Barisan dan Deret (2)

A. Barisan Geometri

Perhatikalah susunan bilangan berikut ini

1,\: \frac{1}2,\: \frac{1}{4},\: \frac{1}{8},\: \frac{1}{16},\: ...

Dari pola bilangan di atas kita menndapatkan bahwa

1,\: \frac{1}2,\: \frac{1}{2}\times \frac{1}{2},\: \frac{1}{2}\times\frac{1}{4} ,\: \frac{1}{2}\times \frac{1}{8},\: ...

sehingga ada hal menarik, yaitu

\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{u_{3}}{u_{2}}=\frac{u_{4}}{u_{3}}=...=\frac{u_{n}}{u_{n-1}}=\frac{1}{2}

selanjutnya dapat kita tuliskan

u_{1}=a=1\\ u_{2}=u_{1}\times \frac{1}{2}=1\times \frac{1}{2}\: \Leftrightarrow \: u_{2}=a.r\\ u_{3}=u_{2}\times \frac{1}{2}=1\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=1\times \frac{1}{4}\: \Leftrightarrow \: u_{3}=a.r^{2}\\ u_{4}=u_{3}\times\frac{1}{2}=1\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=1\times \frac{1}{8}\: \Leftrightarrow \: u_{4}=a.r^{3} \\ ...=...\\ u_{n}=a.r^{n-1}.

Pembanding yang selalu tetap selanjutnya disebut sebagai rasio  dalam hal ini adalah r.

2. Deret Geometri

deret geometri adalah penjumlahan pada suku-suku yang memiliki pola geometri.

Misalkan

S_{n}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+ar^{5}+...+ar^{n-1}

Untuk mencari besar S_{n} , maka dengan mengalikan sebesar r  ke S_{n}  kita mendapatkan bahwa

rS_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+ar^{5}+ar^{6}+...+ar^{n}

 S_{n}-rS_{n}=\left ( a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+...+ar^{n-2}+ar^{n-1} \right )-\left ( ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+ar^{5}+...+ar^{n-1}+ar^{n} \right )\\ \left ( 1-r \right )S_{n}=a-ar^{n}=a\left ( 1-r^{n} \right )\\ S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}

\LARGE\fbox{Contoh Soal}

1. Tentukanlah suku ke-10 dari barisan berikut

4,1,\frac{1}{4},\frac{1}{6},...

Jawab:

u_{10}=ar^{10-1}=ar^{9}\left\{\begin{matrix} a & = & 4\\ r & = & \frac{u_{2}}{u_{1}}&=&\frac{1}{4} \end{matrix}\right..

maka

u_{10}=ar^{9}=4.\left ( \frac{1}{4} \right )^{9}=\left ( \frac{1}{4} \right )^{-1}\times \left ( \frac{1}{4} \right )^{9}=\left ( \frac{1}{4} \right )^{8}.

2. Tentukan jumlah 10 suku pertama dari

4+1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+...

Jawab:

Dengan suku pertama dan rasio seperti pada soal no. 1 kita mendapatkan

S_{10}=\frac{4.\left ( 1-\left ( \frac{1}{4} \right )^{10} \right )}{1-\frac{1}{4}}=\frac{16}{3}\left ( 1-\left ( \frac{1}{4} \right )^{10} \right )

3. Suatu deret geometri  dengan S_{n}=3.2^{n}-1 , maka suku ke-2014 deret tersebut adalah… .

Jawab:

Diketahui S_{n}=3.2^{n}-1 , maka suku ke-2014 adalah u_{2014}=S_{2014}-S_{2013}.  Sehingga

u_{2014}=S_{2014}-S_{2013}\\ u_{2014}=\left ( 3.2^{2014}-1 \right )-\left ( 3.2^{2013}-1 \right )\\ =3.2^{2014}-3.2^{2013}\\ =3.2^{2013}\left ( 2-1 \right )\\ =3.2^{2013}.

4. Diketahui deret geometri dengan \frac{u_{4}}{u_{6}}=p dan u_{2}\times u_{8}=\frac{1}{p} , maka suku pertama deret geometri tersebut adalah… .

Jawab:

Diketahui bahwa

\left\{\begin{matrix} \frac{u_{4}}{u_{6}} &= & p\\ & & \\ u_{2}\times u_{8}&=&\frac{1}{p} \end{matrix}\right.

maka

\frac{u_{6}}{u_{4}}=\frac{ar^{5}}{ar^{3}}=r^{2}=\frac{1}{p}\\ dan\\ u_{2}\times u_{8}=ar\times ar^{7}=a^{2}r^{8}=\left ( ar^{4} \right )^{2}=\frac{1}{p}\Leftrightarrow \: u_{5}=\sqrt{\frac{1}{p}}\\ sehingga\\ u_{5}=ar^{4}=a\left ( r^{2} \right )^{2}\Leftrightarrow \: \sqrt{\frac{1}{p}}=a\left ( \frac{1}{p} \right )^{2}\\ a=p^{2}\times \sqrt{\frac{1}{p}}=p\times p\times p^{-\frac{1}{2}}=p\times p^{\frac{1}{2}}=p\sqrt{p}

\LARGE\fbox{Latihan Soal}

  1. Hitunglah jumlah 20 suku pertama dari deret geometri  1+\frac{4}{5}+\left ( \frac{4}{5} \right )^{2}+....
  2. Diketahui deret geometri  dengan S_{n}=3.2^{n}-1 , maka suku ke-20 deret tersebut adalah… .
  3. Jika suku pertama barisan geometri adalah \sqrt[3]{x} dan suku ke-2 adalah \sqrt{x} , maka suku ke-20 adalah…
  4. Jika suku pertama barisan geometri adalah 3 dan suku ke-6 adalah 96, maka 3072 adalah suku ke… .
  5. Tentukanlah suku ke-2014 dan jumlah 2014 suku pertama dari  3-2+\frac{4}{3}-\frac{8}{9}+....
  6. Tentukanlah  suku ke-2014 dan jumlah 2014 suku pertama dari  4+\frac{4}{3}+\frac{4}{9}+....
  7. Jika pada deret geometri u_{1}=x^{-2}\: ,\: u_{5}=x^{2}\: ,dan\: u_{9}=64 , maka u_{7}=....
  8. Jika jumlah n suku dari sebuah deret geometri yang rasionya r adalah S_{n}, maka nilai \frac{S_{6n}}{S_{3n}}=....

 

Sumber Referensi

  1. Wajik S, Jero, Suardhana Linggih dan Yose Rizal Syahrudin. 1981 . Ringkasan
    Matematika IPA . Bandung: Ganeca Exact.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *