Eksponen Dan Logaritma(2)

Materi berkaitan dengan Bentuk Akar dan Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar

Untuk kelas X MA/SMA

Bentuk Akar

Bentuk akar di sini adalah kebalikan dari bentuk perpangkatan dari suatu bilangan. Untuk \sqrt{4} , \sqrt{25} nilainya dengan tepat kita dapat menentukannya, tetapi untuk \sqrt{3} , \sqrt{8}  tidaklah demikian karena bilangan-bilangan tersebut tidak dapat ditentukan nilai bulatnya atau tidak dapat dijadikan dalam bentuk pecahan. Bilangan-bilangan yang demikian yang tidak dapat ditentukan nilai bulat atau pecahannya tersebut selanjutnya dinamakan bilangan irasional.

Bilangan Rasional(pecahan) adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk  \frac{a}{b}  dengan a,b  \in bilangan bulat serta b\neq 0. Sehingga untuk bilangan irasional berlaku sebaliknya dan bentuk akar termasuk di dalamnya

Perhatikan bahwa:

  1. a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}
  2. a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}
  3. a^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{a^{1}}=\sqrt{a}

Sifat-sifat operasi aljabar pada bentuk akar

      • a\sqrt[n]{c}+b\sqrt[n]{c}=\left ( a+b \right )\sqrt[n]{c}
      • a\sqrt[n]{c}-b\sqrt[n]{c}=\left ( a-b \right )\sqrt[n]{c}
      • \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}
      • \sqrt[n]{a^{n}}=a
      • a\sqrt[n]{c} x b\sqrt[n]{d} = ab\sqrt[n]{cd}
      • \frac{a\sqrt[n]{c}}{b\sqrt[n]{d}}=\frac{a}{b}.\sqrt[n]{\frac{c}{d}}
      • \sqrt{\left ( a+b \right )+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}
      • \sqrt{\left ( a+b \right )-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}

 

Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar

Perhatikanlah cara merasionalkan penyebut

  • \frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a}{\sqrt{b}}.\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a}{b}\sqrt{b}

Merasionalkan dengan bantuan bentuk sekawan, misalkan bentuk a+\sqrt{b} maka bentuk sekawannya adalah a-\sqrt{b}. Tujuannya adalah menghilangkan bentuk akar pada bagian penyebut sehingga kita dapat mengarahkannya pada bentuk

  • \left ( a+b \right )\left ( a-b \right )=a^{2}-b^{2}
  • untuk bentuk \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b} Anda cukup mengalikannya dengan \sqrt[3]{a^{2}}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}} sehingga menghasilkan bentuk a+b. Demikian juga sebaliknya

Selanjutnya, perhatikan bentuk berikut

  • \frac{c}{a+\sqrt{b}}=\frac{c}{a+\sqrt{b}}.\frac{a-\sqrt{b}}{a-\sqrt{b}}=\frac{c\left ( a-\sqrt{b} \right )}{a^{2}-b}
  • \frac{c}{a-\sqrt{b}}=\frac{c}{a-\sqrt{b}}.\frac{a+\sqrt{b}}{a+\sqrt{b}}=\frac{c\left ( a+\sqrt{b} \right )}{a^{2}-b}
  • \frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{c\left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )}{a-b}

Contoh Soal dan Pembahasan

Sederhanakanlah bentuk berikut ini

Contoh 1

6\sqrt{3}+10\sqrt{3}=\left ( 6+10 \right )\sqrt{3}=16\sqrt{3}

Contoh 2

5\sqrt{12}-4\sqrt{3}=5\sqrt{4.3}-4\sqrt{3}=10\sqrt{3}-4\sqrt{3}=6\sqrt{3}

Contoh 3

5\sqrt{3}+\sqrt{48}-2\sqrt{27}=5\sqrt{3}+\sqrt{16.3}-2\sqrt{9.3}=5\sqrt{3}+4\sqrt{3}-6\sqrt{3}=\left ( 5+4-6 \right )\sqrt{3}=3\sqrt{3}

contoh 4

\left ( 6\sqrt{2}+\sqrt{5} \right )\left ( \sqrt{2}-3\sqrt{5} \right )=\left ( 6\sqrt{2}.\sqrt{2} \right )-\left ( 6\sqrt{2}.3\sqrt{5} \right )+\sqrt{5}.\sqrt{2}-\left ( \sqrt{5}.3\sqrt{5} \right )=12-18\sqrt{10}+\sqrt{10}-15=-3-17\sqrt{10}=-\left ( 3+17\sqrt{10} \right )

contoh 5

\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{8}{2}}=\sqrt{4}=2

Contoh 6

\frac{2\sqrt{3}.\sqrt{24}}{\sqrt{7}.3\sqrt{14}}=\frac{2\sqrt{72}}{3\sqrt{98}}=\frac{2.\sqrt{36}.\sqrt{2}}{3.\sqrt{49}.\sqrt{2}}=\frac{2.6}{3.7}=\frac{4}{7}

Contoh 7

  1. \sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{\left ( 5+2 \right )+2\sqrt{5.2}}=\sqrt{\left ( \sqrt{5}+\sqrt{2} \right )^{2}}=\sqrt{5}+\sqrt{2}
  2. \sqrt{11+4\sqrt{6}}=\sqrt{11+2.2.\sqrt{6}}=\sqrt{11+2\sqrt{24}}=\sqrt{\left ( 8+3 \right )+2\sqrt{8.3}}=\sqrt{\left ( \sqrt{8}+\sqrt{3} \right )^{2}}=\sqrt{8}+\sqrt{3}=2\sqrt{2}+\sqrt{3}
  3. \sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{\left ( 3+2-2\sqrt{3.2} \right )}=\sqrt{\left ( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right )^{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}, bolehkah jawaban akhir ditulis dengan \sqrt{2}-\sqrt{3} ?

Contoh 8

Rasionalkanlah penyebut dari pecahan berikut

  1. \frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}
  2. \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt[3]{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt[3]{5}}.\frac{\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{25}}=\frac{\sqrt{2}.\sqrt[3]{25}}{2.5}=\frac{1}{10}.\sqrt{2}.\sqrt[3]{25}
  3. \frac{2}{3-\sqrt{2}}=\frac{2}{3-\sqrt{2}}.\frac{3+\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}=\frac{2}{7}.\left ( 3+\sqrt{2} \right )

Latihan Soal

Sederhanakanlah bentuk berikut

  1. 2\sqrt{12}-5\sqrt{3}
  2. \sqrt{96}-3\sqrt{24}
  3. \sqrt{20}-\sqrt{125}+3\sqrt{5}
  4. \sqrt{3}\left ( 4-2\sqrt{3} \right )
  5. 2\sqrt{5}\left ( \sqrt{5}+3\sqrt{2} \right )
  6. \left ( \sqrt{5}-\sqrt{3} \right )\left ( \sqrt{5}+\sqrt{3} \right )
  7. \frac{\left ( 2+\sqrt{3} \right ).\left ( 2-\sqrt{3} \right )}{6}
  8. \sqrt{5+2\sqrt{6}}
  9. \sqrt{8+\sqrt{60}}
  10. \sqrt{18-2\sqrt{65}}
  11. Tunjukkan bahwa \sqrt{\left ( p+q+r \right )+2\left ( \sqrt{pq}+\sqrt{pr}+\sqrt{qr} \right )}=\sqrt{p}+\sqrt{q}+\sqrt{r}
  12. Tentukanlah luas persegi dengan sisi \left ( 2+\sqrt{3} \right ) cm
  13. Rasionalkanlah penyebut dari \frac{15}{\sqrt{48}}  dan \frac{\sqrt{24}+\sqrt{54}-\sqrt{150}}{\sqrt{96}}
  14. Sederhanan bentuk \frac{5}{\sqrt{7}}+\frac{3}{\sqrt{5}}  dan \frac{7}{2+\sqrt{8}}+\frac{11}{2-\sqrt{8}}
  15. Tentukan nilai x dan y agar persamaan \left ( x\sqrt{2}+y \right ).\left ( 3-\sqrt{2} \right )=-\sqrt{2}
  16. Jika \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=a+b\sqrt{6} , maka nilai dari a+b = ….

Referensi:

  1. Kanginan, Marthen, Yuza Terzalgi. 2013. Matematika Untuk SMA/MA Kelas X. Bandung: SEWU.
  2. Kurnianingsih, Sri, Kuntarti & Sulistiyono. 2007. Matematika SMA dan MA Untuk Kelas X Semester 1. Jakarta: ESIS.

 

 

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *