Integral

A. Pendahuluan

Gagasan integral mula-mula berawal dari Metode yang digunakan Archimedes, seorang ilmuan bangsa Yunani dari Syracusa (287-212 M) dimana di dalam suatu daerah yang akan ditentukan luasnya maka dilukislah beberapa daerah poligon yang luasnya mendekati luas daerah itu, dikarenakan daerah poligon mudah dihitung. Selanjutnya supaya lebih presisi dipilihlah poligan yang lebih banyak yang merupakan pendekatan yang lebih baik untuk daerah itu. Jika hal ini dilakukan terus-menerus maka semua daerah poligon akan mencakupi daerah itu.

Sehingga arti secara fisis dari integral adalah limit jumlah, di mana sering dianggap seperti mencari luas daerah.

B. Integral Tak Tentu

\LARGE\boxed{\int f(x)\: dx=F(x)+C}

dengan

\left\{\begin{matrix} F(x) & adalah & fungsi & integral&umum&di&mana&F'(x)=f(x)\\ f(x) & adalah & integran \\ C & adalah & konstanta & integral \end{matrix}\right.

 Rumus-rumus integral

  • \LARGE{\int a\: x^{n} dx=\frac{a}{n+1}.x^{n+1}+C}, \: dengan\: \: n\neq -1
  • \int a\: dx=ax+C
  • \int \frac{1}{x}\: dx=\int x^{-1}\: dx=\ln x+C
  • \int \left | x \right |\: dx=\frac{1}{2}x\left | x \right |+C
  • \int \ln x\: dx=x\ln x-x+C
  • \int e^{x}\: dx=e^{x}+C
  • \int a^{x}\: dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C
  • \int \sin x\: dx=-\cos x+C
  • \int a\sin bx\: dx=-\frac{a}{b}\cos bx\: +C
  • \int \cos x\: dx=\sin x+C
  • \int a\cos bx\: dx=\frac{a}{b}\sin bx\: +C
  • \int e^{ax}\: dx=\frac{1}{a}.e^{ax}+C
  • \int (x^{m}+x^{n}+...+x^{p})\: dx=\int x^{m}\: dx+\int x^{n}\: dx+...+\int x^{p}\: dx

Sifat-sifat integral

  • \int dx=x+C
  • \int a\: f(x)\: dx=a\int f(x)\: dx
  • \int a\left ( f(x)+g(x) \right )\: dx=a\int f(x)\: dx\: +\: a\int g(x)\: dx
  • \int a\left ( f(x)-g(x) \right )\: dx=a\int f(x)\: dx\: -\: a\int g(x)\: dx

 

\LARGE\fbox{Contoh Soal}


 

1. \int x^{5}\: dx=\frac{1}{5+1}.x^{5+1}+C=\frac{1}{6}.x^{6}+C

2. \int 3x^{5}\: dx=\frac{3}{5+1}.x^{5+1}+C=\frac{1}{2}.x^{6}+C

3. \int \frac{1}{x^{4}}\: dx=\int x^{-4}\: dx=\frac{1}{-4+1}.x^{-4+1}+C=-\frac{1}{3}.x^{-3}+C=-\frac{1}{3x^{3}}+C

4. \int 5y\: dy=\frac{5}{1+1}y^{1+1}+C=\frac{5}{2}y^{2}+C.

5. \int e^{6x}\: dx=\frac{1}{6}.e^{6x}+C.

6. \int 2014^{x}\: dx=\frac{2014^{x}}{\ln 2014}.

7. \int \left ( 3x^{2}-x+2-\frac{1}{x}+ \frac{3}{x^{2}}\right )dx=\int 3x^{2}\: dx-\int x\: dx+2\int dx-\int \frac{1}{x}\: dx+3\int \frac{1}{x^{2}}\: dx=\frac{3}{2+1}x^{2+1}-\frac{1}{1+1}x^{1+1}+2x-\ln x\: +3\left ( \frac{1}{-2+1}x^{-2+1} \right )+C=\frac{2}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}+2x-\ln x\: -\frac{3}{x}+C.

8. \int \left ( x^{2}-2xy+y^{2} \right )dx=\int x^{2}\: dx-2y\int x\: dx+y^{2}\int dx=\frac{1}{2+1}x^{2+1}-\frac{2y}{1+1}x^{1+1}+y^{2}.x+C=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}y+xy^{2}+C.

9. \int \left | x-1 \right |\: +\left | x-2 \right |\: dx=(x-1)\left | x-1 \right |\: +(x-2)\left | x-2 \right |+C.

10. \int 3\sin 4x\: dx=-\frac{3}{4}\cos 4x+C.

11. \int \frac{1}{3}\cos 5x\: dx=\frac{1}{15}\sin 5x+C.

 \LARGE\fbox{Latihan Soal}.

Selesaikan soal berikut!

  1. \int 2014\: dx
  2. \int \frac{dx}{2014}
  3. \int 2014x\: dx
  4. \int -2014x^{2}\: dx
  5. \int \left ( x+2014 \right )dx
  6. \int \left (-2014x^{3}+2015x^{2}-2016 \right )dx
  7. \int x\sqrt{x}\: dx
  8. \sqrt{x\sqrt[3]{x\sqrt[4]{x\sqrt[5]{x\sqrt[6]{x}}}}}\: dx
  9. \int \frac{2014}{\sqrt[3]{x^{2}}}\: dx
  10. \int \frac{2014x}{\sqrt[3]{x^{5}}}\: dx
  11. \int \left (2014-2013t+t^{2} \right )dt
  12. \int \left (\frac{3}{t^{3}} +\frac{2}{t^{2}} +2014\right )dt
  13. \int \left (\sqrt{t} +\frac{1}{2\sqrt{t}} \right )dt
  14. \int \left (ay^{4} +by^{2} \right )dy
  15. \int \left (4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+1 \right )dx
  16. \int \frac{x^{2}+2014}{x^{2}}\: dx
  17. \int \left (e ^{x}+e^{-x} \right )dx
  18. \int e^{2014x}dx
  19. \int \frac{dx}{e^{2014x}}
  20. \int \left ( \sqrt{10^{x}} \right )dx

 

C. Integral Tentu

\LARGE\boxed{\int_{a}^{b}f(x)\: dx=\left [ F(x) \right ]_{a}^{b}=F(x)|_{a}^{b}=F(b)-F(a)}

\LARGE\fbox{Contoh Soal}
  1. \int_{1}^{3}\left ( 2x-1 \right )\: dx=\left [ x^{2}-x \right ]_{1}^{3}=(9-3)-(1-1)=6.
  2. \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin x\: dx=\left [ -\cos x \right ]_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\left ( -\cos \frac{\pi }{2} \right )-\left ( -\cos 0 \right )=1.
  3. \int_{0}^{5}\left | x-1 \right |+\left | x-2 \right |\: dx=\frac{1}{2}(x-1)\left | x-1 \right ||_{0}^{5}\: +\frac{1}{2}(x-2)\left | x-2 \right ||_{0}^{5}=\left ( \frac{1}{2}.4.4+\frac{1}{2}.3.3 \right )-\left ( \frac{1}{2}.-1.1+\frac{1}{2}.-2.2 \right )=8+4\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+2=15.

 

Sifat-Sifat Integral Tentu

  • \int_{a}^{b}f(x)\: dx=-\int_{b}^{a}f(x)\: dx
  • \int_{a}^{b}k.f(x)\: dx=k\int_{a}^{b}f(x)\: dx
  • \int_{a}^{b}\left ( f(x)\pm g(x) \right )\: dx=\int_{a}^{b}f(x)\: dx\: \pm\int_{a}^{b}g(x) \: dx
  • \int_{a}^{b}f(x)\: dx=\int_{a}^{c}f(x)\: dx+\int_{c}^{b}f(x)\: dx\: ,\: \: dengan\: \: a<c<b
  • \int_{a}^{a}f(x)\: dx=0

 

D. Integral Substitusi (Bagian 1)

\LARGE\boxed{\int u^{n}.u'\: dx=\int u^{n}\: du=\frac{1}{n+1}u^{n+1}+C}

\LARGE\fbox{Contoh Soal}

1. \int \left ( x^{2}+3 \right )^{20}2x\: dx=

Jawab:

misalkan\left\{\begin{matrix} u & = & x^{2} &+&3&,&maka \\ du &= &2x & dx \end{matrix}\right.

sehingga

\int \left ( x^{2}+3 \right )^{20}2x\: dx=\int u^{20}\: du=\frac{1}{21}u^{21}+C=\frac{1}{21}\left ( x^{2}+3 \right )^{21}+C.

2. \int \left ( x^{4}-x^{2} \right )^{5}\left ( 16x^{3}-8x \right )dx=.

Jawab:

misalkan\: \: \left\{\begin{matrix} u & = & x^{4} & - & x^{2}&,&maka\\ du & = & 4x^{3} & - &2x&dx \\ 4du & = & 16x^{3} & - & 8x&dx \end{matrix}\right..

 \int u^{5}.4du=\frac{4}{6}u^{6}+C=\frac{2}{3}\left ( x^{4}-x^{2} \right )^{6}+C.

 

3. \int \frac{x+2}{x^{2}+4x+4}dx=

Jawab:

misalkan\: \: \left\{\begin{matrix} u & = & x^{2} & + & 4x&+&4&,&maka\\ du & = & 2x & + &4&dx \\ \frac{1}{2}du & = & x & + & 2&dx \end{matrix}\right..

\int \frac{1}{u}.\frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}du=\frac{1}{2}\ln u+C=\frac{1}{2}\ln \left ( x^{2}+4x+4 \right )+C.

4. \int \frac{e^{3y}}{\left ( 1-2e^{3y} \right )^{2}}dy=.

Jawab:

misalkan\: \: \left\{\begin{matrix} u & = & 1 & - & 2e^{3y}& ,&maka\\ du & =&- & 6e^{3y} &dy &,&sehingga \\ -\frac{1}{6}du & = & e^{3y} & dy \end{matrix}\right..

\int -\frac{1}{6}\frac{1}{u^{2}}du=-\frac{1}{6}\int \frac{du}{u^{2}}=-\frac{1}{6}\left ( -1 \right )\left ( u^{-1} \right )+C=\frac{1}{6u}+C=\frac{1}{6}.\frac{1}{1-2e^{3y}}+C.

5. \int \sin 2x\: dx=

Jawab:

misalkan\: \: \left\{\begin{matrix} u & = & 2x&,&maka \\ du & = & 2 & dx&,& \\ \frac{1}{2}du & = & dx \end{matrix}\right..

\int \sin u.\: \frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\left ( -\cos u \right )+C=-\frac{1}{2}\cos 2x+C.

6. \int \sin ^{2}x\: dx=.

Jawab:

\int \frac{1-\cos x}{2}\: dx= \frac{1}{2}\int \: dx-\frac{1}{2}\int \cos\: dx =\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\sin x+C.

7. \int \cos 3x\: dx=.

Jawab:

misalkan\: \: \left\{\begin{matrix} u & = & 3x & , & maka\\ du & = & 3 & dx &,&sehingga \\ \frac{1}{3}du & = & dx \end{matrix}\right..

\int \cos u.\: \frac{1}{3}du=\frac{1}{3}\sin u+C=\frac{1}{3}\sin 3x+C.

8. \int \cos ^{3}x\: dx=

Jawab:

perhatikan\: \: langkah\: \: berikut\: \: ini\\ \int \cos ^{3}x\: dx=\int \cos ^{2}x\: dx=\int \left ( 1-\sin ^{2}x \right ).\cos x.\: dx.

=\int \cos x\: dx-\int \sin ^{2}x\: .\cos x.\: dx=\sin x-\int \sin ^{2}x.\cos x.\: dx.

misalkan\: \: \left\{\begin{matrix} u & = & \sin x & , &maka \\ du & = & \cos x & dx \end{matrix}\right..

=\sin x\: -\: \int u^{2}\: du\\ =\sin x\: -\: \frac{1}{3}\sin ^{3}x+C.

 

\LARGE\fbox{Rumus Penting Trigonometri}

(1)

39

(2)

40

(3)

38

(4)

41

(5)

35

(6)

36

(7)

42

[sumber]

E. Integral Sunstitusi (Bagian 2)

44 

\LARGE\fbox{and}


43

\LARGE\fbox{Contoh Soal}

 

1. Tentukanlah \int \sqrt{4-x^{2}}\:\: \: dx

Jawab:

 misalkan\: \: \left\{\begin{matrix} x = 2 & sin & t&,&maka&sin&t=&\frac{x}{2}\\ dx & = & 2 & cos & t&dt \end{matrix}\right.

sebagai ilustrasi

122

dari ilustrasi gambar diketahui bahwa

\left\{\begin{matrix} sin & t & = & \frac{x}{2} \\ cos & t & = & \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{2} & \\ \sqrt{4-x^{2}} & = &2 &cos & t \end{matrix}\right.

Sehingga

\int \sqrt{4-x^{2}}.\: \: dx=\int 2\: \cos\: t.\: 2\: \cos \:t\: dt =\int 4\: \cos ^{2}\: t\: dt.

=\int \left (2+2\cos 2t \right )dt=2t+\sin 2t+C=2t+2\sin t\: \cos t+C.

\int \sqrt{4-x^{2}}\: \: dx=2\: \arcsin \frac{x}{2}+2.\frac{x}{2}.\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{2}+C=2\arcsin \frac{x}{2}+\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}}\: +\: C.

2. Tentukan \int \frac{x^{2}}{\sqrt{9-x^{2}}}\: \: dx

Jawab:

misalkan\: \: \left\{\begin{matrix} x = 3 & \sin t &,&maka&\sin t=\frac{x}{3} \\ dx =3 & \cos t & dt & \end{matrix}\right.

sebagai ilustrasi

123

dari ilustrasi gambar diketahui bahwa

\left\{\begin{matrix} \sin t & = & \frac{x}{3} \\ \cos t & = & \frac{\sqrt{9-x^{2}}}{3} \\ \sqrt{9-x^{2}} & = &3 & \cos t \end{matrix}\right.

\int \frac{x^{2}}{\sqrt{9-x^{2}}}\: \: dx=\frac{\left ( 3\sin t \right )^{2}}{3\cos t}.\: \: 3\cos t\: dt=\int 9\sin ^{2}t\: \: dt.

=\int \left ( \frac{9}{2}-\frac{9}{2}\cos 2t \right )dt=\frac{9}{2}t-\frac{9}{4}\sin 2t+C=\frac{9}{2}t-\frac{9}{2}\sin t.\cos t+C.

\int \frac{x^{2}}{\sqrt{9-x^{2}}}\: \: dx=\frac{9}{2}\arcsin \frac{x}{3}-\frac{9}{2}.\frac{x}{3}.\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{3}+C=\frac{9}{2}\arcsin \frac{x}{3}-\frac{x}{2}\sqrt{9-x^{2}}\: +\: C.

3.  Tentukanlah \int \frac{dx}{x^{2}+4}=

Jawab:

misalkan\: \: \left\{\begin{matrix} x & = & 2 & \tan t &,&maka&\tan t &=&\frac{x}{2}\\ dx & = & 2 & \sec ^{2} t&dt \end{matrix}\right.

sebagai ilustrasi

124

dari ilustrasi gambar diketahui bahwa

\sqrt{x^{2}+4}=2\sec t

\int \frac{dx}{x^{2}+4}\: dx=\int \frac{2\sec ^{2}t\: \: dt}{4\sec ^{2}t}=\int \frac{1}{2}\: dt=\frac{1}{2}t+C.

=\frac{1}{2}\arctan \frac{x}{2}+C

\LARGE\fbox{Latihan Soal}

Tentukanlah hasil integral berikut ini

  1. \int \sqrt{9-x^{2}}\: dx
  2. \int \sqrt{16-x^{2}}\: dx
  3. \int \sqrt{9-4x^{2}}\: \: dx
  4. \int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+1}}\: \: dx
  5. \int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{9+x^{2}}}
  6. \int \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}

 

F. Integral Parsial

\int u\: dv=uv-\int v\: du

 

nanti dilanjut insyaAllah

 

Sumber Referensi

  1. Kuntarti, Sulistiyono, Sri Kurnianingsih. 2007. Matematika SMA dan MA 3A untuk Kelas XII Semester 1 Program IPA. Jakarta: esis.
  2. Noormandiri, Endar Sucipto. 2003. Matematika SMU untuk Kelas 3 Program IPA. Jakarta: Erlangga.
  3. Tung, Khoe Yao. 2012. Pintar Matematika SMA Kelas XII IPA untuk Olimpiade dan Pengayaan Pelajaran. Yogyakarta: ANDI.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *