Ruang Dimensi Tiga

A. Unsur-Unsur dalam Ruang

Perhatikan ilustrasi gambar berikut

173

Ada garis horizontal, ada garis tegak dan sebagainya , selanjutnya ada beberapa hal yang perlu diketahui berkaitan dengan materi Ruang Dimensi Tiga ini, yaitu:

\color{blue}\begin{array}{|l|l|l|l|}\hline \textrm{No}&\textrm{Nama}&\textrm{Penjelasan}&\textrm{Contoh}\\\hline 1&\textrm{Titik}&\textrm{Titik tidak memiliki dimendi/ukuran. }&\textrm{Kalau pada kubus} \\ &&\textrm{Biasanya digambarkan dengan noktah }&\textrm{ABCD}\\ &&\textrm{dan dituliskan dengan huruf kapital}&\textrm{di atas adalah titik}\\ &&&\textrm{A, B, C, D, E,}\\ &&& \textrm{F, G, dan H}.\\\hline 2&\textrm{Garis}&\textrm{Pada bahasan ini maksudnya adalah}&\textrm{Misalkan garis}\\ &&\textrm{garis lurus}&\textrm{warna ungu}\\ && \textrm{Garis adalah kumpulan titik-titk}&\textrm{yang melalui titik }.\\ && \textrm{Suatu garis dapat diperpanjang}&\textrm{A dan titik G}\\ && \textrm{sekehendak kita dan dituliskan }&\\ &&\textrm{dengan namanya}&\\ && \textrm{saja yaitu dengan sebuah huruf kecil}&\\\hline 3&\textrm{Bidang}&\textrm{Sebuah bidang memiliki luas yang}.&\textrm{Dapat juga diberi }\\ && \textrm{tak berhingga}&\textrm{nama dari}\\ && \textrm{Biasanya yang kita gambarkan hanya }&\textrm{Perhatikan bidang }\\ && \textrm{sebagiannya saja yang merupakan wakil }&\textrm{alas pada kubus }\\ &&\textrm{dari bidang dan sesuai}&\textrm{di atas yaitu bidang }\\ && \textrm{bahasan kita di sini adalah bidang datar}.&\textrm{yang diwakili oleh }\\ && \textrm{Dalam geometri sebuah bidang cukup } &\textrm{ABCD dan lain-lain}\\ &&\textrm{digambarkan wakilnya saja dan diberi}&\\ &&\textrm{nama}\: \alpha ,\beta ,\gamma \: \textrm{atau yang lainnya}& \\\hline \end{array}.

B. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang

\color{blue}\begin{array}{|l|l|l|}\hline \textrm{No}&\qquad\textrm{Kedudukan}&\qquad\quad\qquad\textrm{Penjelasan}\\\hline 1&\textrm{Titik terhadap garis}& \textrm{Ada dua kemungkinan yaitu}: \\ &&\textrm{Titik pada garis(berimpit)} \\ &&\textrm{dan kemungkinan yang lain titik di luar garis}\\\hline 2&\textrm{Titik terhadap bidang}&\textrm{Kondisinya kurang lebih sama yaitu ada }\\ &&\textrm{dua kemungkinan:}\\ &&\textrm{Titik pada bidang(berimpit) atau }\\ &&\textrm{titik berada di luar bidang}\\\hline 3&\textrm{Garis terhadap garis}&\textrm{Ada empat, yaitu};\\ &&\textrm{Dua garis itu kondisinya sejajar, atau }\\ &&\textrm{saling berpotongan, bersilangan, atau berimpit} \\\hline 4&\textrm{Garis terhadap bidang}&\textrm{Ada tiga kemungkinan yaitu};\\ &&\textrm{Berimpit, sejajar atau menembus bidang} \\\hline 5&\textrm{Bidang terhadap}&\textrm{Ada tiga kemungkinan kalau tidak sejajar atau}\\ &\textrm{bidang}& \textrm{berpotongan atau mungkin juga berimpit} \\\hline \end{array}.

C. Proyeksi

Sebagai gambarannya adalah setiap objek di muka bumi pada saat tengah hari serta matahari tepat membentuk sudut  90^{0}  terhadap permukaan bumi akan mempunyai bayangan sebagaimana ilustrasi berikut ini

199

Pada bidang datar sebagaimana ilustrasi di atas proyeksi adalah bayangan yang terbentuk dari suatu bangun pada bidang datar dengan arah bayangan dengan bidang datar tersebut sebagai bidang proyeksi terbentuk sudut  90^{0}  jika dilukiskan.

Sebagai aplikasinya, perhatikanlah ilustrasi proyeksi titik pada garis, bidang dan proyeksi garis pada bidang berikut ini

C. 1. Proyeksi  titik pada garis

202

C.2.  Proyeksi  titik pada bidang

200

C.3. Proyeksi garis pada bidang

201

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{Contoh Soal}}.

Perhatikan ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut ini untuk menjawab soal no. 1 dan no. 2

188

1. Tentukanlah kedudukan dari :

\begin{array}{lllll}\\ &&&&\textrm{a}.\quad \textrm{Garis CF terhadap AH}\\ &&&&\textrm{b}.\quad \textrm{AG terhadap bidang CDHG}\\ &&&&\textrm{c}.\quad \textrm{Garis HC terhadap bidang ABFE}\\ &&&&\textrm{d}.\quad \textrm{Bidang ABCD terhadap bidang EFGH}\\ &&&&\textrm{e}.\quad \textrm{Bidang ACGE terhadap bidang BDHF}\\ &&&&\textrm{f}.\quad \textrm{Titik B terhadap bidang ABFE}\\ &&&&\textrm{g}.\quad \textrm{Titik A terhadap garis BD} \end{array}.

Sebagai kedudukannya, yaitu:

\begin{array}{lllll}\\ .&\textrm{a}.& \textrm{Garis CF terhadap AH, berarti kedua garis tersebut saling bersilangan}\\ &\textrm{b}.& \textrm{AG terhadap bidang CDHG, berarti garis AG menembus bidang CDHG}\\ &\textrm{c}.& \textrm{Garis HC terhadap bidang ABFE, berarti garis HC sejajar dengan bidang ABFE}\\ && \textrm{dimana pada bidang ABFE diwakili oleh garis EB}\\ &\textrm{d}.& \textrm{Bidang ABCD terhadap bidang EFGH, berarti dua bidang itu saling sejajar}\\ &e.& \textrm{Bidang ACGE terhadap bidang BDHF, berarti dua bidang itu saling}\\ && \textrm{berpotongan(tegak lurus)}\\ &\textrm{f}.& \textrm{Titik B terhadap bidang ABFE, berarti titik B terletak pada bidang ABFE tersebut}\\ &\textrm{g}.& \textrm{Titik A terhadap garis BD, berarti titik A berada di luar garis BD} \end{array}.

2. Tentukan:

\begin{array}{cl}\\ \textrm{a}.&\textrm{Bidang-bidang yang memotong bidang BDHF, tentukanlah garis potongnya}\\ \textrm{b}.&\textrm{Rusuk-rusuk yang sejajar DH}\\ \textrm{c}.&\textrm{Rusuk-rusuk yang memotong DH}\\ \textrm{d}.&\textrm{Berapakah rusuk-rusuk yang menyilang DH}\\ \textrm{e}.&\textrm{Rusuk-rusuk yang menembus bidang ACGE}\\ \textrm{f}.&\textrm{Titik-titik sudut di luar bidang ABGH}\\ \textrm{g}.&\textrm{Titik-titik sudut di luar perpotongan bidang EFGH dan BDHF}\\ \textrm{h}.&\textrm{Misalkan titik P pada pertengahan AD, Q pada pertengahan EH, R pada pertengahan EF},\\ & \textrm{dan S pada pertengahan AB, apakah bidang PQRS sejajar dengan bidang BDHF?} \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{cl}\\ \textrm{a}.&\textrm{Bidang-bidang yang memotong bidang BDHF adalah}: \\ &(1). \textrm{bidang ABFE garis potongnya adalah BF},\\ & (2). \textrm{bidang ADHE garis potongnya adalah DH},\\ & (3). \textrm{bidang BCGF dan garis potongnya adalah BF juga},\\ & (4). \textrm{bidang CDHG garis potongnya adalah DH},\\ & (5). \textrm{bidang EFGH garis potongnya adalah FH, dan}\\ & (6). \textrm{bidang ABCD garis potongnya adalah BD} \\ \textrm{b}.&\textrm{Rusuk-rusuk yang sejajar DH adalah AE, BF, dan CD}\\ \textrm{c}.&\textrm{Rusuk-rusuk yang memotong DH, yaitu AD, HE, CD, dan GH}\\ \textrm{d}.&\textrm{Rusuk-rusuk yang menyilang DH adalah FE, FG, BA,dan BC}\\ \textrm{e}.&\textrm{Rusuk-rusuk yang menembus bidang ACGE adalah AB, AC, CD, DA, EF, FG, HG, dan HE}\\ \textrm{f}.&\textrm{Titik-titik sudut di luar bidang ABGH adalah titik sudut E, F, C, dan D}\\ \textrm{g}.&\textrm{Titik-titik sudut di luar perpotongan bidang EFGH dan BDHF yaitu titik sudut A dan C}\\ \textrm{h}.&\textrm{Diketahui titik P pada pertengahan AD, Q pada pertengahan EH, R pada pertengahan EF},\\ & \textrm{dan S pada pertengahan AB, Karena garis PQ dan QR sejajr bidang BDHF serta PQ dan QR}\\ & \textrm{saling berpotongan, maka syarat itu sudah cukup menunjukkan bahwa bidang PQRS sejajar dengan bidang BDHF} \end{array}.

D. Luas Permukaan dan Volume Bangun Ruang

\color{blue}\begin{array}{|l|l|l|l|}\hline No&Nama\quad Bangun&Luas\quad Permukaan&Volume\\\hline 1&Kubus&L=6\times (sisi)^{2}&V=(sisi)^{3}\\\hline 2&Balok&L=2\times \left ( pl+pt+lt \right )&V=p\times l\times t\\\hline 3&Prisma&L=(n\times luas\: sisi\: tegak)+(2\times luas\: alas)&V=luas\: alas\times tinggi\: prisma\\\hline 4&Limas&L=luas\: alas+luas\: sisi-sisi\: tegak&V=\frac{1}{3}\times luas\: alas\times tinggi\\\hline 5&Kerucut&L=\pi \times r\times (r+s)&V=\frac{1}{3}\times \pi \times r^{2}\times t\\\hline 6&Tabung&L=2\times \pi \times r\times (r+t)&V=\pi \times r^{2}\times t\\\hline 7&Bola&L=4\times \pi\times r^{2}&V=\frac{4}{3}\times \pi \times r^{3}\\\hline \end{array}.

E. Jarak Antara Titik, Garis, dan Bidang dalam Bangun Ruang

Perhatikan kembali bahasan tentang proyeksi

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{Contoh Soal}}.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

203

Untuk kubus ABCD.EFGH di atas jika panjang sisi kubus adalah 4 cm.

Tentukanlah,\\ \begin{tabular}{lll}\\ &a.&jarak titik P terhadap titik B\\ &b.&jarak titik F terhadap garis AC\\ &c.&jarak garis AG terhadap garis BF\\ &c.&jarak bidang ABCD terhadap bidang EFGH\end{tabular}.

Jawab:

a. panjang BP atau jarak titik B terhadap titik P adalah

\begin{aligned}BP^{2}&=BF^{2}+FP^{2}\\ BP&=\sqrt{BF^{2}+FP^{2}}\\ &=\sqrt{BF^{2}+\displaystyle \frac{1}{4}\left ( FG^{2}+GH^{2} \right )}\\ &=\sqrt{4^{2}+\displaystyle \frac{1}{4}\left ( 4^{2}+4^{2} \right )}\\ &=\sqrt{16+8}\\ &=\sqrt{24}\\ BP&=2\sqrt{6}\quad cm \end{aligned}.

b. Jarak F terhadap garis AC adalah sama seperti jarak B terhadap titik P pada No.1 di atas. Sebagai penjelasan, Garis AC terletak pada bidang ABCD di mana titik D adalah proyeksi titik F terhadap bidang ABCD dan proyeksi titik D pada garis AC adalah tepat di pertengahan garis AC. Sehingga Jarak titik F terhadap garis AC adalah sama saja jarak titik F ke pertengahan AC, yaitu  2\sqrt{6}\quad cm.

c. Jarak garis AG terhadap garis BF diwakili titik pertengahan AG terhadap titik pertengahan BF. Sebagai penjelasan garis AG terletak pada bidang ACGE dan proyeksi garis BF pada bidang ACGE adalah garis PQ, sehingga jarak garis BF ke garis AG sama saja jarak titik pertengahan AG terhadap titik pertengahan BF yaitu setengah diagonal sisi = 2\sqrt{2}\quad cm.

Sebagai ilustrasinya adalah

204

d. Untuk jarak bidang ABCD terhadap bidang EFGH adalah sama saja jarak titik A terhadap titik E atau jarak titik B terhadap titik F karena bidang ABCD dan EFGH saling sejajar.

F. Sudut dalam bangun Ruang

Ada\: tiga,\: yaitu:\\ \begin{tabular}{lll}\\ &1.&Sudut antara dua garis\\ &2.&Sudut antara garis dengan bidang\\ &3.&Sudut antara dua bidang \end{tabular}.

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{Contoh Soal}}.

\fbox{1}. Perhatikanlah kubus ABCD.EFGH dengan panjang sisinya 4 cm berikut

205

Tentukanlah\: sudut\: yang\: dibentuk\: oleh\: garis-garis\\ \begin{tabular}{lll}\\ &1.&AE dan AB\\ &2.&AH dan AC\\ &3.&AD dan BG\\ &4.&EC dan BF \end{tabular}.

Jawab:

a. Garis AE dan AB berpotongan di titik A. Sehinggan antara garis AE dan AB terbentuk sudut  \angle EAB=\angle BAE=90^{0}.

b. Garis AH dan AC berpotongan di titik A dan sudut yang terbentuk adalah (sudut) \angle HAC\: atau\: \angle CAH. Dari titik H ke titik C serta titik A apa bila dihubungkan terbentuklah sebuah segitiga sama sisi, karena AH=AC=CH=diagonal sisi. Sehingga sudut \angle HAC=\angle CAH=60^{0}.

c. Karena garis AD dan BG saling bersilangan dan garis AD sejajar BC pada bidang BCGF, maka sudut yang terbentuk  adalah dapat diwakili oleh \angle GBC=\displaystyle \frac{1}{2}\times \angle FBC=\frac{1}{2}\times 90^{0}=45^{0}.

d. Perhatikan bahwa garis EC dan BF saling bersilangan dan garis BF sejajar dengan CG pada bidang ACGE. Sehingga sudut yang terbentuk adalah \angle ECG , sebagai ilustrasinya adalah sebagaimana berikut ini

206

\begin{aligned}\tan \angle ECG&=\tan \alpha ^{0}=\displaystyle \frac{EG}{CG}\\ \tan \angle ECG&=\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{4}\\ &=\sqrt{2}\\ \angle ECG&=\tan^{-1}\left ( \sqrt{2} \right )\\ &=54,74^{0}\qquad (dengan\quad bantuan\quad tabel) \end{aligned}.

\fbox{2}. Pada soal No.1 tentukanlah luas permukaan dan volumenya

Jawab:

\begin{aligned}\textrm{Luas}\: \textrm{Permukaan(kubus)}&=6\times (sisi)^{2}\\ &=6\times (4)^{2}\\ &=6\times 16\\ &=96\quad cm^{2} \end{aligned}\\\\\\ \begin{aligned}\textrm{Volume(kubus)}&=(sisi)^{3}\\ &=(4)^{3}\\ &=64\quad cm^{3} \end{aligned}\\\\ \textrm{Jadi},\quad luas\: \textbf{permukaan}nya\: adalah\: 96\: cm^{2}\: dan\: \textbf{volume}nya\: adalah\: 64\: cm^{3}.

\fbox{3}. Seekor semut berjalan pada sebuah kubus tanpa tutup dan alas dengan panjang rusuknya adalah 1 cm. Jika semut mulai star dari titik A dan berhenti di titik B dengan melalui semua sisi kubus tersebut lihat gambar berikut

207

maka lintasan terpendek yang dapat ditempuh semut tersebut adalah….

Jawab:

Jika kubus tersebut diilustrasikan sebagai jaring-jaring, maka gambarnya kurang lebih akan menjadi seperti berikut

208

Sehingga lintasan terpendeknya adalah AB’, yaitu

\begin{aligned}\textrm{AB'}&=\sqrt{\left ( \textrm{AA'} \right )^{2}+\left ( \textrm{A'B'} \right )^{2}}\\ &=\sqrt{4^{2}+1^{2}}\\ &=\sqrt{16+1}\\ &=\sqrt{17}\quad \textrm{cm} \end{aligned}.

G. Menggambar Bangun Ruang

Perhatikanlah beberapa istilah dalam menggambar bangun ruang berikut

\begin{array}{|p{0.4cm}|p{5.0cm}|p{11.0cm}|}\hline No&Istilah&Penjelasan\\\hline 1&Bidang Gambar (bidang \textbf{Euclid})&Bidang datar di mana kita ingin menggambar. Sebagai misal kertas, papan tulis, dinding, lantai, dan lain-lain \\\hline 2&Bidang Frontal&Adalah bidang tempat menggambar di bidang gambar sehingga akan akan selalu sejajar dengan bidang gambar dan dilukis dengan ukuran sesungguhnya \\\hline 3&Garis Frontal&Adalah garis yang terletak pada bidang frontal \\\hline 4&Bidang Ortogonal&Adalah bidang yang tegak lurus bidang frontal sehingga tidak perlu dilukis dengan ukuran yang sebenarnya \\\hline 5&Garis Ortogonal&Adalah garis yang tegak lurus dengan bidang frontal \\\hline 6&Sudut surut(sudut menyisi)&Adalah susut yang terbentuk dari garis fontal arah ke kanan dengan garis ortogonal ke belakang \\\hline 7&Perbandingan proyeksi&Adalah perbandingan antara panjang garis ortogonal pada bidang gambar dengan garis ortogonal sesungguhnya \\\hline \end{array}.

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{Contoh Soal}}.

Gambarlah kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm, ABFE frontal, sudut surutnya 30^{0} serta perbandingan proyeksinya adalah  4 : 5.

Jawab:

Perhatikanlah ilustrasi berikut

209

\begin{tabular}{llp{14.0cm}}\\ &1.&Gambarlah persegi ABFE frontal dengan AB = 8 cm, lihat gambar di atas.\\ &2.&Lukislah sudut surut(ss) \boxed{\angle BAD=30^{0}}. Dalam melukis sudut tersebut mulailah dari garis berwarna hijau dengan berlawanan arah jarum jam sebesar sudut yang diinginkan.\\ &3.&Gambarlah garis menyamping AD sesuai sudut surut dengan perbandingan proyeksi(pp) 4 : 5 sebesar (4 : 5) x 8 cm = 6,4 cm.\\ &4.&Melengkapi unsur-unsur yang diperlukan lainnya.\\ &5.&Sehingga dari gambar di atas kita dapat mengetahui bahwa ABFE dan DCGH adalah bidang frontal, ABCD, BCGF,FGHE, dan ADHE adalah bidang ortogonal dengan BC, FG, EH, serta AD adalah garis ortogonal dan selain garis-garis tersebut adalah garis frontal. \end{tabular}.

H. Irisan Bangun Datar dengan Bangun Ruang

Ada tiga cara untuk melukiskan irisan tersebut, yaitu

\begin{tabular}{llp{14.0cm}}\\ &1.&Membuat \textbf{Sumbu Afinitas}. Sumbu Afinitas adalah garis potong bidang pengiris dengan bidang alas. Sumbu Afinitas ini hanya ada satu.\\ &2.&Perpotongan bidang diagonal.\\ &3.&Perluasan bidang sisi.\end{tabular}.

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{Contoh Soal}}.

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan titik I, L, dan K masing-masing pada garis AE, DH, dan CG sebagaimana ilustrasi gambar berikut

211

Lukislah bidang irisan yang melalui titik I, L, dan K dengan kubus ini

Jawab:

Dengan menggunakan Sumbu Afinitas, perhatikanlah langkah berikut

\begin{tabular}{llp{14.0cm}}\\ &1.&Hubungkan titik K dengan L dengan memperpanjang garisnya sehingga memotong perpanjangan garis CD di titik O.\\ &2.&Hubungkan titik L dengan I dengan memperpanjang garisnya lagi sehingga memotong perpanjangan DA di titik N.\\ &3.&Hubungkanlah ON dan perpanjanglah garisnya dan ON ini adalah \textbf{Sumbu Afinitas}-nya.\\ &4.&Perpanjang CB sehingga memotong ON di M.\\ &5.&Hubungkanlah K dengan M sehingga memotong BF di titik J.\\ &6.&Hubungkanlah titik-titik I, J, K, dan L sehingga terbentuklah bidang IJKL. Bidang IJKL adalah bidang irisan yang kita inginkan.\end{tabular}.

Untuk memperjelas urutan di atas perhatikanlah gambar berikut:

210

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{Contoh Soal}}.

Jawablah Soal berikut

\begin{tabular}{llp{14.0cm}}\\ 1.&a.&Gambarlah sebuah kubus ABCD.EFGH dengan AB = 8 cm dan ABFE frontal, sudut surut \boxed{60^{0}}, dan perbandingan proyeksinya 3 : 4.\\ &b.&Gambarlah sebuah kubus ABCD.EFGH dengan AB = 8 cm dan ACGE frontal, sudut surut \boxed{60^{0}}, dan perbandingan proyeksinya 3 : 4.\\ 2.&&Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan titik P terletak pada AE sehingga AP : PE = 1 : 4 dan titik Q pada DH sehingga DQ : QH = 3 : 1 serta titik R pada CG sehingga CR : RG = 1 : 2. Lukislah bidang irisan yang melalui PQR.\\ 3.&&Misalkan balok ABCD.EFGH memiliki panjang AB = 4 cm, AD = 3 cm, dan AE = 5 cm.\\ &a.&Lukislah balok tersebut dengan ABFE frontal dengan AB horizontal, sudut surut \boxed{45^{0}} dengan perbandingan proyeksinya adalah 2 : 3.\\ &b.&Jika titik K pada pertengahan AD, dan titik L pada perpanjangan AB sehingga AB = BL, bidang \boxed{\beta } melalui garis KL dan sejajar garis CE. Lukislah irisan \boxed{\beta } dengan balok\\ &c.&Tentukanlah pula luas permukaan dan volume balok tersebut. \end{tabular}.

Daftar Pustaka

  1. Islam, Muhammad, dkk.___. Matematika untuk SMA Kelas X Semester 2 Pendamping BSE. Solo: CV. HaKa MJ.
  2. Kurnianingsih, Sri , Kuntarti dan Sulistiyono. 2007. Matematika SMA dan MAuntuk Kelas X Semester 2 Standar Isi 2006. Jakarta: esis.
  3. Marwanta, dkk. 2013. Matematika SMA Kelas X. Jakarta: Yudistira.
  4. Tim Inovasi Guru Matematika SMA. Suplemen Matematika KBK Kelas X Semester II.Semarang: CV. Sarana Ilmu.

Trigonometri

A. Tentang Sudut

Sudut adalah pertemuan atau perpotongan 2 buah garis/sinar atau bangun yang dibentuk oleh dua garis yang yang berpotongan di sekitar titik potongnya.

Untuk ukuran sudut, kita mengenal ada beberapa macam, yaitu: derajat, radian, gone/grade.

\begin{array}{|c|}\hline 1\: keliling\bigcirc =360^{0}=2\pi \: radian=400^{g}\\\hline atau\\\hline \frac{1}{2}\: keliling\bigcirc =180^{0}=\pi \: radian=200^{9}\\\hline \end{array}.

Perhatikan ilustrasi berikut

149

 Selanjutnya yang sering dikenalkan adalah sudut dalam ukuran derajat dan radian.

Sebagai catatan:

Ukuran derajat yang diubah ke menit atau detik yang selanjutnya disebut  dengan sistem seksagesimal, yaitu:

1 derajat = 60 menit = 3600 detik, atau

\begin{array}{|c|}\hline 1^{\circ}={60}'={3600}''\\\hline \end{array}.

\LARGE\fbox{Contoh Soal}.

1. 1^{0}=....rad.

2. 1\: radian=....^{0}

3. Jadikanlah sudut 53,24^{0}  dalam seksagesimal!

4. Jadikanlah sudut  23^{0}{12}'{24}'' dalam satuan derajat!

Jawab:

1.  Perhatikanlah

\begin{aligned}360^{0}&=2\pi \: rad\\ 360\times 1^{0}&=2\pi \: rad\\ 1^{0}&=\frac{2\pi }{360}\\ &=\frac{\pi }{180}\: rad \end{aligned}.

Kadang dituliskan untuk  \pi \approx \frac{22}{7}\approx 3,14, tinggal kita masukkan saja sebagai ganti pi di atas.

2. Dengan cara mirip dengan no.1, yaitu

\begin{aligned}2\pi \: rad&=360^{0}\\ 2\pi \times 1\: rad&=360^{0}\\ 1\: rad&=\left ( \frac{360}{2\pi } \right )^{0}\\ &=\left ( \frac{180}{\pi } \right )^{0} \end{aligned}.

3. Kita ingin menjadikan sudut dari ukuran derajat yang mengandung desimal ke seksagesimal.

Perhatikan langkahnya

\begin{aligned}53,24^{0}&=53^{0}+0,24^{0}\\ &=53^{0}+0,24\times 1^{0}\\ &=53^{0}+0,24\times {60}'\\ &=53^{0}+{14,4}'\\ &=53^{0}+{14}'+{0,4}'\\ &=53^{0}+{14}'+0,4\times {1}'\\ &=53^{0}+{14}'+0,4\times {60}''\\ &=53^{0}+{14}'+{24}''\\ 53,24^{0}&=53^{0}{14}'{24}'' \end{aligned}.

4. Dengan cara yang kurang lebih sama, yaitu

\begin{aligned}23^{0}{12}'{24}''&=23^{0}+12\times {1}'+24\times {1}''\\ &=23^{0}+12\times \left ( \frac{1}{60} \right )^{0}+24\times \left ( \frac{1}{3600} \right )^{0}\\ &=23^{0}+0,2^{0}+0,00\overline{666}^{0}\\ &=23,20\overline{666}^{0}\end{aligned}.

\LARGE\fbox{Latihan Soal}.

\begin{array}{cl}\\ 1.&27^{0}=.....rad\\ 2.&28\: rad=....^{0}\\ 3.&29,35^{0}=...^{0}{...}'{...}''\\ 4.&30^{0}{24}'{12}''=....^{0} \end{array}.

B. Perbandingan Sudut dalam Segitiga Siku-Siku

Perhatikanlah ilustrasi berikut ini

150

\begin{matrix} \sin \alpha =\frac{BC}{AB}\\\\ \cos \alpha =\frac{AC}{AB}\\\\ \tan \alpha =\frac{BC}{AC}\\\\ \csc \alpha =\frac{AB}{BC}\\\\ \sec \alpha =\frac{AB}{AC}\\\\ \cot \alpha =\frac{AC}{BC} \end{matrix}.

Untuk Perbandingan Sudut istimewa amati tabel berikut, khususnya sudut 0^{0},30^{0},45^{0},60^{0},90^{0},180^{0}.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \alpha ^{0}&0^{0}&15^{0}&30^{0}&45^{0}&60^{0}&75^{0}&90^{0}&180^{0}&270^{0}&360^{0}\\\hline \sin \alpha ^{0}&0&\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right )&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right )&1&0&-1&0\\\hline \cos \alpha ^{0}&1&\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right )&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right )&0&-1&0&1\\\hline \tan \alpha ^{0}&0&2-\sqrt{3}&\frac{1}{3}\sqrt{3}&1&\sqrt{3}&2+\sqrt{3}&TD&0&TD&0\\\hline \end{array}.

Karena pada segitiga siku-siku berlaku teorema Pythagoras, maka ada baiknya kita ingat-ingat tripel Pythagoras di sini yang sering digunakan/dimunculkan .

\LARGE\fbox{Contoh Soal}.

1. Tentukanlah nilai perbandingan \sin \alpha ,\: \cos \alpha , \tan \alpha  untuk segitiga berikut

152

Jawab:

(a) Untuk sisi miringnya adalah

\begin{aligned}Sisi\: miring&=\sqrt{3^{2}+4^{2}}\\ &=\sqrt{9+16}\\ &=\sqrt{25}\\ &=5 \end{aligned},

\sin \alpha =\frac{3}{5},\quad \cos \alpha =\frac{4}{5}.\quad dan\: \tan \alpha =\frac{3}{4}.

(b) Dengan langkah sebagaimana pada langkah (a), kita mendapatkan

\begin{aligned}Sisi\: miring&=\sqrt{5^{2}+12^{2}}\\ &=\sqrt{25+144}\\ &=\sqrt{169}\\ &=13 \end{aligned},

\sin \alpha =\frac{12}{13},\quad \cos \alpha =\frac{5}{13}.\quad dan\: \tan \alpha =\frac{12}{5}.

2. Hitunglah nilai dari

\begin{array}{llll}\\ &&a.&\left ( \tan 30^{0}+\sin 30^{0} \right )\cos 30^{0}\\ &&b.&\left ( \tan 60^{0} \right )^{2}+4\left ( \sin 60^{0} \right )^{2}\\ &&c.&\tan 60^{0}-\sin 60^{0}-\tan 30^{0}\\ &&d.&\displaystyle \frac{1+\sin 30^{0}}{\sin 30^{0}}+\frac{\cos 30^{0}}{1+\sin 30^{0}}\\ &&e.&\displaystyle \frac{2\tan 30^{0}}{1+\tan ^{2}30^{0}} \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{llll}\\ &&a.&\left ( \tan 30^{0}+\sin 30^{0} \right )\cos 30^{0}\\ &&&=\displaystyle \left ( \frac{1}{3}\sqrt{3}+\frac{1}{2} \right ).\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ &&&=\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{4}\sqrt{3} \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&b.&\left ( \tan 60^{0} \right )^{2}+4\left ( \sin 60^{0} \right )^{2}\\ &&&\displaystyle =\left ( \sqrt{3} \right )^{2}+4\left ( \frac{1}{2}\sqrt{3} \right )^{2}\\ &&&\displaystyle =3+3\\ &&&=6 \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&c.&\tan 60^{0}-\sin 60^{0}-\tan 30^{0}\\ &&&=\displaystyle \sqrt{3}-\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{3}\sqrt{3}\\ &&&=\displaystyle \sqrt{3}-\frac{5}{6}\sqrt{3}\\ &&&=\displaystyle \frac{1}{6}\sqrt{3} \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&d.&\displaystyle \frac{1+\sin 30^{0}}{\sin 30^{0}}+\frac{\cos 30^{0}}{1+\sin 30^{0}}\\ &&&=\displaystyle \frac{1+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}+\frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}}{1+\frac{1}{2}}\\ &&&=\displaystyle 3+\frac{1}{3}\sqrt{3} \end{array}.

 \begin{array}{llll}\\ &&e.&\displaystyle \frac{2\tan 30^{0}}{1+\tan ^{2}30^{0}}\\ &&&=\displaystyle \frac{2\times \frac{1}{3}\sqrt{3}}{1+\left ( \frac{1}{3}\sqrt{3} \right )^{2}}\\ &&&=\displaystyle \frac{\frac{2}{3}\sqrt{3}}{1+\frac{1}{3}}\\ &&&=\displaystyle \frac{\frac{2}{3}\sqrt{3}}{\frac{4}{3}}\\ &&&=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{array}.

3. Perhatikan ilustrasi berikut

153

Jika Jarak antara kucing seorang pencatat dan kucing adalah 100 m, maka jarak Pencatat tersebut dengan seorang tentara sebagaimana gambar tersebut di atas adalah?

Jawab:

Perhatikan gambar di atas dengan diberikan tambahan keterangan sebagai berikut

154

Ditanya berpakah  panjang jarak  \left ( x+100 \right )\: meter ?

\begin{aligned}y&=y\\ x.\tan 60^{0}&=\left ( x+100 \right ).\tan 30^{0}\\ x.\sqrt{3}&=\left ( x+100 \right )\frac{1}{3}\sqrt{3}\\ 3x&=x+100\\ 2x&=100\\ x&=50 \end{aligned}.

Jadi  x+100=50+100=150  meter.

4. Tentukanlah perbandingan trigonometri  \angle XOA  jika A(3,5).

Jawab:

Perhatikan ilustrasi berikut

155

 Dengan memandang ilustrasi gambar di atas kita mendapatkan  \triangle OAA', dengan menggunakan teorema pythagoras kita mendapatkan

\begin{aligned}OA^{2}&=\left ( OA' \right )^{2}+\left ( AA' \right )^{2}\\ &=3^{2}+5^{2}\\ &=9+25\\ &=34\\ OA&=\sqrt{34} \end{aligned}.

\begin{array}{llll}\\ &&a.&\displaystyle \sin A'OA=\frac{5}{\sqrt{34}}=\frac{5}{34}\sqrt{34}\\ \\ &&b.&\displaystyle \cos A'OA=\frac{3}{\sqrt{34}}=\frac{3}{34}\sqrt{34}\\ \\ &&c.&\displaystyle \tan A'OA=\frac{5}{3}\\ \\ &&d.&\csc A'OA,\quad \sec A'OA,\quad \cot A'OA\quad silahkan\: \: coba\: \: sendiri\: \: sebagai\: \: latihan \end{array}.

C. Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub/Polar

Perhatikanlah ilustrasi berikut

161

\begin{array}{|c|c|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{Koordinat}\\\hline Kartesius\: \rightarrow \: Kutub&Kutub\: \rightarrow \: Kartesius\\\hline P(x,y)\: \rightarrow \: P\left ( r,\alpha ^{0} \right )&P\left ( r,\alpha ^{0} \right )\: \rightarrow \: P(x,y)\\\hline r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\quad \displaystyle \tan \alpha ^{0}=\frac{y}{x},\quad \displaystyle \alpha ^{0}=\arctan \frac{y}{x}&\left\{\begin{matrix} x=r.\cos \alpha ^{0}\\ \\ y=r.\sin \alpha ^{0} \end{matrix}\right.\\\hline \end{array}.

D. Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran

\begin{array}{llll}\\ &&(1).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudut\: \left ( 90^{0}-\alpha \right )\\ &&&a.\quad \sin \alpha \rightarrow \sin \left ( 90^{0}-\theta \right )=\cos \theta \\ &&&b.\quad \cos \alpha \rightarrow \cos \left ( 90^{0}-\theta \right )=\sin \theta \\ &&&c.\quad \tan \alpha \rightarrow \tan \left ( 90^{0}-\theta \right )=\cot \theta \\ &&&d.\quad \cot \alpha \rightarrow \cot \left ( 90^{0}-\theta \right )=\tan \theta \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&(2).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudut\: \left ( 180^{0}-\alpha \right )\\ &&&a.\quad \sin \alpha \rightarrow \sin \left ( 180^{0}-\theta \right )=\sin \theta \\ &&&b.\quad \cos \alpha \rightarrow \cos \left ( 180^{0}-\theta \right )=-\cos \theta \\ &&&c.\quad \tan \alpha \rightarrow \tan \left ( 180^{0}-\theta \right )=-\tan \theta \\ &&&d.\quad \cot \alpha \rightarrow \cot \left ( 180^{0}-\theta \right )=-\cot \theta \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&(3).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudut\: \left ( 180^{0}+\alpha \right )\\ &&&a.\quad \sin \alpha \rightarrow \sin \left ( 180^{0}+\theta \right )=-\sin \theta \\ &&&b.\quad \cos \alpha \rightarrow \cos \left ( 180^{0}+\theta \right )=-\cos \theta \\ &&&c.\quad \tan \alpha \rightarrow \tan \left ( 180^{0}+\theta \right )=\tan \theta \\ &&&d.\quad \cot \alpha \rightarrow \cot \left ( 180^{0}+\theta \right )=\cot \theta \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&(4).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudut\: \left ( 360^{0}-\alpha \right )\\ &&&a.\quad \sin \alpha \rightarrow \sin \left ( 360^{0}-\theta \right )=-\sin \theta \\ &&&b.\quad \cos \alpha \rightarrow \cos \left ( 360^{0}-\theta \right )=\cos \theta \\ &&&c.\quad \tan \alpha \rightarrow \tan \left ( 360^{0}-\theta \right )=-\tan \theta \\ &&&d.\quad \cot \alpha \rightarrow \cot \left ( 360^{0}-\theta \right )=-\cot \theta \end{array}.

Perhatikan ilustrasi berikut

1

[Sumber]

Untuk sudut  \alpha > 360^{0}.

\begin{array}{llll}\\ &&(5).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudutnya\\ &&&a.\quad \sin \alpha \rightarrow \sin \left ( k.360^{0}+\theta \right )=\sin \theta \\ &&&b.\quad \cos \alpha \rightarrow \cos \left ( k.360^{0}+\theta \right )=\cos \theta \\ &&&c.\quad \tan \alpha \rightarrow \tan \left ( k.360^{0}+\theta \right )=\tan \theta \\ \end{array}.

Perbandingan trigonometri untuk sudut negatif

\begin{array}{llll}\\ &&(6).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudutnya\\ &&&a.\quad \sin \left ( -\alpha \right ) = -\sin \alpha \\ &&&b.\quad \cos \left ( -\alpha \right ) =\cos \alpha \\ &&&c.\quad \tan \left ( -\alpha \right ) =-\tan \alpha \\ &&&d.\quad \csc \left ( -\alpha \right ) =-\csc \alpha \\ &&&e.\quad \sec \left ( -\alpha \right ) =\sec \alpha \\ &&&f.\quad \cot \left ( -\alpha \right ) =-\cot \alpha \end{array}.

\LARGE\fbox{\fbox{Contoh Soal}}.

1. Tanpa menggunakan tabel/kalkulator tentukanlah nilai  \sin \alpha ,\: \cos \alpha \: dan\: \tan \alpha jika diketahui  \alpha =.

\begin{array}{llll}\\ &&a.&120^{0}\qquad b.\: 240^{0}\qquad c.\: 300^{0}\qquad d.\: 1125^{0} \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{llll}\\ &&(a).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudutnya\: 120^{0}\\ &&&1.\quad \sin 120^{0} = \sin \left ( 180^{0}-60^{0} \right )=\sin 60^{0}=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ &&&2.\quad \cos 120^{0} =\cos \left ( 180^{0}-60^{0} \right )=-\cos 60^{0}=-\displaystyle \frac{1}{2} \\ &&&3.\quad \tan 120^{0} =\tan \left ( 180^{0}-60^{0} \right )=-\tan 60^{0}=-\displaystyle \sqrt{3} \\ \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&(b).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudutnya\: 240^{0}\\ &&&1.\quad \sin 240^{0} = \sin \left ( 180^{0}+60^{0} \right )=-\sin 60^{0}=-\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ &&&2.\quad \cos 240^{0} =\cos \left ( 180^{0}+60^{0} \right )=-\cos 60^{0}=-\displaystyle \frac{1}{2} \\ &&&3.\quad \tan 240^{0} =\tan \left ( 180^{0}+60^{0} \right )=\tan 60^{0}=\displaystyle \sqrt{3} \\ \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&(c).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudutnya\: 300^{0}\\ &&&1.\quad \sin 300^{0} = \sin \left ( 360^{0}-60^{0} \right )=-\sin 60^{0}=-\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ &&&2.\quad \cos 300^{0} =\cos \left ( 360^{0}-60^{0} \right )=\cos 60^{0}=\displaystyle \frac{1}{2} \\ &&&3.\quad \tan 300^{0} =\tan \left ( 360^{0}-60^{0} \right )=-\tan 60^{0}=-\displaystyle \sqrt{3} \\ \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&(d).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudutnya\: 1125^{0}\\ &&&1.\quad \sin 1125^{0} = \sin \left ( 3\times 360^{0}+45^{0} \right )=\sin 45^{0}=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ &&&2.\quad \cos 1125^{0} =\cos \left ( 3\times 360^{0}+45^{0} \right )=\cos 45^{0}=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ &&&3.\quad \tan 1125^{0} =\tan \left ( 3\times 360^{0}+45^{0} \right )=\tan 45^{0}=1 \\ \end{array}.

2. Tunjukkan bahwa

\begin{array}{llll}\\ &&a.&\displaystyle \frac{\sec \left ( 180^{0}-\alpha \right )}{\tan \left ( 180^{0}+\alpha \right )}=-\csc \alpha \\\\ &&b.&\displaystyle \frac{\sin \left ( 90^{0}-\alpha \right )}{\sec \left ( 180^{0}-\alpha \right )}=-\cos ^{2}\alpha \\\\ &&c.&\displaystyle \frac{\cot 99^{0}}{\cos 198^{0}}\times \frac{\cos 378^{0}}{\cos 81^{0}}=\sec 9^{0}\\\\ &&d.&\tan 71^{0}+\tan 289^{0}+\tan 161^{0}+\tan 199^{0}=0 \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{llll}\\ &&a.&\displaystyle \frac{\sec \left ( 180^{0}-\alpha \right )}{\tan \left ( 180^{0}+\alpha \right )} \\ &&&=\displaystyle \frac{-\sec \alpha }{\tan \alpha }=\frac{-\frac{1}{\cos \alpha }}{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}=-\frac{1}{\sin \alpha }=-\csc \alpha \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&b.&\displaystyle \frac{\sin \left ( 90^{0}-\alpha \right )}{\sec \left ( 180^{0}-\alpha \right )} \\ &&&=\displaystyle \frac{\cos \alpha }{-\sec \alpha }=\frac{\cos \alpha }{-\frac{1}{\cos \alpha }}=-\cos ^{2}\alpha \\ \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&c.&\displaystyle \frac{\cot 99^{0}}{\cos 198^{0}}\times \frac{\cos 378^{0}}{\cos 81^{0}}\\ &&&=\displaystyle \frac{-\cot 81^{0}}{-\cos 18^{0}}\times \frac{\cos \left ( 360^{0}+18^{0} \right ) }{\cos 81^{0}}= \frac{\frac{\cos 81^{0}}{\sin 81^{0}}}{\cos 81^{0}}=\frac{1}{\sin 81^{0}}\\ &&&=\displaystyle \frac{1}{\sin \left ( 90^{0}-9^{0} \right )}=\frac{1}{\cos 9^{0}}=\sec 9^{0} \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&d.&\tan 71^{0}+\tan 289^{0}+\tan 161^{0}+\tan 199^{0}\\ &&&=\tan 71^{0}+\tan \left ( 360^{0}-71^{0} \right )+\tan \left ( 180^{0}-19^{0} \right )+\tan \left ( 180^{0}+19^{0} \right )\\ &&&=\tan 71^{0}-\tan 71^{0}-\tan 19^{0}+\tan 19^{0}\\ &&&=0 \end{array}.

3. Diketahui koordinat kutub titik M adalah  M\left ( 8,60^{0} \right ) , maka koordinat kartesiusnya adalah….

Jawab:

Diketahui\quad M\left ( 8,60^{0} \right )\: \rightarrow \: M\left ( x,y \right ).....?\\\\ M\left ( 8,60^{0} \right )\left\{\begin{matrix} r=8\\ \\ \alpha ^{0}=60^{0} \end{matrix}\right.\\\\ \begin{aligned}M\left ( 8,60^{0} \right )&\Rightarrow \\ x&=r.\cos \alpha ^{0} &=8.\cos 60^{0} &=8.\left ( \frac{1}{2} \right ) &=4\\ y&=r.\sin \alpha ^{0} &=8.\sin 60^{0} &=8.\frac{1}{2}\sqrt{3} &=4\sqrt{3} \end{aligned}\\\\ Jadi\quad M\left ( 8,60^{0} \right )\: \rightarrow \: M\left ( 4,4\sqrt{3} \right ).

E. Identitas Trigonometri

\begin{array}{llll}\\ &&1.&\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1\\\\ &&2.&\sec ^{2}\alpha -\tan ^{2}\alpha =1\\\\ &&3.&\csc ^{2}\alpha -\cot ^{2}\alpha =1\\\\ &&4.&\displaystyle \tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{1}{\cot \alpha }\\\\ &&5.&\displaystyle \csc \alpha =\frac{1}{\sin \alpha }\\\\ &&6.&\displaystyle \sec \alpha =\frac{1}{\cos \alpha } \end{array}.

F. Fungsi Trigonometri

Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut untuk grafik fungsi sinus dan cosinus

159

[Sumber]

Untuk fungsi tangen,

160

[sumber]

Fungsi Sinus ,   f(x)= sin x

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&0&\frac{\pi }{6}&\frac{\pi }{4}&\frac{\pi }{3}&\frac{\pi }{2}&\frac{2\pi }{3}&\frac{3\pi }{4}&\frac{5\pi }{6}&\pi &\frac{7\pi }{6}&\frac{5\pi }{4}&\frac{4\pi }{3}&\frac{3\pi }{2}&\frac{5\pi }{3}&\frac{7\pi }{4}&\frac{11\pi }{6}&2\pi \\\hline f(x)&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}&1&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}&0&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{3}&-1&-\frac{1}{2}\sqrt{3}&-\frac{1}{2}\sqrt{2}&-\frac{1}{2}&0\\\hline \end{array}.

Fungsi Cosinus ,  f(x)=cos x

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&0&\frac{\pi }{6}&\frac{\pi }{4}&\frac{\pi }{3}&\frac{\pi }{2}&\frac{2\pi }{3}&\frac{3\pi }{4}&\frac{5\pi }{6}&\pi &\frac{7\pi }{6}&\frac{5\pi }{4}&\frac{4\pi }{3}&\frac{3\pi }{2}&\frac{5\pi }{3}&\frac{7\pi }{4}&\frac{11\pi }{6}&2\pi \\\hline f(x)&1&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}&0&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{3}&-1&-\frac{1}{2}\sqrt{3}&-\frac{1}{2}\sqrt{2}&-\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}&1\\\hline \end{array}.

Fungsi Tangen ,  f(x)=tan x

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&0&\frac{\pi }{6}&\frac{\pi }{4}&\frac{\pi }{3}&\frac{\pi }{2}&\frac{2\pi }{3}&\frac{3\pi }{4}&\frac{5\pi }{6}&\pi &\frac{7\pi }{6}&\frac{5\pi }{4}&\frac{4\pi }{3}&\frac{3\pi }{2}&\frac{5\pi }{3}&\frac{7\pi }{4}&\frac{11\pi }{6}&2\pi \\\hline f(x)&0&\frac{1}{3}\sqrt{3}&1&\sqrt{3}&\infty &-\sqrt{3}&-1&-\frac{1}{3}\sqrt{3}&0&\frac{1}{3}\sqrt{3}&1&\sqrt{3}&\infty &-\sqrt{3}&-1&-\frac{1}{3}\sqrt{3}&0\\\hline \end{array}.

Untuk :

f(x)=\left\{\begin{matrix} a\: \sin k\left ( x\pm \theta \right )\pm c\\\\ a\: \cos k\left ( x\pm \theta \right )\pm c\\\\ a\: \tan k\left ( x\pm \theta \right )\pm c \end{matrix}\right..

Periode\quad fungsi=\left\{\begin{matrix} \sin \: atau\: \cos=\displaystyle \frac{360^{0}}{\left | k \right |}\\ \\ \tan \: atau\: \cot =\displaystyle \frac{180^{0}}{\left | k \right |} \end{matrix}\right..

nilai\quad fungsi\quad \sin\: atau\: \cos=\left\{\begin{matrix} f(x)_{max}=\left | a \right |\pm c\\ \\ f(x)_{min}=-\left | a \right |\pm c \end{matrix}\right..

Amplitudo=\frac{1}{2}\left ( f(x)_{mak}-f(x)_{min} \right ).

G. Persamaan Trigonometri Sederhana

\begin{array}{lllll}\\ &&1.&&Jika\quad \sin x^{0}=\sin \alpha ,\quad maka\\ &&&&(i)\quad x^{0}=\alpha +k.360^{0}\\ &&&&(ii)\quad x^{0}=\left ( 180^{0}-\alpha \right )+k.360^{0}\\\\ &&2.&&Jika\quad \cos x^{0}=\cos \alpha ,\quad maka\\ &&&&x^{0}=\pm \alpha +k.360^{0}\\\\ &&3.&&Jika\quad \tan x^{0}=\tan \alpha ,\quad maka\\ &&&&x^{0}=\alpha +k.180^{0} \end{array}.

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{Contoh Soal}}.

1. Buktikan bahwa  \displaystyle \frac{\cos \alpha }{1+\sin \alpha }=\frac{1-\sin \alpha }{\cos \alpha }.

Bukti:

\begin{aligned}\frac{\cos \alpha }{1+\sin \alpha }&=\frac{\cos \alpha }{1+\sin \alpha }\times \frac{1-\sin \alpha }{1-\sin \alpha }\\ &=\frac{\cos \alpha \times \left ( 1-\sin \alpha \right )}{1-\sin ^{2}\alpha }\\ &=\frac{\cos \alpha \times \left ( 1-\sin \alpha \right )}{\cos ^{2}\alpha }\\ &=\frac{1-\sin \alpha }{\cos \alpha }\quad (\mathbf{Terbukti}) \end{aligned}.

2. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan  \displaystyle \cos \left ( 3x-45^{0} \right )=-\frac{1}{2}\sqrt{2},\quad untuk\quad 0^{0}\leq x\leq 360^{0}.

Jawab:

\begin{aligned}\cos \left ( 3x-45^{0} \right )&=-\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \cos \left ( 3x-45^{0} \right )&=\cos 135^{0}\\ 3x-45^{0}&=\pm 135^{0}+k.360^{0}\\ 3x&=45^{0}\pm 135^{0}+k.360^{0}\\ x&=\displaystyle \frac{45^{0}\pm 135^{0}+k.360^{0}}{3}\\ x&=15^{0}\pm 45^{0}+k.120^{0}\\ x&=60^{0}+k.120^{0}\qquad atau\qquad x=-30^{0}+k.120^{0}\\ k=0,\qquad \rightarrow x&=60^{0}\qquad\qquad\qquad atau\qquad x=90^{0}\\ k=1,\qquad \rightarrow x&=180^{0}\qquad\qquad\qquad atau\qquad x=210^{0}\\ k=2,\qquad \rightarrow x&=300^{0}\qquad\qquad\qquad atau\qquad x=330^{0} \end{aligned}.

Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah  =  \left \{ 60^{0}, 90^{0}, 180^{0}, 210^{0}, 300^{0},330^{0} \right \}.

3. Lukislah grafik fungsi  \displaystyle f(x)=2\left | \sin x \right |+1,\qquad untuk\quad 0\leq x\leq 2\pi ..

Jawab:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&0&\frac{\pi }{6}&\frac{\pi }{3}&\frac{\pi }{2}&\frac{2\pi }{3}&\frac{5\pi }{6}&\pi &\frac{7\pi }{6}&\frac{4\pi }{3}&\frac{3\pi }{2}&\frac{5\pi }{3}&\frac{11\pi }{6}&2\pi \\\hline \sin x&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}&1&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}&0&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{3}&-1&-\frac{1}{2}\sqrt{3}&-\frac{1}{2}&0\\\hline \left | \sin x \right |&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}&1&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}&1&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}&0\\\hline 2\left | \sin x \right |&0&1&\sqrt{3}&2&\sqrt{3}&1&0&1&\sqrt{3}&2&\sqrt{3}&1&0\\\hline 2\left | \sin x \right |+1&1&2&1+\sqrt{3}&3&1+\sqrt{3}&2&1&2&1+\sqrt{3}&3&1+\sqrt{3}&2&1\\\hline \end{array}.

Untuk gambar silahkan pembaca melukiskannya sendiri sebagai latihan.

H. Aturan Sinus, Kosinus,  dan Luas Segitiga

1. Aturan Sinus

166

\begin{array}{|c|}\hline \displaystyle \frac{a}{\sin A}= \frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\\\hline \end{array}.

2. Aturan Kosinus

\begin{aligned}\cos A&=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\\ \cos B&=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\\ \cos C&=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \end{aligned}.

3. Luas Segitiga

167

\begin{aligned}Luas\: \triangle \: ABC&=\frac{1}{2}.bc.\sin A\\ &=\frac{1}{2}.ac.\sin B\\ &=\frac{1}{2}.ab.\sin C \end{aligned}.

atau

\begin{aligned}Luas\: \triangle \: ABC&=\frac{a^{2}.\sin B.\sin C}{2\sin A}\\ &=\frac{b^{2}.\sin A.\sin C}{2\sin B}\\ &=\frac{c^{2}.\sin A.\sin B}{2\sin C} \end{aligned}.

atau

\begin{aligned}Luas\: \triangle \: ABC&=\sqrt{s\left ( s-a \right )\left ( s-b \right )\left ( s-c \right )}\qquad dengan\qquad s=\frac{1}{2}\left ( a+b+c \right ) \end{aligned}.

\begin{tabular}{|p{6.0cm}cp{6.0cm}|}\hline &\textbf{Contoh Soal}&\\\hline \end{tabular}.

1. Diketahui  \triangle ABC dengan panjang sisi AC=10 cm dan BC=16 cm serta luas \triangle ABC=40\: cm^{2}  , maka  besar  \angle ACB  jika  sudutnya lancip adalah …

Jawab:

Diketahui  \left\{\begin{matrix} AC=10\: cm\\ BC=16\: cm\\ L_{\triangle }=40\: cm^{2} \end{matrix}\right., maka

\begin{aligned}L_{\triangle ABC}&=\frac{1}{2}.AC.BC.\sin \angle ACB\\ 40&=\frac{1}{2}.10.16.\sin \angle ACB\\ 40&=80.\sin \angle ACB\\ \frac{40}{80}&=\sin \angle ACB\\ \sin \angle ACB&=\frac{1}{2}\\ \sin \angle ACB&=\sin 30^{0}\\ \angle ACB&=30^{0} \end{aligned}.

2. Perhatikanlah gambar berikut

168

Jika  AB+3=BC+2=CD+1=AD=4\: cm, maka  \cos \angle BAD adalah ….

Jawab:

Perhatikan kembali ilustrasi berikut

169

Langkah awal kita gunakan garis bantu BD untuk nantinya kita mendapatkan nilai cos dari sudut A, yaitu

\begin{aligned}BD^{2}&=BA^{2}+DA^{2}-2.BA.DA.\cos \angle A\\ &=1^{2}+4^{2}-2.1.4.\cos \angle A\\ &=17-8\cos \angle A\\ BD^{2}&=BC^{2}+DC^{2}-2.BC.DC.\cos \angle C\\ &=2^{2}+3^{2}-2.2.3.\cos \angle C\\ &=13-12\cos \angle C \end{aligned}\\\\ Perlu\quad diketahui\quad bahwa \angle A+\angle C=\angle B+\angle C=180^{0},\qquad karena\quad ABCD\quad segiempat\quad talibusur\\\\ Sehingga,\\\\ \angle C=180^{0}-\angle A.

Selanjutnya,

\begin{aligned}BD^{2}&=BD^{2}\\ 17-8\cos \angle A&=13-12\cos \angle C\\ 12\cos \angle C-8\cos \angle A&=13-17\\ 12\left ( \cos \left ( 180^{0}-\angle A \right ) \right )-8\cos \angle A&=-4\\ 12\left ( -\cos \angle A \right )-8\cos \angle A&=-4\\ -12\cos \angle A-8\cos \angle A&=-4\\ -20\cos \angle A&=-4\\ \cos \angle A&=\frac{-4}{-20}\\ \cos \angle A&=\frac{1}{5} \end{aligned}.

3. Carilah luas  \triangle ABC jika diketahui  AB=10 cm, AC=14 cm dan BC=16 cm.

Jawab:

Diketahui\:\: bahwa\:\: L_{\triangle ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\quad dengan s=\frac{1}{2}\left ( a+b+c \right )\quad \left\{\begin{matrix} AB=c=10\: cm\\ AC=b=14\: cm\\ BC=a=16\: cm \end{matrix}\right.\\\\ s=\frac{1}{2}\left ( 10+14+16 \right )=\frac{1}{2}.40=20\\\\ \begin{aligned}L_{\triangle ABC}&=\sqrt{20.\left ( 20-10 \right ).\left ( 20-14 \right ).\left ( 20-10 \right )}.\\ &=\sqrt{20(10)(6)(4)}\\ &=\sqrt{4800}\\ &=40\sqrt{3}\quad cm^{2} \end{aligned}.

\LARGE \fbox{\LARGE \fbox{Latihan Soal}}.

1. Perhatikanlah  gambar berikut

170

Tentukanlah nilai  \cos \angle RSP.

2. Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut

171

Carilah besar sudut dan panjang sisi yang belum diketahui dari segitiga di atas, kemudian cari pula luasnya?

3. (EBTANAS 2001) Diketahui luas segitiga ABC adalah  \left ( 3+2\sqrt{3} \right )\: cm^{2} . Jika panjang sisi  AB=\left ( 6+4\sqrt{3} \right )\: cm  dan  BC=7 cm, maka nilai  \sin \angle ABC = ….

4. Diketahui seorang penerjun hendak mendarat secara vertikal sebagaimana ilustrasi berikut

172

Carilah  harga x ?

5. Jika pada jajargenjang ABCD, dua diagonal panjangnya masing-masing 12 cm dan 16 cm dan sudut apitnya adalah  60^{0}  , maka luas jajargenjang tersebut adalah ….

6. Diketahui  y=1+\cos 2x,\quad dengan\quad 0\leq x\leq 2\pi, carilah

\begin{tabular}{lcp{8.0cm}}\\ &a.&nilai maksimum dan minimum fungsi,\\ &b.&amplitudo, dan\\ &c.&gambarlah sketsa grafiknya \end{tabular}.

7. Buktikanlah bahwa

\begin{array}{llll}\\ &&a.&\sin ^{2}x-\sin ^{2}x.\cos ^{2}x=\sin ^{4}x\\ &&b.&\tan x.\sin x+\cos x=\sec x\\ &&c.&\sin ^{4}x-\cos ^{4}x=\sin ^{2}x-\cos ^{2}x\\ &&d.&\left ( \cos x+\sin x \right )\left ( \cos x-\sin x \right )=1-2\sin ^{2}x\\ &&e.&\left ( 1+\tan ^{2}x \right )\left ( 1-\cos ^{2}x \right )=\tan ^{2}x\\ &&f.&\sqrt{1+2\sin x.\cos x}=\sin x+\cos x\\ &&g.&\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\cos x.\sin x}\\ &&h.&\displaystyle \frac{\cos x}{1-\tan x}+\frac{\sin x}{1-\cot x}=\cos x+\sin x\\ &&i.&\displaystyle \left ( \frac{\tan x-1}{\tan x+1} \right )\left ( \frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x} \right )=1 \end{array}.

Daftar Pustaka

  1. Kurnianingsih, Sri , Kuntarti dan Sulistiyono. 2007. Matematika SMA dan MAuntuk Kelas X Semester 2 Standar Isi 2006. Jakarta: esis.
  2. Marwanta, dkk. 2013. Matematika SMA Kelas X. Jakarta: Yudistira.
  3. Sobirin. 2005. Kompas Matematika (Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika) SMA Kelas 1. Depok: Kawan Pustaka.
  4. Tim Inovasi Guru Matematika SMA. Suplemen Matematika KBK Kelas X Semester II. Semarang: CV. Sarana Ilmu.

Pertidaksamaan Nilai Mutlak, Pecahan, dan Irasional

A. Nilai Mutlak

Untuk  x\in \mathbb{R}  konsep nilai mutlak didefinisikan sebagai

\left | x \right |=\left\{\begin{matrix} x,&jika&x\geq 0\\ \\ \\ -x,&jika&x< 0 \end{matrix}\right..

Untuk  x,\: y\: \in \mathbb{R},

\left | x-y \right |=\left\{\begin{matrix} x-y,&jika&x\geq y\\ \\ \\ -(x-y)=&y-x,&jika&x< y \end{matrix}\right..

Sebagai tambahan

\begin{array}{llll}\\ &&\bullet &Perlu\: diingat\: juga\\\\ &&&1.\quad \left | x.y \right |=\left | x \right |.\left | y \right |\\\\ &&&2.\quad \displaystyle \left | \frac{x}{y} \right |=\frac{\left | x \right |}{\left | y \right |}\\\\ &&&3.\quad \left | x \right |=\sqrt{x^{2}}\end{array}.

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{Contoh Soal}}

1. Dengan menggunakan sifat  \left | x \right |=\sqrt{x^{2}}, buktikan bahwa:

\begin{array}{llll}\\ &&.&\\ &&&a.\quad \left | a.b.c \right |=\left | a \right |.\left | b \right |.\left | c \right |\\\\ &&&b.\quad \displaystyle \left | \frac{a}{b} \right |=\frac{\left | a \right |}{\left | b \right |} \end{array}.

Bukti:

1.a      \left | a.b.c \right |=\sqrt{a^{2}.b^{2}.c^{2}}=\sqrt{a^{2}}.\sqrt{b^{2}}.\sqrt{c^{2}}=\left | a \right |.\left | b \right |.\left | c \right |\qquad \textbf{(terbukti)}.

1.b     \displaystyle \left | \frac{a}{b} \right |=\sqrt{\left ( \frac{a}{b} \right )^{2}}=\frac{\sqrt{a^{2}}}{\sqrt{b^{2}}}=\frac{\left | a \right |}{\left | b \right |}\qquad \textbf{(terbukti)}.

\begin{array}{llll}\\ &&2.&Selesaikanlah\: setiap\: soal\: berikut\: ini!\\ &&&a.\quad 4-x=\left | 7x \right |\\ &&&b.\quad \left | 2x-5 \right |=-7\\ &&&c.\quad 2x+3=\left | 4x+5 \right |\\ &&&d.\quad \left | 5x+3 \right |=\left | 3x+5 \right |\\ &&&e.\quad \left | x-2 \right |=\left | 3-2x \right |\\ &&&f.\quad \displaystyle \left | \frac{x+2}{x-2} \right |=5\\ &&&g.\quad \displaystyle \left | \frac{3x+8}{2x-3} \right |=4 \end{array}.

Moga dapat berlanjut insyaAllah

Persamaan dan Fungsi Kuadrat (K13)

\LARGE\fbox{Kelas X Wajib}

Bagi Anda sekalian yang menggunakan kurikulum 2013

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat}}.

1. Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat dalam variabel x adalah

\LARGE\boxed{\LARGE\boxed{{ax^{2}+bx+c=0}}}

dengan  a,b,c\in \mathbb{R},a\neq 0 \left\{\begin{matrix} a=koefisien\: x^{2}\\ \\ b=koefisioen\: x\\ \\ c=konstanta \end{matrix}\right..

2. Penyelesaian Persamaan Kuadrat

\begin{array}{llll}\\ &&a.&Memfaktorkan\\ &&&\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )=0,\quad atau\\ &&&\displaystyle \frac{1}{a}\left ( ax-p \right )\left ( ax-q \right )=0,\quad jika\: koefisien\: x^{2}\: lebih\: dari\: \: 1\\ &&b.&melengkapkan\: kuadrat\: sempurna\\ &&&\displaystyle x=-\frac{1}{2}b\pm \sqrt{\left ( \frac{1}{2}b \right )^{2}-c},\quad jika\: \left ( \frac{1}{2}b \right )^{2}-c\geq 0\\ &&c.&Rumus\: ABC\\ &&&\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \end{array}.

3. Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

\displaystyle x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\qquad\quad dan\qquad\quad x_{1}\times x_{2}=\frac{c}{a}.

4. Persamaan Kuadrat Baru dengan Akar-Akar  \displaystyle \mathbf{x_{1}}  dan  \displaystyle \mathbf{x_{2}}.

\displaystyle \mathbf{x^{2}-\left ( x_{1}+x_{2} \right )x+x_{1}.x_{2}=0}.

5. Fungsi Kuadrat

Adalah suatu fungsi yang berupa   f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c,\qquad dengan\: \: a,b,c\in \mathbb{R}.

Beberapa hal yang perlu diketahui berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat adalah:

  • Jika  a> 0, kurva terbuka ke atas.
  • Jika  a< 0 , kurva terbuka ke bawah.
  • Jika  D> 0, kurva memotong sumbu  x di dua titik yang berbeda.
  • Jika  D= 0, kurva menyinggung sumbu x.
  • Jika  D< 0, kurva tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu x.

5.1 Fungsi kuadrat jika grafiknya menyinggung sumbu X di titik  \left ( x_{1},0 \right ) dan melalui sebuah titik tertentu, maka persamaan fungsi kuadratnya adalah

\LARGE\boxed{y=f(x)=a\left ( x-x_{1} \right )^{2}}.

5.2 Fungsi kuadrat jika grafiknya memotong sumbu X di titik  \left ( x_{1},0 \right )\quad dan\quad \left ( x_{2},0 \right )  adalah

\LARGE\boxed{y=f\left ( x \right )=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )}.

5.3 Fungsi kuadrat jika grafiknya melalui titik puncak/balik/ekstrim  \left ( x_{p},y_{p} \right )  dan melalui sebuah titik tertentu, maka persamaan fungsi kuadratnya adalah

\LARGE\boxed{y=f(x)=a\left ( x-x_{p} \right )^{2}+y_{p}}.

\LARGE\fbox{\fbox{Contoh Soal}}

1. Persamaan kuadrat  \mathbf{x^{2}-9x+3}  mempunyai akar  r  dan  s. Jika \mathbf{x^{2}-bx+c}=0  memiliki akar  \mathbf{r^{2}}  dan  \mathbf{s^{2}}, maka nilai dari  \displaystyle \mathbf{\frac{a}{b}}  adalah ….

Jawab:

\begin{array}{llll}\\ &&&x^{2}-9x+3=0\left\{\begin{matrix} r\\ \\ s \end{matrix}\right.\\ &&&\displaystyle r+s=9\\ &&&\displaystyle rs=3\\ &&&x^{2}-bx+c=0\left\{\begin{matrix} r^{2}\\ \\ s^{2} \end{matrix}\right.\\ &&&\displaystyle \frac{b}{c}=\frac{\left ( r+s \right )^{2}-2rs}{\left ( rs \right )^{2}}=\frac{9^{2}-2.3}{3^{2}}=\frac{25}{3} \end{array} \\\\Jadi\quad \displaystyle \frac{b}{c}=\frac{25}{3}.

2. Diketahui persamaan kuadrat  x^{2}+2ax+b=0 memiliki akar yang berlawanan \displaystyle \left ( x_{1}=-x_{2} \right )
, tentukanlah  a  dan  b.

Jawab:

Diketahui bahwa

x^{2}+2ax+b=0\left\{\begin{matrix} a=1\\ b=2a\\ c=b \end{matrix}\right.\\\\\\\\ Sehingga\:untuk\\\\\\ \begin{aligned}x_{1}&=-x_{2}\\ x_{1}+x_{2}&=0\\ \left ( -2a \right )&=0\\ a&=0\\\\ serta\\\\ x_{1}.x_{2}&=b\\ \left ( -x_{2} \right ).x_{2}&=b\\ -x_{2}^{2}&=b \end{aligned}

3. Tentukanlah semua nilai  c sehingga persamaan  \displaystyle \mathbf{x^{2}-4x-c-\sqrt{8x^{2}-32x-8c}}=0  memiliki tepat dua solusi real  untuk  c.

Jawab:

\begin{aligned}x^{2}-4x-c-\sqrt{8x^{2}-32x-8c}&=0\\ x^{2}-4x-c&=\sqrt{8x^{2}-32x-8c}\qquad (dikuadratkan\: masing-masing\: ruas)\\ \left ( x^{2}-4x-c \right )^{2}&=8x^{2}-32x-8c\\ \left ( x^{2}-4x-c \right )^{2}-8\left ( x^{2}-4x-c \right )&=0\\ \left ( x^{2}-4x-c \right )\left ( x^{2}-4x-c-8 \right )&=0\\\\\\ \end{aligned}\\ karena\: D\geq 0\: (memiliki\: 2\: akar\: real)\\\\\\ \begin{aligned}x^{2}-4x-c=0&\qquad atau\qquad x^{2}-4x-c-8=0\\ D=\left ( -4 \right )^{2}-4.1.(-c)\geq 0&\qquad atau\qquad D=\left ( -4 \right )^{2}-4.1.(-c-8)\geq 0\\ 16+4c\geq 0&\qquad atau\qquad 16+4c+32\geq 0\\ c\geq -4&\qquad atau\qquad c\geq -12 \end{aligned}.

Kita ambil yang  c\geq -4.

Catatan:

Jawaban ini sekaligus koreksi jawaban di ebook Materi dan Contoh Soal Olimpiade Matematika MA/SMA pada soal yang sama. Apabila pembaca sekalian masih menemukan ada kesalahan, saya dengan senang hati menerima masukan dan sekaligus solusi yang paling tepat dari pembaca sekalian untuk pencerahan kepada saya khususnya dan pemirsa pada umumnya).

4. Jika  \alpha  dan  \beta  adalah akar-akar dari persamaan  \mathbf{ 2x^{2}-5x-3=0}  , maka tentukanlah nilai berikut tanpa menyelesaikan  persamaannya terlebih dahulu

\begin{array}{l}\\ a.\quad \alpha ^{2}+\beta ^{2}\qquad\quad b.\quad \frac{2}{\alpha }+\frac{2}{\beta }\qquad\quad c.\quad 3\alpha +3\beta\qquad d.\quad \alpha ^{2}\beta +\alpha \beta ^{2}\\\\ e.\quad \frac{1}{\alpha -4}+\frac{1}{\beta -4}\qquad f.\quad \alpha ^{3}+\beta ^{3}\qquad g.\quad \left ( \alpha -\beta \right )^{2} \end{array}.

Jawab:

Diketahui persamaan

2x^{2}-5x-3=0\left\{\begin{matrix} a=2\\ b=-2\\ c=-3 \end{matrix}\right.\\\\\\ \begin{aligned}\alpha +\beta &=-\frac{b}{a}\\ &=-\left ( \frac{-5}{2} \right )=\frac{5}{2}\\\\ \alpha \beta &=\frac{c}{a}\\ &=\frac{-3}{2} \end{aligned}\\\\\\ Perlu\: diingat\: juga\\\\ \left ( \alpha +\beta \right )^{2}=\alpha ^{2}+2\alpha \beta +\beta ^{2}.

\begin{array}{llll}\\ &&a.&\alpha ^{2}+\beta ^{2}=\left ( \alpha +\beta \right )^{2}-2\alpha \beta =\displaystyle \left ( \frac{5}{2} \right )^{2}-2\left ( -\frac{3}{2} \right )\\ &&&=\displaystyle \frac{25}{4}+3 =\frac{37}{4}\\\end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&b.&\displaystyle \frac{2}{\alpha }+\frac{2}{\beta }=\frac{2\left ( \alpha +\beta \right )}{\alpha \beta }\\ &&&=\displaystyle \frac{2\left ( \frac{5}{2} \right )}{-\frac{3}{2}}=-\frac{10}{3}\end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&c.&\displaystyle 3\alpha +3\beta =3\left ( \alpha +\beta \right )=3\left ( \frac{5}{2} \right )=\frac{15}{2}\end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&d.&\displaystyle \alpha ^{2}\beta +\alpha \beta ^{2}=\alpha \beta \left ( \alpha +\beta \right )\\ &&&=\displaystyle \left ( -\frac{3}{2} \right )\left ( \frac{5}{2} \right )\\ &&&=\displaystyle -\frac{15}{4} \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&e.&\displaystyle \frac{1}{\alpha -4}+\frac{1}{\beta -4}=\frac{\left ( \beta -4 \right )+\left ( \alpha -4 \right )}{\left ( \alpha -4 \right )\left ( \beta -4 \right )}\\\\ &&&=\displaystyle \frac{\alpha +\beta -8}{\alpha \beta -4\left ( \alpha +\beta \right )+16}\\\\ &&&=\displaystyle \frac{\frac{5}{2}-8}{\left ( -\frac{3}{2} \right )-4\left ( \frac{5}{2} \right )+16}\times \left ( \frac{2}{2} \right )\\\\ &&&=\displaystyle \frac{5-16}{-3-20+32}\\\\ &&&=\displaystyle \frac{-11}{9}\\\\ &&&=\displaystyle -\frac{11}{9} \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&f.&\displaystyle \alpha ^{3}+\beta ^{3}=\left ( \alpha +\beta \right )^{3}-3\alpha \beta \left ( \alpha +\beta \right )\\ &&&=\displaystyle \left ( \frac{5}{2} \right )^{3}-3\left ( -\frac{3}{2} \right )\left ( \frac{5}{2} \right )\\\\ &&&=\displaystyle \frac{125}{8}+\frac{45}{4}\\\\ &&&=\displaystyle \frac{215}{8} \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&g.&\displaystyle \left ( \alpha -\beta \right )^{2}=\alpha ^{2}-2\alpha \beta +\beta ^{2}\\ &&&=\alpha ^{2}+\beta ^{2}-2\alpha \beta \\ &&&=\displaystyle \frac{37}{4}-2\left ( -\frac{3}{2} \right )\\\\ &&&=\displaystyle \frac{37}{4}+\frac{12}{4}\\\\ &&&=\displaystyle \frac{49}{4} \end{array}.

5. (Soal Kompetisi Matematika SMU XVIII DKI Jakarta) Jika diketahui  x_{1},x_{2},x_{3},  dan  x_{4}  adalah akar-akar dari persamaan

\LARGE{\left ( x+1 \right )\left ( 2x+1 \right )\left ( 3x-1 \right )\left ( 4x-1 \right )+6x^{4}=0}.

dan diketahui pula x_{4}> x_{3} > x_{2} > x_{1}   dan  x_{1}+x_{4}=m  serta  x_{2}+x_{3}=n  , maka nilai  m\times n = ….

Jawab:

\begin{aligned}\left ( x+1 \right )\left ( 2x+1 \right )\left ( 3x-1 \right )\left ( 4x-1 \right )+6x^{4}&=0\\ \left ( \left ( x+1 \right )\left ( 2x+1 \right ) \right )\left ( \left ( 3x-1 \right )\left ( 4x-1 \right ) \right )+6x^{4}&=0\\ \left ( 2x^{2}+3x+1 \right )\left ( 12x^{2}-7x+1 \right )+6x^{4}&=0\\ 24x^{4}+22x^{3}-7x^{2}-4x+1+6x^{4}&=0\\ 30x^{4}+22x^{3}-7x^{2}-4x+1&=0\\ \left ( 5x^{2}+2x-1 \right )\left ( 6x^{2}+2x-1 \right )&=0\\ 5x^{2}+2x-1=0\quad V\quad 6x^{2}+2x-1&=0\\ \displaystyle x=\frac{-1}{5}\pm \frac{1}{5}\sqrt{6},\quad\quad x=\frac{-1}{6}\pm \frac{1}{6}\sqrt{7}&\\ \end{aligned}.

Selanjutnya kita urutkan nilai  x  dari besar kekecil, yaitu:

\begin{array}{l}\\ \quad x_{4}=\frac{-1}{5}+\frac{1}{5}\sqrt{6}\qquad\quad x_{3}=\frac{-1}{6}+\frac{1}{6}\sqrt{7}\\\\ \quad x_{2}=\frac{-1}{6}-\frac{1}{6}\sqrt{7}\qquad\quad x_{1}=\frac{-1}{5}-\frac{1}{5}\sqrt{6} \end{array}.

Sehingga

\begin{aligned}m=x_{1}+x_{4}&=\left ( \frac{-1}{5}-\frac{1}{5}\sqrt{6} \right ) +\left ( \frac{-1}{5}+\frac{1}{5}\sqrt{6} \right )=\frac{-2}{5}\\ n=x_{2}+x_{3}&=\left ( \frac{-1}{6}-\frac{1}{6}\sqrt{7} \right )+\left ( \frac{-1}{6}+\frac{1}{6}\sqrt{7} \right )=\frac{-1}{3}\end{aligned}\\\\\\ Jadi,\quad m\times n=\frac{-2}{5}\times \frac{-1}{3}=\frac{2}{15}.

6. Tentukan fungsi kuadrat, jika mempunyai titik balik (1, 4) dan melalui (0, 3)

Jawab:

Gunakan persamaan parabola/kuadrat yang melalui titik puncak, yaitu:

y=a\left ( x-x_{p} \right )^{2}+y_{p}\left\{\begin{matrix} \left ( x_{p},y_{p} \right )=\left ( 1,4 \right )\\ \\ \left ( x,y \right )=\left ( 0,3 \right ) \end{matrix}\right..

Selanjutnya

\begin{aligned}y&=a\left ( x-x_{p} \right )^{2}+y_{p}\\ 3&=a\left ( 0-1 \right )^{2}+4\\ a&=-1 \end{aligned}.

Sehingga persamaan kuadratnya adalah:

\begin{aligned}y&=a\left ( x-x_{p} \right )^{2}+y_{p}\\ y&=-1\left ( x-1 \right )^{2}+4\\ y&=-1\left ( x^{2}-2x+1 \right )+4\\ y&=-x^{2}+2x+3 \end{aligned}\\\\ \\ Jadi\\\\ \LARGE{y=-x^{2}+2x+3}.

7. Jumlah dari kuadrat dua bilangan ganjil berurutan adalah  130. Tentukan dua bilangan tersebut

Jawab:

Misalkan Bilangan ganjil berurutan yang dimaksud adalah A dan B, maka kita dapat menuliskannya dengan

\left\{\begin{matrix} A=(2x+1)\\ \\ B=(2x+3) \end{matrix}\right.\quad ,x\in \mathbb{N}.

Selanjutnya

\begin{aligned}A^{2}+B^{2}&=130\\ \left ( 2x+1 \right )^{2}+\left ( 2x+3 \right )^{2}&=130\\ 4x^{2}+4x+1+4x^{2}+12x+9&=130\\ 8x^{2}+16x+10-130&=0\\ 8x^{2}+16x-120&=0\\ x^{2}+2x-15&=0\\ \left ( x+5 \right )\left ( x-3 \right )&=0\\ \left ( x+5 \right )=0\quad V\quad \left ( x-3 \right )&=0\\ x=-5\quad V\quad x&=3 \end{aligned}.

dengan mengambil x = 3, kita mendapatkan bilangan ganjil yang dimaksud, yaitu

A=\left ( 2x+1 \right )=2(3)+1=7\qquad dan\qquad B=\left ( 2x+3 \right )=2(3)+3=9.

Jadi,  bilangan ganjil tersebut adalah 7 dan 9.

\LARGE\fbox{\fbox{Latihan Soal}}.

1. Tentukanlah jenis akar-akar persamaan berikut dengan tanpa menyelesaiakan persamaannya terlebih dahulu

\begin{array}{llll}\\ &&a.&4x^{2}-20x+25=0\\ &&b.&3x^{2}-7x-6=0\\ &&c.&5x^{2}+3x+4=0\\ &&d.&2014x^{2}-2015=0\\ &&e.&\sqrt{2}x^{2}-x-1=0\\ &&f.&x^{2}-2016x=0\\ &&g.&\displaystyle \frac{2}{x}-\frac{x+1}{x-1}=4\\ &&h.&\displaystyle \frac{x}{4}-\frac{3}{x+2}=2x\\ &&i.&\displaystyle \left ( a+1 \right )x^{2}+2ax+\left ( a-1 \right )=0\quad \left ( a> 0 \right ) \end{array}.

2. Jika  \alpha  dan  \beta  akar-akar persamaan kuadrat  3x^{2}-x-4=0 , tanpa menyelesaikan persamaannya terlebih dahulu, tentukanlah nilai dari

\begin{array}{llll}\\ &&a.&\left ( \alpha +\beta \right )\quad dan\quad \left ( \alpha \beta \right )\\ &&b.&\displaystyle \frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }\\ &&c.&\alpha ^{2}+\beta ^{2}\\ &&d.&\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }+\frac{\beta }{\alpha }\\ &&e.&\displaystyle \frac{1}{\alpha +1}+\frac{1}{\beta +1}\\ &&f.&\alpha ^{3}+\beta ^{3}\\ &&g.&\alpha -\beta \\ &&h.&\alpha ^{2}-\beta ^{2}\\ &&i.&\alpha ^{3}-\beta ^{3} \end{array}.

3. Tentukan  p  jika akar-akar dari persamaan kuadrat  3p+1=p\left ( x^{2}-x+2 \right )  saling berkebalikan kemudian carilah akar-akarnya.

4. Salah satu akar  persamaan  \left ( q-2 \right )x^{2}-2x+2+2q=0  adalah dua kali akarnya yang lain, maka nilai q ?.

5. Diketahui akar-akar persamaan kuadrat  x^{2}-2x-8=0  adalah  \alpha  dan  \beta. Buatlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah sebagai berikut:

\begin{array}{llll}\\ &&a.&\alpha \quad dan\quad \beta \\ &&b.&3\alpha \quad dan\quad 3\beta \\ &&c.&\displaystyle \frac{\alpha }{3}\quad dan\quad \frac{\beta }{3}\\ &&d.&\displaystyle \frac{1}{4\alpha }\quad dan\quad \frac{1}{4\beta }\\ &&e.&\left ( 3\alpha -2 \right )\quad dan\quad \left ( 3\beta -2 \right )\\ &&f.&\left ( \alpha +\beta \right )\quad dan\quad \left ( \alpha -\beta \right ) \end{array}.

6. Tentukanlah fungsi parabola jika diketahui:

  • Grafiknya melalui titik (-1, 8),  (0, 4), dan (1, 2).
  • grafiknya menyinggung sumbu X di titik (2, 0) dan melalui titik (0, -1)
  • grafiknya mempunyai koordinat titik balik (-1, -1) dan melalui titik (0, 1).

7. Perhatikanlah gambar segitiga berikut, kemudian tentukanlah panjang tiap sisi, keliling dan luasnya

156

8. Selisih dua bilangan positif adalah 3 dan jumlah dari kuadratnya adalah 117. Carilah dua bilangan tersebut.

9. Perhatikanlah gambar tabung berikut

157

Diketahui luas permukaan sebuah tabung dirumuskan sebagai

\mathbf{Luas\: (L)=2\pi r^{2}+2\pi rt}.

dengan  t  menyatakan tinggi tabung.  Jika luas permukaan tabung adalah  \mathbf{748\: cm^{2}}  serta tingginya adalah 10 cm, maka jari-jari tabung tersebut adalah ….

10. Perhatikanlah gambar berikut:

158

ABCD dan PQRS adalah persegi panjang sebagaimana ilustrasi gambar di atas.

(a). Tunjukkan bahwa luas PQRS adalah  4x^{2}-70x+300.

(b). Jika diketahui luas PQRS adalah setengah dari luas ABCD, buatlah sebuah persamaan dalam  x  dan carilah solusinya untuk mengetahui  panjang masing-masing sisi persegi panjang PQRS.

Sumber Referensi:

  1. Kurnianingsih, Sri, Kuntarti, Sulistiyono. 2007. Matematika SMA dan MA untuk Kelas X Semester 1 Standar Isi 2006. Jakarta: ESIS.
  2. Marwanta, dkk. 2013. Matematika SMA Kelas X. Jakarta: Yudistira.
  3. Marwanta, Sigit Suprijanto, Herynugroho, Suwarni Murniati, Kamta Agus Sajak, Soetiyono. 2004. Matematika Interaktif 1A Kelas 1 SMA Semester Pertama. Jakarta: Yudistira.

Logika Matematika (KTSP)

\LARGE\fbox{Kelas X}

kurikulum 2006

1. LOGIKA MATEMATIKA

1.1. Pernyataan, Bukan Pernyataan, Kalimat Terbuka, dan Nilai Kebenaran

Perhatikan ilustrasi berikut

Kalimat=\left\{\begin{matrix} Berarti\left\{\begin{matrix} Pernyataan\left\{\begin{matrix} Pernyataan(Proposisi)\\\\ Kalimat\: faktual \end{matrix}\right.\\\\\\\\\\\\ Bukan\: Pernyataan\left\{\begin{matrix} 1.\: Kalimat\: Terbuka\\ 2.\: Kalimat\: Perintah\\ 3.\: Kalimat\: Ucapan\: Selamat\\ 4.\: Kalimat\: Pertanyaan\\ 5.\: Doa\\ 6.\: Harapan\\ 7.\: Kalimat\: Larangan\setminus himbauan\\ 8.\: Ada\: Kata\: Sifat \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\\\\\\\\ Tak\: Berarti \end{matrix}\right..

\begin{tabular}{|p{4.0cm}|p{8.0cm}|}\hline Istilah&Definisi\\\hline Pernyataan(Proposisi)&Suatu kalimat yang menyatakan sesuatu yang bernilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus keduanya\\\hline Kalimat Terbuka&Suatu kalimat bukan pernyataan yang nilai kebenarannya belum dapat ditentukan\\\hline \end{tabular}.

\LARGE\fbox{Contoh Soal}.

1. Contoh Kalimat Berarti(Pernyataan)

  • “1+1=2”
  • “Sudut dalam sebuah segitiga adalah 180^{0}
  • “Jumlah hari dalam seminggu ada 7 hari”

2. Contoh Kalimat tak berarti

  • “Kursi bergoyang menangis”
  • “Matahari tersenyum kepadaku”
  • “Daun kelapa melambai-lambai kepadaku”

3. Contoh Kalimat Faktual(termasuk Pernyataan)

  • “Amin adalah siswa MA Futuhiyah Jeketro”
  • “Budi adalah karyawan PT.ABC di Semarang”
  • “Hari ini akan ada konser grup musik SLANK di alun-alun kota Purwodadi”

4. Contoh Kalimat Bukan Pernyataan

  • 2x+5=1000000
  • “Kerjakan tugasmu, Budi!”
  • “Selamat ulang tahun Aziz”
  • “Apakah kamu sudah belajar Anton?”
  • “Ya Allah, tunjukkanlah jalan-Mu yang lurus”
  • “Semoga engaku panjang umur”
  • “Hati-ati di jalan”
  • “Mustofa wajahnya ganteng”

1.2. Notasi dan Nilai Kebenaran dari pernyataan

Suatu pernyataan dalam logika dinotasikan dengan satu huruf kecil   p,\: q,\: r,\: s,\:...dsb .

Misalkan ada sebuah pernyataan ” 2013+2=2015″ dan “Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 180^{0}“. pernyataan-pernyataan tersebut dapat dituliskan kembali dengan notasi pernyataan sebagai  q\quad dan\quad s ini.

\begin{array}{ll}\\ q&:2013+2=2015\\ r&:Jumlah\: sudut\: dalam\: suatu\: segitiga\: adalah\: 180^{0} \end{array}.

Untuk nilai kebenaran dinotasikan dengan  ” \tau ” (dibaca: tau). Sehingga untuk nilai kebenaran dua pernyataan  q\quad dan\quad s  di atas adalah

\tau \left ( q \right )=Benar\quad dan\quad \tau \left ( s \right )=Benar.

\LARGE\fbox{Latihan Soal}

a. Apakah kalimat-kalimat berikut ini merupakan pernyataan, bukan pernyataan, dan kalimat terbuka? kemudian, tentukan penyelesaian dari kalimat terbuka tersebut!

  1. bentuk aljabar  a^{2}-2ab+b^{2}  habis dibagi a-b.
  2. Semoga hari ini cerah.
  3. Berapakah akar  \sqrt{2015} itu?
  4. x^{2}-3x-10=0,\quad x\: \in \: \mathbb{R}.
  5. Satu hari sama dengan  x  jam.
  6. Ceramah ilmiah kemaren cukup menarik.
  7. Semua siswa memakai seragam.
  8. Tujuh adalah bilangan prima.
  9. 2013+2014=2015.
  10. \displaystyle \left ( x-3 \right )^{2}=x^{2}-9.

b. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut

  1.  p : 2015 adalah bilangan prima
  2. q : Semarang terletak di Jawa tengah
  3. r : Jika suatu bilangan habis dibagi 4 , maka bilangan tersebut habis dibagi 2.
  4. s : 3+4+5+6+7+8+9+10 > 345

1.3 operasi logika

Perhatikan tabel berikut

\begin{array}{|c|l|c|}\hline& \multicolumn{2}{c|}{Operator}\\\cline{2-3}{NO} &Nama&Lambang\\\hline 1&Negasi(uner)&\sim \\\hline 2&Konjungsi(biner)&\wedge \\\hline 3&Disjungsi(biner)&\vee \\\hline 4&Implikasi(biner)&\rightarrow \\\hline 5&Biimplikasi(biner)&\leftrightarrow \\\hline \end{array}.

1.3.1 Kalimat Majmuk

Perhatikan juga tabel berikut

\begin{array}{|c|l|c|c|}\hline& \multicolumn{3}{c|}{Contoh\quad Aplikasi}\\\cline{2-4}{NO} &Nama&Bentuk&Negasi\\\hline 1&Konjungsi(biner)&p \wedge q &\sim p\: \vee \sim q\\\hline 2&Disjungsi(biner)&p \vee q &\sim p\: \wedge \sim q\\\hline 3&Implikasi(biner)&p \rightarrow q&p\: \wedge \sim q \\\hline 4&Biimplikasi(biner)&p \leftrightarrow q& \left ( p\: \wedge \sim q \right )\vee \left ( q\: \wedge \sim p \right )\\\hline \end{array}.

1.3.2 Tabel kebenaran Kalimat majmuk

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&p\wedge q&p\vee q&p\rightarrow q&p\leftrightarrow q\\\hline B&B&B&B&B&B\\\hline B&S&S&B&S&S\\\hline S&B&S&B&B&S\\\hline S&S&S&S&B&B\\\hline \end{array}.

\LARGE\fbox{Contoh Soal}.

1. Tuliskan ingkaran atau negasi dari proposisi berikut, dan tentukanlah nilai kebenarannya.

\begin{array}{llrl}\\ a.&&p:&Sekarang\: hujan\: lebat\\ b.&&q:&Semua\: bilangan\: prima\: adalah\: ganjil\\ c.&&r:&Ada\: x\in \mathbb{R}\: yang\: memenuhi\: x^{2}-x-6=0\\ d.&&s:&Ada\: x\in \mathbb{R}\: yang\: memenuhi\: x^{2}-x-6< 0\\ e.&&t:&x^{2}> 0,x\in bilangan\: asli\\ f.&&u:&Semua\: kepala\: negara\: laki-laki\\ g.&&v:&Semua\: kucing\: berwarna\: putih \end{array}.

Jawab:

a. ~ p : Tidak benar bahwa sekarang hujan lebat .  Jika τ(p) = Benar (B), maka τ(~ p) = Salah(S).

b. ~ q : Tidak benar bahwa semua bilangan prima adalah ganjil. atau

     ~ q : Ada bilanga prima yang tidak ganjil.  Sehinga  τ(q) = S  dan τ( ~ q) = B.

c. ~ r : Tidak benar bahwa  ada  x\: \in \mathbb{R}  yang memenuhi  x^{2}-x-6=0.

dapat juga dikatakan   ~ r : Semua  x  bilangan real memenuhi  x^{2}-x-6\neq 0. Untuk  τ(r) = B dan  τ(~ r) = S.

Yang lain sebagai latihan

2. Lengkapilah tabel kebenaran berikut!

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&\sim p\wedge q&p\: \wedge \sim q&\sim p\wedge \sim q\\\hline B&B&&&&&\\\hline B&S&&&&&\\\hline S&B&&&&&\\\hline S&S&&&&&\\\hline \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&\sim p\wedge q&p\: \wedge \sim q&\sim p\wedge \sim q\\\hline B&B&S&S&S&S&S\\\hline B&S&S&B&S&B&S\\\hline S&B&B&S&B&S&S\\\hline S&S&B&B&S&S&B\\\hline \end{array}.

3. Lengkapilah tabel kebenaran berikut!

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&\sim p\vee q&p\: \vee \sim q&\sim p\: \vee \sim q\\\hline B&B&&&&&\\\hline B&S&&&&&\\\hline S&B&&&&&\\\hline S&S&&&&&\\\hline \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&\sim p\vee q&p\: \vee \sim q&\sim p\: \vee \sim q\\\hline B&B&S&S&B&B&S\\\hline B&S&S&B&S&B&B\\\hline S&B&B&S&B&S&B\\\hline S&S&B&B&B&B&B\\\hline \end{array}.

4. Lengkapilah tabel kenenaran berikut!

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&\sim p\rightarrow q&p\: \rightarrow \sim q&\sim p\: \rightarrow \sim q&\sim q\rightarrow \sim p&q\rightarrow p\\\hline B&B&&&&&&&\\\hline B&S&&&&&&&\\\hline S&B&&&&&&&\\\hline S&S&&&&&&&\\\hline \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&\sim p\rightarrow q&p\: \rightarrow \sim q&\sim p\: \rightarrow \sim q&\sim q\rightarrow \sim p&q\rightarrow p\\\hline B&B&S&S&B&S&B&B&B\\\hline B&S&S&B&B&B&B&S&B\\\hline S&B&B&S&B&B&S&B&S\\\hline S&S&B&B&S&B&B&B&B\\\hline \end{array}.

5. Lengkapilah juga tabel kebenaran berikut!

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&\sim p\leftrightarrow q&p\: \leftrightarrow \sim q&\sim p\: \leftrightarrow \sim q&\sim q\leftrightarrow \sim p&q\leftrightarrow p\\\hline B&B&&&&&&&\\\hline B&S&&&&&&&\\\hline S&B&&&&&&&\\\hline S&S&&&&&&&\\\hline \end{array}.

Jawab:

Sebagai latihan

6. Tentukan nilai kebenaran dari bentuk konjungsi berikut

a. 5 adalah bilangan prima dan 7 adalah faktor dari 14

b. Persamaan  x^{2}-2x-8=0  memiliki dua akar real dan Semarang ibukota provinsi Jawa Timur

Jawab:

6a.  p : 5 adalah bilangan prima

       q : 7 adalah faktor dari 14.

Karena  τ(p) = B , τ(q) = B , Sehingga  \tau \left ( p\wedge q \right )=B.

6b. p : Persamaan  x^{2}-2x-8=0  memiliki dua akar real.

      q : Semarang ibukota provinsi Jawa Timur.

Karena  τ(p) = B , τ(q) = S , Sehingga  \tau \left ( p\wedge q \right )=S.

7. Tentukan  x  agar implikasi berikut benar.

2x=18\rightarrow 3+4=10.

Jawab:

\begin{aligned}p:\quad 2x&=18\\ x&=9\quad (B)\\ \\ q:\quad 3+4&=10\quad (S) \end{aligned}.

Karena q salah, maka agar supaya  p(x)\rightarrow q  bernilai benar , maka p harus salah juga (lihat tabel kebenaran implikasi baris ke-4). Jadi  x\neq 9.

8. Tentukanlah nilai  x  agar pernyataan  p(x)\wedge q(x)  berikut bernilai benar.

a.  p(x):x^{2}-2x-35=0;   q(x): jumlah sudut suatu segitiga adalah  180^{0}.

b. p(x): 3 bilangan prima;   q(x):x^{2}-3x-18\geq 0.

Jawab:

8a. Karena τ(q) = B , maka supaya konjungsi ini bernilai benar, maka p juga harus merupakan pernyataan yang bernilai benar, yaitu nilai x harusnya adalah

\begin{aligned}x^{2}-2x-35&=0\\ \left ( x+5 \right )\left ( x-7 \right )&=0\\ x=-5\: atau\: x&=7 \end{aligned}.

8b. Sebagai latihan

\forall n\in \mathbb{N}

a. Tentukanlah negasi dari pernyataan-pernyataan berikut dan tentukanlah nilai kebenarannya

  1. \left ( 5\sqrt{3}+2\sqrt{7} \right )^{2}  senilai dengan 103+20\sqrt{21}
  2. \log 5+\log 2=1
  3. Persamaan 6x^{2}-12x+6=0  memiliki dua akar real dan sama
  4. Persamaan sumbu simetri fungsi  f(x)=x^{2}-2x-8  adalah  x=1.

b. Tentukanlah nilai kebenaran dari  proposisi berikut

  1. 3 adalah genap dan 4 adalah bilangan ganjil
  2. salah satu akar persamaan kuadrat  x^{2}-2x-24=0  adalah – 4 dan \sqrt{19}.\sqrt{106}=\sqrt{2014}.
  3. \displaystyle 2^{2^{2}}=8  dan  \displaystyle \left ( a-b \right )^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab.
  4. \displaystyle \sqrt{2012}+\sqrt{3}=\sqrt{2015}  dan \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{1}{5}.
  5. 4 adalah bilangan ganjil atau 5 adalah ganjil
  6. \displaystyle ^{2}\log \frac{1}{8}=-3  atau  \displaystyle \sqrt{5}.\sqrt{6}=\sqrt{11}
  7. 3^{4}=64  atau  4^{3}=64
  8. Jika  \log 5+\log 15=\log 20  maka  \log 20-\log 15=\log 5
  9. ^{2}\log 16=4  jika dan hanya jika  2^{4}=16.

c. Lengkapilah tabel kebenaran berikut!

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p& \sim q&p\wedge \sim q&\sim p\rightarrow \left ( p\wedge \sim q \right )\\\hline B&B&&&&\\\hline B&S&&&&\\\hline S&B&&&&\\\hline S&S&&&&\\\hline\end{array}.

d. Lengkapi juga tabel kebenaran berikut

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&r&\sim p& \sim q&r\wedge \sim q&\sim p\rightarrow \left ( r\wedge \sim q \right )\\\hline B&B&B&&&&\\\hline B&B&S&&&&\\\hline B&S&B&&&&\\\hline B&S&S&&&&\\\hline S&B&B&&&&\\\hline S&B&S&&&&\\\hline S&S&B&&&&\\\hline S&S&S&&&&\\\hline\end{array}.

e. Diketahui

\begin{tabular}{lp{6.0cm}}\\ p:&Ungaran hujan deras\\ q:&Semarang banjir \end{tabular}.

Nyatakanlah bentuk logika berikut dalam kalimat

  1. p\wedge q
  2. \sim p\wedge q
  3. p\wedge \sim q
  4. \sim p\wedge \sim q
  5. \sim \left ( p\wedge q \right )
  6. p\vee q
  7. \sim p\vee q
  8. p\vee \sim q
  9. \sim p\vee \sim q
  10. \sim \left ( p\vee q \right )
  11. p\rightarrow q
  12. \sim p\rightarrow q
  13. p\rightarrow \sim q
  14. \sim p\rightarrow \sim q
  15. \sim \left ( p\rightarrow q \right )
  16. p\leftrightarrow q
  17. \sim p\leftrightarrow q
  18. p\leftrightarrow \sim q
  19. \sim p\leftrightarrow \sim q
  20. \sim \left ( p\leftrightarrow q \right )

f.  Tentukanlah nilai  x  agar pernyataan  p(x)\vee q(x)  bernilai benar

  1. p(x):3x^{2}-2x=5;  q(x):  8 adalah bilangan komposit
  2. p(x):3x-4< 5,x\in \left \{ 0,1,2,...,9 \right \}q(x):  7 adalah bilangan prima.

g.  Tentukanlah nilai  x  agar pernyataan p(x)\rightarrow q(x) bernilai benar

  1. p(x):x^{2}-5x-6\geq 0;  q(x): 3 adalah faktor dari 51.
  2. p(x):  Semarang adalah ibukota Jawa Timur;  \displaystyle q(x)=\: ^{2}\log\left ( x^{2}-3x-2 \right )=1.

1.3.3 Tautologi, kontradiksi serta Kontingensi

  • Tautologi yaitu jika suatu pernyataan majmuk dimana nilai kebenarannya adalah benar semuanya.
  • Kontradiksi (lawan dari Tautologi) berarti jika pernyataan majmuk dimana nilai kebenarannya salah semua.
  • Kontingensi yaitu jika sebuah pernyataan majmuk dimana nilai kebenarannya terdapat nilai benar dan salah.

1.4 Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari suatu Implikasi

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \multicolumn{8}{|c|}{Bentuk}\\\hline &&&&Implikasi&Konvers&Invers&Kontraposisi\\\hline p&q&\sim p&\sim q&p\rightarrow q&q\rightarrow p&\sim p\rightarrow \sim q&\sim q\rightarrow \sim p\\\hline B&B&S&S&B&B&B&B\\\hline B&S&S&B&S&B&B&S\\\hline S&B&B&S&B&S&S&B\\\hline S&S&B&B&B&B&B&B\\\hline \end{array}.

1.4.1 Pernyataan Majmuk yang Ekuivalen

\begin{array}{|c|c|c|}\hline No&Pernyataan /Pernyataan\: Majmuk&Ekuivalen\\\hline 1&\sim \left ( \sim p \right )&p\\\hline 2&\sim \left ( p\wedge q \right )&\sim p\: \vee \sim q\\\hline 3&\sim \left ( p\vee q \right )&\sim p\: \wedge \sim q\\\hline 4&p\rightarrow q&\sim p\vee q\\\hline 5&p\rightarrow q&\sim q\rightarrow \sim p\\\hline 6&\sim \left ( p\rightarrow q \right )&p\: \wedge \sim q\\\hline \end{array}.

1.5 Proposisi Berkuantor

Kuantor adalah suatu lambang yang pada kalimat terbuka yang menunjukkan jumlah/kuantitas yang menjadikannya menjadi sebuah pernyataan.

Ada 2 buah kuantor  \left\{\begin{matrix} Kuantor\quad Universal\\ \\ \\ Kuantor\quad Eksistensial \end{matrix}\right..

\begin{array}{|c|c|c|c|c|p{3.0cm}|}\hline No&Kuantor&Notasi&Pernyataan&ingkaran&Contoh\\\hline 1&Universal&"\forall"\quad (dibaca:Semua..../setiap...)&\forall (x),\: p(x)&\exists (x),\sim p(x)&p\: :\: "Semua\: bilangan\: prima\: ganjil." \\\hline 2&Eksistensial&"\exists "\quad (dibaca:ada..../beberapa....)&\exists (x),p(x)&\forall (x),\sim p(x)&p\: :\: "Ada\: bilangan\: prima\: yang\: genap." \\\hline \end{array}.

\LARGE\fbox{Contoh Soal}.

1. Perhatikanlah tabel berikut

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&p\rightarrow q&\sim q\rightarrow \sim p&\left ( p\rightarrow q \right )\leftrightarrow \left ( \sim q\rightarrow \sim p \right )\\\hline B&B&S&S&B&B&B\\\hline B&S&S&B&S&S&B\\\hline S&B&B&B&B&B&B\\\hline S&S&B&B&B&B&B\\\hline \end{array}.

Kolom terakhir nilai kebenarannya pada tabel di atas adalah selalu benar yang selanjutnya disebut Tautologi.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&p\rightarrow q&p\wedge \sim q&\left ( p\rightarrow q \right )\leftrightarrow \left ( p\wedge \sim q \right )\\\hline B&B&S&B&S&S\\\hline B&S&S&S&B&S\\\hline S&B&B&B&S&S\\\hline S&S&B&B&S&S\\\hline \end{array}.

Untuk tabel di atas pada kolom terakhir nilai kebenarannya selalu salah yang selanjutnya disebut sebagai kontradiksi.

Perhatikan pula untuk contoh tabel kebenaran kontingensi berikut

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim q&\sim p\vee q\\\hline B&B&S&B\\\hline B&S&S&S\\\hline S&B&B&B\\\hline S&B&B&B\\\hline \end{array}.

2. Tentukan ingkaran dari pernyataan berkuantor berikut!

\begin{tabular}{p{10.0cm}}\\ 1. Ada burung yang tidak dapat terbang\\ 2. Semua mahluk hidup adalah fana \end{tabular}.

Jawab:

Misalkan

\begin{tabular}{p{10.0cm}}\\ p: Ada burung yang tidak dapat terbang\\ q: Semua mahluk hidup adalah fana \end{tabular}.

\begin{array}{ll}\\ \sim p:&Semua\: burung\: terbang\\ \sim q:&Beberapa\: mahluk\: hidup\: tidak\: fana \end{array}.

3. Jika x\in \mathbb{R} , tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berkuantor berikut:

\begin{array}{l}\\ a.\quad \left ( \exists x \right )\left ( 3x+2=1 \right )\\ b.\quad \left ( \forall x \right )\left ( 3x+2=11 \right )\\ \end{array}.

Jawab:

3a. Pernyataan tersebut benar, sebab ada  x\in \mathbb{R} , yaitu \displaystyle x=-\frac{1}{3}.

3b. Pernyataan tersebut bernilai salah, karna ada nilia x\in \mathbb{R}, tidak memenuhi, istilah lainnya tidak semua nilai x\in \mathbb{R} memenuhi. Nilai x\in \mathbb{R}  memenuhi hanya saat  \displaystyle x=3.

1.6 Penarikan Kesimpulan

Penarikan kesimpulan atau konklusi diambil dari pernyataan-pernyataan yang diasumsikan benar tang selanjutnya disebut premis.

Berikut beberapa metode penarikan kesimpulan

1.6.1 Modus Ponens

\begin{array}{lccl}\\ Premis&1&:&p\rightarrow q\\ Premis&2&:&p\\\hline konklusi&&:& q \end{array}.

1.6.2 Modus Tollens

\begin{array}{lccl}\\ Premis&1&:&p\rightarrow q\\ Premis&2&:&\sim q\\\hline konklusi&&:& \sim p \end{array}.

1.6.3 Silogisme

\begin{array}{lccl}\\ Premis&1&:&p\rightarrow q\\ Premis&2&:&q\rightarrow r\\\hline konklusi&&:&p\rightarrow r \end{array}.

1.7 Bukti Langsung dan Tak langsung

Yang termasuk  bukti langsung adalah modus ponens, modus tollens, dan silogisme. Sedangkan bukti tak langsung dapat dilakukan dengan 2 cara yaitu dengan kontradiksi dan kontraposisi.

1.8 Induksi Matematika

Perhatikan bilangan susunan berikut

\begin{aligned}1&=1^{2}\\ 1+3&=2^{2}\\ 1+3+5&=3^{2}\\ 1+3+5+7&=4^{2}\\ 1+3+5+7+9&=5^{2}\\ \vdots &\\ 1+3+5+7+...+(2n-1)&=n^{2},\: untuk\: n\: \in \mathbb{N} \end{aligned}.

Ilustrasi rumus di atas dapat berlaku secara umum dengan bukti secara formal yaitu dengan Induksi Matematika (Induksi Lengkap)

Berikut langkah untuk Induksi Matematika, yaitu

\begin{tabular}{|lcp{7.0cm}|}\hline Langkah&1.&Rumus dibuktikan benar untuk n=1\\ Langkah&2.&Rumus diasumsikan berlaku untuk n=k, Selanjutnya rumus dibuktikan berlaku untuk n=k+1\\ &&\\ &&\\\hline Kesimpulan&&Rumus berlaku untuk setiap n bilangan Asli(disesuaikan dengan kondisi)\\\hline\end{tabular}.

\LARGE\fbox{Contoh Soal}.

1. Berikut tabel kebenaran untuk modus Ponens

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline p&q&p\rightarrow q&\left ( p\rightarrow q \right )\wedge p&\left ( \left ( p\rightarrow q \right )\wedge p \right )\rightarrow q\\\hline B&B&B&B&B\\\hline B&S&S&S&B\\\hline S&B&B&S&B\\\hline S&S&B&S&B\\\hline \end{array}.

2. Berikut tabel kebenaran untuk modus Tollens

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&p\rightarrow q&\left ( p\rightarrow q \right )\wedge \sim q&\left ( \left ( p\rightarrow q \right )\wedge \sim q \right )\rightarrow \sim p\\\hline B&B&S&S&B&S&B\\\hline B&S&S&B&S&S&B\\\hline S&B&B&S&B&S&B\\\hline S&S&B&B&B&B&B\\\hline \end{array}.

3. Berikut adalah tabel kebenaran untuk Silogisme

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&r&p\rightarrow q&q\rightarrow r&p\rightarrow r&\left ( p\rightarrow q \right )\wedge \left ( q\rightarrow r \right )&\left ( \left ( p\rightarrow q \right )\wedge \left ( q\rightarrow r \right ) \right )\rightarrow \left ( p\rightarrow r \right )\\\hline B&B&B&B&B&B&B&B\\\hline B&B&S&B&S&S&S&B\\\hline B&S&B&S&B&B&S&B\\\hline B&S&S&S&S&S&S&B\\\hline S&B&B&B&B&B&B&B\\\hline S&B&S&B&B&B&S&B\\\hline S&S&B&B&B&B&B&B\\\hline S&S&S&B&B&B&B&B\\\hline \end{array}.

4. Periksa sah atau tidak argumentasi berikut

a.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ q\\\hline \therefore \sim p\end{array}\quad\quad b.\quad \begin{array}{l}\\ p\vee q\\ \sim p\\\hline \therefore \sim q \end{array}\quad\quad c.\quad \begin{array}{l}\\ \sim p\vee q\\ p\\\hline \therefore q \end{array}\quad\quad d.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ \sim q\rightarrow \sim r\\\hline \therefore p\rightarrow \sim r \end{array}\\\\\\ e.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ r\rightarrow \sim q\\\hline \therefore p\rightarrow \sim r \end{array}\quad\quad f.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ \sim r\rightarrow \sim q\\\hline \therefore \sim r\rightarrow \sim p \end{array}\quad\quad g.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ r\rightarrow \sim q\\ r\\\hline \therefore p \end{array}\quad\quad h.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ q\rightarrow \sim r\\ s\rightarrow r\\ p\\\hline \therefore s \end{array}.

Jawab:

a. Bukan modus, ponens, modus tollens, ataupun silogisme Sehingga penarikan kesimpulan tidak sah.

b. \begin{array}{l}\\ p\vee q\\ \sim p\\\hline \therefore \sim q \end{array}\quad \equiv\quad \begin{array}{l}\\ \sim p\rightarrow q\\ \sim p\\\hline \therefore \sim q \end{array}.

c. \begin{array}{l}\\ \sim p\vee q\\ p\\\hline \therefore q \end{array}\quad \equiv\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ p\\\hline \therefore q \end{array}

Karena penarikan kesimpulan poin b tidak sesuai dengan kaidah modus ponens, modus tollens, atau silogisme, maka penarikan kesimpulan tersebut tidak sah sedangkan poin c sesuai kaidah modus ponens, maka penarikan kesimpulan tersebut adalah sah.

d, e, f, g, dan h sebagai latihan

5. Jika  a,b,c\in \mathbb{R} , buktikan bahwa  \displaystyle \left ( a+b+c \right )^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc

Bukti:

\begin{aligned}\left ( a+b+c \right )^{2}&=\left ( a+b+c \right )\left .( a+b+c \right )\\ &=a\left ( a+b+c \right )+b\left ( a+b+c \right )+c\left ( a+b+c \right )\\ &=a^{2}+ab+ac+ab+b^{2}+bc+ac+bc+c^{2}\\ &=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc\quad(\mathbf{terbukti}) \end{aligned}.

6. Buktikan untuk  a,b,c\in \mathbb{R},a\neq 0 bahwa ax^{2}+bx+c=0  memiliki penyelesaian  \displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

Bukti:

\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\ \leftrightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}&=0\\ \leftrightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x&=-\frac{c}{a}\\ \leftrightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}&=-\frac{c}{a}+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}\\ \leftrightarrow \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}&=\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a}=\frac{b^{2}-4a}{4a^{2}}\\ \leftrightarrow x+\frac{b}{2a}&=\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\ \leftrightarrow x&=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\ \leftrightarrow x&=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\quad (\mathbf{terbukti}) \end{aligned}.

7. Buktikan dengan bukti tak langsung , bahwa  jika  n^{2}  bilangan ganjil maka n  bilangan ganjil.

Bukti:

Kontraposisi dari pernyataan tersebut adalah  jika  n  tidak ganjil maka  n^{2}  tidak ganjil.

Misalkan n  bilangan genap, sehingga n dapat dinyatakan dengan  n=(2k),\quad k\in \mathbb{Z}.

\begin{aligned}n&=2k\\ &=\left ( 2k \right )^{2}\\ &=4k^{2}\\ &=2\left ( 2k^{2} \right )\\ &=2m,\quad m\in \mathbb{Z}\quad (\mathbf{Benar})\quad \textbf{Terbukti} \end{aligned}.

8. Buktikan bahwa  \sqrt{2} irasional

Bukti:

Kontradiksinya adalah \sqrt{2} rasional.

Andaikan \sqrt{2}  rasional . Karena  \sqrt{2}  rasional, maka dapat dinyatakan sebagai  \displaystyle \sqrt{2}=\frac{p}{q}  dengan  p\:\: dan\:\: q  adalah bilangan bulat yang tidak memiliki faktor persekutuan.

\begin{aligned}\sqrt{2}&=\frac{p}{q}\quad (dikuadratkan)\\ 2&=\frac{p^{2}}{q^{2}}\\ p^{2}&=2q^{2} \end{aligned}.

Karena  \displaystyle p^{2}=2q^{2} , maka  \displaystyle p^{2}  adalah bilangan genap dan dapat dinyatakan dengan  p=2n.

Sehingga

\begin{aligned}\left ( 2n \right )^{2}&=2q^{2}\\ 4n^{2}&=2q^{2}\\ 2n^{2}&=q^{2}\\ q^{2}&=2n^{2} \end{aligned}.

q^{2}  juga bilangan genap.

Karena  p\:\: dan\:\: q  keduanya genap, maka 2 adalah faktor persekutuan.

Hal ini bertentangan dengan pengandaian, sehingga pengandaian harus diingkari.

Berarti   \sqrt{2}  rasional salah, akibatnya  \sqrt{2}  irasional

Jadi, Terbukti  bahwa  \sqrt{2}  irasional.

9. Untuk  \forall n\in \mathbb{N}
, buktikan dengan induksi matematika bahwa

\begin{array}{l}\\ a.\quad 1+2+3+4+...+n=\frac{1}{2}n\left ( n+1 \right )\\ b.\quad 1+3+5+7+...+\left ( 2n-1 \right )=n^{2}\\ c.\quad 2^{3n}-1\quad habis\: dibagi\: 7 \end{array}.

Bukti:

a.  Langkah  1  

Untuk  n=1 ,

\begin{aligned}1&=\frac{1}{2}.1.\left ( 1+1 \right )\\ 1&=1\\ ruas\: kiri&=ruas\: kanan \end{aligned}.

Maka rumus berlaku untuk  n=1.

   Langkah  2

Misalkan rumus berlaku untuk  n=k, maka

\displaystyle 1+2+3+4+...+k=\frac{1}{2}k\left ( k+1 \right ).

Akan ditunjukkan rumus berlaku untuk  n=k+1, yaitu

\begin{aligned}1+2+3+4+...+k+(k+1)&=\frac{1}{2}(k+1)\left ( (k+1)+1 \right )\\ \underset{\frac{1}{2}k(k+1)}{\underbrace{1+2+3+4+...+k}}+(k+1)&=\frac{1}{2}(k+1)\left ( (k+1)+1 \right )\\ \frac{1}{2}k(k+1)+(k+1)&=\frac{1}{2}(k+1)\left ( (k+1)+1 \right )\\ \frac{1}{2}k(k+1)+\frac{2}{2}(k+1)&=\frac{1}{2}(k+1)\left ( (k+1)+1 \right )\\ \frac{1}{2}\left ( k+1 \right )\left ( k+1 \right )&=\frac{1}{2}(k+1)\left ( (k+1)+1 \right )\\ ruas\: kiri&=ruas\: kanan \end{aligned}.

Karena ruas kiri = ruas kanan maka rumus berlaku untuk  n=k+1.

Kesimpulan:

Jadi, \displaystyle 1+2+3+4+...+n=\frac{1}{2}n\left ( n+1 \right )
berlaku untuk  \forall n\in \mathbb{N}.

\LARGE\fbox{Latihan Soal}

1. Diketahui implikasi ” Anton tidak akan pergi jika ia sakit atau membantu ayahnya”. Tentukan konvers, inver, kontraposisi, ekuivalensi dan negasinya dari implikasi tersebut.

2. Tunjukkan dengan tabel kebenaran tautologi-tautologi berikut berikut:

\begin{array}{llll}\\ &&(a)&\left ( \left ( p\vee q \right )\rightarrow \sim p \right )\rightarrow p\\ &&(b)&\sim \left ( p\rightarrow q \right )\leftrightarrow \left ( p\wedge \sim q \right )\\ &&(c)&\left ( p\rightarrow \left ( q\rightarrow r \right ) \right )\leftrightarrow \left ( \left ( p\wedge q \right )\rightarrow r \right )\\ &&(d)&\left ( p\rightarrow q \right )\rightarrow \left ( \left ( r\wedge p \right )\rightarrow \left ( r\wedge q \right ) \right )\\ &&(e)&\left ( \left ( p\wedge q \right )\rightarrow r \right )\leftrightarrow \left ( \left ( p\rightarrow r \right )\vee \left ( q\rightarrow r \right ) \right ) \end{array}.

3. Dengan menggunakan tabel kebenaran, tentukanlah pernyataan-pernyataan berikut ini adalah tautologi, kontradiksi, atau kontingensi.

\begin{array}{llll}\\ &&(a)&\left ( \left ( p\wedge q \right )\rightarrow p \right )\rightarrow q\\ &&(b)&p\wedge \left ( \sim \left ( p\vee q \right ) \right )\\ &&(c)&\left ( p\rightarrow q \right )\leftrightarrow \left ( \sim p\vee q \right )\\ &&(d)&\left ( p\rightarrow q \right )\rightarrow \left ( q\rightarrow p \right )\\ &&(e)&p\vee \left ( q\rightarrow \sim r \right ) \end{array}.

4. Tentukanlah nilai kebenaran proporsi-proporsi berikut:

\begin{tabular}{lllp{16.0cm}}\\ &&(a)&Jika 2014 bilangan genap, maka 2014 habis dibagi 2\\ &&(b)&5 bilangan prima hanya jika 5 bilangan ganjil\\ &&(c)&Semarang terletak di Provinsi Jawa Tengah atau Provinsi D.I.Y\\ &&(d)&0 bilangan positih atau bilangan negatif\\ &&(e)&x habis dibagi 2 adalah syarat perlu dan cukup agar x adalah bilangan bulat genap \end{tabular}.

5. Untuk x,y\in \mathbb{R} , tentukan nilai kebenran dari pernyataan-pernyataan berikut:

\begin{array}{llll}\\ &&(a)&\left ( \exists x \right )\left ( 2x+3=1 \right )\\ &&(b)&\left ( \forall x \right )\left ( 5x+2014=2015 \right )\\ &&(c)&\left ( \exists x \right )\left ( x^{2}-6x+5> 0 \right )\\ &&(d)&\left ( \forall x \right )\left ( x^{2}-6x+5> 0 \right )\\ &&(e)&\left ( \forall x \right )\left ( x^{2}\geq 0 \right )\\ &&(f)&\left ( \exists y \right )\left ( y=2x^{2}> 0 \right )\\ &&(g)&\left ( \forall x \right )\left ( \forall y \right )\left ( x+y> 0 \right ) \end{array}.

6. Periksa sah atau tidaknya argumentasi berikut

a.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ q\\\hline \therefore p \end{array}\quad\quad b.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ r\rightarrow q\\\hline \therefore r\rightarrow p \end{array}\quad\quad c.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow \sim q\\ \sim p\\\hline \therefore p \end{array}\quad\quad d.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ \sim r\rightarrow \sim q\\\hline \therefore \sim r\rightarrow \sim p \end{array}\quad\quad e.\quad \begin{array}{l}\\ q\rightarrow p\\ \sim p\\\hline \therefore \sim q \end{array}\\ f.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow r\\ q\rightarrow p\\\hline \therefore q\rightarrow r \end{array}\quad\quad g.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow \sim q\\ r\rightarrow \sim q\\\hline \therefore p\rightarrow r \end{array}\quad\quad h.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow \sim q\\ \sim r\rightarrow \sim q\\\hline \therefore p\rightarrow r \end{array}\quad\quad i.\quad \begin{array}{l}\\ \sim p\vee q\\ q\rightarrow \sim r\\ p\\\hline \therefore r \end{array}\quad\quad j.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow \sim q\\ q\vee \sim r\\ r\\\hline \therefore \sim p \end{array}.

7. Buktikan bahwa  x^{2}  ganjil maka  x  ganjil.

8. Buktikan bahwa  \sqrt{3}  irasional.

9. Buktikan bahwa persamaan  ax^{2}+bx+c=0  dengan  a\neq 0 , tidak mungkin mempunyai 3 buah akar yang berbeda.

10. Jika  a,b\in \mathbb{R}  maka buktikan bahwa  \left ( a+b \right )^{3}=a^{3}+b^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}.

11. Jika  \displaystyle x_{1}\:\: dan\: \: x_{2}  adalah akar-akar dari persamaan kuadrat  \displaystyle ax^{2}+bx+c=0 , buktikan bahwa :

\begin{array}{llll}\\ &&(a)&\displaystyle x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}\\ &&(b)&\displaystyle x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}\\ &&(c)&\displaystyle \left |x_{1}-x_{2} \right |=\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a} \end{array}.

12. Untuk  \forall n\in \mathbb{N} , buktikan dengan induksi matematika bahwa

\begin{array}{llll}\\ &&(1)&1+3+5+...+(2n-1)=n^{2}\\ &&(2)&\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\frac{1}{6}.n(n+1)(2n+1)\\ &&(3)&\displaystyle 1+2+2^{2}+2^{3}+...+2^{n-1}=2^{n}-1\\ &&(4)&\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=\frac{1}{4}n^{2}\left ( n+1 \right )^{2}\\ &&(5)&\displaystyle 2+5+8+...+(3n-1)=\frac{1}{2}n\left ( 3n+1 \right )\\ &&(6)&\displaystyle \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+...+\frac{1}{n\times (n+1)}=\frac{n}{n+1}\\ &&(7)&Buktikan\: bentuk\: 5^{2n}-1\: habis\: dibagi\: 3\\ &&(8)&Buktikan\: bentuk\: 7^{2n+1}+1\: habis\: dibagi\: 8\\ \end{array}.

Sumber Referensi

  1. Kanginan, Marthen. 2007. Matematika untuk Kelas X Semester 2 Sekolah Menengah Atas. Bandung: Grafindo Media Pratama.
  2. Kurnianingsih, Sri , Kuntarti dan Sulistiyono. 2007. Matematika SMA dan MAuntuk Kelas X Semester 2 Standar Isi 2006. Jakarta: esis.
  3. Marwanta, dkk. 2013. Matematika SMA Kelas X. Jakarta: Yudistira.
  4. Sembiring, Suwah. 2002. Kompetensi Dasar Pelajaran Matematika untuk SMU Kelas 1B. Bandung: Yrama Widya.
  5. Susilo, Frans. 2012. Landasan Matematika. Yogyakarta: Graha Ilmu.
  6. Tim Inovasi Guru Matematika SMA. Suplemen Matematika KBK Kelas X Semester II. Semarang: Sarana Ilmu.

Pembahasan UN Matematika IPS SMA/MA 2014 (2)

\boxed{19}. Sebuah perusahaan tempe membuat dua jenis tempe I dan II. Tempe I memerlukan 3 gram ragi dan 6 ons kedelai, tempe II memerlukan 6 gram ragi dan 8 ons kedelai. Tersedia 6 kg ragi dan 12 kwintal kedelai. Jika dibuat x buah tempe I dan y buah tempe II, maka model matematika permasalahan tersebut adalah ….

\begin{matrix} A. & x+2y\leq 4.000,\quad 3x+4y\leq 3.000,\quad x\geq 0,y\geq 0\\\\ B. & x+2y\leq 2.000,\quad 3x+4y\leq 6.000,\quad x\geq 0,y\geq 0\\\\ C. & x+2y\leq 2.000,\quad 4x+3y\leq 6.000,\quad x\geq 0,y\geq 0\\\\ D. & 2x+y\leq 2.000,\quad 3x+4y\leq 6.000,\quad x\geq 0,y\geq 0\\\\ E. & 2x+y\leq 2.000,\quad 4x+3y\leq 6.000,\quad x\geq 0,y\geq 0 \end{matrix}.

Pembahasan:

Keterangan pada soal jika kita rangkum menjadi sebagaimana tabel berikut

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline Jenis&Tempe\: 1&Tempe\: 2&Tersedia\: Bahan\\\hline Peubah/variabel&x&y&\\\hline Ragi(gram)&3x&6y&6.000\\\hline Kedelai(gram)&600x&800y&1.200.000\\\hline \end{tabular}.

Sehingga

\left\{\begin{matrix} x+2y\leq 2.000\\\\ 3x+4y\leq 6.000\\\\ x\geq 0\\\\ y\geq 0 \end{matrix}\right..

\boxed{20}. Rombongan wisatawan yang terdiri dari 32 orang menyewa kamar hotel. Kamar yang tersedia adalah tipe A  untuk 3 orang dan tipe B untuk  4 orang. Kamar tipe B yang disewa lebih banyak dari kamar tipe A, tetapi tidak lebih dari  \displaystyle \frac{3}{2}  banyak kamar tipe A. jika setiap kamar terisi penuh, selisih banyak kamar tipe A dan kamar tipe B yang disewa adalah ….

\begin{matrix} A. & 1\\\\ B. & 4\\\\ C. & 5\\\\ D. & 9\\\\ E. & 11 \end{matrix}.

Pembahasan:

Soal di atas dapat dikerjakan dengan cara menderet jumlah isi kamar sebagaimana berikut:

\begin{tabular}{|c|p{6.0cm}|p{3.0cm}|c|}\hline NO&Tipe\: A (A lebih kecil dari B)&Tipe\: B&Jumlah\\\hline 1&3&4+4&11\\\hline 2&3+3&4+4+4&18\\\hline 3&3+3+3&4+4+4+4&25\\\hline 4&3+3+3+3&4+4+4+4+4&32\\\hline \end{tabular}.

Sehingga selisih kamar tipe A dan tipe B adalah 1

Sebagai catatan:

Kamar tipe A dan tipe B terisi penuh dan kamar tipe B berisi 4 orang dan kelipatan 4 selalu genap yaitu: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, … , padalah jumlah total ada 32 orang, maka kamar tipe A pasti berisi sejumlah orang yang bilangannya pasti genap. Disini kamar tipe A yang paling mungkin berisi kelipatan 3 tapi genap yaitu: 6, 12, 18, 24, 30, … . Sehingga yang paling mungkin hanya ada satu yaitu kamar berisi  12(tipe A) + 20(tipe B) = 32 orang.

\boxed{21}. Diketahui  \begin{pmatrix} -5 & -10\\ 2y & 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 & -y\\ x & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & -8\\ -12 & 4 \end{pmatrix} . Nilai  x-2y = ….

\begin{matrix} A. & -8\\\\ B. & -4\\\\ C. & 2\\\\ D. & 4\\\\ E. & 8 \end{matrix}.

Pembahasan:

Dari soal  diperoleh

\begin{aligned}\begin{pmatrix} -5 & -10\\ 2y & 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 & -y\\ x & 1 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} -2 & -8\\ -12 & 4 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} -2 & (-10-y)\\ (2y+x) & 4 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} -2 & -8\\ -12 & 4 \end{pmatrix}\\ ruas\quad kiri&=ruas\quad kanan \end{aligned}.

Sehingga

  • – 10 – y = – 8 ,  maka  y = – 2
  • 2y + x = -12 , maka x = – 8

Jadi, nilai  x-2y=-8-2(-2)=-8+4=-4.

\boxed{22}. Diketahui  P=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 2 & 3 \end{pmatrix},\quad Q=\begin{pmatrix} -3 & 7\\ 2 & 1 \end{pmatrix},\quad dan\quad R=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 2 & -1 \end{pmatrix} . Determinan dari  2P-Q+R  adalah ….

\begin{matrix} A. & 16\\\\ B. & 18\\\\ C. & 24\\\\ D. & 36\\\\ E. & 38 \end{matrix}.

Pembahasan:

\begin{aligned}2P-Q+R&=2\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 2 & 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -3 & 7\\ 2 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 2 & -1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 2 & 2\\ 4 & 6 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -3 & 7\\ 2 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 2 & -1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} (2+3+0) & (2-7+1)\\ (4-2+2) & (6-1-1) \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 5 & -4\\ 4 & 4 \end{pmatrix}\\ \left | 2P-Q+R \right |&=5\times 4-4\times (-4)=20+16=36 \end{aligned}.

\boxed{23}. Diketahui  P=\begin{pmatrix} 2 & -8\\ 0 & -1 \end{pmatrix},\quad Q=\begin{pmatrix} 3 & 4\\ -4 & 4 \end{pmatrix},\quad R=P+Q . Invers dari matriks  R   adalah ….

\begin{matrix} A. & \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 4 & 5 \end{pmatrix}\\\\ B. & \begin{pmatrix} -3 & 4\\ 4 & 5 \end{pmatrix}\\\\ C. & \begin{pmatrix} -3 & 4\\ 4 & -5 \end{pmatrix}\\\\ D. & \begin{pmatrix} -3 & -4\\ 4 & 5 \end{pmatrix}\\\\ E. & \begin{pmatrix} -3 & -4\\ -4 & -5 \end{pmatrix} \end{matrix}.

Pembahasan:

\begin{aligned}R&=P+Q\\ &=\begin{pmatrix} 2 & -8\\ 0 & -1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 & 4\\ -4 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & -4\\ -4 & 3 \end{pmatrix}\\ R^{-1}&=\frac{1}{\left | R \right |}\begin{pmatrix} 3 & 4\\ 4 & 5 \end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{(15-16)}\begin{pmatrix} 3 & 4\\ 4 & 5 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -3 & -4\\ -4 & -5 \end{pmatrix} \end{aligned}.

\boxed{24}. Diketahui matriks  A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} 4 & 3\\ 2 & 1 \end{pmatrix},\quad dan\quad AX=B  .  Matriks  X  adalah ….

\begin{matrix} A. & \begin{pmatrix} 6 & -5\\ -5 & 4 \end{pmatrix}\\\\ B. & \begin{pmatrix} -6 & 5\\ 5 & -4 \end{pmatrix}\\\\ C. & \begin{pmatrix} -6 & -5\\ -5 & 4 \end{pmatrix}\\\\ D. & \begin{pmatrix} -6 & -5\\ 5 & 4 \end{pmatrix}\\\\ E. & \begin{pmatrix} -6 & -5\\ 5 & -4 \end{pmatrix} \end{matrix}.

Pembahasan:

\begin{aligned}AX&=B\\ X&=A^{-1}.B\\ X&=\frac{1}{\left | A \right |}\begin{pmatrix} 4 & -2\\ -3 & 1 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 4 & 3\\ 2 & 1 \end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{(4-6)}\begin{pmatrix} 16-4 & 12-2\\ -12+2 & -9+1 \end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix} 12 & 10\\ -10 & -8 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -6 & -5\\ 5 & 4 \end{pmatrix} \end{aligned}.

\boxed{25}. Suku ke-5 barisan aritmetika sama dengan 19 dan suku ke-11 sama dengan 43. Suku ke-15 barisan tersebut adalah ….

\begin{matrix} A. & 59\\\\ B. & 53\\\\ C. & 49\\\\ D. & 46\\\\ E. & 40 \end{matrix}.

Pembahasan:

\displaystyle b=\frac{U_{11}-U_{5}}{11-5}=\frac{43-19}{11-5}=\frac{24}{6}=4\\\\ \begin{aligned}U_{5}&=a+4b\\ 19&=a+4.4\\ a&=19-16=3\\ U_{15}&=a+14.b\\ &=3+14.4\\ &=3+56\\ &=59 \end{aligned}.

\boxed{26}. Suku pertama suatu barisan geometri sama dengan 4, sedangkan suku ke-3 sama dengan 144. Jika rasio barisan geometri tersebut positif, maka suku ke-5 sama dengan ….

\begin{matrix} A. & 5.184\\\\ B. & 1.296\\\\ C. & 864\\\\ D. & 272\\\\ E. & 236 \end{matrix}.

Pembahasan:

Diketahui  Barisan Geometri dengan rasio positif, yaitu  \left\{\begin{matrix} U_{1}=4\\ \\ U_{3}=144 \end{matrix}\right. ,  \displaystyle r^{3-1}=\sqrt{\frac{U_{3}}{U_{1}}}=\sqrt{\frac{144}{4}}=\sqrt{36}=6.

Maka

\begin{aligned}U_{5}&=a.r^{4}\\ &=4.6^{4}\\ &=4.(1296)\\ &=5184 \end{aligned}.

\boxed{27}. Jumlah tak hingga dari deret geometri  \displaystyle 4+2+1+\frac{1}{2}+...  adalah ….

\begin{matrix} A. & 6\\\\ B. & 8\\\\ C. & 10\\\\ D. & 12\\\\ E. & 13 \end{matrix}.

Pembahasan:

Diketahui  sebuah deret geometri  \displaystyle 4+2+1+\frac{1}{2}+.... Jumlah deret tersebut adalah

\begin{aligned}S_{\infty }&=\frac{a}{1-r}\\ &=\frac{4}{1-\frac{1}{2}}\\ &=8 \end{aligned} \\ \\ Jadi,\\\\ \displaystyle 4+2+1+\frac{1}{2}+...=8.

\boxed{28}. Suatu gedung pertunjukan mempunyai beberapa baris kursi. Setelah baris pertama, setiap baris mempunyai kursi 3 lebih banyak dari pada baris sebelumnya. Perbandingan banyaknya kursi pada baris ke-5 dan ke-10 adalah 6 : 11 . Baris terakhir mempunyai 57 kursi. Banyaknya kursi yang dimiliki gedung tersebut adalah ….

\begin{matrix} A. & 516\\\\ B. & 520\\\\ C. & 540\\\\ D. & 567\\\\ E. & 657 \end{matrix}.

Pembahasan:

\begin{aligned}\frac{U_{5}}{U_{10}}&=\frac{6}{11}\\ \frac{(a+4.3)}{(a+9.3)}&=\frac{6}{11}\\ 11(a+12)&=6(a+27)\\ 11a+132&=6a+162\\ 11a-6a&=162-132\\ 5a&=30\\ a&=6 \end{aligned}.

Sedangkan

\begin{aligned}U_{n}&=57\\ a+(n-1)b&=57\\ 6+(n-1)3&=57\\ n-1&=\frac{57-6}{3}\\ n-1&=17\\ n&=18 \end{aligned}.

Sehingga

\begin{aligned}U_{n}&=\frac{n}{2}\left (a+U_{n} \right )\\ U_{18}&=\frac{18}{2}\left ( 6+57 \right )\\ &=9(63)\\ &=567 \end{aligned}.

\boxed{29}\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{x^{2}-9}{6x-18} = ….

\begin{matrix} A. & \infty \\\\ B. & 6\\\\ C. & 4\\\\ D. & 1\\\\ E. & 0 \end{matrix}.

Pembahasan:

\begin{aligned}\lim_{x\to 3}\frac{x^{2}-9}{6x-18}&=\lim_{x\to 3}\frac{(x+3)(x-3)}{6(x-3)}\\ &=\lim_{x\to 3}\frac{x+3}{6}\\ &=\frac{6}{6}\\ &=1 \end{aligned}.

\boxed{30}. Jika  {f}'(x)  adalah turunan pertama dari  f(x) , maka nilai  {f}'(-1) dari fungsi  f(x)=4x^{3}+5x^{2}+2x-4  adalah ….

\begin{matrix} A. & -4\\\\ B. & -2\\\\ C. & 0\\\\ D. & 2\\\\ E. & 4 \end{matrix}.

Pembahasan:

\begin{aligned}f(x)&=4x^{3}+5x^{2}+2x-4\\ {f}'(x)&=3\left ( 4x^{3-1} \right )+2\left ( 5x^{2-1} \right )+1\left ( 2x^{1-1} \right )\\ &=12x^{2}+10x+2\\ {f}'(-1)&=12\left ( -1 \right )^{2}+10\left ( -1 \right )+2\\ &=12-10+2\\ &=4 \end{aligned}.

\boxed{31}. Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu  t  ditentukan oleh fungsi  \displaystyle s(t)=3t^{2}-24t+5 . Kecepatan maksimum mobil tersebut akan tercapai pada saat  t  = ….

\begin{matrix} A. & 6\quad detik\\\\ B. & 4\quad detik\\\\ C. & 3\quad detik\\\\ D. & 2\quad detik\\\\ E. & 1\quad detik \end{matrix}.

Pembahasan:

\begin{aligned}v&={s}'(t)\\ v_{maksimum}={s}'(t)&=0\\ 6t-24&=0\\ 6t&=24\\ t&=4 \end{aligned}.

\boxed{32}. Hasil  dari  \int \left ( 4x^{3}-6x^{2}+4x+3 \right )\: dx = ….

\begin{matrix} A. & 4x^{4}-3x^{3}+4x^{2}+3x+C\\\\ B. & \frac{4}{3}x^{4}-3x^{3}+4x^{2}+3x+C\\\\ C. & \frac{3}{4}x^{4}-2x^{3}+2x^{2}+3x+C\\\\ D. & x^{4}-2x^{3}+2x^{2}+3+C\\\\ E. & x^{4}-2x^{3}+2x^{2}+3x+C \end{matrix}.

Pembahasan:

\begin{aligned}\int \left ( 4x^{3}-6x^{2}+4x+3 \right )dx&=\frac{1}{3+1}.4x^{3+1}-\frac{1}{2+1}.6x^{2+1}+\frac{1}{1+1}.4x^{1+1}+3x+C\\ &=x^{4}-2x^{3}+2x^{2}+3x+C \end{aligned}.

\boxed{33}. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva  \displaystyle y=-x^{2}+4x+5 , sumbu  X , dan  1\leq x\leq 4  adalah ….

\begin{matrix} A. & 38\quad satuan\: luas\\\\ B. & 25\quad satuan\: luas\\\\ C. & 24\quad satuan\: luas\\\\ D. & \displaystyle 23\frac{2}{3}\quad satuan\: luas\\\\ E. & \displaystyle 23\frac{1}{3}\quad satuan\: luas \end{matrix}.

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi gambar berikut

147hhhh

\begin{aligned}Luas\quad Daerah\: Arsiran&=\int_{1}^{4}\left ( -x^{2}+4x+5 \right )dx\\ &=-\frac{x^{2+1}}{2+1}+\frac{4x^{1+1}}{1+1}+5x|_{1}^{4}\\ &=-\frac{x^{3}}{3}+2x^{2}+5x|_{1}^{4}\\ &=\left ( -\frac{4^{3}}{3}+2.4^{2}+5.4 \right )-\left ( -\frac{1^{3}}{3}+2.1^{2}+5.1 \right )\\ &=\left ( -\frac{64}{3}+32+20 \right )-\left ( -\frac{1}{3}+2+5 \right )\\ &=24 \end{aligned}.

\boxed{34}. Pada suatu toko buah apel, jeruk dan pir. Qodri ingin membeli 15 buah pada toko tersebut. Jika ia ingin membeli paling sedikit 4 buah untuk setiap jenis buah yang tersedia, maka komposisi banyak buah yang mungkin dapat dibeli adalah ….

\begin{matrix} A. & 3\\\\ B. & 5\\\\ C. & 6\\\\ D. & 10\\\\ E. & 20 \end{matrix}.

Pembahasan:

Perhatikan tabel berikut

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline NO&apel&jeruk&pir\\\hline 1&4&4&7\\\hline 2&4&7&4\\\hline 3&7&4&4\\\hline 4&5&5&5\\\hline 5&4&5&6\\\hline 6&4&6&5\\\hline 7&5&4&6\\\hline 8&5&6&4\\\hline 9&6&4&5\\\hline 10&6&5&4\\\hline \end{tabular}.

Jadi, 10 kemungkinan yang terjadi

\boxed{35}. Kepala sekolah ingin memilih 4 guru kelas dari 6 guru disekolahnya untuk dijadikan ketua, wakil ketua, bendahara, dan sekretaris sebagai panitia acara ulang tahun sekolah. Banyak cara berbeda kepala sekolah memilih guru sebagai panitia adalah ….

\begin{matrix} A. & 6\\\\ B. & 15\\\\ C. & 30\\\\ D. & 45\\\\ E. & 360 \end{matrix}.

Pembahasan:

\begin{array}{|c|c|}\hline aturan\: pengisian\: tempat&permutasi\\\hline 6\times 5\times 4\times 3=360&\begin{aligned}P_{4}^{6}=P(6,4)&=\frac{6!}{(6-4)!}\\ &=\frac{6!}{2!}\\ &=6\times 5\times 4\times 3\\ &=360 \end{aligned}\\\hline \end{array}.

\boxed{36}. Dua buah dadu dilempar undi sekali secara bersamaan. Peluang munculnya jumlah kedua mata dadu 5 atau 7 adalah ….

\begin{matrix} A. & \displaystyle \frac{8}{36}\\\\ B. & \displaystyle \frac{9}{35}\\\\ C. & \displaystyle \frac{10}{36}\\\\ D. & \displaystyle \frac{11}{36}\\\\ E. & \displaystyle \frac{12}{36} \end{matrix}.

Pembahasan:

Jika dua dadu dilempar undi bersamaan, maka

147i

Sehingga peluang muncul mata dadu 5 atau 7 adalah  \displaystyle \frac{4}{36}+\frac{6}{36}=\frac{10}{36}.

\boxed{37}. Dua dadu dilempar undi sebanyak 600 kali. Frekuensi harapan muncul mata dadu berjumlah kelipatan tiga adalah ….

\begin{matrix} A. & 100\\\\ B. & 200\\\\ C. & 300\\\\ D. & 400\\\\ E. & 500 \end{matrix}

Pembahasan:

Dengan bantuan tabel pada Pembahasan NO.36, misal himpunan yang menyatakan muncul mata dadu berjumlah kelipatan tiga adalah A, maka

\begin{aligned}F_{h}(A)&=n\times P(A)\\ &=600\times \frac{n(A)}{n(S)}\\ &=600\times \frac{(2+5+4+1)}{36}\\ &=600\times \frac{12}{36}\\ &=200 \end{aligned}.

\boxed{38}. Pada bulan Januari, kelompok musik Melodi dan Gita Indah mengeluarkan CD baru mereka. Pada bulan Februari kelompok musik Suara Merdu dan Pop Rock menyusul. Grafik berikut menggambarkan hasil penjualan CD dari bulan Januari sampai Juni.

DSC_0000238

Manajer kelompok musik Gita Indah agak khawatir karena penjualan CD kelompok musiknya mengalami penurunan dari bulan Februari sampai dengan Juni. Berapakah perkiraan penjualan CD kelompok musik ini pada bulan Juli, jika kecenderungan penurunan pada bulan-bulan sebelumnya terus berlanjut?

\begin{matrix} A. & 70\quad CD.\\\\ B. & 250\quad CD.\\\\ C. & 370\quad CD.\\\\ D. & 670\quad CD.\\\\ E. & 1.340\quad CD. \end{matrix}              .

Pembahasan:

Jika kecenderungan berlanjut, maka penjualan CD untuk kelompok musik Gita Indah pada bulan Juli akan berada pada kisaran 250 – 500.

Perhatikan tabel berikut sebagai ilustrasinya

\begin{tabular}{|c|p{1.6cm}|p{4.2cm}|}\hline NO&Bulan&Kisaran\: Penjualan\: CD\\\hline 1&Februari&1.750-2.000\\\hline 2&Maret&1.500-1.750\\\hline 3&April&1.000-1.250\\\hline 4&Mei&750-1.000\\\hline 5&Juni&500-750\\\hline 6&Juli&250-500\\\hline \end{tabular}.

Sehingga perkiraan terjualnya sejumlah CD pada bulan Juli adalah sebanyak  \displaystyle \frac{250+500}{2}=\frac{750}{2}=375.

Jadi, jawaban pilihan C yang paling mendekati.

\boxed{39}. Median dari data nilai ulangan matematika siswa suatu kelas yang disajikan dalam diagram berikut adalah ….

DSC_0000239

\begin{matrix} A. & 75,83\\\\ B. & 76,33\\\\ C. & 76,83\\\\ D. & 77,50\\\\ E. & 78,00 \end{matrix}.

Pembahasan:

Tabel distribusi frekuensi dari diagram di atas adalah sebagai berikut

\begin{array}{|c|c|}\hline Nilai&Frekuensi\\\hline 41-50&5\\\hline 51-60&2\\\hline 61-70&6\\\hline 71-80&12\\\hline 81-90&10\\\hline 91-100&5\\\hline &\sum =40\\\hline \end{array}.

Median akan berada pada kelas interval 71 – 80.

Sehingga

\begin{aligned}Median=Q_{2}&=t_{b}+p\left ( \frac{\frac{2}{4}\times n-\sum f_{2}}{f_{q}} \right )\\ &=70,5+10\left ( \frac{\frac{1}{2}\times 40-(5+2+6)}{12} \right )\\ &=70,5+10\left ( \frac{20-13}{12} \right )\\ &=70,5+\frac{70}{12}\\ &=70,5+5,8\bar{33}\\ &=76,\bar{33} \end{aligned}.

\boxed{40}. Simpangan baku dari data 7, 6, 8, 8, 9, 5, 9, 6, 5 adalah ….

\begin{matrix} A. & \displaystyle 2\sqrt{5}\\\\ B. & \displaystyle \frac{10}{3}\\\\ C. & \displaystyle \frac{20}{9}\\\\ D. & \displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{5}\\\\ E. & \displaystyle \frac{4}{3} \end{matrix}.

Pembahasan:

Langkah awal kita tentukan dulu rata-rata nilainya , yaitu

\begin{aligned}\bar{x}&=\frac{\sum_{i}^{n}x_{i}}{n}\\ &=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n}}{n}\\ &=\frac{7+6+8+8+9+5+9+6+5}{9}\\ &=\frac{63}{9}\\ &=7 \end{aligned}.

Sehingga,

\begin{aligned}Simpangan\: Baku(S)&=\sqrt{Ragam}\\ &=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}{n}}\\ &=\sqrt{\frac{2(5-7)^{2}+2(6-7)^{2}+(7-7)^{2}+2(8-7)^{2}+2(9-7)^{2}}{9}}\\ &=\sqrt{\frac{2\times 4+2\times 1+0+2\times 1+2\times 4}{9}}\\ &=\sqrt{\frac{20}{9}}\\ &=\frac{2}{3}\sqrt{5} \end{aligned}.

 

Kami ucapkan banyak terima kasih atas segala atensinya

Semua ini semoga ada manfaatnya.

Mohon maaf apabila tulisan yang berkaitan dengan pembahasan tersebut terdapat sedikit ataupun banyak kesalahan. Sehingga saran dan kritik yang membangun sangat kami harapkan.

Salam sukses untuk kita semua.

Pembahasan UN Matematika IPS SMA/MA 2014 (1)

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{SOAL DAN PEMBAHASAN}}

\boxed{1}. Ingkaran pernyataan “Semua gaji pegawai naik dan semua harga barang naik” adalah ….

\begin{tabular}{ccp{11.0cm}}\\ &A.&Semua gaji pegawai naik dan ada harga barang naik.\\ &B.&Ada gaji pegawai naik dan semua harga barang naik.\\ &C.&Ada gaji pegawai naik atau ada harga barang naik\\ &D.&Ada pegawai tidak naik atau ada harga barang tidak naik\\ &E.&Tidak semua gaji pegawai naik dan tidak ada barang naik\end{tabular}.

Pembahasan:

Ingat bahwa ingkaran atau negasi untuk kalimat berkuantor universal adalah

\LARGE\boxed{\sim \left ( \forall x\in S \right )\: p\left ( x \right )\equiv \left ( \exists x\in S \right )\sim p\left ( x \right )}.

Sehingga ingkaran dari pernyataan soal di atas adalah “Ada gaji pegawai tidak naik atau ada harga barang tidak naik”.

ingat juga

\begin{array}{|c|c|c|}\hline NO&Kalimat\quad pernytaan&Negasi\\\hline 1&p&\sim p\\\hline 2&\sim p&\sim (\sim p)\equiv p\\\hline 3&p\wedge q&\sim p\: \vee \sim q\\\hline 4&p\vee q&\sim p\: \wedge \sim q\\\hline 5&p\rightarrow q&p\: \wedge \sim q\\\hline \end{array}.

Jadi jawaban D.

\boxed{2}. Pernyataan yang setara dengan  \sim r\Rightarrow \left ( p\: \vee\: \sim q \right )  adalah ….

\begin{matrix} A. & \left ( p\: \wedge\sim q \right )\Rightarrow \: \sim r\\\\ B. & \left ( \sim p\: \wedge q \right )\Rightarrow r\\\\ C. & \sim r\Rightarrow \left ( p\: \wedge \sim q \right )\\\\ D. & \sim r\Rightarrow \left ( \sim p\: \vee q \right )\\\\ E. & r\Rightarrow \left ( \sim p\: \wedge q \right ) \end{matrix}.

Pembahasan:

Yang perlu kita ingat berkaitan soal di atas adalah sebagai berikut:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline NO&Kalimat\quad pernytaan&Ekuivalensi=Senilai\\\hline 1&p\rightarrow q&\sim p\vee q\\\hline 2&p\rightarrow q&\sim q\rightarrow \sim p\\\hline 3&p\leftrightarrow q&(p\rightarrow q)\wedge (q\rightarrow p)\\\hline 4&p\leftrightarrow q&(\sim p\vee q)\wedge (\sim q\vee p)\\\hline 5&p\vee q&\sim p\rightarrow q\\\hline 6&p\wedge (q\vee r)&(p\wedge q)\vee (p\wedge r)\\\hline 7&\sim (p\wedge q)&\sim p\vee \sim q\\\hline \end{array}.

Perhatikan tabel di atas khususnya NO.2  yaitu  p\rightarrow q\equiv\: \sim q\rightarrow \: \sim p . Sehingga pernyataan yang setara dari pernyataan pada soal adalah

\sim r\Rightarrow \left ( \: p\: \vee \sim q \right )\equiv \: \sim \left ( \: p\: \vee \sim q \right ) \Rightarrow \sim \left ( \sim r \right )\\ \sim r\Rightarrow \left ( \: p\: \vee \sim q \right )\equiv \left ( \sim p\wedge q \right )\Rightarrow r.

Jadi pilihan yang tepat adalah B.

\boxed{3}. Diketahui premis-premis berikut:

\begin{tabular}{p{2.0cm}p{10.0cm}}\\ Premis 1&: Jika Udin rajin belajar, maka ia tahu banyak hal\\ Premis 2&: Jika Udin tahu banyak hal, maka ia murid teladan. \end{tabular}

Kesimpulan yang sah dari kedua premis tersebut adalah ….

\begin{tabular}{cp{12.0cm}}\\ A.&Jika Udin murid teladan, maka ia rajin belajar\\ B.&Jika Udin tahu banyak hal, maka ia rajin belajar\\ C.&Jika ia bukan murid teladan, maka Udin tidak rajin belajar\\ D.&Udin bukan murid teladan tetapi ia rajin belajar\\ E.&Udin malas belajar atau ia bukan murid teladan \end{tabular}.

Pembahasan:

Penarikan kesimpulan model di atas adalah tipe Silogisme

\begin{matrix} 1. & p\rightarrow q\\ 2. & q\rightarrow r \end{matrix}

————————

\therefore \: \: p\rightarrow r\\ \: \: \: \equiv \: \sim r\rightarrow \: \sim p.

Sehingga kesimpulan yang tepat adalah “Jika Udin rajin belajar, maka ia murid teladan” yang akan senilai dengan “Jika ia bukan murid teladan, maka Udin tidak rajin belajar.”

Jadi pilihan yang tepat adalah C.

\boxed{4}. Bentuk sederhana dari  \displaystyle \left ( \frac{4a^{2}b^{-4}}{6a^{-3}b^{-5}} \right )^{-3} adalah ….

\begin{matrix} A. & \frac{8}{9a^{8}b^{3}}\\\\ B. & \frac{8}{27a^{15}b^{3}}\\\\ C. & \frac{9}{8a^{8}b^{3}}\\\\ D. & \frac{27}{8a^{3}b^{3}}\\\\ E. & \frac{27}{8a^{15}b^{3}} \end{matrix}.

Pembahasan:

\left ( \frac{4a^{2}b^{-4}}{6a^{-3}b^{-5}} \right )^{-3}\\\\ =\left ( \frac{6a^{-3}b^{-5}}{4a^{2}b^{-4}} \right )^{3}\\\\ =\left ( \frac{3}{2a^{2+3}b^{-4+5}} \right )^{3}\\\\ =\left ( \frac{3}{2a^{5}b^{1}} \right )^{3} \\\\=\frac{3^{3}}{2^{3}\left ( a^{5} \right )^{3}\left ( b^{1} \right )^{3}}\\\\=\frac{27}{8a^{15}b^{3}}.

\boxed{5}. Bentuk sederhana dari  \sqrt{700}-2\sqrt{63}+\sqrt{175}-3\sqrt{7}  adalah ….

\begin{matrix} A. & -6\sqrt{7}\\\\ B. & -2\sqrt{7}\\\\ C. & 3\sqrt{7}\\\\ D. & 4\sqrt{7}\\\\ E. & 6\sqrt{7} \end{matrix}.

Pembahasan :

\sqrt{700}-2\sqrt{63}+\sqrt{175}-3\sqrt{7}\\\\ =\sqrt{7\times 100}-2\sqrt{7\times 9}+\sqrt{7\times 25}-3\sqrt{7}\\\\ =\left ( 10\sqrt{7} \right )-2\left ( 3\sqrt{7} \right )+\left ( 5\sqrt{7} \right )-3\sqrt{7}\\\\ =\left ( 10-6+5-3 \right )\sqrt{7}\\\\ =6\sqrt{7}.

\boxed{6}. Nilai dari  ^3\log \sqrt{3} +2\:\: ^3\log \frac{1}{3}+\:^3\log 27   adalah ….

\begin{matrix} A. & \frac{3}{2}\\\\ B. & \frac{1}{2}\\\\ C. & -\frac{1}{3}\\\\ D. & -\frac{1}{2}\\\\ E. & -\frac{3}{2} \end{matrix}.

Pembahasan:

^3\log \sqrt{3} +2\:\: ^3\log \frac{1}{3}+\:^3\log 27\\\\ =^3\log 3^{\frac{1}{2}}+^3\log \left ( 3^{-1} \right )^{2}+^3\log 3^{3}\\\\ =\frac{1}{2}+\left ( -2 \right )+3\\\\ =1\frac{1}{2}\\\\=\frac{3}{2}.

\boxed{7}. Koordinat titik potong grafik  y=2x^{2}+7x-4  dengan sumbu  X  dan sumbu  Y  berturut-turut adalah ….

\begin{matrix} A. & \left ( 2,0 \right ),\left ( -\frac{1}{2},0\right ),&dan&\left ( 0,4 \right )\\\\ B. & \left ( 4,0 \right ),\left ( \frac{1}{2},0\right ),&dan&\left ( 0,-4 \right )\\\\ C. & \left ( 4,0 \right ),\left ( -\frac{1}{2},0\right ),&dan&\left ( 0,-4 \right )\\\\ D. & \left ( -4,0 \right ),\left ( -\frac{1}{2},0\right ),&dan&\left ( 0,-4 \right )\\\\ E. & \left ( -4,0 \right ),\left ( \frac{1}{2},0\right ),&dan&\left ( 0,-4 \right ). \end{matrix}

Pembahasan:

y=2x^{2}+7x-4=\frac{\left ( 2x+8 \right )\left ( 2x-1 \right )}{2}=\left ( x+4 \right )\left ( 2x-1 \right ).

Perhatikan bahwa: y=2x^{2}+7x-4=\left ( x+4 \right )\left ( 2x-1 \right )\left\{\begin{matrix} memotong&sumbu&Y&saat&x=0 \\ & \\ memotong&sumbu&X&saat&y=0 \end{matrix}\right..

\bullet  saat memotong sumbu Y, x=0 , maka y=-4. Sehingga titiknya \left ( 0,-4 \right ).

\bullet  saat memotong sumbu X, y=0 , maka  \left ( x+4 \right )\left ( 2x-1 \right )=0\Rightarrow \: \: x=-4\: atau\: x=\frac{1}{2}. Sehingga diperoleh titik  \left ( -4,0 \right )\: dan\: \left ( \frac{1}{2},0 \right ).

\boxed{8}. Koordinat titik balik grafik fungsi kuadrat  y=x^{2}-4x-5  adalah ….

\begin{matrix} A. & \left ( -9,2 \right )\\\\ B. & \left ( -2,-9 \right )\\\\ C. & \left ( -2,9 \right )\\\\ D. & \left ( 2,9 \right )\\\\ E. & \left ( 2,-9 \right ) \end{matrix}.

Pembahasan:

y=x^{2}-4x-5\Rightarrow \: \left\{\begin{matrix} a=1\\ \\ b=-4\\ \\ c=-5 \end{matrix}\right..

Koordinat titik baliknya adalah  \left ( -\frac{b}{2a},f\left ( -\frac{b}{2a} \right ) \right )=\left ( -\frac{b}{2a},\frac{b^{2}-4ac}{-4a} \right ).

Sehingga koordinat titik balik grafik fungsi tersebut adalah  \left ( -\frac{b}{2a},f\left ( -\frac{b}{2a} \right ) \right )=\left ( -\frac{-4}{2(1)},f\left ( 2 \right )\right )=\left ( 2,2^{2}-4(2)-5 \right )=\left ( 2,-9 \right ).

Atau

x=-\frac{b}{2a}\Rightarrow x=-\frac{-4}{2(1)}=-\left ( -2 \right )=2\\\\ y_{\begin{matrix} \\ x=2 \end{matrix}}=2^{2}-4(2)-5=-9.

Jadi koordinat titik baliknya adalah  \left ( 2,-9 \right ).

\boxed{9}. Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah ….

139

\begin{matrix} A. & y=x^{2}-2x+5\\\\ B. & y=x^{2}+2x+5\\\\ C. & y=x^{2}+4x+5\\\\ D. & y=x^{2}-4x+5\\\\ E. & y=x^{2}-6x+5 \end{matrix}.

Pembahasan:

Perhatikan bahwa grafik tersebut di atas adalah grafik fungsi kuadrat dengan titik balik di (2,1) dan memotong sumbu Y di (0,5) .

Ingat bahwa jika persamaan kuadrat dengan titik puncak/balik \left ( p,q \right )  , maka persamaan kuadratnya adalah

\boxed{y=a\left ( x-p \right )^{2}+q}.

Sehingga persamaan kuadrat sesuai gambar grafik tersebut di atas adalah

y=a\left ( x-2 \right )^{2}+1\\\\ \left ( 0,5 \right )\: \Rightarrow \: 5=a\left ( 0-2 \right )^{2}+1\\\\ 4=a\left ( 4 \right )\\\\ a=\frac{4}{4}=1\\\\ Sehingga\\\\ untuk\: a=1\: \Rightarrow \: y=1\left ( x-2 \right )^{2}+1\\\\ y=x^{2}-4x+4+1\\\\ y=x^{2}-4x+5.

\boxed{10}. Fungsi  f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\:\: dan\: \: g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}  ditentukan oleh  f\left ( x \right )=x^{2}-5x+1\: \: dan\: \: g\left ( x \right )=x+2 . Fungsi komposisi  yang dirumuskan sebagai  \left ( fog \right )\left ( x \right )  = ….

\begin{matrix} A. & x^{2}+x+5\\\\ B. & x^{2}-x-5\\\\ C. & x^{2}-x+5\\\\ D. & x^{2}+5x-1\\\\ E. & x^{2}-5x+1 \end{matrix}.

Pembahasan:

Diketahui

f\left ( x \right )=x^{2}-5x+1\: \: dan\: \: g\left ( x \right )=x+2\\\\ \left ( fog \right )\left ( x \right )=f\left ( g\left ( x \right ) \right )=\left ( x+2 \right )^{2}-5\left ( x+2 \right )+1\\\\ \left ( fog \right )\left ( x \right )=x^{2}+4x+4-5x-10+1\\\\ \left ( fog \right )\left ( x \right )=x^{2}-x-5.

\boxed{11}. Fungsi  f(x)  didefinisikan sebagai  \displaystyle f(x)=\frac{x-3}{2x+5},x\neq -\frac{5}{2}  dan  f^{-1}(x)  adalah invers dari  f(x) . Rumus dari  f^{-1}(x)  adalah ….

\begin{matrix} A. & \displaystyle \frac{5x+3}{1-2x},x\neq \frac{1}{2}\\\\ B. & \displaystyle \frac{5x-3}{1-2x},\neq \frac{1}{2}\\\\ C. & \displaystyle \frac{5x+3}{2x+1},x\neq -\frac{1}{2}\\\\ D. & \displaystyle \frac{2x+3}{5x+5},x\neq -1\\\\ E. & \displaystyle \frac{2x-3}{5x+5},x\neq -1 \end{matrix}.

Pembahasan:

\begin{aligned}f(x)&=\frac{x-3}{2x+5}\\ (2x+5).f(x)&=x-3\\ 2xf(x)+5f(x)&=x-3\\ 2xf(x)-x&=-5f(x)-3\\ x(2f(x)-1)&=-5f(x)-3\\ x&=\frac{-5f(x)-3}{2f(x)-1}\\ f^{-1}(x)&=\frac{-5x-3}{2x-1}\\f^{-1}(x)&=\frac{5x+3}{1-2x},x\neq \frac{1}{2} \end{aligned}.

\boxed{12}. Jika  \alpha  dan  \beta  akar-akar persamaan  kuadrat  7x=4x^{2}+3 , nilai  \displaystyle \frac{\alpha }{\beta }+\frac{\beta }{\alpha }  = ….

\begin{matrix} A. & \displaystyle \frac{12}{25}\\\\ B. & \displaystyle \frac{16}{25}\\\\ C. & \displaystyle \frac{20}{25}\\\\ D. & \displaystyle \frac{24}{12}\\\\ E. & \displaystyle \frac{25}{12} \end{matrix}.

Pembahasan:

Alternatif 1

\begin{aligned}7x&=4x^{2}+3\\ -4x^{2}+7x-3&=0\\ 4x^{2}-7x+3&=0\\ \left ( \frac{(4x-4)(4x-3)}{4} \right )&=0\\ (x-1)(4x-3)&=0\\ x=1\quad\vee\quad x&=\frac{3}{4} \end{aligned}.

Sehingga  akar-akar dari  persamaan  \displaystyle 4x^{2}-7x+3=0\left\{\begin{matrix} \displaystyle x_{1}=\alpha =1\\ \\ \displaystyle x_{2}=\beta =\frac{3}{4} \end{matrix}\right.

Jadi, nilai dari  \displaystyle \frac{\alpha }{\beta }+\frac{\beta }{\alpha }=\frac{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}{\alpha \beta }=\frac{1^{2}+\left ( \frac{3}{4} \right )^{2}}{1.\frac{3}{4}}=\frac{\frac{25}{16}}{\frac{3}{4}}=\frac{25}{12}.

Alternatif 2

\displaystyle 4x^{2}-7x+3=0\left\{\begin{matrix} a=4\\ \\ b=-7\\ \\ c=3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \displaystyle \alpha +\beta =-\frac{b}{a}=-\left ( \frac{-7}{4} \right )=\frac{7}{4}\\ \\ \displaystyle \alpha \times \beta =\frac{c}{a}=\frac{3}{4} \end{matrix}\right..

Sehingga

\begin{aligned}\frac{\alpha }{\beta }+\frac{\beta }{\alpha }&=\frac{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}{\alpha \beta }\\ &=\frac{\left ( \alpha +\alpha \right )^{2}-2\alpha \beta }{\alpha \beta }\\ &=\frac{\left ( \frac{7}{4} \right )^{2}-2.\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}}\\ &=\frac{\frac{49}{16}-\frac{6}{4}}{\frac{3}{4}}\\ &=\frac{25}{12} \end{aligned}.

\boxed{13}. Diketahui akar-akar persamaan kuadrat  \displaystyle 2x^{2}-3x+4=0  adalah  \displaystyle x_{1}   dan  \displaystyle x_{2} . Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya  \displaystyle \left ( x_{1}+2 \right )  dan  \displaystyle \left ( x_{2}+2 \right )  adalah ….

\begin{matrix} A. & \displaystyle 2x^{2}-11x+18=0\\\\ B. & \displaystyle 2x^{2}+11x+18=0\\\\ C. & \displaystyle 2x^{2}+11x-18=0\\\\ D. & \displaystyle 2x^{2}-5x+18=0\\\\ E. & \displaystyle 2x^{2}-5x-18=0 \end{matrix}.

Pembahasan:

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya  \alpha  dan  \beta  adalah

\LARGE\boxed{x^{2}-\left ( \alpha +\beta \right )x+\alpha \beta =0}.

Diketahui  persamaan kuadrat

2x^{2}-3x+4=0\left\{\begin{matrix} a=2\\ \\ b=-3\\ \\ c=4 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \displaystyle x_{1}\\ \\ \\ \displaystyle x_{2} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \displaystyle x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\left ( \frac{-3}{2} \right )=\frac{3}{2}\\ \\ \\ \displaystyle x_{1}\times x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{4}{2}=2 \end{matrix}\right..

Sehingga untuk persamaan kuadrat baru dengan akar-akar  \alpha  dan  \beta  adalah

\begin{aligned}x^{2}-\left ( \alpha +\beta \right )x+\alpha \beta &=0\\ x^{2}-\left ( x_{1}+2+x_{2}+2 \right )x+\left ( x_{1}+2 \right )\left ( x_{2}+2 \right )&=0\\ x^{2}-\left ( x_{1}+x_{2}+4 \right )x+x_{1}x_{2}+2\left ( x_{1}+x_{2} \right )+4&=0\\ x^{2}-\left ( \frac{3}{2}+4 \right )x+\left ( 2 \right )+4\left ( \frac{3}{2} \right )+4&=0\\ 2x^{2}-11x+18&=0 \end{aligned}.

\boxed{14}. Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan  \displaystyle x^{2}-x-20\leq 0  adalah …

\begin{matrix} A. & \displaystyle \left \{ x|x\leq -5\quad atau \quad x\geq 4\right \}\\\\ B. & \displaystyle \left \{ x|x\leq -4\quad atau \quad x\geq 5 \right \}\\\\ C. & \displaystyle \left \{ x|-4\leq x\leq 5 \right \}\\\\ D. & \displaystyle \left \{ x|-4\leq x< 5 \right \}\\\\ E. & \displaystyle \left \{ x|-5\leq x\leq 4 \right \} \end{matrix}.

Pembahasan:

\begin{aligned}x^{2}-x-20&\leq 0\\ (x-5)(x+4)&\leq 0\\ -4\leq x&\leq 5 \end{aligned}.

\boxed{15}. Ditentukan  \displaystyle x_{1}  dan  \displaystyle y_{1}  memenuhi sistem persamaan linear  3x+4y=24\quad dan\quad x+2y=10 . Nilai  dari  \displaystyle \frac{1}{2}x_{1}+2y_{1} = ….

\begin{matrix} A. & 4\\ B. & 6\\ C. & 7\\ D. & 8\\ E. & 14 \end{matrix}.

Pembahasan:

Diketahui

\left\{\begin{matrix} 3x+4y=24\quad(1)\\ \\ x+2y=10\quad(2) \end{matrix}\right..

Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) , kita mendapatkan

\begin{aligned}3x+4y&=24\\ 3\left ( 10-2y \right )+4y&=24\\ 30-6y+4y&=24\\ -2y&=24-30\\ y&=\displaystyle \frac{-6}{-2}\\ y&=3\\ \displaystyle y_{1}&=3 \end{aligned}.

Sehingga didapatkan  pula

\begin{aligned}x&=10-2y\\ x&=10-2(3)\\ x&=10-6\\ x&=4\\ \displaystyle x_{1}&=4 \end{aligned}.

Jadi , nilai dari

\begin{aligned}\displaystyle \frac{1}{2}x_{1}+2y_{1}&=\frac{1}{2}(4)+2(3)\\ &=2+6\\ &=8 \end{aligned}.

\boxed{16}. Wati membeli 4 donat dan 2 cokelat seharga Rp6.000,00. Tari membeli 3 donat dan 4 cokelat dengan harga Rp.10.000,00. Andi membeli sebuah donat dan sebuah cokelat dengan membayar Rp5.000,00. Uang kembali yang diterima Andi adalah ….

\begin{matrix} A. & Rp2.200,00\\ B. & Rp2.400,00\\ C. & Rp2.600,00\\ D. & Rp2.800,00\\ E. & Rp4.600,00 \end{matrix}.

Pembahasan:

Diketahui   \left\{\begin{matrix} 4(donat)+2(cokelat)=6000\quad(1)\\ \\ 3(donat)+4(cokelat)=10000\quad(2) \end{matrix}\right.

Dari persamaan  (1) didapatkan  \displaystyle (Cokelat)=\frac{6.000-4(Donat)}{2}. Selanjutnya kita substitusikan ke persamaan (2)

\begin{aligned}3(donat)+4(cokelat)&=10000\\ 3(donat)+4\left ( \frac{6000-4(donat)}{2} \right )&=10000\\ 3(donat)+12000-8(donat)&=10000\\ -5(donat)&=10000-12000\\ (donat)&=\frac{-2000}{-5}\\ (donat)&=400 \end{aligned}.

Sehingga   harga  1 buah

\begin{aligned}(cokelat)&=\frac{6000-4(donat)}{2}\\ &=\frac{6000-4(400)}{2}\\ &=\frac{4400}{2}\\ &=2200 \end{aligned}.

Jadi apabila Andi membeli sebuah cokelat dan sebuah donat dengan uang Rp5.000,00, maka kembaliannya adalah = Rp5.000,00 – Rp2.200,00 Rp400,00 = Rp2.400,00.

\boxed{17}. Nilai maksimum dari fungsi objektif  2x+3y  yang memenuhi sistem pertidaksamaan  x+2y\leq 10\: ;\: x+y\leq 7\: ;\: x\geq 0\: ;\: y\geq 0  adalah ….

\begin{matrix} A. & 14\\ B. & 15\\ C. & 17\\ D. & 20\\ E. & 21 \end{matrix}.

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi gambar yang berarsir kuning berikut:

139c

Untuk titik potongnya adalah  \left\{\begin{matrix} x+2y=10\\ \\ x+y=7 \end{matrix}\right.\Rightarrow (x,y)=(4,3). Jika fungsi objektifnya adalah  2x+3y  , maka

\begin{tabular}{|c|p{5.0cm}|}\hline Vertek&Nilai fungsi objektif=2x+3y\\\hline (7,0)&14\\\hline (0,5)&15\\\hline (4,3)&17\\\hline \end{tabular}

Sehingga nilai maksimumnya adalah 17.

\boxed{18}. Daerah yang diarsir pada gambar merupakan penyelesaian sistem pertidaksamaan. Nilai maksimum bentuk objektif  3x+4y  adalah …

139d

\begin{matrix} A. & 3\\ B. & 4\\ C. & 5\\ D. & 6\\ E. & 7 \end{matrix}.

Jawab: 5

Pembahasan diserahkan kepada pembaca.

Semoga dapat berlanjut InsyaAllah

Lanjutan Pembahasan UN Matematika IPA SMA/MA 2014 (2)

\boxed{21}. Seutas kawat dipotong menjadi lima bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. Panjang kawat terpendek 16 cm dan terpanjang 81 cm. Panjang kawat semual adalah ….

\begin{matrix} A. & 121\: cm\\ B. & 130\: cm\\ C. & 133\: cm\\ D. & 211\: cm\\ E. & 242\: cm\\ \end{matrix}.

Pembahasan:

Diketahui\: Barisan\: Geometri\: (BG)\: \left\{\begin{matrix} u_{1}=16 & \Rightarrow &a=16\\ & \\ u_{5}=81 & \Rightarrow &ar^{4}=81 \end{matrix}\right..

Maka nilai  r  adalah;

ar^{4}=81\\\\ 16\times r^{4}=81\\\\ \: \: r^{4}=\frac{81}{16}\\\\ \: \: r=\sqrt[4]{\frac{3^{4}}{2^{4}}}\\\\ \: \: r=\frac{3}{2}.

Ingat  Jika

\boxed{u_{p}=A,\: u_{q}=B,\:dengan\: \: p< q,\: \: maka\: \: r=\sqrt[q-p]{\frac{B}{A}}}.

Sehingga

S_{5}=\frac{a\left ( r^{5}-1 \right )}{r-1}\\\\ S_{5}=\frac{16\left ( \frac{3}{2}^{5}-1 \right )}{\frac{3}{2}-1}\\\\ S_{5}=32\left ( \frac{343}{32}-1 \right )\\\\ S_{5}=211.

\boxed{22}. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 9 cm. Jika titik T terletak pada pertengahan garis HF. Jarak titik A ke garis CT adalah ….

\begin{matrix} A. & 5\sqrt{3}\: cm\\\\ B. & 6\sqrt{2}\: cm\\\\ C. & 6\sqrt{3}\: cm\\\\ D. & 6\sqrt{6}\: cm\\\\ E. & 7\sqrt{3}\: cm \end{matrix}.

Pembahasan:

Fakta dari soal di atas dapat kita terjemahkan sebagai berikut

134

Sehingga panjang AT=\frac{9}{2}\sqrt{6}\: cm .

Jarak titik A ke garis CT kita misalkan AA’ dengan A’ terletak pada garis CT , maka

Luas_{\triangle ACT}=Luas_{\triangle ACT}\\\\ \frac{1}{2}\times alas\times tinggi=\frac{1}{2}\times alas\times tinggi\\\\ \frac{1}{2}\times AC\times TT'=\frac{1}{2}\times CT(alas)\times AA'\\\\ \not{9}\sqrt{2}\times 9=\frac{\not{9}}{2}\sqrt{6}\times AA'\\\\ AA'=\frac{9\times 2\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{3}}\\\\ AA'=6\sqrt{3}\: cm.

Jadi jarak titik A ke garis CT adalah  6\sqrt{3}\: cm.

\boxed{23}. Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah  \alpha  . Nilai  \sin \alpha = ….

\begin{matrix} A. & \frac{1}{2}\sqrt{2}\\\\ B. & \frac{1}{2}\sqrt{3}\\\\ C. & \frac{1}{3}\sqrt{3}\\\\ D. & \frac{2}{3}\sqrt{2}\\\\ E. & \frac{3}{4}\sqrt{3} \end{matrix}.

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi berikut

135

Dengan cara yang kurang lebih sama pada NO.22 diketahui AT=2\sqrt{6}\: cm.

Sehingga Nilai

\sin \alpha =\frac{ET}{AT}=\frac{\frac{1}{2}EG}{AT}=\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}.

\boxed{24}. Diberikan segi-4 ABCD seperti pada gambar.

136

Panjang  CD  adalah ….

\begin{matrix} A. & 6\sqrt{6}\: cm\\\\ B. & 13\: cm\\\\ C. & 12\: cm\\\\ D. & 2\sqrt{29}\: cm\\\\ E. & \sqrt{2}\: cm \end{matrix}.

Pembahasan:

Langkah awal kita tentukan panjang  BD , yaitu dengan menggunakan aturan Sinus untuk  \bigtriangleup ABD ,

ingat\\\\ \boxed{\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}}

maka

\boxed{\frac{BD}{\sin 45^{0}}=\frac{10}{\sin 30^{0}}=\frac{AB}{\sin \angle ADB}}

\Rightarrow \: \: BD=\frac{10}{\sin 30^{0}}\times \sin 45^{0}\\\\ \Rightarrow \: \: BD=\frac{10}{\frac{1}{2}}\times \frac{1}{2}\sqrt{2}\\\\ \Rightarrow \: \: BD=10\sqrt{2}.

Selanjutnya kita tentukan panjang  CD , dengan aturan cosinus

\begin{matrix} ingat\\ \\ a^{2}=b^{2}+c^{2}-bc\cos \angle A\\\\ b^{2}=a^{2}+c^{2}-ac\cos \angle B\\\\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-ab\cos \angle C \end{matrix}.

Untuk  \bigtriangleup CBD  , aturan cosinus untuk menentukan besar  CD  adalah

CD^{2}=BD^{2}+BC^{2}-2BD.BC.\cos \angle CBD\\\\ \Rightarrow \: \: CD^{2}=\left ( 10\sqrt{2} \right )^{2}+\left ( 14 \right )^{2}-2.10\sqrt{2}.14.\cos 45^{0}\\\\ \Rightarrow \: \: CD^{2}=200+196-280\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{2}\\\\ \Rightarrow \: \: CD^{2}=396-280\\\\ \Rightarrow \: \: CD^{2}=116\\\\ \Rightarrow \: \: CD=\sqrt{116}\\\\ \Rightarrow \: \: CD=2\sqrt{29}\: cm.

\boxed{25}. Himpunan penyelesaian persamaan  2\cos ^{2}x^{0}+5\cos x^{0}=3,\: \:\: 0\leq x\leq 360  adalah ….

\begin{matrix} A. & \left \{ 30,\: 60 \right \}\\\\ B. & \left \{ 30,\: 330 \right \}\\\\ C. & \left \{ 60,\: 120 \right \}\\\\ D. & \left \{ 60,\: 240 \right \}\\\\ E. & \left \{ 60,\: 300 \right \} \end{matrix}.

Pembahasan:

2\cos ^{2}x^{0}+5\cos x^{0}-3=0\\\\ \left ( \cos x^{0}+3 \right )\left ( 2\cos x^{0}-1\right )=0\\\\ \cos x^{0}+3=0\: \: atau\: \: \: 2\cos x^{0}-1=0\\\\ \cos x^{0}=-3\: \: (tidak memenuhi)\: \: atau\: \: \cos x^{0}=\frac{1}{2}\: \: (memenuhi)\\.

Sehingga  untuk yang memenuhi yaitu  \cos x^{0}=\frac{1}{2} , maka

\cos x^{0}=\frac{1}{2}\\\\ \Rightarrow \: \: \cos x^{0}=\cos 60^{0}\\\\ \Rightarrow \: \: x^{0}=\pm 60^{0}+k\times 360^{0}\\\\ \Rightarrow \: \: x^{0}=60^{0}+k\times 360^{0}\: \: atau\: \: x^{0}=-60^{0}+k\times 360^{0}\\ \bullet k=0\: \: \Rightarrow \: \: x^{0}=60^{0}\: \: atau\: \: x^{0}=-60^{0}\: \: (tm)\\\\ \bullet k=1\: \: \Rightarrow \: \: x^{0}=420^{0}\: \: (tm),\: \: atau\: \: x^{0}=300^{0}\: \: (mm)\\ \bullet k=2\: \: \Rightarrow \: \: semuanya\: \: \: (tm).

Jadi , Himpunan penyelesaiannya adalah  \left \{ 60^{0}, 300^{0} \right \}.

\boxed{26}. Nilai dari  \sin 75^{0}-\sin 15^{0}+\cos 45^{0} = ….

\begin{matrix} A. & \sqrt{3}\\\\ B. & \sqrt{2}\\\\ C. & \frac{1}{2}\sqrt{2}\\\\ D. & \frac{1}{3}\sqrt{2}\\\\ E. & 1 \end{matrix}.

Pembahasan:

Perhatikanlah tabel berikut

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \alpha ^{0}&0^{0}&15^{0}&30^{0}&45^{0}&60^{0}&75^{0}&90^{0}&180^{0}&270^{0}&360^{0}\\\hline \sin \alpha ^{0}&0&\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right )&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right )&1&0&-1&0\\\hline \cos \alpha ^{0}&1&\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right )&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right )&0&-1&0&1\\\hline \tan \alpha ^{0}&0&2-\sqrt{3}&\frac{1}{3}\sqrt{3}&1&\sqrt{3}&2+\sqrt{3}&TD&0&TD&0\\\hline \end{array}.

Sehingga

\sin 75^{0}-\sin 15^{0}+\cos 45^{0}=\\\\ =\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right )-\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right )+\frac{1}{2}\sqrt{2}\\\\ =\frac{1}{4}\sqrt{2}+\frac{1}{4}\sqrt{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2}\\\\ =\sqrt{2}.

\boxed{27}. Nilai dari  \lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{81x^{2}-10x+3} -9x+1\right )  = ….

\begin{matrix} A. & \frac{4}{9}\\\\ B. & \frac{2}{3}\\\\ C. & 1\\\\ D. & \frac{5}{3}\\\\ E. & \frac{5}{2} \end{matrix}.

Pembahasan:

\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{81x^{2}-10x+3}-9x+1 \right )\\\\ =\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{81x^{2}-10x+3}-\left ( 9x-1 \right ) \right )\\\\ =\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{81x^{2}-10x+3}-\sqrt{81x^{2}-18x+1} \right )\\\\ =\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{81x^{2}-10x+3}-\sqrt{81x^{2}-18x+1} \right )\left ( \frac{\sqrt{81x^{2}-10x+3}+\sqrt{81x^{2}-18x+1}}{\sqrt{81x^{2}-10x+3}+\sqrt{81x^{2}-18x+1}} \right )\\\\ =\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{-10x+3+18x-1}{\sqrt{81x^{2}-10x+3}+\sqrt{81x^{2}-18x+1}}\\\\ =\frac{-10+18}{9+9}\\\\=\frac{4}{9}.

Kita juga dapat menggunakan rumus singkat berikut:

\boxed{ \lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{ax^{2}+bx+c}-\sqrt{px^{2}+qx+r} \right )=\left\{\begin{matrix} \infty & jika & a> p\\\\ \frac{b-q}{2\sqrt{a}} & jika & a=p\\\\ -\: \infty & jika & a< p \end{matrix}\right.}.

\boxed{28}. Nilai  \lim_{x\rightarrow 0}\frac{4x\cos x}{\sin x+\sin 3x}  = ….

\begin{matrix} A. & 4\\\\ B. & 3\\\\ C. & \frac{4}{3}\\\\ D. & 1\\\\ E. & \frac{3}{4} \end{matrix}.

Pembahasan:

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{4x\cos x}{\sin x+\sin 3x}\\\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{4x\cos x}{2\sin \frac{1}{2}\left ( x+3x \right )\cos \frac{1}{2}\left ( x-3x \right )}\\\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x\cos x}{\sin 2x.\cos x}\\\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x}{\sin 2x}\\\\ =1.

\boxed{29}. Diketahui fungsi  g\left ( x \right )=\frac{1}{3}x^{3}-A^{2}x+7,\: \: A\: konstanta . Jika  f\left ( x \right )=g\left ( 2x+1 \right )   dan  f  turun pada  -\frac{3}{2}\leq x\leq \frac{1}{2} , nilai relatif  g   adalah ….

\begin{matrix} A. & \frac{4}{3}\\\\ B. & \frac{5}{3}\\\\ C. & 2\\\\ D. & \frac{7}{3}\\\\ E. & \frac{8}{3} \end{matrix}.

Pembahasan:

g\left ( x \right )=\frac{1}{3}x^{3}-A^{2}x+7\\\\ g\left ( 2x+1 \right )=\frac{1}{3}\left ( 2x+1 \right )^{3}-A^{2}\left ( 2x+1 \right )+7=f\left ( x \right )\\\\ f\left ( x \right )=\frac{8}{3}x^{3}+4x^{2}+\left ( 2-2A^{2} \right )x-A^{2}+7\frac{1}{3}\\\\ untuk\: \: f\: \: turun\: \: \Rightarrow \: \: f'\left ( x \right )=8x^{2}+8x+\left ( 2-2A^{2} \right ).

Artinya akar-akar dari persamaan  f'\left ( x \right ) adalah  di  x_{1}=-\frac{3}{2}  dan  di  x_{2}=\frac{1}{2} .

Selanjutnya

x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}\\ \Rightarrow \: \: \: \left ( -\frac{3}{2} \right ).\left ( \frac{1}{2} \right )=\frac{2-2A^{2}}{8}\\ \Rightarrow \: \: \: -3=1-A^{2}\\ \Rightarrow \: \: \: A^{2}=4.

Sehingga  persamaan  g\left ( x \right ) -nya adalah  g\left ( x \right )=\frac{1}{3}x^{3}-4x+7.

Untuk mencari nilai minimum relatif  g  , cukup kita turunkan 2 kali fungsi  g  tersebut kemudian kita uji dengan  harga  x  yang kita peroleh saat turunan pertama  fungsi  g sama dengan nol.

g\left ( x \right )=\frac{1}{3}x^{3}-4x+7\\\\ g'\left ( x \right )=x^{2}-4\: \: \: dan\: \: g''\left ( x \right )=2x\\\\ dan\: \:untuk\: \: g'\left (x \right )=x^{2}-4=0\\\\ x=\left | 2 \right |=\pm \: 2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=2 & , & g''\left ( 2 \right )=2.2=4> 0&,&saat&minimum&relatif&fungsi&g\\ & & \\ x=-2 & , & g''\left ( -2 \right )=2.(-2)=-4< 0&,&saat&maksimum&relatif&fungsi&g \end{matrix}\right..

Sehingga nilai minimum relatif fungsi g  adalah saat  x=2 , yaitu

g\left ( 2 \right )=\frac{1}{3}\left ( 2 \right )^{3}-4\left ( 2 \right )+7=\frac{8}{3}-1=\frac{5}{3}.

\boxed{30}. Hasil  \int \frac{x^{2}+2}{\sqrt{x^{3}+6x+1}}\: dx  = ….

\begin{matrix} A. & \frac{1}{3}\sqrt{x^{3}+6x+1}+C\\\\ B. & \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}+6x+1}+C\\\\ C. & \sqrt{x^{3}+6x+1}+C\\\\ D. & 2\sqrt{x^{3}+6x+1}+C\\\\ E. & 3\sqrt{x^{3}+6x+1}+C \end{matrix}.

Pembahasan:

Misalkan

u=x^{3}+6x+1\\ du=\left ( 3x^{2}+6 \right )\: \: dx\\ \frac{1}{3}du=\left ( x^{2}+2 \right )\: \: dx.

Selanjutnya

\int \frac{x^{2}+2}{\sqrt{x^{3}+6x+1}}\: dx=\int \frac{1}{\sqrt{x^{3}+6x+1}}\left ( x^{2}+2 \right )\: dx\\\\ =\int \frac{1}{\sqrt{u}}.\: \frac{1}{3}du\\\\ =\frac{1}{3}\int u^{-\frac{1}{2}}\: du\\\\ =\frac{1}{3}\left ( \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right )+C\\\\ =\frac{2}{3}.\sqrt{u}+C \\\\=\frac{2}{3}\sqrt{x^{3}+6x+1}+C.

\boxed{31}. Hasil  \int_{-1}^{2}\left ( x^{3}+3x^{2}+4x+5 \right )\: dx  = ….

\begin{matrix} A. & 34\frac{1}{4}\\\\ B. & 33\frac{3}{4}\\\\ C. & 32\frac{1}{4}\\\\ D. & 31\frac{3}{4}\\\\ E. & 23\frac{3}{4} \end{matrix}.

Pembahasan:

\int_{-1}^{2}\left ( x^{3}+3x^{2}+4x+5 \right )\: dx=\frac{x^{4}}{4}+x^{3}+2x^{2}+5x\: |_{-1}^{2}\\\\ =\frac{2^{4}}{4}+2^{3}+2.2^{2}+5.2\: -\left ( \frac{\left ( -1 \right )^{4}}{4}+\left ( -1 \right )^{3}+2.\left ( -1 \right )^{2}+5\left ( -1 \right ) \right )\\\\ =33\frac{3}{4}.

\boxed{32}. Nilai dari  \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left ( \sin 2x\cos 2x \right )\: dx  = ….

\begin{matrix} A. & -\frac{1}{2}\\\\ B. & -\frac{1}{4}\\\\ C. & 0\\\\ D. & \frac{1}{4}\\\\ E. & \frac{1}{2} \end{matrix}.

Pembahasan:

Diketahui  \frac{\sin 2x}{2}=\sin x\cos x, maka

\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left ( \sin 2x\cos 2x \right )\: dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left ( \frac{\sin 4x}{2} \right )\: dx\\\\ =\frac{1}{2}.\frac{1}{4}\left ( -\cos 4x \right )\: |_{0}^{\frac{\pi }{2}}\\\\ =-\frac{1}{8}\left ( \cos 4x \right )\:|_{0}^{\frac{\pi }{2}}\\\\ =\left (-\frac{1}{8}\cos 2\pi \right )-\left ( -\frac{1}{8}\cos 0 \right )\\\\ =\left ( -\frac{1}{8} \right )-\left ( -\frac{1}{8} \right )\\\\ =0.

\boxed{33}. Hasil  \int \left ( \sin ^{2}5x\cos 5x \right )\: dx  = ….

\begin{matrix} A. & \frac{1}{3}\sin ^{3}5x+C\\\\ B. & \frac{1}{3}\cos ^{3}5x+C\\\\ C. & \frac{1}{10}\sin ^{3}5x+C\\\\ D. & \frac{1}{15}\cos ^{3}5x+C\\\\ E. & \frac{1}{15} \end{matrix}.

Pembahasan:

Misalkan

u=\sin 5x\\ du=\cos 5x.5\: dx\\ \frac{1}{5}du=\cos 5x\: dx.

Selanjutnya

\int \left ( \sin ^{2}5x\cos 5x \right )\: dx=\int u^{2}.\: \frac{1}{5}du\\\\ =\frac{1}{5}\int u^{2}\: du\\\\ =\frac{1}{5}.\frac{1}{3}u^{3}+C\\\\ =\frac{1}{15}u^{3}+C\\\\ =\frac{1}{15}\sin ^{3}5x+C.

\boxed{34}. Luas daerah yang diarsir pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus

137

\begin{matrix} A. & \int_{0}^{4}4x\: dx & - & \int_{2}^{4}\left ( 2x-4 \right )\: dx\\\\ B. & \int_{0}^{4}4x\: dx & - & \int_{2}^{4}\left ( 2x+4 \right )\: dx\\\\ C. & \int_{0}^{4}2\sqrt{2}\: dx & - & \int_{2}^{4}\left ( 2x-4 \right )\: dx\\\\ D. & \int_{0}^{4}2\sqrt{2}\: dx & - & \int_{2}^{4}\left ( 4-2x \right )\: dx\\\\ E. & \int_{0}^{4}2\sqrt{x}\: dx & - & \int_{2}^{4}\left ( 4+2x \right )\: dx \end{matrix}.

Pembahasan:

Luas_{arsiran}=\int_{0}^{4}y_{1}\: dx-\int_{2}^{4}y_{2}\: dx\\\\ \Leftrightarrow \: \: Luas_{arsiran}=\int_{0}^{4}\sqrt{4x}\: dx-\int_{2}^{4}\left ( 2x-4 \right )\: dx\\\\ \Leftrightarrow \: \: Luas_{arsiran}=\int_{0}^{4}2\sqrt{x}\: dx-\int_{2}^{4}\left ( 2x-4 \right )\: dx.

\boxed{35}. Volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang dikuadran I yang dibatasi oleh kurva  x=2\sqrt{3}\: y^{2}  , sumbu Y , dan lingkaran  x^{2}+y^{2}=1 , diputar mengelilingi sumbu Y adalah ….

\begin{matrix} A. & \frac{4}{60}\pi &satuan&volume \\\\ B. & \frac{17}{60}\pi &satuan&volume \\\\ C. & \frac{23}{60}\pi &satuan&volume \\\\ D. & \frac{44}{60}\pi &satuan&volume \\\\ E. & \frac{112}{60}\pi &satuan&volume \end{matrix}.

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi berikut

103

Volumenya jika diputar mengelilingi  Sumbu Y adalah

V=\pi \int_{0}^{\frac{1}{2}}x_{1}^{2}\: dy+\pi \int_{\frac{1}{2}}^{1}x_{2}^{2}\: dy\\\\ \Leftrightarrow \: \: V=\pi \int_{0}^{\frac{1}{2}}\left ( 2\sqrt{3}y^{2} \right )^{2}\: dy+\pi \int_{\frac{1}{2}}^{1}\left ( 1-y^{2} \right )\: dy\\\\ \Leftrightarrow \: \: V=\frac{12}{5}y^{5}\pi |_{0}^{\frac{1}{2}}+\left ( y-\frac{1}{3}y^{3} \right )\pi |_{\frac{1}{2}}^{1}\\\\ \Leftrightarrow \: \: V=\pi \left ( \frac{12}{5}\times \frac{1}{32}+\left ( 1-\frac{1}{3} \right )-\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{8} \right ) \right )\\\\ \Leftrightarrow \: \: V=\frac{17}{60}\pi.

\boxed{36}. Perhatikan histogram berikut!

138

Modus dari data pada histogram adalah ….

\begin{matrix} A. & 23,25\\\\ B. & 23,75\\\\ C. & 24,00\\\\ D. & 25,75\\\\ E. & 26,25 \end{matrix}.

Pembahasan:

Perhatikan

\begin{tabular}{||c||c||}\hline Interval&Frekuensi\\\hline 3-7&4\\\hline 8-12&6\\\hline 13-17&8\\\hline 18-22&10\\\hline 23-27&12\\\hline 28-32&6\\\hline 33-37&4\\\hline 38-42&2\\\hline \end{tabular}.

Modus dari data tersebut di atas adalah

M_{o}=t_{b}+p\left ( \frac{d_{1}}{d_{1}+d_{2}} \right )\\\\ \Leftrightarrow \: \: M_{o}=22,5+5\left ( \frac{2}{2+6} \right )\\\\ \Leftrightarrow \: \: M_{o}=22,5+5\left ( \frac{1}{4}\right )\\\\ \Leftrightarrow \: \: M_{0}=22,5+1,25\\\\ \Leftrightarrow \: \: M_{o}=23,75.

Penjelasan:

\boxed{M_{o}=t_{b}+p\left ( \frac{d_{1}}{d_{1}+d_{2}} \right )}

\begin{tabular}{|c|p{6.0cm}|}\hline Nama\: Istilah&Keterangan\\\hline \boxed{t_{p}}&tepi bawah kelas modus\\\hline p&panjang interval kelas\\\hline \boxed{f_{o}}&frekuensi kelas modus\\\hline \boxed{f_{-1}}&frekuensi sebelum kels modus\\\hline \boxed{f_{+1}}&frekuensi sesudah kelas modus\\\hline \boxed{d_{1}}&\boxed{f_{0}-f_{-1}}\\\hline \boxed{d_{2}}&\boxed{f_{0}-f_{+1}}\\\hline \end{tabular}.

\boxed{37}. Kuartil atas dari data pada tabel berikut adalah ….

\begin{tabular}{|c|c|}\hline Data&Frekuensi\\\hline 20-25&4\\ 26-31&6\\ 32-37&6\\ 38-43&10\\ 44-49&12\\ 50-55&8\\ 56-61&4\\\hline \end{tabular}.

\begin{matrix} A. & 49,25\\\\ B. & 48,75\\\\ C. & 48,25\\\\ D. & 47,75\\\\ E. & 47,25 \end{matrix}.

Pembahasan:

Perhatikan kembali tabel berikut

\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline Data&Frekuensi&Frek.kum\: kurang\: dari\\\hline 20-25&4&4\\\hline 26-31&6&10\\\hline 32-37&6&16\\\hline 38-43&10&26\\\hline 44-49&12&38\\\hline 50-55&8&46\\\hline 56-61&4&50\\\hline \end{tabular}.

Q_{i}=t_{b}+p\left ( \frac{\frac{i}{4}n-\sum f_{i}}{f_{q}} \right )\\\\ \Leftrightarrow \: \: Q_{3}=43,5+6\left ( \frac{\frac{3}{4}\times 50-26}{12}\right)\\\\ \Leftrightarrow \: \: Q_{3}=43,5+\frac{11,5}{2}\\\\ \Leftrightarrow \: \: Q_{3}=43,5+5,75\\\\ \Leftrightarrow \: \: Q_{3}=49,25.

Penjelasan:

\boxed{Q_{i}=t_{p}+p\left ( \frac{\frac{i}{4}\times n-\sum f_{i}}{f_{q}} \right )}.

\begin{tabular}{|c|p{9,0cm}|}\hline Nama\: Istilah&Keterangan\\\hline \boxed{t_{p}}&tepi bawah kuartil ke-i\\\hline p&panjang interval kelas\\\hline n&banyaknya data\\\hline \boxed{\sum f_{i}}&jumlah semua frekuensi sebelum kelas kuartil ke-i\\\hline \boxed{f_{q}}&frekuensi kelas kuartil ke-i\\\hline \boxed{Q_{1}}&kuartil ke-i\\\hline \boxed{Q_{1}}&kuartil bawah\\\hline \boxed{Q_{2}}&Kuartil tengah=median\\\hline \boxed{Q_{3}}&kuartil atas\\\hline \end{tabular}.

\boxed{38}. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 akan disusun bilangan yang terdiri dari empat angka yang berbeda. Banyaknya bilangan yang lebih dari 3.000 adalah ….

\begin{matrix} A. & 120\\\\ B. & 180\\\\ C. & 240\\\\ D. & 360\\\\ E. & 720 \end{matrix}.

Pembahasan:

\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline Patokan&diinginkan&Banyak\: kemungkinan\\\hline 3.000&\boxed{< }&4x5x4x3\\\hline 3.000&&240\\\hline \end{tabular}.

atau

\begin{tabular}{|c|p{12.0cm}|}\hline Patokan&Pengisiian\: Tempat\\\hline 3.000\: \boxed{< }&ada 4 kotak yang perlu diisi\\\hline &kotak pertama adalah ditempati angka ribuan. Tempat ribuan ini yang mungkin menempati adalah salah satu dari bilangan 3, 4, 5 atau 6. Sehingga tempat rinuan yang akan menempati ada 4 kemungkinan. Tempat ratusan dapat ditempati semua bilangan baik 1, 2, 3, 4, 5 atau 6 tetapi salah satu dari bilangan tersebut telah ditempatkan di tempat ribuan. Sehingga tempat ratusan tinggal kemungkinan ada lima angka yang akan menempati . Sedangkan tempat puluhan tersisa 4 bilangan yang dapat digunakan dan tempat satuan tersisa 3 bilangan yang dapat diisikan ketempat tersebut\\\hline \end{tabular}.

\boxed{39}. Dari 7 orang finalis lomba menyanyi akan ditetapkan gelar juara I, II dan III. Banyak susunan gelar kejuaraan yang mungkin adalah ….

\begin{matrix} A. & 35\\\\ B. & 70\\\\ C. & 210\\\\ D. & 420\\\\ E. & 840 \end{matrix}.

Pembahasan:

Kita dapat mengerjakan langsung seperti No.38  yaitu 7 x 6 x 5 = 210 susunan atau menggunakan permutasi (karena susunan jelas ditentukan dan penting).

Kalau kita menggunakan permutasi , maka

P_{3}^{7}=P_{(7,3)}=\frac{7!}{(7-3)!}=\frac{7!}{4!}=\frac{7\times 6\times 5\times \not{4!}}{\not{4!}}=210.

\boxed{40}. Dua buah dadu dilambungkan bersama-sama satu kali. Peluang muncul jumlah mata dadu genap atau jumlah mata dadu lima adalah ….

\begin{matrix} A. & \frac{1}{9}\\\\ B. & \frac{7}{18}\\\\ C. & \frac{1}{2}\\\\ D. & \frac{5}{9}\\\\ E. & \frac{11}{18} \end{matrix}.

Pembahasan:

Perhatikanlah tabel berikut

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &1&2&3&4&5&6\\\hline 1&(1,1)&(1,2)&(1,3)&(1,4)&(1,5)&(1,6)\\\hline 2&(2,1)&(2,2)&(2,3)&(2,4)&(2,5)&(2,6)\\\hline 3&(3,1)&(3,2)&(3,3)&(3,4)&(3,5)&(3,6)\\\hline 4&(4,1)&(4,2)&(4,3)&(4,4)&(4,5)&(4,6)\\\hline 5&(5,1)&(5,2)&(5,3)&(5,4)&(5,5)&(5,6)\\\hline 6&(6,1)&(6,2)&(6,3)&(6,4)&(6,5)&(6,6)\\\hline \end{tabular}.

Kalau kita sederhanakan jika 2 dadu dilempar/undi adalah

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Mata\: dadu&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\hline Jumlah(36)&0&1&2&3&4&5&6&5&4&3&2&1\\\hline \end{tabular}.

Sehingga jumlah mata dadu genap ada (yang selanjutnya kita sebut sebagai reprentasi himpunan A)

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Mata\: dadu\: genap&&2&&4&&6&&8&&10&&12&Jumlah\\\hline S=Jumlah(36)&&1&&3&&5&&5&&3&&1&18\\\hline \end{tabular}.

Dan jumlah mata dadu 5 ada sebanyak (yang selanjutnya kita sebut sebagai reprentasi himpunan B)

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Mata\: dadu\: semuanya&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&Jumlah\\\hline S=Jumlah(36)&&&&&4&&&&&&&&4\\\hline \end{tabular}.

Jadi peluang muncul mata jumlah mata dadu genap atau jumlah mata dadu 5 adalah

P\left ( A\cup B \right )=P\left ( A \right )+P\left ( B \right )=\frac{n\left ( A \right )}{n\left ( S \right )}+\frac{n\left ( B \right )}{n\left ( S \right )}=\frac{18}{36}+\frac{4}{36}=\frac{22}{36}=\frac{11}{18}.

 

Mohon maaf apa bila terdapat banyak kekurangan dan ataupun kesalahan

Salam sukses untuk kita semua.

Pembahasan UN Matematika IPA SMA/MA 2014 (1)

Menyongsong UN 2015 khususnya Mapel Matematika IPA

Contoh Soal dan Pembahasan UN 2014 Mapel  Matematika IPA

dari salah satu atau beberapa lembar soal UN tahun pelajaran 2013/2014

(Mohon maaf dan koreksinya apabila nantinya ditemukan ada kesalahan-kesalahan dan atau kekurangan)

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{Soal Dan Pembahasan}}

\boxed{1}. Diketahui premis-premis berikut:

\begin{tabular}{cp{14.0cm}}\\ 1.& Jika semua pejabat negara tidak korupsi,maka Negara tambah maju.\\ 2.& Negara tidak tambah maju atau rakyat makmur.\\ 3.& Rakyat tidak makmur \\\end{tabular} .

Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah …

\begin{tabular}{ccp{9.0cm}}\\ &A.&Semua pejabat negara tidak korupsi\\ &B.&Semua pejabat negara korupsi\\ &C.&Beberapa pejabat negara korupsi\\ &D.&Semua pejabat negara korupsi\\ &E.&Korupsi tidak merajalela\\ \end{tabular} .

Pembahasan:

Diketahui sebuah proses penarikan kesimpulan(komplek) dengan unsur

\begin{tabular}{ccp{9.0cm}}\\ p&=&Semua pejabat negara tidak korupsi\\ q&=&Negara tambah maju\\ r&=&Rakyat makmur \end{tabular} .

\begin{matrix} 1. & p \rightarrow q \\ 2. & \sim q \vee r\\ 3. & \sim r \\ \end{matrix}\left\{\begin{matrix} \begin{Bmatrix} p\rightarrow q\\ q\rightarrow r \end{Bmatrix}\\ \sim r \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} p\rightarrow r\\ \sim r \end{matrix}\right..

———————————————-

\therefore \: \: \sim p.

Jadi kesimpulan yang dapat ditarik dari pernyataan di atas adalah : “Beberapa pejabat negara korupsi”.

\boxed{2}. Pernyataan “Jika pejabat negara jujur maka semua rakyat hidup sejahtera” setara dengan pernyataan …

\begin{tabular}{cp{16.0cm}}\\ A.&Jika pejabat negara tidak jujur, maka semua rakyat hidup tidak sejahtera.\\ B.&Jika pejabat negara tidak jujur, maka ada rakyat yang hidupnya tidak sejahtera.\\C.&Jika ada rakyat hidup tidak sejahtera, maka pejabat negara tidak jujur.\\D.&Pejabat negara tidak jujur dan semua rakyat hidup sejahtera.\\E.&Pejabat negara jujur atau semua rakyat hidup sejahtera.\\\end{tabular}.

Pembahasan:

Suatu implikasi dari pernyataan p ke q memiliki kesetaraan dengan pernyataan

\LARGE\boxed{p\rightarrow q\: \cong \: \: \sim q\rightarrow \, \sim p\: \cong \:\: \sim p\: \vee\: q}.

Sehingga pilihan yang paling tepat adalah C.

\boxed{3}. Bentuk sederhana dari \LARGE\left ( \frac{4a^{-2}b^{2}c}{12a^{-5}b^{4}c^{-1}} \right )^{-1} adalah ….

\begin{matrix} A. & \frac{3b^{2}}{a^{3}c}\\\\ B. & \frac{3b^{6}}{a^{7}c^{2}}\\\\ C. & \frac{3b^{2}}{a^{3}c^{2}}\\\\ D. & \frac{a^{3}c^{2}}{3b^{2}}\\\\ E. & \frac{a^{7}c^{2}}{3b^{6}} \end{matrix}.

Pembahasan:

\left ( \frac{4a^{-2}b^{2}c}{12a^{-5}b^{4}c^{-1}} \right )^{-1}=\left ( \frac{12a^{-5}b^{4}c^{-1}}{4a^{-2}b^{2}c} \right )=3a^{-5+2}b^{4-2}c^{-1-1}=3a^{-3}b^{2}c^{-2}=\frac{3b^{2}}{a^{3}c^{2}}.

\boxed{4}. Bentuk sederhana dari \frac{21}{2\sqrt{3}+\sqrt{5}} adalah ….

\begin{matrix} A. & 6\sqrt{3}-6\sqrt{5}\\\\ B. & 6\sqrt{3}-3\sqrt{5}\\\\ C. & 6\sqrt{3}-\sqrt{5}\\\\ D. & 6\sqrt{3}+\sqrt{5}\\\\ E. & 6\sqrt{3}+3\sqrt{5} \end{matrix}.

Pembahasan:

\frac{21}{2\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{21}{2\sqrt{3}+\sqrt{5}}\times \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}=\frac{21\left ( 2\sqrt{3} -\sqrt{5}\right )}{\left ( 2\sqrt{3} \right )^{2}-\left ( \sqrt{5} \right )^{2}}=\frac{21\left ( 2\sqrt{3}-\sqrt{5} \right )}{12-5}=3\left ( 2\sqrt{3} -\sqrt{5}\right )=6\sqrt{3}-3\sqrt{5}.

\boxed{5}. Nilai dari \frac{^8\log 2\: +\: ^2\log \sqrt{3}.\: ^3\log 16}{^3\log 5\: -\: ^3\log 15} = ….

\begin{matrix} A. & -2\\\\ B. & -\frac{7}{3}\\\\ C. & \frac{2}{3}\\\\ D. & 2\\\\ E. & \frac{7}{3} \end{matrix}.

Pembahasan:

\frac{^8\log 2\: +\: ^2\log \sqrt{3}.\: ^3\log 16}{^3\log 5\: -\: ^3\log 15}\\\\ =\frac{^{^{2^{3}}}\log 2^{1}\: +\:^2\log 3^{\frac{1}{2}}.\: ^3\log 2^{4} }{^3\log \frac{5}{15}}\\\\ =\frac{\frac{1}{3}\times\: ^2\log 2\: +\: \frac{1}{2}\times 4\times\: ^2\log 2}{^3\log \frac{1}{3}}\\\\ =\frac{\frac{1}{3}\: +\: 2}{-1}\\\\ =-2\frac{1}{3}\\\\ =-\frac{7}{3}.

\boxed{6}. Akar-akar persamaan kuadrat x^{2}+\left ( p+1 \right )x+8=0 adalah \alpha dan \beta . Jika \alpha =\frac{1}{2}\beta dan \alpha ,\: \beta positif , maka nilai p adalah ….

\begin{matrix} A. & 8\\ B. & 7\\ C. & 6\\ D. & -7\\ E. & -8 \end{matrix}.

Pembahasan:

Diketahui persamaan kuadrat

x^{2}+\left ( p+1 \right )x+8=0\: \left\{\begin{matrix} \alpha \\ \\ \beta \end{matrix}\right.\: dengan \: \left\{\begin{matrix} a=1\\ \\ b=p+1\\ \\ c=8 \end{matrix}\right.\: \left\{\begin{matrix} \alpha +\beta =\frac{-b}{a}\\ \\ \\ \alpha \times \beta =\frac{c}{a} \end{matrix}\right..

Karena \alpha =\frac{1}{2}\beta  dan keduanya positif, maka

\alpha \times \beta =\frac{1}{2}\beta \times \beta =\frac{1}{2}\beta ^{2}=8\\\\ \beta ^{2}=16\\\\ \beta ^{2}=4^{2}\\\\ \beta =4.

Sehingga \alpha =\frac{1}{2}\beta =\frac{1}{2}\times 4=2. Selanjutnya untuk mencari nilai p dengan

\alpha +\beta =\frac{-b}{a}=\frac{-p-1}{1}=2+4=6\\\\ -p=7\\\\ p=-7.

Jadi nilai  p=-7.

\boxed{7}. Batas-batas nilai p agar persamaan kuadrat x^{2}+\left ( p+2 \right )x+\left ( p+5 \right )=0 memiliki dua akar real dan berlainan adalah ….

\begin{matrix} A. & -2< p< 2\\\\ B. & -4< p< 4\\\\ C. & p< 2\: atau\: p> 5\\\\ D. & p< -2\: atau\: p> 2\\\\ E. & p< -4\: atau\: p> 4 \end{matrix}.

Pembahasan:

Sebagai pengingat tentang persamaan kuadrat berkaitan jenis akar-akarnya yang tergantung nilai diskriminan D dengan D=b^{2}-4ac adalah sebagai berikut:

\begin{array}{|c|c|p{6.0cm}|}\hline NO&Jenis\quad D&Penjelasan nilai D\\\hline 1&D> 0&Persamaan kuadrat memiliki 2 akar real dan berbeda\\\hline 2&D=0&Persamaan kuadrat memiliki 2 akar real dan kembar\\\hline 3&D< 0&Persamaan kuadrat memiliki 2 akar tidak real/imajiner/khayal dan berbeda\\\hline \end{array}.

Sehingga kita gunakan yang D> 0 , yaitu

x^{2}+\left ( p+2 \right )x+\left ( p+5 \right )=0\: \left\{\begin{matrix} a=1\\ \\ b=p+2\\ \\ c=p+5 \end{matrix}\right.\\\\ b^{2}-4ac> 0\\\\ \left ( p+2 \right )^{2}-4.1.\left ( p+5 \right )> 0\\\\ p^{2}+4p+4-4p-20> 0\\\\ p^{2}-16> 0\\\\ \left ( p+4 \right )\left ( p-4 \right )> 0.

Dengan melihat kondisi tersebut di atas maka jawaban yang tepat adalah E.

\boxed{8}. Dina, Ety, dan Feby belanja  di toko yang sama. Dina membeli 5 bungkus mie dan 2 kaleng susu kental seharga Rp25.500,00. Ety membeli 10 bungkus mie dan 3 kaleng susu kental seharga Rp42.000,00. Jika Feby membeli 1 bungkus mie dan 1 kaleng susu kental, Feby harus membayar sebesar ….

\begin{matrix} A. & Rp13.000,00\\ B. & Rp12.000,00\\ C. & Rp10.500,00\\ D. & Rp11.000,00\\ E. & Rp12.500,00 \end{matrix} .

Pembahasan:

Misalkan \left\{\begin{matrix} m &=&mie& \\ \\ k &=&kaleng &susu \end{matrix}\right..

Sehingga

 \left\{\begin{matrix} 5m & + & 2k & = & 25.500\\ \\ 10m & + & 3k &= & 42.000 \end{matrix}\right.. Dengan cara eliminasi dan atau substitusi kita akan mendapatkan

m=1.500,00\: \: dan\: \: k=9.000,00\\ \\ jadi\\ \\ m+k=1.500+9.000=10.500.

\boxed{9}. Persamaan garis singgung pada lingkaran 2x^{2}+2y^{2}-4x+8y-8=0 yang sejajar dengan garis 5x+12y-15=0 adalah ….

\begin{matrix} A. & 5x+12y-20=0 & dan & 5x+12y+58=0 \\\\ B. &5x+12y-20=0 & dan & 5x+12y+20=0 \\\\ C. & 12x+5y-20=0 & dan & 12x+5y+20=0 \\\\ D. & 12x+5y=-20 & dan & 5x+12y=58 \\\\ E. & 5x+12y=-20 & dan & 5x+12y=58 \end{matrix}.

Pembahasan:

Diketahui persamaan lingkaran x^{2}+y^{2}-2y+4y-4=0\: \Rightarrow \: \left ( x-1 \right )^{2}+\left ( y+2 \right )^{2}=9 dengan \left\{\begin{matrix} r & = & 3\\ \\ pusat & = & \left ( 1,-2 \right ) \end{matrix}\right. dan garis singgungnya yang sejajar dengan garis 5x+12y-15=0\: \Rightarrow \: 12y=-5x+15\: \Rightarrow \: y=\frac{-5x+15}{12}\: \Rightarrow \: m=-\frac{5}{12}.

Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di \left ( a,b \right ) , yaitu:

\LARGE\boxed{y-b=m\left ( x-a \right )\pm r\sqrt{1+m^{2}}}.

Selanjutnya

y-b=m\left ( x-a \right )\pm r\sqrt{1+m^{2}}\\\\ y+2=\left ( -\frac{5}{12} \right )\left ( x-1 \right )\pm 3\sqrt{1+\left ( -\frac{5}{12} \right )^{2}}\\\\ y+2=\left ( -\frac{5}{12} \right )\left ( x-1 \right )\pm 3.\frac{13}{12}\\\\ 12y+24=-5x+5\pm 39\\\\ 5x+12y+19\pm 39=0\left\{\begin{matrix} 5x & + & 12y & +58 & = & 0\\ \\ 5x & + & 12y & -20 & = & 0 \end{matrix}\right..

Jadi, jawabnya adalah pilihan A.

\boxed{10}. Suku banyak berderajat 3 , jika dibagi  \left ( x^{2}+2x-3 \right )  bersisa  \left ( 3x-4 \right ) , jika dibagi  \left ( x^{2}-x-2 \right ) bersisa \left ( 2x+3 \right ). Suku banyak tersebut adalah ….

\begin{matrix} A. &x^{3}-x^{2}-2x-1\\\\ B. &x^{3}+x^{2}-2x-1 \\\\ C. &x^{3}+x^{2}+2x-1 \\\\ D. &x^{3}+2x^{2}-x-1 \\\\ E. &x^{2}+2x^{2}+x+1 \end{matrix}.

Pembahasan:

Polinom(suku banyak) berderajat 3 tersebut dapat kita tuliskan dengan

f\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} \left ( x+3 \right )\left ( x-1 \right )\left ( ax+b \right ) +\left ( 3x-4 \right ) \\ \left ( x-2 \right ) \left ( x+1 \right )\left ( px+q \right )+\left ( 2x+3 \right ) \end{matrix}\right..

f\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} \left ( x^{2}+2x-3 \right )\left ( ax+b \right ) +\left ( 3x-4 \right ) \\ \left ( x^{2}-x-2 \right )\left ( px+q \right )+\left ( 2x+3 \right ) \end{matrix}\right.\\\\\\ f\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} \left ( x-1 \right )\left ( x+3 \right )\left ( ax+b \right )+\left ( 3x-4 \right )\\ \left ( x-2 \right )\left ( x+1 \right )\left ( px+q \right )+\left ( 2x+3 \right ) \end{matrix}\right.\\\\ Sehingga\: \: dari\: \: persamaan \: \: pertama\: \: didapatkan\\\\ f\left ( 1 \right )=-1,\: \: dan\\\\ f\left ( -3 \right )=-13\\\\ Dari\: \: tersebut\: \: kemudian\: \: kita\: \: substitusikan\: \: ke\: \: persamaan\: \: 2\\\\ Dan\: \: kita\: \: mendapatkan\\\\ p+q=3\: .....................................1)\\\\ -3p+q=-1\: .............................2).

Dengan mengeliminasi kedua persamaan tersebut di atas kita mendapatkan  \left\{\begin{matrix} p=1\\ \\ q=2 \end{matrix}\right..

Akhirnya

f\left ( x \right )=\left ( x^{2}-x-2 \right )\left ( px+q \right )+\left ( 2x+3 \right )\\\\ f\left ( x \right )=\left ( x^{2}-x-2 \right )\left ( x+2 \right )+\left ( 2x+3 \right )\\\\ f\left ( x \right )=x^{3}+2x^{2}-x^{2}-2x-2x-4+2x+3\\\\ f\left ( x \right )=x^{3}+x^{2}-2x-1\\\\ Jadi,\: \: pilihan\: \: yang\: \: tepat\: \: adalah\: \: B.

\boxed{11}. Diketahui  f\left ( x \right )=4x+2\: \:\: dan\: \: \: g\left ( x \right )=\frac{x-3}{x+1},\: x\neq -1. Invers dari \left ( gof \right )\left ( x \right ) adalah ….

\begin{matrix} A. &\left ( gof \right )^{-1}\left ( x \right )=\frac{4x+1}{3x+4},\: x\neq -\frac{4}{3} \\\\ B. &\left ( gof \right )^{-1}\left ( x \right )=\frac{4x-1}{-3x+4},\: x\neq \frac{4}{3} \\\\ C. &\left ( gof \right )^{-1}\left ( x \right )=\frac{3x-1}{4x+4},\: x\neq -1 \\\\ D. &\left ( gof \right )^{-1}\left ( x \right )=\frac{3x+1}{4-4x},\: x\neq 1 \\\\ E. &\left ( gof \right )^{-1}\left ( x \right )=\frac{3x+1}{4x+4},\: x\neq -1 \end{matrix}.

Pembahasan:

\left ( gof \right )\left ( x \right )=g\left ( f\left ( x \right ) \right )=\frac{\left ( 4x+2 \right )-3}{\left ( 4x+2 \right )+1}=\frac{4x-1}{4x+3}\\.

\begin{array}{|c|c|c|}\hline NO&f(x)&f^{-1}(x)\\\hline 1&ax+b&\displaystyle \frac{x-b}{a}\\\hline 2&\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}&\displaystyle \frac{-dx+b}{cx-a}\\\hline 3&\sqrt{ax+b}&\displaystyle \frac{1}{a}\left ( x^{2}-b \right )\\\hline 4&\displaystyle a^{px}&\displaystyle \frac{1}{p}.^{a}\log x\\\hline 5&^{a}\log px&\displaystyle \frac{1}{p}.a^{x}\\\hline \end{array}.

Sehingga

\left ( gof \right )^{-1}\left ( x \right )=\frac{-3x-1}{4x-4},\: x\neq 1\\ \\ atau\\ \\ \left ( gof \right )^{-1}\left ( x \right )=\frac{3x+1}{4-4x},\: x\neq 1\\ \\ Jadi, \: \: pilihan\: \: yang\: \: tepat\: \: adalah\: \: D.

\boxed{12}. Di Zedland ada dua media massa koran yang sedang mencari orang untuk bekerja sebagai penjual koran.

104

Joko memutuskan untuk melamar menjadi penjual koran. Ia perlu memilih beekerja pada Media Zedland atau Harian Zedland.

Grafik manakah di bawah ini yang menggambarkan bagaimana koran membayar penjual-penjualnya?

105

106

107

108

109

Pembahasan:

MEDIA\: \: ZEDLAND\\ \\ Misalkan\: fungsi\: f\: sebagai\: Fungsi\: gaji,\: dan \\ \: x\: sebagai\: jumlah\: koran\: yang\: terjual . \\ \\ maka, \\ f\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} 0,2x &,&x\leq 240 \\ \\ 0,6x &,&x> 240 \end{matrix}\right..

Sedangkan

HARIAN\: \: ZEDLAND\\ \\ Misalkan\: fungsi\: g\: sebagai\: Fungsi\: gaji,\: dan \\ \: x\: sebagai\: jumlah\: koran\: yang\: terjual . \\ \\ maka, \\ g\left ( x \right )=60+0,05x.

Dengan kondisi ini maka gambar yang sesuai adalah pilihan C.

\boxed{13}. Diketahui matriks  A=\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 2m &-3 \end{pmatrix},\: B=\begin{pmatrix} n+1 & 3\\ m-n & 0 \end{pmatrix},\:\: dan\:\: C=\begin{pmatrix} 5 & -4\\ 2 & -3 \end{pmatrix} . Jika matriks C^{t} adalah transpose dari matriks C dan A+B=C^{t} , nilai 3m+2n = ….

\begin{matrix} A. & -25\\\\ B. & -14\\\\ C. & -11\\\\ D. & -7\\\\ E. & -1 \end{matrix}.

Pembahasan:

\begin{pmatrix} 3 & -1\\ 2m & -3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n+1 & 3\\ m-n & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & -4\\ 2 & -3 \end{pmatrix}^{t}\\ \\ \begin{pmatrix} 3 & -1\\ 2m & -3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n+1 & 3\\ m-n & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 2\\ -4 & -3 \end{pmatrix}\\ \\ \begin{pmatrix} 3+n+1 & -1+3\\ 2m+m-n &-3+0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5 & 2\\ -4 & -3 \end{pmatrix}\\ \\ \begin{pmatrix} n+4 & 2\\ 3m-n & -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 2\\ -4 & -3 \end{pmatrix}...............\left\{\begin{matrix} n=1 \\ \\ m=-1 \end{matrix}\right..

Sehingga 3m+2n=3\left ( -1 \right )+2\left ( 1 \right )=-3+2=-1 .

Jadi, jawaban E.

\boxed{14}. Diketahui vektor-vektor  \vec{a}=\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -3 \end{pmatrix},\: \: \vec{b}=\begin{pmatrix} 4\\ 4\\ m \end{pmatrix},\: \: dan\: \: \vec{c}=\begin{pmatrix} 3\\ -4\\ 5 \end{pmatrix} . Jika  \vec{a}  tegak lurus  \vec{b} , hasil dari  2\vec{a}-\vec{b}-\vec{c} = ….

\begin{matrix} A. & \begin{pmatrix} -5\\ 4\\ -15 \end{pmatrix}\\\\ B. & \begin{pmatrix} -5\\ 4\\ -10 \end{pmatrix}\\\\ C. & \begin{pmatrix} -5\\ 4\\ -6 \end{pmatrix}\\\\ D. & \begin{pmatrix} -5\\ 4\\ -4\end{pmatrix}\\\\ E. & \begin{pmatrix}-5\\4\\-2\end{pmatrix} \end{matrix}   .

Pembahasan:

Diketahui  \vec{a}  tegak lurus  \vec{b} , maka

\vec{a}.\vec{b}=0\\\\ 4+8-3m=0\\\\ -3m=-12\\\\ m=4.

Sehingga,

2\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}\\\\\\ \: \: =2\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4\\ 4\\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3\\ -4\\ 5 \end{pmatrix}\\\\\\ \: \: =\begin{pmatrix} 2\\ 4\\ -6 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 7\\ 0\\ 9 \end{pmatrix}\\\\\\ \: \: =\begin{pmatrix} -5\\ 4\\ -15 \end{pmatrix}.

Jadi, jawaban yang tepat adalah A.

\boxed{15}. Diketahui vektor-vektor  \vec{u}=b\vec{i}-12\vec{j}+a\vec{k}\: \: \: dan\: \: \: \: \vec{v}=a\vec{i}+a\vec{j}-b\vec{k} . Sudut antara vektor  \vec{u}\: \: \: dan\: \: \: \: \vec{v}  adalah  \theta  dengan  \cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{4}  . Proyeksi vektor  \vec{u}\: \: \: pada\: \: \: \: \vec{v}  adalah  \vec{p}=-4\vec{i}-4\vec{j}+4\vec{k} . Nilai dari  b  =….

\begin{matrix} A. & 4\sqrt{7}\\\\ B. & 2\sqrt{14}\\\\ C. & 2\sqrt{7}\\\\ D. & \sqrt{14}\\\\ E. & \sqrt{7} \end{matrix}   .

Jawab: B

\boxed{16}. Diketahui vektor  \vec{a}=2\vec{i}-2p\vec{j}+4\vec{k}\: \: \: dan\: \: \: \: \vec{b}=\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k} . Jika panjang proyeksi vektor  \vec{a}\: \: \: pada\: \: \: \: \vec{b} adalah  \frac{6}{\sqrt{26}} , maka nilai  p = ….

\begin{matrix} A. & -3\\\\ B. & -2\\\\ C. & -1\\\\ D. & 1\\\\ E. & 3 \end{matrix}   .

Jawab: B .

\boxed{17}. Persamaan bayangan lingkaran  x^{2}\:\:+\:\:y^{2}=4   bila dicerminkan terhadap garis  x\:=\:2 dan dilanjutkan dengan translasi  \begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}  adalah  ….

\begin{matrix} A.&x^{2}+y^{2}-2x-8y+13=0\\\\B.&x^{2}+y^{2}+2x-8y+13=0\\\\C.&x^{2}+y^{2}-2x+8y+13=0\\\\D.&x^{2}+y^{2}+2x+8y+13=0\\\\E.&x^{2}+y^{2}+8x-2y+13=0\end{matrix} .

Jawab : A .

\boxed{18}. Penyelesaian dari  3^{2x+3}\:-\:84.3^x\:+\:9\:\geq0  adalah ….

\begin{matrix} A. & -1\leq x\leq 2\\\\ B. & -2\leq x\leq 1\\\\ C. & x\leq -2&atau&x\geq -1\\\\ D. & x\leq -2&atau&x\geq 1\\\\E. & x\leq 1&atau&x\geq 2 \end{matrix} .

Jawab: D

\boxed{19}. Penyelesaian pertidaksamaan  ^2\log x.\:^{x+1}\log 4<2-\:^{x+1}\log 4  adalah ….

\begin{matrix} A. & x> \frac{1}{3}\\\\ B. & x> 1\\\\ C. & 0< x< 1\\\\ D. & 0< x< \frac{1}{3}\\\\ E. & \frac{1}{3}< x< 1\end{matrix}  .

Jawab: C

\boxed{20}. Tempat duduk gedung pertunjukan film diatur mulai dari baris depan ke belakang dengan banyak baris di belakang lebih 4 kursi dari baris di depannya. Bila dalam gedung pertunjukan terdapat 15 baris kursi dan baris terdepan ada 20 kursi, kapasitas gedung pertunjukan tersebut adalah ….

\begin{tabular}{ccp{9.0cm}}\\ &A.&1.200 kusi\\ &B.&800 kursi\\ &C.&720 kursi\\ &D.&600 kursi\\ &E.&300 kursi\\ \end{tabular}  .

Jawab: C

Moga dapat berlanjut