Eksponen Dan Logaritma(3)

Materi Berkaitan dengan Logaritma

Untuk Kelas X MA/SMA

Logaritma adalah invers dari perpangkatan. Misalkan kita kita diberikan persamaan 2^{x}=8, bagaimana kita mencari harga x ? kebanyakan kita langsung dapat menjawab 3, tetapi bagaimana jika bentuk persamaannya adalah 3^{x}=5 dapatkah kita dengan mudah menentukan berapa nilai x ?

Untuk mengatasi permasalahan di atas kita membutuhkan kebalikan(invers) dari perpangkatan tersebut, yaitu Logaritma yang selanjutnya disebut dengan “Log”

Perhatikan bahwa

Untuk a> 0 dan a\neq 1 ,

maka berlaku: {^{a}\textrm{log b}}=c \Leftrightarrow a^{c}=b

dengan:

a = bilangan pokok/basis

b = numerus (bilangan yang dicari nilai logaritmanya, b> 0 )
c = hasil logaritma

Sifat-sifat operasi aljabar pada logaritma

  1. a^{{^{a}}\textrm{log b}}=b
  2. ^{a}\log \left ( b.c \right )= ^{a}\log b+^{a}\log c
  3. ^{a}\log \frac{b}{c}=^{a}\log b-^{a}\log c
  4. ^{a}\log b=\frac{^{x}\log b}{^{x}\log a}
  5. ^{a}\log b=\frac{1}{^{b}\log a}
  6. ^{a}\log b=n\Rightarrow ^{b}\log a=\frac{1}{n}
  7. ^{a^{m}}\log b^{n}=\frac{n}{m}.^{a}\log b
  8. ^{a}\log b.^{b}\log c.^{c}\log d=^{a}\log d
  9. ^{a}\log a=1
  10. ^{a}\log 1=0
  11. ^{a}\log a^{n}=n
  12. \log b = ^{10}\log b

Ada beberapa yang perlu diketahui

  • \log 2 = 0,3010
  • \log 3 = 0,4771
  • \log 5 = 0,6990
  • \log 7 = 0,8451

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1

Nyatakan dalam logaritma

  • 2^{3}=8 \Leftrightarrow ^{2}\log 8=3
  • 2^{-3}=\frac{1}{8}\Leftrightarrow ^{2}\log \frac{1}{8}=-3
  • 11^{2}=121\Leftrightarrow ^{11}\log 121=2

Contoh 2

Jika diketahui ^{2}\log 3=p, maka tentukan

  1. ^{8}\log 9
  2. ^{9}\log 4
  3. ^{2}\log \sqrt{27}
  4. ^{4}\log \frac{1}{72}

Jawab:

  1. ^{8}\log 9=^{2^{3}}\log 3^{2}=\frac{2}{3}.^{2}\log 3=\frac{2}{3}p
  2. ^{9}\log 4=\frac{1}{^{4}\log 9}=\frac{1}{^{2^{2}}\log 3^{2}}=\frac{1}{p}
  3. ^{2}\log \sqrt{27}=^{2}\log 3^{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}.^{2}\log 3=\frac{3}{2}p
  4. ^{4}\log \frac{1}{72}=^{4}\log \frac{1}{8}.\frac{1}{9}=^{4}\log \frac{1}{8}+^{4}\log \frac{1}{9}=^{2^{2}}\log 2^{-3}+^{2^{2}}\log 3^{-2}=-\frac{3}{2}-p

Contoh 3

Sederhanakanlah  untuk ^{2}\log 8+^{3}\log 81-^{7}\log 1+^{2}\log 32

Jawab:

^{2}\log 8+^{3}\log 81-^{7}\log 1+^{2}\log 32=3+4-0+5=12

Contoh 4

(UN Mat IPA 2012) Jika diketahui  ^{5}\log 3=a  dan  ^{3}\log 4=b , maka nilai  ^{4}\log 15 = ….

Jawab:

^{4}\log 15=\frac{\log 15}{\log 4}=\frac{^{3}\log 15}{^{3}\log 4}=\frac{^{3}\log 3.5}{^{3}\log 4}=\frac{^{3}\log 3 +^{3}\log 5}{^{3}\log 4}=\frac{1+\frac{1}{a}}{b}=\frac{1+a}{ab}

Contoh 5

Jika  ^{2}\log (2x+3).^{25}\log 8=3 , maka nilai  x  yang memenuhi adalah ….

Jawab:

^{2}\log (2x+3).^{25}\log 8=^{25}\log 8.^{2}\log (2x+3)=^{5^{2}}\log 2^{3}.^{2}\log (2x+3)=\frac{3}{2}.^{5}\log 2.^{2}\log (2x+3)=\frac{3}{2}.^{5}\log (2x+3)=3

Sehingga

^{5}\log (2x+3)=2\Rightarrow 2x+3=5^{2}\Rightarrow 2x=25-3=22 \Rightarrow x=11

 

Soal Latihan

  1. Tentukanlah nilai dari a) \log 15, b) \log 18, c) \log 10,5, d) \log \frac{1}{7}, dan e) \log \frac{2}{3}
  2. (UN Mat IPA 2014) Nilai dari ^{2}\log 6+^{2}\log 4-^{2}\log 3=....
  3. Sederhanakanlah  ^{2}\log 4+^{2}\log 16-^{4}\log 64+^{2}\log \frac{1}{32}
  4. (UN Mat IPA 2014) Nilai dari  ^{3}\log 81+^{2}\log \frac{1}{32}-^{5}\log 5\sqrt{5}=....
  5. (UN Mat IPA 2014) Hasil dari \frac{^{\sqrt{2}}\log 4-^{5}\log 8.^{2}\log 25}{^{8}\log 14-^{8}\log 7}=....
  6. Carilah nilai x dari persamaan  ^{3}\log (4x+1)=4
  7. Sederhanakanlah  \log \sqrt{a}+\log \sqrt{b}-\frac{1}{2}\log ab
  8. Jika ^{2}\log 3=a dan ^{2}\log 5=b , maka nilai dari ^{25}\log 36=....
  9. Jika b=a^{4} dengan a,b> 0 , maka nilai dari ^{a}\log b-^{b}\log a=....
  10. (UM IKIP PGRI 2010) Tentukanlah nilai x dari persamaan  ^{2}\log .^{2}\log x=^{2}\log(6-^{2}\log x)+1
  11. Jika diketahui  ^{7}\log \frac{1}{x}=^{x}\log \frac{1}{y}=^{y}\log \frac{1}{7}, maka nilai 3x-2y=....
  12. (OSN Mat SMA Tk Kab 2014) Misalkan x,y,z> 1  dan w> 0. Jika ^{x}\log w=4 , ^{y}\log w=5 , dan  ^{xyz}\log w=2 , maka nilai dari ^{z}\log w=....

 

Referensi:

  1. Kanginan, Marthen, Yuza Terzalgi. 2013. Matematika Untuk SMA/MA Kelas X. Bandung: SEWU.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *