Permutasi-Lanjutan Kaidah Pencacahan (Matematika Wajib Kls XII K13 Revisi)

Permutasi adalah perluasan dari aturan perkalian.

Permutasi dari suatu benda adalah susunan yang berbeda dari benda-benda itu dengan memperhatikan urutannya.

Notasi dari permutasi ini adalah memiliki beberapa bentuk berikut ini

dan Anda dapat memilih salah satu bentuk di antara bentuk yang ada.

Selanjutnya untuk menyusun objek yang ada perhatikanlah tabel berikut:

Sebagai catatan dalam menyelesaikan permutasi siklis ini adalah satu orang ditetapkan letaknya misal ilustrasi gambar di atas adalah si A, kemudian baru tentukan permutasi unsur-unsur yang lainnya.

Sebagai tambahan penjelasan untuk jawaban pada soal no. 8 poin c di atas adalah:

Lanjutan Vektor (1)

Lanjutan untuk vektor di \color{blue}\textbf{R}^{2}.

Keterangan:

  • Vektor baris adalah vektor yang komponen-komponennya disusun sedemikian rupa berbentuk 1 baris
  • Vektor kolom adalah vektor yang komponen-komponennya disusun berbentuk 1 kolom
  • Vektor posisi adalah vektor yang titik pangkalnya berada di pusat koordinat \color{blue}\textbf{\textit{O}}(0,0).
  • Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan.
  • Vektor basis adalah vektor satuan yang saling tegak lurus. Selanjutnya di ruang dimensi dua hanya terdapat dua vektor basis.

\color{blue}\textbf{Vektor Basis}.

Lingkaran

A. Pendahuluan

Misalkan di suatu kantor seseorang katakanlah si M mengatakan kepada sahabatnya si N bahwa si M memarkir sepeda motornya tepat 100 meter dari ia berdiri. Dari informasi tersebut sangat dimungkinkan atau dipastikan bahwa jika si N ingin meminjam motor si M, maka yang ditanyakan adalah posisi motornya di mana, karena posisinya motornya memungkinkan bisa berada di sebelah barat, utara, timur, ataupun selatan dari posisi si M atau bahkan posisi yang lain.

Dari kasus di atas adalah pengenalan untuk konsep lingkaran, di mana posisi si motor si M tanpa penjelasan lebih lanjut akan berupa semacam sebuah keliling lingkaran dengan si M sebagai pusat lingkaran dan jarak 100 meter sebagai radius/jari-jari lingkaran yang berpusat di M itu.

Selanjutnya dari ilustrasi di atas di dapatkan pengertian untuk lingkaran yaitu kumpulan titik-titik yang berajak sama pada suatu titik tetap pada bidang datar.

B. Persamaan Lingkaran

\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Sebuah lingkaran yang berpusat pada pangkal koordinat}.\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Tentukanlah persamaan lingkaran yang berjari-jari 5}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Gambarlah lingkaran (pada soal a.) pada kertas grafiks}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{Lukislah titik-titik dari},\: A(2,3),\: B(4,3),\: \: \textrm{dan}\: \: C(3,6).\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{Nyatakan kedudukan titik-titik}\: A,\: B,\: \textrm{dan}\: C\: \textrm{terhadap lingkaran. Di dalam, pada,}\\ &\quad\: \: \: \, \textrm{atau beradakah di luar lingkaran}\end{array}

Pembahasan:

Coba perhatikanlah ilustrasi berikut

360
\begin{array}{|l|l|l|l|}\hline \textrm{a}.&\textrm{Pusat lingkaran}&\textrm{b}.&\textrm{Gambar pada kertas grafik}\\\cline{2-2}\cline{4-4} &\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}=5^{2}\\ &\qquad\qquad \updownarrow\\ &x^{2}+y^{2}=25\\ &\textrm{atau}\\ &L\equiv \left \{ (x,y)|x^{2}+y^{2}=25 \right \} \end{aligned}&&\quad\qquad \textrm{Perhatikanlah gambar di atas}\\\hline \textrm{c}.&\textrm{Titik-titik}\: \: A,\: B,\: \textrm{dan}\: \: C&\textrm{d}.&\textrm{Kedudukan titik-titik}\: \: A,\: B,\: \textrm{dan}\: \: C\\\cline{2-2}\cline{4-4} & \textrm{perhatikan gambar di atas}&&\begin{matrix} \bullet \quad \textrm{Titik}\: \: A(2,3)\: \textrm{berada di dalam lingkaran}\\ \bullet \quad \textrm{Titik}\: \: A(4,3)\: \textrm{berada pada lingkaran}\: \: \: \: \: \: \: \\ \bullet \quad \textrm{Titik}\: \: A(3,6)\: \textrm{berada di luar lingkaran}\: \: \: \, \end{matrix}\\\hline \end{array}

Vektor

A. Pendahuluan

Misalkan di suatu kantor seseorang katakanlah si A mengatakan kepada sahabatnya si B bahwa si A memarkir sepeda motornya tepat 100 meter dari ia berdiri. Dari informasi tersebut sangat dimungkinkan atau dipastikan bahwa jika si B ingin meminjam motor si A, maka yang ditanyakan adalah posisi motornya di mana, karena posisinya motornya memungkinkan bisa berada di sebelah barat, utara, timur, ataupun selatan dari posisi si A atau bahkan posisi yang lain.

Dari kasus di atas jika si A menunjukkan posisi motornya maka cukuplah dapat menunjukkan wakil vektor secara geometri pada bidang datar, yaitu adanya besar (skalar) yaitu sebesar 100 m dan posisi motornya yang arahnya ditarik dari dari posisi A berdiri.

Selanjutnya pengertian vektor di sini adalah besaran yang memiliki besar/panjang dan memiliki arah. Secara geometri vektor digambarkan dengan anak panah (ruas garis berarah) yang memiliki titik pangkal dan titik ujung.

Untuk ilustrasinya adalah


Perhatikan salah satu ruas garis berarah pada gambar di atas, misal ruas garis berarah \color{blue}\overrightarrow{AB}, dengan titik pangkal A dan titik ujungnya adalah B yang menyatakan sebagai vektor .

Berikut adalah cara penulisan notasi vektor

  • Dengan menggunakan dua huruf kapital yang ditasnya ada anak panah sebagai misal \color{blue}\overrightarrow{AB}.  .
  • Dengan menggunakan dua huruf kapital yang di atasnya ada ruas garis, misal \color{blue}\overrightarrow{AB}.   .
  • Dengan menggunakan sebuah huruf kecil yang dicetak tebal, misal  \textbf{a},\: \textbf{b},\: \textbf{c},\: \: \color{blue}\textrm{dst}.
  • Dengan menggunakan sebuah huruf kecil yang di atasnya ada, anak panah, Sebagai misal  \overrightarrow{a},\: \overrightarrow{b},\: \overrightarrow{c},\: \: \color{blue}\textrm{dst}.
  • Dengan menggunakan huruf kecil yang di atas atau di bawahnya ada ruas garis. Sebagai contoh :  \overline{a},\: \overline{b},\: \overline{c},\: …\: \color{blue}\: \: \textrm{atau}\: \: \: \underline{a},\: \underline{b},\: \underline{c},\: …\: \: \textrm{dst}.

B. Vektor di Bidang dan di Ruang

  1. Vektor di Bidang \color{blue}\left (\LARGE \textrm{R}^{2} \right ).

Perhatikanlah ilustrasi berikut ini

Gambar 1
Gambar 2

Kaidah Pencacahan

A. Pendahuluan

Kaidah pencacahan di sini adalah aturan dasar menghitung semua kemungkinan dari semua percobaan yang dapat dilakukan. Sedangkan percobaan sendiri adalah dapat dimaknai sebagai proses fisik di mana hasilnya dapat diamati.

Kaidah dasar menghitung semua kemungkinan dalam pengaturan objek tertentu dalam hal ini dibagi dua, yaitu kaidah penjumlahan dan kaidah perkalian.

B. Kaidah Pencacahan

Perhatikanlah tabel berikut

\begin{array}{ll}\\ \fbox{4}.&\textrm{Tentukanlah banyak bilangan yang terdiri dari 2 digit yang kurang dari 60}\\ &\textrm{yang digit-digitnya dapat dipilih dari angka 1,2,3,4,5,6,7,8, dan 9}\\ &\textrm{(a)}.\quad \textrm{kedua digitnya boleh sama}\\ &\textrm{(b)}. \quad \textrm{kedua digitnya tidak boleh sama}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Kedua digitnya boleh sama}&\textrm{Kedua digitnya harus berbeda}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Puluhan}\left ( n_{1} \right )\times \textrm{satuan}\left ( n_{2} \right )< 60\\ &n_{1}\times n_{2}<60\\ &n_{1}\: \: \textrm{dapat dipilih yang} <6,\: yaitu\\ &\quad \textrm{1,2,3,4, dan 5, maka}\quad n_{1}=5\\ &n_{2}\: \: \textrm{dapat dipilih semuanya, yaitu}\\ &\quad \textrm{1,2,3,4,5,6,7,8, dan 9},\: n_{2}=9\\ &\textrm{sehingga total ada}\: \: n_{1}\times n_{2}=\\ &\quad 5\times 9=45\: \: \textrm{macam bilangan}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Dari jawaban sebelah tinggal}\\ &\textrm{didaftar bilangannya lalu dikurangi}\\ &\textrm{bilangan yang kedua digitnya sama}\\ &\textrm{yaitu}:\\ &\not{11},21,31,41,51,\\ &12,\not{22},32,42,52,\\ &13,23,\not{33},43,53,\\ &14,24,34,\not{44},54,\\ &15,25,35,45,\not{55},\\ &\vdots \\ &19,29,39,49,59\\ &\\ &\textrm{Jadi ada sebanyak}\: \: 40\\ &\textrm{bilangan yang berbeda} \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{array}.

Sumber Referensi

  1. Kartini, Suprapto, Subandi, dan Setiyadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: Intan Pariwara.
  2. Munir, R. 2012. Matematika Diskrit(Revisi Kelima). Bandung: Informatika
  3. Sharma, dkk. 2017. Jelajah Matematika SMA Kelas XII Program Wajib. Jakarta: Yudistira.
  4. Sukino. 2011. Maestro Olimpiade Matematika SMP Seri B. Jakarta: Erlangga.
  5. Sunardi, Waluyo, S., Sutrisno, dan Subagya. 2005. Matematika 2 Untuk SMA Kelas 2 IPA. Jakarta: Bumi Aksara.

Distribusi Peluang Binomial (Kelas XII Matematika Peminatan)

A. Pendahuluan

\begin{array}{|c|l|l|}\hline 7&\textrm{Ruang}&\textrm{Himpunan dari semua hasil yang mungkin dari}\\ &\textrm{sampel}&\textrm{sebuah percobaan}\\\hline 8&\textrm{Variabel}&\textrm{Suatu fungsi (aturan) yang memetakan setiap anggota}\\ &\textrm{acak}&\textrm{ruang sampel dengan sebuah bilangan real}.\\ &&\textrm{Biasanya dinotasikan dengan sebuah huruf besar},\\ &&\textrm{sedangkan nilai variabel acaknya dinotasikan dengan}\\ &&\textrm{sebuah huruf kecil}.\\\hline 9&\textrm{Percobaan}&\textrm{Sebuah percobaan yang memenuhi 4 syarat berikut}\\ &\textrm{binomial}&\textrm{a}.\quad \textrm{Percobaan dilakukan sejumlah-\textit{n} kali}\\ &&\begin{aligned}&\textrm{b}.\quad \textrm{Tiap percobaan hanya mengandung 2 kemungkinan}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{Seluruh hasil percobaan haruslah saling bebas}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{Peluang untuk sukses berlaku sama pada tiap percobaan} \end{aligned}\\\hline 10&\textrm{Distribusi}&\textrm{Hasil-hasil dari percobaan binomial yang bersesuaian}\\ &\textrm{Binomial}&\textrm{dengan hasil}\\\hline \end{array}

Untuk variabel acak sendiri masih dibagi 2 macam yaitu variabel acak diskrit dan variabel acak kontinu. Variabel acak diskrit adalah variabel acak yang nilai numeriknya berupa bilangan bulat karena nilai ini diperoleh dari hasil menghitung atau membilang, sedangkan vaiabel acak kontinu adalah nilai numeriknya diperoleh dari hasil pengukuran.

Sebagai contoh katakanlah kita melantunkan 3 kali uang koin yang memiliki dua sisi yaitu sisi gambar (G) dan angka (A), misalkan dalam pemetaan \color{blue}\textbf{S}\rightarrow \textbf{R} sebagai mana ilustrasi gambar di bawah ini, S (ruang sampel) adalah daerah asal (Domain) dan X sebagai daerah hasil (range), jika X dianggap sebagai banyak kejadian munculnya sisi A dari percobaan acak melantunkan uang logam tersebut, maka nilai dari

  • X dianggap bernilai 3 jika terjadi kejadian (A,A,A)
  • X dianggap bernilai 2 jika terjadi kejadian (A,A,G), (A,G,A), dan (G,A,A)
  • X dianggap bernilai 1 jika terjadi kejadian (A,G,G), (G,A,G), dan (G,G,A)
  • X dianggap bernilai 0 jika terjadi kejadian (G,G,G)

Selanjutnya juga yang tidak kalah penting berkaitan dengan peluang kejadian \color{blue}(X=0) adalah ekivalen dengan kejadian {(G,G,G)} dengan n{(X=0)}=1, maka nilai peluangnya untuk kasus tersebut secara matematis adalah :

Selanjutnya perhatikanlah semua nilai peluangnya sebagaimana terangkum dalam tabel berikut

B. Fungsi peluang dan Fungsi peluang kumulatif

Fungsi peluang di sini adalah peluang nilai x dari variabel acak X. Fungsi peluang ini dinyatakan dengan

Sedangkan untuk fungsi peluang kumulatifnya (fungsi peluang yang dijumlahkan) adalah :

Selanjutnya fungsi peluang dan fungsi peluang kumulatif dapat dinyatakan dalam bentuk tabel, fungsi, dan grafik

Pada contoh soal di atas fungsi peluangnya jika dinyakatan dalam tabel adalah:

Jika dinyatakan dalam bentuk fungsi adalah

dan jika dinyakan dalam bentuk grafik adalah

a) untuk grafik fungsi peluang

b) untuk grafik fungsi peluang kumulatif

Sebagai catatan bahwa setiap fungsi probabilitas harus memenuhi dua syarat, yaitu:

  • \color{blue}f(x)\geq 0, dan
  • \color{blue}\sum_{x}^{.}f(x)=1.

Jawab:

Misalkan X adalah jumlah kedua mata dadu yang muncul

perhatikanlah tabel pasangan jumlah dua mata dadu berikut:

Sehingga nilai X berserta banyaknya anggota dapat ditabelkan berikut:

Sumber Referensi

  1. Kanginan, M., Nurdiansyah, H., & Akhmad, G. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: Yrama Widya.
  2. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, & Rusdi, I. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: Srikandi Empat.
  3. Tasari, Aksin, N., Miyanto, & Muklis. 2016 .Buku Siswa Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilm u-Ilmu Alam . Klaten: PT. Intan Pariwara.
  4. Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas XII SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: PT. Tiga Serangkai Pustaka Mandiri.

Selalu 45 …

Masih seputar kemaren, rehat sejenak.

Permainan ini bagus sekali untuk mencairkan suasana saat anak kita (tentunya yang masih duduk di kelas tingkat dan dasar dan menengah pertama) saat jemu dengan rutinitas sehari-hari

Perhatikanlah uraian berikut:

\begin{array}{|l|c|}\hline \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\textrm{Sintak}&\textrm{Ilustrasi}\\\hline \color{blue}\begin{aligned}\bullet \: \: &\textrm{Tuliskan sebuah bilangan yang terdiri dari dua angka}\\ &\color{black}\textrm{antara 50 sampai dengan 100}\\ \bullet \: \: &\textrm{Tambahkan dengan 54}\\ \bullet \: \: &\textrm{Ambillah angka ratusannya dan tambahkan ke dua}\\ &\textrm{bilangan yang tersisa}\\ \bullet \: \: &\textrm{Kurangkanlah hasilnya pada bilangan semua yang}\\ &\textrm{dipilih mula-mula}\\ \bullet \: \: &\textrm{Hasilnya akan selalu 45} \end{aligned}&\color{magenta}\begin{aligned}78&\\\\ 78&+54=132\\ &\\ 132&;\: \: 32+1=33\\ &\\\\ 78&-33=45 \end{aligned}\\\hline \end{array}.

Selamat mencoba