Ruang Dimensi Tiga

A. Unsur-Unsur dalam Ruang

Perhatikan ilustrasi gambar berikut

173

Ada garis horizontal, ada garis tegak dan sebagainya , selanjutnya ada beberapa hal yang perlu diketahui berkaitan dengan materi Ruang Dimensi Tiga ini, yaitu:

\color{blue}\begin{array}{|l|l|l|l|}\hline \textrm{No}&\textrm{Nama}&\textrm{Penjelasan}&\textrm{Contoh}\\\hline 1&\textrm{Titik}&\textrm{Titik tidak memiliki dimendi/ukuran. }&\textrm{Kalau pada kubus} \\ &&\textrm{Biasanya digambarkan dengan noktah }&\textrm{ABCD}\\ &&\textrm{dan dituliskan dengan huruf kapital}&\textrm{di atas adalah titik}\\ &&&\textrm{A, B, C, D, E,}\\ &&& \textrm{F, G, dan H}.\\\hline 2&\textrm{Garis}&\textrm{Pada bahasan ini maksudnya adalah}&\textrm{Misalkan garis}\\ &&\textrm{garis lurus}&\textrm{warna ungu}\\ && \textrm{Garis adalah kumpulan titik-titk}&\textrm{yang melalui titik }.\\ && \textrm{Suatu garis dapat diperpanjang}&\textrm{A dan titik G}\\ && \textrm{sekehendak kita dan dituliskan }&\\ &&\textrm{dengan namanya}&\\ && \textrm{saja yaitu dengan sebuah huruf kecil}&\\\hline 3&\textrm{Bidang}&\textrm{Sebuah bidang memiliki luas yang}.&\textrm{Dapat juga diberi }\\ && \textrm{tak berhingga}&\textrm{nama dari}\\ && \textrm{Biasanya yang kita gambarkan hanya }&\textrm{Perhatikan bidang }\\ && \textrm{sebagiannya saja yang merupakan wakil }&\textrm{alas pada kubus }\\ &&\textrm{dari bidang dan sesuai}&\textrm{di atas yaitu bidang }\\ && \textrm{bahasan kita di sini adalah bidang datar}.&\textrm{yang diwakili oleh }\\ && \textrm{Dalam geometri sebuah bidang cukup } &\textrm{ABCD dan lain-lain}\\ &&\textrm{digambarkan wakilnya saja dan diberi}&\\ &&\textrm{nama}\: \alpha ,\beta ,\gamma \: \textrm{atau yang lainnya}& \\\hline \end{array}.

B. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang

\color{blue}\begin{array}{|l|l|l|}\hline \textrm{No}&\qquad\textrm{Kedudukan}&\qquad\quad\qquad\textrm{Penjelasan}\\\hline 1&\textrm{Titik terhadap garis}& \textrm{Ada dua kemungkinan yaitu}: \\ &&\textrm{Titik pada garis(berimpit)} \\ &&\textrm{dan kemungkinan yang lain titik di luar garis}\\\hline 2&\textrm{Titik terhadap bidang}&\textrm{Kondisinya kurang lebih sama yaitu ada }\\ &&\textrm{dua kemungkinan:}\\ &&\textrm{Titik pada bidang(berimpit) atau }\\ &&\textrm{titik berada di luar bidang}\\\hline 3&\textrm{Garis terhadap garis}&\textrm{Ada empat, yaitu};\\ &&\textrm{Dua garis itu kondisinya sejajar, atau }\\ &&\textrm{saling berpotongan, bersilangan, atau berimpit} \\\hline 4&\textrm{Garis terhadap bidang}&\textrm{Ada tiga kemungkinan yaitu};\\ &&\textrm{Berimpit, sejajar atau menembus bidang} \\\hline 5&\textrm{Bidang terhadap}&\textrm{Ada tiga kemungkinan kalau tidak sejajar atau}\\ &\textrm{bidang}& \textrm{berpotongan atau mungkin juga berimpit} \\\hline \end{array}.

C. Proyeksi

Sebagai gambarannya adalah setiap objek di muka bumi pada saat tengah hari serta matahari tepat membentuk sudut  90^{0}  terhadap permukaan bumi akan mempunyai bayangan sebagaimana ilustrasi berikut ini

199

Pada bidang datar sebagaimana ilustrasi di atas proyeksi adalah bayangan yang terbentuk dari suatu bangun pada bidang datar dengan arah bayangan dengan bidang datar tersebut sebagai bidang proyeksi terbentuk sudut  90^{0}  jika dilukiskan.

Sebagai aplikasinya, perhatikanlah ilustrasi proyeksi titik pada garis, bidang dan proyeksi garis pada bidang berikut ini

C. 1. Proyeksi  titik pada garis

202

C.2.  Proyeksi  titik pada bidang

200

C.3. Proyeksi garis pada bidang

201

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{Contoh Soal}}.

Perhatikan ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut ini untuk menjawab soal no. 1 dan no. 2

188

1. Tentukanlah kedudukan dari :

\begin{array}{lllll}\\ &&&&\textrm{a}.\quad \textrm{Garis CF terhadap AH}\\ &&&&\textrm{b}.\quad \textrm{AG terhadap bidang CDHG}\\ &&&&\textrm{c}.\quad \textrm{Garis HC terhadap bidang ABFE}\\ &&&&\textrm{d}.\quad \textrm{Bidang ABCD terhadap bidang EFGH}\\ &&&&\textrm{e}.\quad \textrm{Bidang ACGE terhadap bidang BDHF}\\ &&&&\textrm{f}.\quad \textrm{Titik B terhadap bidang ABFE}\\ &&&&\textrm{g}.\quad \textrm{Titik A terhadap garis BD} \end{array}.

Sebagai kedudukannya, yaitu:

\begin{array}{lllll}\\ .&\textrm{a}.& \textrm{Garis CF terhadap AH, berarti kedua garis tersebut saling bersilangan}\\ &\textrm{b}.& \textrm{AG terhadap bidang CDHG, berarti garis AG menembus bidang CDHG}\\ &\textrm{c}.& \textrm{Garis HC terhadap bidang ABFE, berarti garis HC sejajar dengan bidang ABFE}\\ && \textrm{dimana pada bidang ABFE diwakili oleh garis EB}\\ &\textrm{d}.& \textrm{Bidang ABCD terhadap bidang EFGH, berarti dua bidang itu saling sejajar}\\ &e.& \textrm{Bidang ACGE terhadap bidang BDHF, berarti dua bidang itu saling}\\ && \textrm{berpotongan(tegak lurus)}\\ &\textrm{f}.& \textrm{Titik B terhadap bidang ABFE, berarti titik B terletak pada bidang ABFE tersebut}\\ &\textrm{g}.& \textrm{Titik A terhadap garis BD, berarti titik A berada di luar garis BD} \end{array}.

2. Tentukan:

\begin{array}{cl}\\ \textrm{a}.&\textrm{Bidang-bidang yang memotong bidang BDHF, tentukanlah garis potongnya}\\ \textrm{b}.&\textrm{Rusuk-rusuk yang sejajar DH}\\ \textrm{c}.&\textrm{Rusuk-rusuk yang memotong DH}\\ \textrm{d}.&\textrm{Berapakah rusuk-rusuk yang menyilang DH}\\ \textrm{e}.&\textrm{Rusuk-rusuk yang menembus bidang ACGE}\\ \textrm{f}.&\textrm{Titik-titik sudut di luar bidang ABGH}\\ \textrm{g}.&\textrm{Titik-titik sudut di luar perpotongan bidang EFGH dan BDHF}\\ \textrm{h}.&\textrm{Misalkan titik P pada pertengahan AD, Q pada pertengahan EH, R pada pertengahan EF},\\ & \textrm{dan S pada pertengahan AB, apakah bidang PQRS sejajar dengan bidang BDHF?} \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{cl}\\ \textrm{a}.&\textrm{Bidang-bidang yang memotong bidang BDHF adalah}: \\ &(1). \textrm{bidang ABFE garis potongnya adalah BF},\\ & (2). \textrm{bidang ADHE garis potongnya adalah DH},\\ & (3). \textrm{bidang BCGF dan garis potongnya adalah BF juga},\\ & (4). \textrm{bidang CDHG garis potongnya adalah DH},\\ & (5). \textrm{bidang EFGH garis potongnya adalah FH, dan}\\ & (6). \textrm{bidang ABCD garis potongnya adalah BD} \\ \textrm{b}.&\textrm{Rusuk-rusuk yang sejajar DH adalah AE, BF, dan CD}\\ \textrm{c}.&\textrm{Rusuk-rusuk yang memotong DH, yaitu AD, HE, CD, dan GH}\\ \textrm{d}.&\textrm{Rusuk-rusuk yang menyilang DH adalah FE, FG, BA,dan BC}\\ \textrm{e}.&\textrm{Rusuk-rusuk yang menembus bidang ACGE adalah AB, AC, CD, DA, EF, FG, HG, dan HE}\\ \textrm{f}.&\textrm{Titik-titik sudut di luar bidang ABGH adalah titik sudut E, F, C, dan D}\\ \textrm{g}.&\textrm{Titik-titik sudut di luar perpotongan bidang EFGH dan BDHF yaitu titik sudut A dan C}\\ \textrm{h}.&\textrm{Diketahui titik P pada pertengahan AD, Q pada pertengahan EH, R pada pertengahan EF},\\ & \textrm{dan S pada pertengahan AB, Karena garis PQ dan QR sejajr bidang BDHF serta PQ dan QR}\\ & \textrm{saling berpotongan, maka syarat itu sudah cukup menunjukkan bahwa bidang PQRS sejajar dengan bidang BDHF} \end{array}.

D. Luas Permukaan dan Volume Bangun Ruang

\color{blue}\begin{array}{|l|l|l|l|}\hline No&Nama\quad Bangun&Luas\quad Permukaan&Volume\\\hline 1&Kubus&L=6\times (sisi)^{2}&V=(sisi)^{3}\\\hline 2&Balok&L=2\times \left ( pl+pt+lt \right )&V=p\times l\times t\\\hline 3&Prisma&L=(n\times luas\: sisi\: tegak)+(2\times luas\: alas)&V=luas\: alas\times tinggi\: prisma\\\hline 4&Limas&L=luas\: alas+luas\: sisi-sisi\: tegak&V=\frac{1}{3}\times luas\: alas\times tinggi\\\hline 5&Kerucut&L=\pi \times r\times (r+s)&V=\frac{1}{3}\times \pi \times r^{2}\times t\\\hline 6&Tabung&L=2\times \pi \times r\times (r+t)&V=\pi \times r^{2}\times t\\\hline 7&Bola&L=4\times \pi\times r^{2}&V=\frac{4}{3}\times \pi \times r^{3}\\\hline \end{array}.

E. Jarak Antara Titik, Garis, dan Bidang dalam Bangun Ruang

Perhatikan kembali bahasan tentang proyeksi

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{Contoh Soal}}.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

203

Untuk kubus ABCD.EFGH di atas jika panjang sisi kubus adalah 4 cm.

Tentukanlah,\\ \begin{tabular}{lll}\\ &a.&jarak titik P terhadap titik B\\ &b.&jarak titik F terhadap garis AC\\ &c.&jarak garis AG terhadap garis BF\\ &c.&jarak bidang ABCD terhadap bidang EFGH\end{tabular}.

Jawab:

a. panjang BP atau jarak titik B terhadap titik P adalah

\begin{aligned}BP^{2}&=BF^{2}+FP^{2}\\ BP&=\sqrt{BF^{2}+FP^{2}}\\ &=\sqrt{BF^{2}+\displaystyle \frac{1}{4}\left ( FG^{2}+GH^{2} \right )}\\ &=\sqrt{4^{2}+\displaystyle \frac{1}{4}\left ( 4^{2}+4^{2} \right )}\\ &=\sqrt{16+8}\\ &=\sqrt{24}\\ BP&=2\sqrt{6}\quad cm \end{aligned}.

b. Jarak F terhadap garis AC adalah sama seperti jarak B terhadap titik P pada No.1 di atas. Sebagai penjelasan, Garis AC terletak pada bidang ABCD di mana titik D adalah proyeksi titik F terhadap bidang ABCD dan proyeksi titik D pada garis AC adalah tepat di pertengahan garis AC. Sehingga Jarak titik F terhadap garis AC adalah sama saja jarak titik F ke pertengahan AC, yaitu  2\sqrt{6}\quad cm.

c. Jarak garis AG terhadap garis BF diwakili titik pertengahan AG terhadap titik pertengahan BF. Sebagai penjelasan garis AG terletak pada bidang ACGE dan proyeksi garis BF pada bidang ACGE adalah garis PQ, sehingga jarak garis BF ke garis AG sama saja jarak titik pertengahan AG terhadap titik pertengahan BF yaitu setengah diagonal sisi = 2\sqrt{2}\quad cm.

Sebagai ilustrasinya adalah

204

d. Untuk jarak bidang ABCD terhadap bidang EFGH adalah sama saja jarak titik A terhadap titik E atau jarak titik B terhadap titik F karena bidang ABCD dan EFGH saling sejajar.

F. Sudut dalam bangun Ruang

Ada\: tiga,\: yaitu:\\ \begin{tabular}{lll}\\ &1.&Sudut antara dua garis\\ &2.&Sudut antara garis dengan bidang\\ &3.&Sudut antara dua bidang \end{tabular}.

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{Contoh Soal}}.

\fbox{1}. Perhatikanlah kubus ABCD.EFGH dengan panjang sisinya 4 cm berikut

205

Tentukanlah\: sudut\: yang\: dibentuk\: oleh\: garis-garis\\ \begin{tabular}{lll}\\ &1.&AE dan AB\\ &2.&AH dan AC\\ &3.&AD dan BG\\ &4.&EC dan BF \end{tabular}.

Jawab:

a. Garis AE dan AB berpotongan di titik A. Sehinggan antara garis AE dan AB terbentuk sudut  \angle EAB=\angle BAE=90^{0}.

b. Garis AH dan AC berpotongan di titik A dan sudut yang terbentuk adalah (sudut) \angle HAC\: atau\: \angle CAH. Dari titik H ke titik C serta titik A apa bila dihubungkan terbentuklah sebuah segitiga sama sisi, karena AH=AC=CH=diagonal sisi. Sehingga sudut \angle HAC=\angle CAH=60^{0}.

c. Karena garis AD dan BG saling bersilangan dan garis AD sejajar BC pada bidang BCGF, maka sudut yang terbentuk  adalah dapat diwakili oleh \angle GBC=\displaystyle \frac{1}{2}\times \angle FBC=\frac{1}{2}\times 90^{0}=45^{0}.

d. Perhatikan bahwa garis EC dan BF saling bersilangan dan garis BF sejajar dengan CG pada bidang ACGE. Sehingga sudut yang terbentuk adalah \angle ECG , sebagai ilustrasinya adalah sebagaimana berikut ini

206

\begin{aligned}\tan \angle ECG&=\tan \alpha ^{0}=\displaystyle \frac{EG}{CG}\\ \tan \angle ECG&=\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{4}\\ &=\sqrt{2}\\ \angle ECG&=\tan^{-1}\left ( \sqrt{2} \right )\\ &=54,74^{0}\qquad (dengan\quad bantuan\quad tabel) \end{aligned}.

\fbox{2}. Pada soal No.1 tentukanlah luas permukaan dan volumenya

Jawab:

\begin{aligned}\textrm{Luas}\: \textrm{Permukaan(kubus)}&=6\times (sisi)^{2}\\ &=6\times (4)^{2}\\ &=6\times 16\\ &=96\quad cm^{2} \end{aligned}\\\\\\ \begin{aligned}\textrm{Volume(kubus)}&=(sisi)^{3}\\ &=(4)^{3}\\ &=64\quad cm^{3} \end{aligned}\\\\ \textrm{Jadi},\quad luas\: \textbf{permukaan}nya\: adalah\: 96\: cm^{2}\: dan\: \textbf{volume}nya\: adalah\: 64\: cm^{3}.

\fbox{3}. Seekor semut berjalan pada sebuah kubus tanpa tutup dan alas dengan panjang rusuknya adalah 1 cm. Jika semut mulai star dari titik A dan berhenti di titik B dengan melalui semua sisi kubus tersebut lihat gambar berikut

207

maka lintasan terpendek yang dapat ditempuh semut tersebut adalah….

Jawab:

Jika kubus tersebut diilustrasikan sebagai jaring-jaring, maka gambarnya kurang lebih akan menjadi seperti berikut

208

Sehingga lintasan terpendeknya adalah AB’, yaitu

\begin{aligned}\textrm{AB'}&=\sqrt{\left ( \textrm{AA'} \right )^{2}+\left ( \textrm{A'B'} \right )^{2}}\\ &=\sqrt{4^{2}+1^{2}}\\ &=\sqrt{16+1}\\ &=\sqrt{17}\quad \textrm{cm} \end{aligned}.

G. Menggambar Bangun Ruang

Perhatikanlah beberapa istilah dalam menggambar bangun ruang berikut

\begin{array}{|p{0.4cm}|p{5.0cm}|p{11.0cm}|}\hline No&Istilah&Penjelasan\\\hline 1&Bidang Gambar (bidang \textbf{Euclid})&Bidang datar di mana kita ingin menggambar. Sebagai misal kertas, papan tulis, dinding, lantai, dan lain-lain \\\hline 2&Bidang Frontal&Adalah bidang tempat menggambar di bidang gambar sehingga akan akan selalu sejajar dengan bidang gambar dan dilukis dengan ukuran sesungguhnya \\\hline 3&Garis Frontal&Adalah garis yang terletak pada bidang frontal \\\hline 4&Bidang Ortogonal&Adalah bidang yang tegak lurus bidang frontal sehingga tidak perlu dilukis dengan ukuran yang sebenarnya \\\hline 5&Garis Ortogonal&Adalah garis yang tegak lurus dengan bidang frontal \\\hline 6&Sudut surut(sudut menyisi)&Adalah susut yang terbentuk dari garis fontal arah ke kanan dengan garis ortogonal ke belakang \\\hline 7&Perbandingan proyeksi&Adalah perbandingan antara panjang garis ortogonal pada bidang gambar dengan garis ortogonal sesungguhnya \\\hline \end{array}.

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{Contoh Soal}}.

Gambarlah kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm, ABFE frontal, sudut surutnya 30^{0} serta perbandingan proyeksinya adalah  4 : 5.

Jawab:

Perhatikanlah ilustrasi berikut

209

\begin{tabular}{llp{14.0cm}}\\ &1.&Gambarlah persegi ABFE frontal dengan AB = 8 cm, lihat gambar di atas.\\ &2.&Lukislah sudut surut(ss) \boxed{\angle BAD=30^{0}}. Dalam melukis sudut tersebut mulailah dari garis berwarna hijau dengan berlawanan arah jarum jam sebesar sudut yang diinginkan.\\ &3.&Gambarlah garis menyamping AD sesuai sudut surut dengan perbandingan proyeksi(pp) 4 : 5 sebesar (4 : 5) x 8 cm = 6,4 cm.\\ &4.&Melengkapi unsur-unsur yang diperlukan lainnya.\\ &5.&Sehingga dari gambar di atas kita dapat mengetahui bahwa ABFE dan DCGH adalah bidang frontal, ABCD, BCGF,FGHE, dan ADHE adalah bidang ortogonal dengan BC, FG, EH, serta AD adalah garis ortogonal dan selain garis-garis tersebut adalah garis frontal. \end{tabular}.

H. Irisan Bangun Datar dengan Bangun Ruang

Ada tiga cara untuk melukiskan irisan tersebut, yaitu

\begin{tabular}{llp{14.0cm}}\\ &1.&Membuat \textbf{Sumbu Afinitas}. Sumbu Afinitas adalah garis potong bidang pengiris dengan bidang alas. Sumbu Afinitas ini hanya ada satu.\\ &2.&Perpotongan bidang diagonal.\\ &3.&Perluasan bidang sisi.\end{tabular}.

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{Contoh Soal}}.

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan titik I, L, dan K masing-masing pada garis AE, DH, dan CG sebagaimana ilustrasi gambar berikut

211

Lukislah bidang irisan yang melalui titik I, L, dan K dengan kubus ini

Jawab:

Dengan menggunakan Sumbu Afinitas, perhatikanlah langkah berikut

\begin{tabular}{llp{14.0cm}}\\ &1.&Hubungkan titik K dengan L dengan memperpanjang garisnya sehingga memotong perpanjangan garis CD di titik O.\\ &2.&Hubungkan titik L dengan I dengan memperpanjang garisnya lagi sehingga memotong perpanjangan DA di titik N.\\ &3.&Hubungkanlah ON dan perpanjanglah garisnya dan ON ini adalah \textbf{Sumbu Afinitas}-nya.\\ &4.&Perpanjang CB sehingga memotong ON di M.\\ &5.&Hubungkanlah K dengan M sehingga memotong BF di titik J.\\ &6.&Hubungkanlah titik-titik I, J, K, dan L sehingga terbentuklah bidang IJKL. Bidang IJKL adalah bidang irisan yang kita inginkan.\end{tabular}.

Untuk memperjelas urutan di atas perhatikanlah gambar berikut:

210

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{Contoh Soal}}.

Jawablah Soal berikut

\begin{tabular}{llp{14.0cm}}\\ 1.&a.&Gambarlah sebuah kubus ABCD.EFGH dengan AB = 8 cm dan ABFE frontal, sudut surut \boxed{60^{0}}, dan perbandingan proyeksinya 3 : 4.\\ &b.&Gambarlah sebuah kubus ABCD.EFGH dengan AB = 8 cm dan ACGE frontal, sudut surut \boxed{60^{0}}, dan perbandingan proyeksinya 3 : 4.\\ 2.&&Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan titik P terletak pada AE sehingga AP : PE = 1 : 4 dan titik Q pada DH sehingga DQ : QH = 3 : 1 serta titik R pada CG sehingga CR : RG = 1 : 2. Lukislah bidang irisan yang melalui PQR.\\ 3.&&Misalkan balok ABCD.EFGH memiliki panjang AB = 4 cm, AD = 3 cm, dan AE = 5 cm.\\ &a.&Lukislah balok tersebut dengan ABFE frontal dengan AB horizontal, sudut surut \boxed{45^{0}} dengan perbandingan proyeksinya adalah 2 : 3.\\ &b.&Jika titik K pada pertengahan AD, dan titik L pada perpanjangan AB sehingga AB = BL, bidang \boxed{\beta } melalui garis KL dan sejajar garis CE. Lukislah irisan \boxed{\beta } dengan balok\\ &c.&Tentukanlah pula luas permukaan dan volume balok tersebut. \end{tabular}.

Daftar Pustaka

  1. Islam, Muhammad, dkk.___. Matematika untuk SMA Kelas X Semester 2 Pendamping BSE. Solo: CV. HaKa MJ.
  2. Kurnianingsih, Sri , Kuntarti dan Sulistiyono. 2007. Matematika SMA dan MAuntuk Kelas X Semester 2 Standar Isi 2006. Jakarta: esis.
  3. Marwanta, dkk. 2013. Matematika SMA Kelas X. Jakarta: Yudistira.
  4. Tim Inovasi Guru Matematika SMA. Suplemen Matematika KBK Kelas X Semester II.Semarang: CV. Sarana Ilmu.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *