &B&+&D^{t} \\ e. &C^{t}&+&D \\ f. &(A+B)^{t} \end{matrix}

Jawab:

a. A+B=\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 3 & -1\\ 1 & 5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 & 8\\ 3 & 2\\ -3 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2+4 & 4+8\\ 3+3 & -1+2\\ 1+(-3) &5+4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 & 12\\ 6 & 1\\ -2 & 9 \end{pmatrix}.

b. A^{t}+B^{t}=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\ 4 & -1 & 5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 & 3 & -3\\ 8 & 2 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2+4 & 3+3 & 1+(-3)\\ 4+8 & (-1)+2 & 5+4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 & 6 & -2\\ 12 & 1 & 9 \end{pmatrix}.

c. B-C=\begin{pmatrix} 4 & 8\\ 3 & 2\\ -3 & 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 2\\ -3 & 4\\ 5 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4-1 & 8-2\\ 3--3 & 2-4\\ -3-5 & 4-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 6\\ 6 & -2\\ -8 & 3 \end{pmatrix}.

d,e, dan f sebagai latihan.

3. Jika  A=\begin{pmatrix} -1 & 3\\ -3 & 1 \end{pmatrix}\: \: dan\: \: B=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 3 & 2 \end{pmatrix} , maka tentukanlaj

\begin{matrix} a. & A^{2} \\ b. & B^{2} \\ c. & \left ( AB \right )^{2} \\ d. & A^{2}.B^{2} \\ e. & \left ( A-B \right )\left ( A+B \right ) \\ f. & \left ( A^{2}-B^{2} \right ) & & \\ g. & Apakah &\left ( AB \right )^{2}=A^{2}.B^{2} \\ &dan& \left ( A^{2}-B^{2} \right )=\left ( A-B \right )\left ( A+B \right ) \end{matrix}

Jawab:

a. A^{2}=\begin{pmatrix} -1 & 3\\ -3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 3\\ -3 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1-9 & -3+3\\ 3-3 & -9+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -8 & 0\\ 0 & -8 \end{pmatrix}

b. B^{2}=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 3 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1-3 & -1-2\\ 3+6 & -3+4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & -3\\ 9 & 1 \end{pmatrix}

c. AB=\begin{pmatrix} -1 & 3\\ -3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 3 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1+9 & 1+6\\ -3+3 & 3+2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 & 7\\ 0 & 6 \end{pmatrix}

d. \left ( AB \right )^{2}=\begin{pmatrix} 8 & 7\\ 0 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 8 & 7\\ 0 & 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 64+0 & 56+42\\ 0+0 & 0+36 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 64 & 98\\ 0 & 36 \end{pmatrix}

untuk e, f, dan g sebagai latihan

4. Tentukan nilai x dan y jika \begin{pmatrix} 6 & 5\\ 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\ 1 \end{pmatrix}

Jawab:

misalkan A=\begin{pmatrix} 6 & 5\\ 3 & 2 \end{pmatrix}\: ,\: X=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\: ,dan\: B=\begin{pmatrix} 4\\ 1 \end{pmatrix}

\boxed{AX=B}\: \: \Rightarrow \: \: \boxed{X=A^{-1}B}

\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\frac{1}{\begin{vmatrix} 6 & 5\\ 3 & 2 \end{vmatrix}}.\begin{pmatrix} 2 & -5\\ -3 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4\\ 1 \end{pmatrix}=\frac{1}{12-15}\begin{pmatrix} 8-5\\ -12+6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3}{-3}\\ \frac{-6}{-3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}.

Jadi, x = -1 dan y = 2

5. Hasil kali akar-akar persamaan \begin{vmatrix} 3x-1 & 3\\ x+1 & x+2 \end{vmatrix}=0 adalah… .

Jawab:

\begin{vmatrix} 3x-1 & 3\\ x+1 & x+2 \end{vmatrix}=\left ( 3x-1 \right )\left ( x+2 \right )-3\left ( x+1 \right )=3x^{2}+6x-x-2-3x-3=3x^{2}+2x-5=0.

maka  3x^{2}+2x-5=0\:\left\{\begin{matrix} a & = & 3\\ b & = & 2\\ c & = & -5 \end{matrix}\right.

Sehingga hasil kali akar-akarnya adalah   x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{-5}{3}

6. Jika A=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 6\\ 8 & 3 & 9\\ 4 & 1 & 7 \end{pmatrix} , maka determinan A  adalah… .

Jawab:

det A = \begin{vmatrix} 5 & 2 & 6\\ 8 & 3 & 9\\ 4 & 1 & 7 \end{vmatrix}=5.3.7+2.9.4+6.1.8-4.3.6-1.9.5-7.8.2=225-229=-4.

7. Diketahui f(x)=x^{2}-2x\: \: dan\: \: A=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 3 & 2 \end{pmatrix}.\: \: Nilai \: f(A)\: adalah... .

Jawab:

F(A)=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 3 & 2 \end{pmatrix}^{2}-2\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 3 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 9 & 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 6 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 3 & 0 \end{pmatrix}

8. Jika matriks A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 5\\ 4 & 6 & x\\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} adalah matriks singular, maka nilai x adalah… .

Jawab:

Karena A matriks singular, maka det A = 0.

Sehingga untuk \begin{vmatrix} 2 &3 & 5\\ 4 & 6 & x\\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix}=7x-70=0\: \: \Rightarrow \: \: x=10

9. Jika x memnuhi persamaan

\begin{pmatrix} ^x\log a & \log \left ( 2a-6 \right )\\ \log \left ( b-2 \right ) & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \log b & 1\\ \log a & 1 \end{pmatrix},

maka nilai x adalah… .

Jawab:

Dari soal kita mendapatkan bahwa untuk kesamaan matriks di atas terdapat

\left\{\begin{matrix} ^x\log a & = & \log b \\ \log \left ( 2a-6 \right ) & = & 1 \\ \log \left ( b-2 \right ) & = & \log a \end{matrix}\right.

  • \log \left ( 2a-b \right )=\log 10\: \: \Rightarrow 2a-6=10\: \: \Rightarrow \: \: a=8
  • \log \left ( b-2 \right )=\log a\: \: \Rightarrow \: \: b-2=a=8\: \: \Rightarrow \: \: b=10
  • ^x\log a=\log b\: \: \Rightarrow \: \: ^x\log 8=\log 10=1\: \: \Rightarrow \: \: x^{1}=8\: \:\Rightarrow \: \: x=8

Jadi, nilai x = 8.

10. Tentukan determinan dari

\begin{pmatrix} a & b & c\\ c & a &b \\ b & c & a \end{pmatrix}

Jawab:

\begin{vmatrix} a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{vmatrix}=a^{3}+b^{3}+c^{3}-abc-abc-abc.

sehingga

\begin{vmatrix} a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{vmatrix}=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc

11. Buktikan bahwa

\begin{vmatrix} a+b & c & c\\ a& b+c & a\\ b & b & c+a \end{vmatrix}=4abc

Bukti

\begin{vmatrix} a+b & c & c\\ a & b+c & a\\ b & b & c+a \end{vmatrix}=\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )+abc+abc-bc\left ( b+c \right )-ab\left ( a+b \right )-ac\left ( a+c \right ).

\begin{vmatrix} a+b & c & c\\ a & b+c & a\\ b & b & c+a \end{vmatrix}=abc+a^{2}b+ac^{2}+a^{2}c+b^{2}c+ab^{2}+bc^{2}+abc+abc+abc-bc\left ( b+c \right )-ab\left ( a+b \right )-ac\left ( a+c \right )=4abc.  terbukti

12. Tentukan determinan dari matriks

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ a & b & c\\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \end{pmatrix}

Jawab:

perhatikanlah kembali soal no.10) apa bila saat \left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right ), kita medapatkan

\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right )=abc+a^{2}c+ab^{2}+bc^{2}-a^{2}b-b^{2}c-ac^{2}-abc.

untuk

\begin{vmatrix} 1 & 1 &1 \\ a & b & c\\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \end{vmatrix}=bc^{2}+a^{2}c+ab^{2}-a^{2}b-b^{2}c-ac^{2}=\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right ).

13. Jika

\begin{pmatrix} 3 & 3 & x\\ -2 & -3 & -3\\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix}^{2013}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

maka nilai x adalah… .

Jawab:

diketahui   \begin{pmatrix} 3 & 3 & x\\ -2 & -3 & -3\\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix}^{2013}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

determinankan kedua ruas sehingga didapat

\begin{vmatrix} 3 & 3 & x\\ -2 & -3 & -3\\ -1 & -2 & 0 \end{vmatrix}^{2013}=0.

\begin{vmatrix} 3 & 3 & x\\ -2 & -3 & -3\\ -1 & -2 & 0 \end{vmatrix}=\sqrt[2013]{0}=0.

0+9+4x-3x-18+0=0\: \: \Rightarrow \: \: x-9=0\: \: \Rightarrow \: \: x=9.

jadi, nilai x adalah 9.

14. Carilah penyelesaian dari sistem persamaan linier di bawah ini dengan menggunakan metode determinan

\left\{\begin{matrix} 2x & + & 3y & - & z & =&11\\ x & + & 2y & + & z &=&3 \\ 3x & - & y & + & 2z & =&4 \end{matrix}\right.

Jawab:

kita mencari nilai x, y, dan z dengan x=\frac{D_{x}}{D}\: ,\: \: y=\frac{D_{y}}{D}\: ,dan\: \: z=\frac{D_{z}}{D}

serta nilai

D=\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1\\ 1 & 2 & 1\\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix}=8+9+1-(-6)-(-2)-6=20.

D_{x}=\begin{vmatrix} 11 & 3 & -1\\ 3 & 2 & 1\\ 4 & -1 & 2 \end{vmatrix}=44+12+3-(-8)-(-11)-18=60.

D_{y}=\begin{vmatrix} 2 & 11 & -1\\ 1 & 3 & 1\\ 3 & 4 & 2 \end{vmatrix}=12+33+(-4)-(-9)-8-22=20.

D_{z}=\begin{vmatrix} 2 & 3 & 11\\ 1 & 2 & 3\\ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix}=16+27+(-11)-66-(-6)-12=-40.

Sehingga

\left\{\begin{matrix} x & = & \frac{D_{x}}{D} & =\frac{60}{20}=3\\ y & = & \frac{D_{y}}{D} & =\frac{20}{20}=1\\ z & = & \frac{D_{z}}{D} & =\frac{-40}{20}=-2 \end{matrix}\right.

Jadi, penyelesaian untuk SPLTV tersebut di atas adalah x = 3 , y = 1 , dan z = -2.

Sumber Referensi

  1. Johanes, Kastolan, Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika 3A SMA Kelas XII Program IPA Semester Pertama. Jakarta: Yudistira.
  2. Tung, Khoe Yao. 2012. Pintar Matematika SMA Kelas XII IPA Untuk Olimpiade dan Pengayaan Pelajaran. Yogyakarta: ANDI.

Internet

  1. http://math.sun.ac.za/~swagner/TMO/CompleteSolutions2013.pdf

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *