Fungsi Tangga

Fungsi Tangga

Dinyatakan dengan y = f(x) = |_ x _| , adalah fungsi yang menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x

Contoh 1

Tentukan nilai dari |_ 2 _| + |_ 2,1 _| + |_ 2,2 _| + . . .  + |_ 2,9 _| = … .

Jawab :

|_ 2 _| = 2

|_ 2,1 _| = 2

|_ 2,2 _| = 2

|_ 2,3 _| = 2

dst

|_ 2,8 _| = 2

|_ 2,9 _| = 2

_____________  +

2 x 10 = 20

Contoh 2

( OMITS 2012)

Untuk sebuah persamaan fungsi tangga berikut :

|_ √‾|_ √‾2012_| _| = |_ √√‾2012 _| + |_ k/2012 _|

Jika |_ x _| didefinisikan sebagai bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x serta terdapat bilangan bulat k, maka nilai k yang memenuhi sebanyak… .

Jawab :

Perhatikan bahwa

Untuk bagian ruas kiri

√‾2012 = 44,.. , sehingga

|_ √‾2012_| = |_  44,… _| = 44

√‾ 44  = 6,… , maka

|_  6,… _| = 6

Untuk bagian ruas kanan

|_ √√‾2012 _| = 6

Sehingga persamaan menjadi 6 = 6 + |_ k/2012 _|, maka |_ k/2012 _| haruslah bernilai nol, supaya |_ k/2012 _| bernilai nol, maka k  akan memiliki batas 0 ≤ k < 2012.

Sehingga banyaknya nilai k adalah 0, 1, 2, 3, 4, … , 2011 dan ini sebanyak 2012 bilangan bulat.

atau

\begin{array}{|c|c|}\hline \begin{aligned}\left \lfloor \sqrt{\left \lfloor \sqrt{2012} \right \rfloor} \right \rfloor&=\left \lfloor \sqrt{\sqrt{2012}} \right \rfloor+\left \lfloor \displaystyle \frac{k}{2012} \right \rfloor ,\quad k\in \mathbb{Z}\\ \left \lfloor \sqrt{\left \lfloor 44,.... \right \rfloor} \right \rfloor&=\left \lfloor \sqrt{44,....} \right \rfloor+\displaystyle \left \lfloor \frac{k}{2012} \right \rfloor\\ \left \lfloor \sqrt{44} \right \rfloor&=\left \lfloor 6,.... \right \rfloor+\displaystyle \left \lfloor \frac{k}{2012} \right \rfloor\\ \left \lfloor 6,... \right \rfloor&=\left \lfloor 6,... \right \rfloor+\displaystyle \left \lfloor \frac{k}{2012} \right \rfloor\\ \displaystyle \left \lfloor \frac{k}{2012} \right \rfloor&=0\end{aligned}&\textrm{Untuk}\: k\in \mathbb{Z}, \textrm{maka}\: k=0,1,2,3,4,...,2011. \\\cline{2-2} &\textrm{Jadi,\: bilangan}\: k\: \textrm{yang\: mungkin\: ada\: sebanyak\: 2012\: dari\: 0\: sampai\: 2011}\\\hline \end{array}

0 thoughts on “Fungsi Tangga

    • Assalamu ‘alaikum wr. wb
      Sebelumnya salam kenal,
      Fungsi tangga atau fungsi lompatan di sini termasuk fungsi khusus karena fungsi tersebut tidak dapat didiferensialkan( tidak ada limit )

      Integral
      ________
      Integral fungsi tangga (pada inegral tentu), misal pada bilangan cacah, dengan batas bawah 0 dan batas atas adalah n: adalah
      integral |[ x ]| dx= (n-1).n/2

      Contoh misal :
      integral dari |[ x ]| dx dengan batas bawah 0 dan batas bawah 10 = 9.10/2= 45

      terimakasih atas atensinya

  1. Maaf, mau tanya sedikit. Jika nilai k = 0,1,2,3,…,2012 Bukankah ada 2013 bilangan bulat?
    Diatas juga dikatakan “maka k akan memiliki batas 0 ≤ k < 2012" Bukankah 2012 tidak termasuk?
    Trimakasih

    • Saya ucapkan terima kasih sebelumnya untuk atensinya ini, untuk k-nya harusnya 0,1,2,3,4,…,2011 tidak sampai “2012”, tetapi untuk intervalnya dah sesuai yaitu 0 ≤ k < 2012
      sehingga banyaknya k yang memenuhi tetap 2012 bilangan. Saya yang salah ketik untuk penulisan "2012" , keliatannya di ebooknya dah saya tuliskan 0,1,2,3,4,…,2011.
      sekian terima kasih

    • kalau fungsi tangganya [latex]y=f(x)=\left \lfloor x \right \rfloor[/latex], maka [latex]y=f(1)=\left \lfloor 1 \right \rfloor=1,\: \: y=f(2)=\left \lfloor 2 \right \rfloor=2[/latex] , demikian seterusnya.

      untuk [latex]y=f\left ( \frac{x}{2} \right )=\left \lfloor \frac{x}{2} \right \rfloor[/latex], maka

      [latex]y=f\left ( \frac{1}{2} \right )=\left \lfloor \frac{1}{2} \right \rfloor=\left \lfloor 0,5 \right \rfloor=0[/latex]

      [latex]y=f\left ( \frac{2}{2} \right )=\left \lfloor \frac{2}{2} \right \rfloor=\left \lfloor 1 \right \rfloor=1[/latex]

      [latex]y=f\left ( \frac{3}{2} \right )=\left \lfloor \frac{3}{2} \right \rfloor=\left \lfloor 1,5 \right \rfloor=1[/latex]

      [latex]y=f\left ( \frac{4}{2} \right )=\left \lfloor \frac{4}{2} \right \rfloor=\left \lfloor 2 \right \rfloor=2[/latex]

      [latex]y=f\left ( \frac{5}{2} \right )=\left \lfloor \frac{5}{2} \right \rfloor=\left \lfloor 2,5 \right \rfloor=2[/latex]

      dan seterusnya

      sehingga didapat saat
      x=0 —–> y=0 titiknya (0,0)
      x=1 —–> y=0 titiknya (1,0)
      x=2 —–> y=1 titiknya (2,1)
      x=3 —–> y=1 titiknya (3,1)
      x=4 —–> y=2 titiknya (4,2)
      x=5 —–> y=2 titiknya (5,2)
      x=6 —–> y=3 titiknya (6,3)
      dst

      tinggal dibuat grafiknya seperti yang diinginkan

    • Terimakasih pak telah mampir di blok ini dan juga atas koreksinya.
      Pada tulisan tersebut sekarang sudah saya koreksi, yaitu dari 0 sampai 2011, yang 2012 tidak termasuk. Sehingga total ada 2012 bilangan bulat

  2. Assalamu’alaikum Wr. Wb.
    Terima kasih sebelumnya atas materinya. Mau tanya, kalo fungsi tangganya itu dalam bentuk fungsi trigonometri, pengintegralannya gimana, Pak?
    Terima kasih 🙂

  3. pembahasan diatas sangat membantu, saya ingin bertanya kalo soal yg seperti ini bagaimana
    1. f(x) = [[x-2]]+1
    2. g(x) = 2[[x/2]]-1
    maaf sebelumnya, saya baru mendapat materi ini dan belum terlalu paham, terimakasih.

    • Berikut Coretan-coretan saya, semoga dapat membantu

      [latex]\begin{array}{|l|l|}\hline f(x)=\left [ x-2 \right ]+2&g(x)=2\left [ \displaystyle \frac{x}{2} \right ]-1\\\hline \multicolumn{2}{|l|}{\textrm{maka},}\\\hline \begin{aligned}f(x)&=\left [ x-2 \right ]+2\\ &=\left [ x \right ]-2+2,\qquad \textnormal{-2 dapat keluar karena bulat}\\ &=\left [ x \right ] \end{aligned}&\begin{aligned}g(x)&=2\left [ \displaystyle \frac{x}{2} \right ]-1\\ g(x)+1&=2\left [ \displaystyle \frac{x}{2} \right ]\\ \displaystyle \frac{g(x)+1}{2}&=\left [ \displaystyle \frac{x}{2} \right ] \end{aligned}\\\hline \multicolumn{2}{|l|}{\textrm{Selanjutnya},}\\\hline f(x)\leq x< f(x)+1&\begin{aligned}\displaystyle \frac{g(x)+1}{2}&\leq \displaystyle \frac{x}{2}< \displaystyle \frac{g(x)+1}{2}+1\\ g(x)+1&\leq x< g(x)+3 \end{aligned}\\\hline \end{array}[/latex].

      Kurang lebihnya mohon maaf dan terimakasih telah mampir

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *