Trigonometri

A. Tentang Sudut

Sudut adalah pertemuan atau perpotongan 2 buah garis/sinar atau bangun yang dibentuk oleh dua garis yang yang berpotongan di sekitar titik potongnya.

Untuk ukuran sudut, kita mengenal ada beberapa macam, yaitu: derajat, radian, gone/grade.

\begin{array}{|c|}\hline 1\: keliling\bigcirc =360^{0}=2\pi \: radian=400^{g}\\\hline atau\\\hline \frac{1}{2}\: keliling\bigcirc =180^{0}=\pi \: radian=200^{9}\\\hline \end{array}.

Perhatikan ilustrasi berikut

149

 Selanjutnya yang sering dikenalkan adalah sudut dalam ukuran derajat dan radian.

Sebagai catatan:

Ukuran derajat yang diubah ke menit atau detik yang selanjutnya disebut  dengan sistem seksagesimal, yaitu:

1 derajat = 60 menit = 3600 detik, atau

\begin{array}{|c|}\hline 1^{\circ}={60}'={3600}''\\\hline \end{array}.

\LARGE\fbox{Contoh Soal}.

1. 1^{0}=....rad.

2. 1\: radian=....^{0}

3. Jadikanlah sudut 53,24^{0}  dalam seksagesimal!

4. Jadikanlah sudut  23^{0}{12}'{24}'' dalam satuan derajat!

Jawab:

1.  Perhatikanlah

\begin{aligned}360^{0}&=2\pi \: rad\\ 360\times 1^{0}&=2\pi \: rad\\ 1^{0}&=\frac{2\pi }{360}\\ &=\frac{\pi }{180}\: rad \end{aligned}.

Kadang dituliskan untuk  \pi \approx \frac{22}{7}\approx 3,14, tinggal kita masukkan saja sebagai ganti pi di atas.

2. Dengan cara mirip dengan no.1, yaitu

\begin{aligned}2\pi \: rad&=360^{0}\\ 2\pi \times 1\: rad&=360^{0}\\ 1\: rad&=\left ( \frac{360}{2\pi } \right )^{0}\\ &=\left ( \frac{180}{\pi } \right )^{0} \end{aligned}.

3. Kita ingin menjadikan sudut dari ukuran derajat yang mengandung desimal ke seksagesimal.

Perhatikan langkahnya

\begin{aligned}53,24^{0}&=53^{0}+0,24^{0}\\ &=53^{0}+0,24\times 1^{0}\\ &=53^{0}+0,24\times {60}'\\ &=53^{0}+{14,4}'\\ &=53^{0}+{14}'+{0,4}'\\ &=53^{0}+{14}'+0,4\times {1}'\\ &=53^{0}+{14}'+0,4\times {60}''\\ &=53^{0}+{14}'+{24}''\\ 53,24^{0}&=53^{0}{14}'{24}'' \end{aligned}.

4. Dengan cara yang kurang lebih sama, yaitu

\begin{aligned}23^{0}{12}'{24}''&=23^{0}+12\times {1}'+24\times {1}''\\ &=23^{0}+12\times \left ( \frac{1}{60} \right )^{0}+24\times \left ( \frac{1}{3600} \right )^{0}\\ &=23^{0}+0,2^{0}+0,00\overline{666}^{0}\\ &=23,20\overline{666}^{0}\end{aligned}.

\LARGE\fbox{Latihan Soal}.

\begin{array}{cl}\\ 1.&27^{0}=.....rad\\ 2.&28\: rad=....^{0}\\ 3.&29,35^{0}=...^{0}{...}'{...}''\\ 4.&30^{0}{24}'{12}''=....^{0} \end{array}.

B. Perbandingan Sudut dalam Segitiga Siku-Siku

Perhatikanlah ilustrasi berikut ini

150

\begin{matrix} \sin \alpha =\frac{BC}{AB}\\\\ \cos \alpha =\frac{AC}{AB}\\\\ \tan \alpha =\frac{BC}{AC}\\\\ \csc \alpha =\frac{AB}{BC}\\\\ \sec \alpha =\frac{AB}{AC}\\\\ \cot \alpha =\frac{AC}{BC} \end{matrix}.

Untuk Perbandingan Sudut istimewa amati tabel berikut, khususnya sudut 0^{0},30^{0},45^{0},60^{0},90^{0},180^{0}.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \alpha ^{0}&0^{0}&15^{0}&30^{0}&45^{0}&60^{0}&75^{0}&90^{0}&180^{0}&270^{0}&360^{0}\\\hline \sin \alpha ^{0}&0&\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right )&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right )&1&0&-1&0\\\hline \cos \alpha ^{0}&1&\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right )&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right )&0&-1&0&1\\\hline \tan \alpha ^{0}&0&2-\sqrt{3}&\frac{1}{3}\sqrt{3}&1&\sqrt{3}&2+\sqrt{3}&TD&0&TD&0\\\hline \end{array}.

Karena pada segitiga siku-siku berlaku teorema Pythagoras, maka ada baiknya kita ingat-ingat tripel Pythagoras di sini yang sering digunakan/dimunculkan .

\LARGE\fbox{Contoh Soal}.

1. Tentukanlah nilai perbandingan \sin \alpha ,\: \cos \alpha , \tan \alpha  untuk segitiga berikut

152

Jawab:

(a) Untuk sisi miringnya adalah

\begin{aligned}Sisi\: miring&=\sqrt{3^{2}+4^{2}}\\ &=\sqrt{9+16}\\ &=\sqrt{25}\\ &=5 \end{aligned},

\sin \alpha =\frac{3}{5},\quad \cos \alpha =\frac{4}{5}.\quad dan\: \tan \alpha =\frac{3}{4}.

(b) Dengan langkah sebagaimana pada langkah (a), kita mendapatkan

\begin{aligned}Sisi\: miring&=\sqrt{5^{2}+12^{2}}\\ &=\sqrt{25+144}\\ &=\sqrt{169}\\ &=13 \end{aligned},

\sin \alpha =\frac{12}{13},\quad \cos \alpha =\frac{5}{13}.\quad dan\: \tan \alpha =\frac{12}{5}.

2. Hitunglah nilai dari

\begin{array}{llll}\\ &&a.&\left ( \tan 30^{0}+\sin 30^{0} \right )\cos 30^{0}\\ &&b.&\left ( \tan 60^{0} \right )^{2}+4\left ( \sin 60^{0} \right )^{2}\\ &&c.&\tan 60^{0}-\sin 60^{0}-\tan 30^{0}\\ &&d.&\displaystyle \frac{1+\sin 30^{0}}{\sin 30^{0}}+\frac{\cos 30^{0}}{1+\sin 30^{0}}\\ &&e.&\displaystyle \frac{2\tan 30^{0}}{1+\tan ^{2}30^{0}} \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{llll}\\ &&a.&\left ( \tan 30^{0}+\sin 30^{0} \right )\cos 30^{0}\\ &&&=\displaystyle \left ( \frac{1}{3}\sqrt{3}+\frac{1}{2} \right ).\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ &&&=\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{4}\sqrt{3} \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&b.&\left ( \tan 60^{0} \right )^{2}+4\left ( \sin 60^{0} \right )^{2}\\ &&&\displaystyle =\left ( \sqrt{3} \right )^{2}+4\left ( \frac{1}{2}\sqrt{3} \right )^{2}\\ &&&\displaystyle =3+3\\ &&&=6 \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&c.&\tan 60^{0}-\sin 60^{0}-\tan 30^{0}\\ &&&=\displaystyle \sqrt{3}-\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{3}\sqrt{3}\\ &&&=\displaystyle \sqrt{3}-\frac{5}{6}\sqrt{3}\\ &&&=\displaystyle \frac{1}{6}\sqrt{3} \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&d.&\displaystyle \frac{1+\sin 30^{0}}{\sin 30^{0}}+\frac{\cos 30^{0}}{1+\sin 30^{0}}\\ &&&=\displaystyle \frac{1+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}+\frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}}{1+\frac{1}{2}}\\ &&&=\displaystyle 3+\frac{1}{3}\sqrt{3} \end{array}.

 \begin{array}{llll}\\ &&e.&\displaystyle \frac{2\tan 30^{0}}{1+\tan ^{2}30^{0}}\\ &&&=\displaystyle \frac{2\times \frac{1}{3}\sqrt{3}}{1+\left ( \frac{1}{3}\sqrt{3} \right )^{2}}\\ &&&=\displaystyle \frac{\frac{2}{3}\sqrt{3}}{1+\frac{1}{3}}\\ &&&=\displaystyle \frac{\frac{2}{3}\sqrt{3}}{\frac{4}{3}}\\ &&&=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{array}.

3. Perhatikan ilustrasi berikut

153

Jika Jarak antara kucing seorang pencatat dan kucing adalah 100 m, maka jarak Pencatat tersebut dengan seorang tentara sebagaimana gambar tersebut di atas adalah?

Jawab:

Perhatikan gambar di atas dengan diberikan tambahan keterangan sebagai berikut

154

Ditanya berpakah  panjang jarak  \left ( x+100 \right )\: meter ?

\begin{aligned}y&=y\\ x.\tan 60^{0}&=\left ( x+100 \right ).\tan 30^{0}\\ x.\sqrt{3}&=\left ( x+100 \right )\frac{1}{3}\sqrt{3}\\ 3x&=x+100\\ 2x&=100\\ x&=50 \end{aligned}.

Jadi  x+100=50+100=150  meter.

4. Tentukanlah perbandingan trigonometri  \angle XOA  jika A(3,5).

Jawab:

Perhatikan ilustrasi berikut

155

 Dengan memandang ilustrasi gambar di atas kita mendapatkan  \triangle OAA', dengan menggunakan teorema pythagoras kita mendapatkan

\begin{aligned}OA^{2}&=\left ( OA' \right )^{2}+\left ( AA' \right )^{2}\\ &=3^{2}+5^{2}\\ &=9+25\\ &=34\\ OA&=\sqrt{34} \end{aligned}.

\begin{array}{llll}\\ &&a.&\displaystyle \sin A'OA=\frac{5}{\sqrt{34}}=\frac{5}{34}\sqrt{34}\\ \\ &&b.&\displaystyle \cos A'OA=\frac{3}{\sqrt{34}}=\frac{3}{34}\sqrt{34}\\ \\ &&c.&\displaystyle \tan A'OA=\frac{5}{3}\\ \\ &&d.&\csc A'OA,\quad \sec A'OA,\quad \cot A'OA\quad silahkan\: \: coba\: \: sendiri\: \: sebagai\: \: latihan \end{array}.

C. Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub/Polar

Perhatikanlah ilustrasi berikut

161

\begin{array}{|c|c|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{Koordinat}\\\hline Kartesius\: \rightarrow \: Kutub&Kutub\: \rightarrow \: Kartesius\\\hline P(x,y)\: \rightarrow \: P\left ( r,\alpha ^{0} \right )&P\left ( r,\alpha ^{0} \right )\: \rightarrow \: P(x,y)\\\hline r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\quad \displaystyle \tan \alpha ^{0}=\frac{y}{x},\quad \displaystyle \alpha ^{0}=\arctan \frac{y}{x}&\left\{\begin{matrix} x=r.\cos \alpha ^{0}\\ \\ y=r.\sin \alpha ^{0} \end{matrix}\right.\\\hline \end{array}.

D. Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran

\begin{array}{llll}\\ &&(1).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudut\: \left ( 90^{0}-\alpha \right )\\ &&&a.\quad \sin \alpha \rightarrow \sin \left ( 90^{0}-\theta \right )=\cos \theta \\ &&&b.\quad \cos \alpha \rightarrow \cos \left ( 90^{0}-\theta \right )=\sin \theta \\ &&&c.\quad \tan \alpha \rightarrow \tan \left ( 90^{0}-\theta \right )=\cot \theta \\ &&&d.\quad \cot \alpha \rightarrow \cot \left ( 90^{0}-\theta \right )=\tan \theta \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&(2).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudut\: \left ( 180^{0}-\alpha \right )\\ &&&a.\quad \sin \alpha \rightarrow \sin \left ( 180^{0}-\theta \right )=\sin \theta \\ &&&b.\quad \cos \alpha \rightarrow \cos \left ( 180^{0}-\theta \right )=-\cos \theta \\ &&&c.\quad \tan \alpha \rightarrow \tan \left ( 180^{0}-\theta \right )=-\tan \theta \\ &&&d.\quad \cot \alpha \rightarrow \cot \left ( 180^{0}-\theta \right )=-\cot \theta \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&(3).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudut\: \left ( 180^{0}+\alpha \right )\\ &&&a.\quad \sin \alpha \rightarrow \sin \left ( 180^{0}+\theta \right )=-\sin \theta \\ &&&b.\quad \cos \alpha \rightarrow \cos \left ( 180^{0}+\theta \right )=-\cos \theta \\ &&&c.\quad \tan \alpha \rightarrow \tan \left ( 180^{0}+\theta \right )=\tan \theta \\ &&&d.\quad \cot \alpha \rightarrow \cot \left ( 180^{0}+\theta \right )=\cot \theta \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&(4).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudut\: \left ( 360^{0}-\alpha \right )\\ &&&a.\quad \sin \alpha \rightarrow \sin \left ( 360^{0}-\theta \right )=-\sin \theta \\ &&&b.\quad \cos \alpha \rightarrow \cos \left ( 360^{0}-\theta \right )=\cos \theta \\ &&&c.\quad \tan \alpha \rightarrow \tan \left ( 360^{0}-\theta \right )=-\tan \theta \\ &&&d.\quad \cot \alpha \rightarrow \cot \left ( 360^{0}-\theta \right )=-\cot \theta \end{array}.

Perhatikan ilustrasi berikut

1

[Sumber]

Untuk sudut  \alpha > 360^{0}.

\begin{array}{llll}\\ &&(5).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudutnya\\ &&&a.\quad \sin \alpha \rightarrow \sin \left ( k.360^{0}+\theta \right )=\sin \theta \\ &&&b.\quad \cos \alpha \rightarrow \cos \left ( k.360^{0}+\theta \right )=\cos \theta \\ &&&c.\quad \tan \alpha \rightarrow \tan \left ( k.360^{0}+\theta \right )=\tan \theta \\ \end{array}.

Perbandingan trigonometri untuk sudut negatif

\begin{array}{llll}\\ &&(6).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudutnya\\ &&&a.\quad \sin \left ( -\alpha \right ) = -\sin \alpha \\ &&&b.\quad \cos \left ( -\alpha \right ) =\cos \alpha \\ &&&c.\quad \tan \left ( -\alpha \right ) =-\tan \alpha \\ &&&d.\quad \csc \left ( -\alpha \right ) =-\csc \alpha \\ &&&e.\quad \sec \left ( -\alpha \right ) =\sec \alpha \\ &&&f.\quad \cot \left ( -\alpha \right ) =-\cot \alpha \end{array}.

\LARGE\fbox{\fbox{Contoh Soal}}.

1. Tanpa menggunakan tabel/kalkulator tentukanlah nilai  \sin \alpha ,\: \cos \alpha \: dan\: \tan \alpha jika diketahui  \alpha =.

\begin{array}{llll}\\ &&a.&120^{0}\qquad b.\: 240^{0}\qquad c.\: 300^{0}\qquad d.\: 1125^{0} \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{llll}\\ &&(a).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudutnya\: 120^{0}\\ &&&1.\quad \sin 120^{0} = \sin \left ( 180^{0}-60^{0} \right )=\sin 60^{0}=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ &&&2.\quad \cos 120^{0} =\cos \left ( 180^{0}-60^{0} \right )=-\cos 60^{0}=-\displaystyle \frac{1}{2} \\ &&&3.\quad \tan 120^{0} =\tan \left ( 180^{0}-60^{0} \right )=-\tan 60^{0}=-\displaystyle \sqrt{3} \\ \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&(b).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudutnya\: 240^{0}\\ &&&1.\quad \sin 240^{0} = \sin \left ( 180^{0}+60^{0} \right )=-\sin 60^{0}=-\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ &&&2.\quad \cos 240^{0} =\cos \left ( 180^{0}+60^{0} \right )=-\cos 60^{0}=-\displaystyle \frac{1}{2} \\ &&&3.\quad \tan 240^{0} =\tan \left ( 180^{0}+60^{0} \right )=\tan 60^{0}=\displaystyle \sqrt{3} \\ \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&(c).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudutnya\: 300^{0}\\ &&&1.\quad \sin 300^{0} = \sin \left ( 360^{0}-60^{0} \right )=-\sin 60^{0}=-\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ &&&2.\quad \cos 300^{0} =\cos \left ( 360^{0}-60^{0} \right )=\cos 60^{0}=\displaystyle \frac{1}{2} \\ &&&3.\quad \tan 300^{0} =\tan \left ( 360^{0}-60^{0} \right )=-\tan 60^{0}=-\displaystyle \sqrt{3} \\ \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&(d).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudutnya\: 1125^{0}\\ &&&1.\quad \sin 1125^{0} = \sin \left ( 3\times 360^{0}+45^{0} \right )=\sin 45^{0}=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ &&&2.\quad \cos 1125^{0} =\cos \left ( 3\times 360^{0}+45^{0} \right )=\cos 45^{0}=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ &&&3.\quad \tan 1125^{0} =\tan \left ( 3\times 360^{0}+45^{0} \right )=\tan 45^{0}=1 \\ \end{array}.

2. Tunjukkan bahwa

\begin{array}{llll}\\ &&a.&\displaystyle \frac{\sec \left ( 180^{0}-\alpha \right )}{\tan \left ( 180^{0}+\alpha \right )}=-\csc \alpha \\\\ &&b.&\displaystyle \frac{\sin \left ( 90^{0}-\alpha \right )}{\sec \left ( 180^{0}-\alpha \right )}=-\cos ^{2}\alpha \\\\ &&c.&\displaystyle \frac{\cot 99^{0}}{\cos 198^{0}}\times \frac{\cos 378^{0}}{\cos 81^{0}}=\sec 9^{0}\\\\ &&d.&\tan 71^{0}+\tan 289^{0}+\tan 161^{0}+\tan 199^{0}=0 \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{llll}\\ &&a.&\displaystyle \frac{\sec \left ( 180^{0}-\alpha \right )}{\tan \left ( 180^{0}+\alpha \right )} \\ &&&=\displaystyle \frac{-\sec \alpha }{\tan \alpha }=\frac{-\frac{1}{\cos \alpha }}{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}=-\frac{1}{\sin \alpha }=-\csc \alpha \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&b.&\displaystyle \frac{\sin \left ( 90^{0}-\alpha \right )}{\sec \left ( 180^{0}-\alpha \right )} \\ &&&=\displaystyle \frac{\cos \alpha }{-\sec \alpha }=\frac{\cos \alpha }{-\frac{1}{\cos \alpha }}=-\cos ^{2}\alpha \\ \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&c.&\displaystyle \frac{\cot 99^{0}}{\cos 198^{0}}\times \frac{\cos 378^{0}}{\cos 81^{0}}\\ &&&=\displaystyle \frac{-\cot 81^{0}}{-\cos 18^{0}}\times \frac{\cos \left ( 360^{0}+18^{0} \right ) }{\cos 81^{0}}= \frac{\frac{\cos 81^{0}}{\sin 81^{0}}}{\cos 81^{0}}=\frac{1}{\sin 81^{0}}\\ &&&=\displaystyle \frac{1}{\sin \left ( 90^{0}-9^{0} \right )}=\frac{1}{\cos 9^{0}}=\sec 9^{0} \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&d.&\tan 71^{0}+\tan 289^{0}+\tan 161^{0}+\tan 199^{0}\\ &&&=\tan 71^{0}+\tan \left ( 360^{0}-71^{0} \right )+\tan \left ( 180^{0}-19^{0} \right )+\tan \left ( 180^{0}+19^{0} \right )\\ &&&=\tan 71^{0}-\tan 71^{0}-\tan 19^{0}+\tan 19^{0}\\ &&&=0 \end{array}.

3. Diketahui koordinat kutub titik M adalah  M\left ( 8,60^{0} \right ) , maka koordinat kartesiusnya adalah….

Jawab:

Diketahui\quad M\left ( 8,60^{0} \right )\: \rightarrow \: M\left ( x,y \right ).....?\\\\ M\left ( 8,60^{0} \right )\left\{\begin{matrix} r=8\\ \\ \alpha ^{0}=60^{0} \end{matrix}\right.\\\\ \begin{aligned}M\left ( 8,60^{0} \right )&\Rightarrow \\ x&=r.\cos \alpha ^{0} &=8.\cos 60^{0} &=8.\left ( \frac{1}{2} \right ) &=4\\ y&=r.\sin \alpha ^{0} &=8.\sin 60^{0} &=8.\frac{1}{2}\sqrt{3} &=4\sqrt{3} \end{aligned}\\\\ Jadi\quad M\left ( 8,60^{0} \right )\: \rightarrow \: M\left ( 4,4\sqrt{3} \right ).

E. Identitas Trigonometri

\begin{array}{llll}\\ &&1.&\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1\\\\ &&2.&\sec ^{2}\alpha -\tan ^{2}\alpha =1\\\\ &&3.&\csc ^{2}\alpha -\cot ^{2}\alpha =1\\\\ &&4.&\displaystyle \tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{1}{\cot \alpha }\\\\ &&5.&\displaystyle \csc \alpha =\frac{1}{\sin \alpha }\\\\ &&6.&\displaystyle \sec \alpha =\frac{1}{\cos \alpha } \end{array}.

F. Fungsi Trigonometri

Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut untuk grafik fungsi sinus dan cosinus

159

[Sumber]

Untuk fungsi tangen,

160

[sumber]

Fungsi Sinus ,   f(x)= sin x

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&0&\frac{\pi }{6}&\frac{\pi }{4}&\frac{\pi }{3}&\frac{\pi }{2}&\frac{2\pi }{3}&\frac{3\pi }{4}&\frac{5\pi }{6}&\pi &\frac{7\pi }{6}&\frac{5\pi }{4}&\frac{4\pi }{3}&\frac{3\pi }{2}&\frac{5\pi }{3}&\frac{7\pi }{4}&\frac{11\pi }{6}&2\pi \\\hline f(x)&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}&1&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}&0&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{3}&-1&-\frac{1}{2}\sqrt{3}&-\frac{1}{2}\sqrt{2}&-\frac{1}{2}&0\\\hline \end{array}.

Fungsi Cosinus ,  f(x)=cos x

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&0&\frac{\pi }{6}&\frac{\pi }{4}&\frac{\pi }{3}&\frac{\pi }{2}&\frac{2\pi }{3}&\frac{3\pi }{4}&\frac{5\pi }{6}&\pi &\frac{7\pi }{6}&\frac{5\pi }{4}&\frac{4\pi }{3}&\frac{3\pi }{2}&\frac{5\pi }{3}&\frac{7\pi }{4}&\frac{11\pi }{6}&2\pi \\\hline f(x)&1&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}&0&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{3}&-1&-\frac{1}{2}\sqrt{3}&-\frac{1}{2}\sqrt{2}&-\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}&1\\\hline \end{array}.

Fungsi Tangen ,  f(x)=tan x

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&0&\frac{\pi }{6}&\frac{\pi }{4}&\frac{\pi }{3}&\frac{\pi }{2}&\frac{2\pi }{3}&\frac{3\pi }{4}&\frac{5\pi }{6}&\pi &\frac{7\pi }{6}&\frac{5\pi }{4}&\frac{4\pi }{3}&\frac{3\pi }{2}&\frac{5\pi }{3}&\frac{7\pi }{4}&\frac{11\pi }{6}&2\pi \\\hline f(x)&0&\frac{1}{3}\sqrt{3}&1&\sqrt{3}&\infty &-\sqrt{3}&-1&-\frac{1}{3}\sqrt{3}&0&\frac{1}{3}\sqrt{3}&1&\sqrt{3}&\infty &-\sqrt{3}&-1&-\frac{1}{3}\sqrt{3}&0\\\hline \end{array}.

Untuk :

f(x)=\left\{\begin{matrix} a\: \sin k\left ( x\pm \theta \right )\pm c\\\\ a\: \cos k\left ( x\pm \theta \right )\pm c\\\\ a\: \tan k\left ( x\pm \theta \right )\pm c \end{matrix}\right..

Periode\quad fungsi=\left\{\begin{matrix} \sin \: atau\: \cos=\displaystyle \frac{360^{0}}{\left | k \right |}\\ \\ \tan \: atau\: \cot =\displaystyle \frac{180^{0}}{\left | k \right |} \end{matrix}\right..

nilai\quad fungsi\quad \sin\: atau\: \cos=\left\{\begin{matrix} f(x)_{max}=\left | a \right |\pm c\\ \\ f(x)_{min}=-\left | a \right |\pm c \end{matrix}\right..

Amplitudo=\frac{1}{2}\left ( f(x)_{mak}-f(x)_{min} \right ).

G. Persamaan Trigonometri Sederhana

\begin{array}{lllll}\\ &&1.&&Jika\quad \sin x^{0}=\sin \alpha ,\quad maka\\ &&&&(i)\quad x^{0}=\alpha +k.360^{0}\\ &&&&(ii)\quad x^{0}=\left ( 180^{0}-\alpha \right )+k.360^{0}\\\\ &&2.&&Jika\quad \cos x^{0}=\cos \alpha ,\quad maka\\ &&&&x^{0}=\pm \alpha +k.360^{0}\\\\ &&3.&&Jika\quad \tan x^{0}=\tan \alpha ,\quad maka\\ &&&&x^{0}=\alpha +k.180^{0} \end{array}.

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{Contoh Soal}}.

1. Buktikan bahwa  \displaystyle \frac{\cos \alpha }{1+\sin \alpha }=\frac{1-\sin \alpha }{\cos \alpha }.

Bukti:

\begin{aligned}\frac{\cos \alpha }{1+\sin \alpha }&=\frac{\cos \alpha }{1+\sin \alpha }\times \frac{1-\sin \alpha }{1-\sin \alpha }\\ &=\frac{\cos \alpha \times \left ( 1-\sin \alpha \right )}{1-\sin ^{2}\alpha }\\ &=\frac{\cos \alpha \times \left ( 1-\sin \alpha \right )}{\cos ^{2}\alpha }\\ &=\frac{1-\sin \alpha }{\cos \alpha }\quad (\mathbf{Terbukti}) \end{aligned}.

2. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan  \displaystyle \cos \left ( 3x-45^{0} \right )=-\frac{1}{2}\sqrt{2},\quad untuk\quad 0^{0}\leq x\leq 360^{0}.

Jawab:

\begin{aligned}\cos \left ( 3x-45^{0} \right )&=-\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \cos \left ( 3x-45^{0} \right )&=\cos 135^{0}\\ 3x-45^{0}&=\pm 135^{0}+k.360^{0}\\ 3x&=45^{0}\pm 135^{0}+k.360^{0}\\ x&=\displaystyle \frac{45^{0}\pm 135^{0}+k.360^{0}}{3}\\ x&=15^{0}\pm 45^{0}+k.120^{0}\\ x&=60^{0}+k.120^{0}\qquad atau\qquad x=-30^{0}+k.120^{0}\\ k=0,\qquad \rightarrow x&=60^{0}\qquad\qquad\qquad atau\qquad x=90^{0}\\ k=1,\qquad \rightarrow x&=180^{0}\qquad\qquad\qquad atau\qquad x=210^{0}\\ k=2,\qquad \rightarrow x&=300^{0}\qquad\qquad\qquad atau\qquad x=330^{0} \end{aligned}.

Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah  =  \left \{ 60^{0}, 90^{0}, 180^{0}, 210^{0}, 300^{0},330^{0} \right \}.

3. Lukislah grafik fungsi  \displaystyle f(x)=2\left | \sin x \right |+1,\qquad untuk\quad 0\leq x\leq 2\pi ..

Jawab:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&0&\frac{\pi }{6}&\frac{\pi }{3}&\frac{\pi }{2}&\frac{2\pi }{3}&\frac{5\pi }{6}&\pi &\frac{7\pi }{6}&\frac{4\pi }{3}&\frac{3\pi }{2}&\frac{5\pi }{3}&\frac{11\pi }{6}&2\pi \\\hline \sin x&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}&1&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}&0&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{3}&-1&-\frac{1}{2}\sqrt{3}&-\frac{1}{2}&0\\\hline \left | \sin x \right |&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}&1&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}&1&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}&0\\\hline 2\left | \sin x \right |&0&1&\sqrt{3}&2&\sqrt{3}&1&0&1&\sqrt{3}&2&\sqrt{3}&1&0\\\hline 2\left | \sin x \right |+1&1&2&1+\sqrt{3}&3&1+\sqrt{3}&2&1&2&1+\sqrt{3}&3&1+\sqrt{3}&2&1\\\hline \end{array}.

Untuk gambar silahkan pembaca melukiskannya sendiri sebagai latihan.

H. Aturan Sinus, Kosinus,  dan Luas Segitiga

1. Aturan Sinus

166

\begin{array}{|c|}\hline \displaystyle \frac{a}{\sin A}= \frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\\\hline \end{array}.

2. Aturan Kosinus

\begin{aligned}\cos A&=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\\ \cos B&=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\\ \cos C&=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \end{aligned}.

3. Luas Segitiga

167

\begin{aligned}Luas\: \triangle \: ABC&=\frac{1}{2}.bc.\sin A\\ &=\frac{1}{2}.ac.\sin B\\ &=\frac{1}{2}.ab.\sin C \end{aligned}.

atau

\begin{aligned}Luas\: \triangle \: ABC&=\frac{a^{2}.\sin B.\sin C}{2\sin A}\\ &=\frac{b^{2}.\sin A.\sin C}{2\sin B}\\ &=\frac{c^{2}.\sin A.\sin B}{2\sin C} \end{aligned}.

atau

\begin{aligned}Luas\: \triangle \: ABC&=\sqrt{s\left ( s-a \right )\left ( s-b \right )\left ( s-c \right )}\qquad dengan\qquad s=\frac{1}{2}\left ( a+b+c \right ) \end{aligned}.

\begin{tabular}{|p{6.0cm}cp{6.0cm}|}\hline &\textbf{Contoh Soal}&\\\hline \end{tabular}.

1. Diketahui  \triangle ABC dengan panjang sisi AC=10 cm dan BC=16 cm serta luas \triangle ABC=40\: cm^{2}  , maka  besar  \angle ACB  jika  sudutnya lancip adalah …

Jawab:

Diketahui  \left\{\begin{matrix} AC=10\: cm\\ BC=16\: cm\\ L_{\triangle }=40\: cm^{2} \end{matrix}\right., maka

\begin{aligned}L_{\triangle ABC}&=\frac{1}{2}.AC.BC.\sin \angle ACB\\ 40&=\frac{1}{2}.10.16.\sin \angle ACB\\ 40&=80.\sin \angle ACB\\ \frac{40}{80}&=\sin \angle ACB\\ \sin \angle ACB&=\frac{1}{2}\\ \sin \angle ACB&=\sin 30^{0}\\ \angle ACB&=30^{0} \end{aligned}.

2. Perhatikanlah gambar berikut

168

Jika  AB+3=BC+2=CD+1=AD=4\: cm, maka  \cos \angle BAD adalah ….

Jawab:

Perhatikan kembali ilustrasi berikut

169

Langkah awal kita gunakan garis bantu BD untuk nantinya kita mendapatkan nilai cos dari sudut A, yaitu

\begin{aligned}BD^{2}&=BA^{2}+DA^{2}-2.BA.DA.\cos \angle A\\ &=1^{2}+4^{2}-2.1.4.\cos \angle A\\ &=17-8\cos \angle A\\ BD^{2}&=BC^{2}+DC^{2}-2.BC.DC.\cos \angle C\\ &=2^{2}+3^{2}-2.2.3.\cos \angle C\\ &=13-12\cos \angle C \end{aligned}\\\\ Perlu\quad diketahui\quad bahwa \angle A+\angle C=\angle B+\angle C=180^{0},\qquad karena\quad ABCD\quad segiempat\quad talibusur\\\\ Sehingga,\\\\ \angle C=180^{0}-\angle A.

Selanjutnya,

\begin{aligned}BD^{2}&=BD^{2}\\ 17-8\cos \angle A&=13-12\cos \angle C\\ 12\cos \angle C-8\cos \angle A&=13-17\\ 12\left ( \cos \left ( 180^{0}-\angle A \right ) \right )-8\cos \angle A&=-4\\ 12\left ( -\cos \angle A \right )-8\cos \angle A&=-4\\ -12\cos \angle A-8\cos \angle A&=-4\\ -20\cos \angle A&=-4\\ \cos \angle A&=\frac{-4}{-20}\\ \cos \angle A&=\frac{1}{5} \end{aligned}.

3. Carilah luas  \triangle ABC jika diketahui  AB=10 cm, AC=14 cm dan BC=16 cm.

Jawab:

Diketahui\:\: bahwa\:\: L_{\triangle ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\quad dengan s=\frac{1}{2}\left ( a+b+c \right )\quad \left\{\begin{matrix} AB=c=10\: cm\\ AC=b=14\: cm\\ BC=a=16\: cm \end{matrix}\right.\\\\ s=\frac{1}{2}\left ( 10+14+16 \right )=\frac{1}{2}.40=20\\\\ \begin{aligned}L_{\triangle ABC}&=\sqrt{20.\left ( 20-10 \right ).\left ( 20-14 \right ).\left ( 20-10 \right )}.\\ &=\sqrt{20(10)(6)(4)}\\ &=\sqrt{4800}\\ &=40\sqrt{3}\quad cm^{2} \end{aligned}.

\LARGE \fbox{\LARGE \fbox{Latihan Soal}}.

1. Perhatikanlah  gambar berikut

170

Tentukanlah nilai  \cos \angle RSP.

2. Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut

171

Carilah besar sudut dan panjang sisi yang belum diketahui dari segitiga di atas, kemudian cari pula luasnya?

3. (EBTANAS 2001) Diketahui luas segitiga ABC adalah  \left ( 3+2\sqrt{3} \right )\: cm^{2} . Jika panjang sisi  AB=\left ( 6+4\sqrt{3} \right )\: cm  dan  BC=7 cm, maka nilai  \sin \angle ABC = ….

4. Diketahui seorang penerjun hendak mendarat secara vertikal sebagaimana ilustrasi berikut

172

Carilah  harga x ?

5. Jika pada jajargenjang ABCD, dua diagonal panjangnya masing-masing 12 cm dan 16 cm dan sudut apitnya adalah  60^{0}  , maka luas jajargenjang tersebut adalah ….

6. Diketahui  y=1+\cos 2x,\quad dengan\quad 0\leq x\leq 2\pi, carilah

\begin{tabular}{lcp{8.0cm}}\\ &a.&nilai maksimum dan minimum fungsi,\\ &b.&amplitudo, dan\\ &c.&gambarlah sketsa grafiknya \end{tabular}.

7. Buktikanlah bahwa

\begin{array}{llll}\\ &&a.&\sin ^{2}x-\sin ^{2}x.\cos ^{2}x=\sin ^{4}x\\ &&b.&\tan x.\sin x+\cos x=\sec x\\ &&c.&\sin ^{4}x-\cos ^{4}x=\sin ^{2}x-\cos ^{2}x\\ &&d.&\left ( \cos x+\sin x \right )\left ( \cos x-\sin x \right )=1-2\sin ^{2}x\\ &&e.&\left ( 1+\tan ^{2}x \right )\left ( 1-\cos ^{2}x \right )=\tan ^{2}x\\ &&f.&\sqrt{1+2\sin x.\cos x}=\sin x+\cos x\\ &&g.&\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\cos x.\sin x}\\ &&h.&\displaystyle \frac{\cos x}{1-\tan x}+\frac{\sin x}{1-\cot x}=\cos x+\sin x\\ &&i.&\displaystyle \left ( \frac{\tan x-1}{\tan x+1} \right )\left ( \frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x} \right )=1 \end{array}.

Daftar Pustaka

  1. Kurnianingsih, Sri , Kuntarti dan Sulistiyono. 2007. Matematika SMA dan MAuntuk Kelas X Semester 2 Standar Isi 2006. Jakarta: esis.
  2. Marwanta, dkk. 2013. Matematika SMA Kelas X. Jakarta: Yudistira.
  3. Sobirin. 2005. Kompas Matematika (Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika) SMA Kelas 1. Depok: Kawan Pustaka.
  4. Tim Inovasi Guru Matematika SMA. Suplemen Matematika KBK Kelas X Semester II. Semarang: CV. Sarana Ilmu.

Pertidaksamaan Nilai Mutlak, Pecahan, dan Irasional

A. Nilai Mutlak

Untuk  x\in \mathbb{R}  konsep nilai mutlak didefinisikan sebagai

\left | x \right |=\left\{\begin{matrix} x,&jika&x\geq 0\\ \\ \\ -x,&jika&x< 0 \end{matrix}\right..

Untuk  x,\: y\: \in \mathbb{R},

\left | x-y \right |=\left\{\begin{matrix} x-y,&jika&x\geq y\\ \\ \\ -(x-y)=&y-x,&jika&x< y \end{matrix}\right..

Sebagai tambahan

\begin{array}{llll}\\ &&\bullet &Perlu\: diingat\: juga\\\\ &&&1.\quad \left | x.y \right |=\left | x \right |.\left | y \right |\\\\ &&&2.\quad \displaystyle \left | \frac{x}{y} \right |=\frac{\left | x \right |}{\left | y \right |}\\\\ &&&3.\quad \left | x \right |=\sqrt{x^{2}}\end{array}.

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{Contoh Soal}}

1. Dengan menggunakan sifat  \left | x \right |=\sqrt{x^{2}}, buktikan bahwa:

\begin{array}{llll}\\ &&.&\\ &&&a.\quad \left | a.b.c \right |=\left | a \right |.\left | b \right |.\left | c \right |\\\\ &&&b.\quad \displaystyle \left | \frac{a}{b} \right |=\frac{\left | a \right |}{\left | b \right |} \end{array}.

Bukti:

1.a      \left | a.b.c \right |=\sqrt{a^{2}.b^{2}.c^{2}}=\sqrt{a^{2}}.\sqrt{b^{2}}.\sqrt{c^{2}}=\left | a \right |.\left | b \right |.\left | c \right |\qquad \textbf{(terbukti)}.

1.b     \displaystyle \left | \frac{a}{b} \right |=\sqrt{\left ( \frac{a}{b} \right )^{2}}=\frac{\sqrt{a^{2}}}{\sqrt{b^{2}}}=\frac{\left | a \right |}{\left | b \right |}\qquad \textbf{(terbukti)}.

\begin{array}{llll}\\ &&2.&Selesaikanlah\: setiap\: soal\: berikut\: ini!\\ &&&a.\quad 4-x=\left | 7x \right |\\ &&&b.\quad \left | 2x-5 \right |=-7\\ &&&c.\quad 2x+3=\left | 4x+5 \right |\\ &&&d.\quad \left | 5x+3 \right |=\left | 3x+5 \right |\\ &&&e.\quad \left | x-2 \right |=\left | 3-2x \right |\\ &&&f.\quad \displaystyle \left | \frac{x+2}{x-2} \right |=5\\ &&&g.\quad \displaystyle \left | \frac{3x+8}{2x-3} \right |=4 \end{array}.

Moga dapat berlanjut insyaAllah

Persamaan dan Fungsi Kuadrat (K13)

\LARGE\fbox{Kelas X Wajib}

Bagi Anda sekalian yang menggunakan kurikulum 2013

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat}}.

1. Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat dalam variabel x adalah

\LARGE\boxed{\LARGE\boxed{{ax^{2}+bx+c=0}}}

dengan  a,b,c\in \mathbb{R},a\neq 0 \left\{\begin{matrix} a=koefisien\: x^{2}\\ \\ b=koefisioen\: x\\ \\ c=konstanta \end{matrix}\right..

2. Penyelesaian Persamaan Kuadrat

\begin{array}{llll}\\ &&a.&Memfaktorkan\\ &&&\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )=0,\quad atau\\ &&&\displaystyle \frac{1}{a}\left ( ax-p \right )\left ( ax-q \right )=0,\quad jika\: koefisien\: x^{2}\: lebih\: dari\: \: 1\\ &&b.&melengkapkan\: kuadrat\: sempurna\\ &&&\displaystyle x=-\frac{1}{2}b\pm \sqrt{\left ( \frac{1}{2}b \right )^{2}-c},\quad jika\: \left ( \frac{1}{2}b \right )^{2}-c\geq 0\\ &&c.&Rumus\: ABC\\ &&&\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \end{array}.

3. Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

\displaystyle x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\qquad\quad dan\qquad\quad x_{1}\times x_{2}=\frac{c}{a}.

4. Persamaan Kuadrat Baru dengan Akar-Akar  \displaystyle \mathbf{x_{1}}  dan  \displaystyle \mathbf{x_{2}}.

\displaystyle \mathbf{x^{2}-\left ( x_{1}+x_{2} \right )x+x_{1}.x_{2}=0}.

5. Fungsi Kuadrat

Adalah suatu fungsi yang berupa   f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c,\qquad dengan\: \: a,b,c\in \mathbb{R}.

Beberapa hal yang perlu diketahui berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat adalah:

  • Jika  a> 0, kurva terbuka ke atas.
  • Jika  a< 0 , kurva terbuka ke bawah.
  • Jika  D> 0, kurva memotong sumbu  x di dua titik yang berbeda.
  • Jika  D= 0, kurva menyinggung sumbu x.
  • Jika  D< 0, kurva tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu x.

5.1 Fungsi kuadrat jika grafiknya menyinggung sumbu X di titik  \left ( x_{1},0 \right ) dan melalui sebuah titik tertentu, maka persamaan fungsi kuadratnya adalah

\LARGE\boxed{y=f(x)=a\left ( x-x_{1} \right )^{2}}.

5.2 Fungsi kuadrat jika grafiknya memotong sumbu X di titik  \left ( x_{1},0 \right )\quad dan\quad \left ( x_{2},0 \right )  adalah

\LARGE\boxed{y=f\left ( x \right )=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )}.

5.3 Fungsi kuadrat jika grafiknya melalui titik puncak/balik/ekstrim  \left ( x_{p},y_{p} \right )  dan melalui sebuah titik tertentu, maka persamaan fungsi kuadratnya adalah

\LARGE\boxed{y=f(x)=a\left ( x-x_{p} \right )^{2}+y_{p}}.

\LARGE\fbox{\fbox{Contoh Soal}}

1. Persamaan kuadrat  \mathbf{x^{2}-9x+3}  mempunyai akar  r  dan  s. Jika \mathbf{x^{2}-bx+c}=0  memiliki akar  \mathbf{r^{2}}  dan  \mathbf{s^{2}}, maka nilai dari  \displaystyle \mathbf{\frac{a}{b}}  adalah ….

Jawab:

\begin{array}{llll}\\ &&&x^{2}-9x+3=0\left\{\begin{matrix} r\\ \\ s \end{matrix}\right.\\ &&&\displaystyle r+s=9\\ &&&\displaystyle rs=3\\ &&&x^{2}-bx+c=0\left\{\begin{matrix} r^{2}\\ \\ s^{2} \end{matrix}\right.\\ &&&\displaystyle \frac{b}{c}=\frac{\left ( r+s \right )^{2}-2rs}{\left ( rs \right )^{2}}=\frac{9^{2}-2.3}{3^{2}}=\frac{25}{3} \end{array} \\\\Jadi\quad \displaystyle \frac{b}{c}=\frac{25}{3}.

2. Diketahui persamaan kuadrat  x^{2}+2ax+b=0 memiliki akar yang berlawanan \displaystyle \left ( x_{1}=-x_{2} \right )
, tentukanlah  a  dan  b.

Jawab:

Diketahui bahwa

x^{2}+2ax+b=0\left\{\begin{matrix} a=1\\ b=2a\\ c=b \end{matrix}\right.\\\\\\\\ Sehingga\:untuk\\\\\\ \begin{aligned}x_{1}&=-x_{2}\\ x_{1}+x_{2}&=0\\ \left ( -2a \right )&=0\\ a&=0\\\\ serta\\\\ x_{1}.x_{2}&=b\\ \left ( -x_{2} \right ).x_{2}&=b\\ -x_{2}^{2}&=b \end{aligned}

3. Tentukanlah semua nilai  c sehingga persamaan  \displaystyle \mathbf{x^{2}-4x-c-\sqrt{8x^{2}-32x-8c}}=0  memiliki tepat dua solusi real  untuk  c.

Jawab:

\begin{aligned}x^{2}-4x-c-\sqrt{8x^{2}-32x-8c}&=0\\ x^{2}-4x-c&=\sqrt{8x^{2}-32x-8c}\qquad (dikuadratkan\: masing-masing\: ruas)\\ \left ( x^{2}-4x-c \right )^{2}&=8x^{2}-32x-8c\\ \left ( x^{2}-4x-c \right )^{2}-8\left ( x^{2}-4x-c \right )&=0\\ \left ( x^{2}-4x-c \right )\left ( x^{2}-4x-c-8 \right )&=0\\\\\\ \end{aligned}\\ karena\: D\geq 0\: (memiliki\: 2\: akar\: real)\\\\\\ \begin{aligned}x^{2}-4x-c=0&\qquad atau\qquad x^{2}-4x-c-8=0\\ D=\left ( -4 \right )^{2}-4.1.(-c)\geq 0&\qquad atau\qquad D=\left ( -4 \right )^{2}-4.1.(-c-8)\geq 0\\ 16+4c\geq 0&\qquad atau\qquad 16+4c+32\geq 0\\ c\geq -4&\qquad atau\qquad c\geq -12 \end{aligned}.

Kita ambil yang  c\geq -4.

Catatan:

Jawaban ini sekaligus koreksi jawaban di ebook Materi dan Contoh Soal Olimpiade Matematika MA/SMA pada soal yang sama. Apabila pembaca sekalian masih menemukan ada kesalahan, saya dengan senang hati menerima masukan dan sekaligus solusi yang paling tepat dari pembaca sekalian untuk pencerahan kepada saya khususnya dan pemirsa pada umumnya).

4. Jika  \alpha  dan  \beta  adalah akar-akar dari persamaan  \mathbf{ 2x^{2}-5x-3=0}  , maka tentukanlah nilai berikut tanpa menyelesaikan  persamaannya terlebih dahulu

\begin{array}{l}\\ a.\quad \alpha ^{2}+\beta ^{2}\qquad\quad b.\quad \frac{2}{\alpha }+\frac{2}{\beta }\qquad\quad c.\quad 3\alpha +3\beta\qquad d.\quad \alpha ^{2}\beta +\alpha \beta ^{2}\\\\ e.\quad \frac{1}{\alpha -4}+\frac{1}{\beta -4}\qquad f.\quad \alpha ^{3}+\beta ^{3}\qquad g.\quad \left ( \alpha -\beta \right )^{2} \end{array}.

Jawab:

Diketahui persamaan

2x^{2}-5x-3=0\left\{\begin{matrix} a=2\\ b=-2\\ c=-3 \end{matrix}\right.\\\\\\ \begin{aligned}\alpha +\beta &=-\frac{b}{a}\\ &=-\left ( \frac{-5}{2} \right )=\frac{5}{2}\\\\ \alpha \beta &=\frac{c}{a}\\ &=\frac{-3}{2} \end{aligned}\\\\\\ Perlu\: diingat\: juga\\\\ \left ( \alpha +\beta \right )^{2}=\alpha ^{2}+2\alpha \beta +\beta ^{2}.

\begin{array}{llll}\\ &&a.&\alpha ^{2}+\beta ^{2}=\left ( \alpha +\beta \right )^{2}-2\alpha \beta =\displaystyle \left ( \frac{5}{2} \right )^{2}-2\left ( -\frac{3}{2} \right )\\ &&&=\displaystyle \frac{25}{4}+3 =\frac{37}{4}\\\end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&b.&\displaystyle \frac{2}{\alpha }+\frac{2}{\beta }=\frac{2\left ( \alpha +\beta \right )}{\alpha \beta }\\ &&&=\displaystyle \frac{2\left ( \frac{5}{2} \right )}{-\frac{3}{2}}=-\frac{10}{3}\end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&c.&\displaystyle 3\alpha +3\beta =3\left ( \alpha +\beta \right )=3\left ( \frac{5}{2} \right )=\frac{15}{2}\end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&d.&\displaystyle \alpha ^{2}\beta +\alpha \beta ^{2}=\alpha \beta \left ( \alpha +\beta \right )\\ &&&=\displaystyle \left ( -\frac{3}{2} \right )\left ( \frac{5}{2} \right )\\ &&&=\displaystyle -\frac{15}{4} \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&e.&\displaystyle \frac{1}{\alpha -4}+\frac{1}{\beta -4}=\frac{\left ( \beta -4 \right )+\left ( \alpha -4 \right )}{\left ( \alpha -4 \right )\left ( \beta -4 \right )}\\\\ &&&=\displaystyle \frac{\alpha +\beta -8}{\alpha \beta -4\left ( \alpha +\beta \right )+16}\\\\ &&&=\displaystyle \frac{\frac{5}{2}-8}{\left ( -\frac{3}{2} \right )-4\left ( \frac{5}{2} \right )+16}\times \left ( \frac{2}{2} \right )\\\\ &&&=\displaystyle \frac{5-16}{-3-20+32}\\\\ &&&=\displaystyle \frac{-11}{9}\\\\ &&&=\displaystyle -\frac{11}{9} \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&f.&\displaystyle \alpha ^{3}+\beta ^{3}=\left ( \alpha +\beta \right )^{3}-3\alpha \beta \left ( \alpha +\beta \right )\\ &&&=\displaystyle \left ( \frac{5}{2} \right )^{3}-3\left ( -\frac{3}{2} \right )\left ( \frac{5}{2} \right )\\\\ &&&=\displaystyle \frac{125}{8}+\frac{45}{4}\\\\ &&&=\displaystyle \frac{215}{8} \end{array}.

\begin{array}{llll}\\ &&g.&\displaystyle \left ( \alpha -\beta \right )^{2}=\alpha ^{2}-2\alpha \beta +\beta ^{2}\\ &&&=\alpha ^{2}+\beta ^{2}-2\alpha \beta \\ &&&=\displaystyle \frac{37}{4}-2\left ( -\frac{3}{2} \right )\\\\ &&&=\displaystyle \frac{37}{4}+\frac{12}{4}\\\\ &&&=\displaystyle \frac{49}{4} \end{array}.

5. (Soal Kompetisi Matematika SMU XVIII DKI Jakarta) Jika diketahui  x_{1},x_{2},x_{3},  dan  x_{4}  adalah akar-akar dari persamaan

\LARGE{\left ( x+1 \right )\left ( 2x+1 \right )\left ( 3x-1 \right )\left ( 4x-1 \right )+6x^{4}=0}.

dan diketahui pula x_{4}> x_{3} > x_{2} > x_{1}   dan  x_{1}+x_{4}=m  serta  x_{2}+x_{3}=n  , maka nilai  m\times n = ….

Jawab:

\begin{aligned}\left ( x+1 \right )\left ( 2x+1 \right )\left ( 3x-1 \right )\left ( 4x-1 \right )+6x^{4}&=0\\ \left ( \left ( x+1 \right )\left ( 2x+1 \right ) \right )\left ( \left ( 3x-1 \right )\left ( 4x-1 \right ) \right )+6x^{4}&=0\\ \left ( 2x^{2}+3x+1 \right )\left ( 12x^{2}-7x+1 \right )+6x^{4}&=0\\ 24x^{4}+22x^{3}-7x^{2}-4x+1+6x^{4}&=0\\ 30x^{4}+22x^{3}-7x^{2}-4x+1&=0\\ \left ( 5x^{2}+2x-1 \right )\left ( 6x^{2}+2x-1 \right )&=0\\ 5x^{2}+2x-1=0\quad V\quad 6x^{2}+2x-1&=0\\ \displaystyle x=\frac{-1}{5}\pm \frac{1}{5}\sqrt{6},\quad\quad x=\frac{-1}{6}\pm \frac{1}{6}\sqrt{7}&\\ \end{aligned}.

Selanjutnya kita urutkan nilai  x  dari besar kekecil, yaitu:

\begin{array}{l}\\ \quad x_{4}=\frac{-1}{5}+\frac{1}{5}\sqrt{6}\qquad\quad x_{3}=\frac{-1}{6}+\frac{1}{6}\sqrt{7}\\\\ \quad x_{2}=\frac{-1}{6}-\frac{1}{6}\sqrt{7}\qquad\quad x_{1}=\frac{-1}{5}-\frac{1}{5}\sqrt{6} \end{array}.

Sehingga

\begin{aligned}m=x_{1}+x_{4}&=\left ( \frac{-1}{5}-\frac{1}{5}\sqrt{6} \right ) +\left ( \frac{-1}{5}+\frac{1}{5}\sqrt{6} \right )=\frac{-2}{5}\\ n=x_{2}+x_{3}&=\left ( \frac{-1}{6}-\frac{1}{6}\sqrt{7} \right )+\left ( \frac{-1}{6}+\frac{1}{6}\sqrt{7} \right )=\frac{-1}{3}\end{aligned}\\\\\\ Jadi,\quad m\times n=\frac{-2}{5}\times \frac{-1}{3}=\frac{2}{15}.

6. Tentukan fungsi kuadrat, jika mempunyai titik balik (1, 4) dan melalui (0, 3)

Jawab:

Gunakan persamaan parabola/kuadrat yang melalui titik puncak, yaitu:

y=a\left ( x-x_{p} \right )^{2}+y_{p}\left\{\begin{matrix} \left ( x_{p},y_{p} \right )=\left ( 1,4 \right )\\ \\ \left ( x,y \right )=\left ( 0,3 \right ) \end{matrix}\right..

Selanjutnya

\begin{aligned}y&=a\left ( x-x_{p} \right )^{2}+y_{p}\\ 3&=a\left ( 0-1 \right )^{2}+4\\ a&=-1 \end{aligned}.

Sehingga persamaan kuadratnya adalah:

\begin{aligned}y&=a\left ( x-x_{p} \right )^{2}+y_{p}\\ y&=-1\left ( x-1 \right )^{2}+4\\ y&=-1\left ( x^{2}-2x+1 \right )+4\\ y&=-x^{2}+2x+3 \end{aligned}\\\\ \\ Jadi\\\\ \LARGE{y=-x^{2}+2x+3}.

7. Jumlah dari kuadrat dua bilangan ganjil berurutan adalah  130. Tentukan dua bilangan tersebut

Jawab:

Misalkan Bilangan ganjil berurutan yang dimaksud adalah A dan B, maka kita dapat menuliskannya dengan

\left\{\begin{matrix} A=(2x+1)\\ \\ B=(2x+3) \end{matrix}\right.\quad ,x\in \mathbb{N}.

Selanjutnya

\begin{aligned}A^{2}+B^{2}&=130\\ \left ( 2x+1 \right )^{2}+\left ( 2x+3 \right )^{2}&=130\\ 4x^{2}+4x+1+4x^{2}+12x+9&=130\\ 8x^{2}+16x+10-130&=0\\ 8x^{2}+16x-120&=0\\ x^{2}+2x-15&=0\\ \left ( x+5 \right )\left ( x-3 \right )&=0\\ \left ( x+5 \right )=0\quad V\quad \left ( x-3 \right )&=0\\ x=-5\quad V\quad x&=3 \end{aligned}.

dengan mengambil x = 3, kita mendapatkan bilangan ganjil yang dimaksud, yaitu

A=\left ( 2x+1 \right )=2(3)+1=7\qquad dan\qquad B=\left ( 2x+3 \right )=2(3)+3=9.

Jadi,  bilangan ganjil tersebut adalah 7 dan 9.

\LARGE\fbox{\fbox{Latihan Soal}}.

1. Tentukanlah jenis akar-akar persamaan berikut dengan tanpa menyelesaiakan persamaannya terlebih dahulu

\begin{array}{llll}\\ &&a.&4x^{2}-20x+25=0\\ &&b.&3x^{2}-7x-6=0\\ &&c.&5x^{2}+3x+4=0\\ &&d.&2014x^{2}-2015=0\\ &&e.&\sqrt{2}x^{2}-x-1=0\\ &&f.&x^{2}-2016x=0\\ &&g.&\displaystyle \frac{2}{x}-\frac{x+1}{x-1}=4\\ &&h.&\displaystyle \frac{x}{4}-\frac{3}{x+2}=2x\\ &&i.&\displaystyle \left ( a+1 \right )x^{2}+2ax+\left ( a-1 \right )=0\quad \left ( a> 0 \right ) \end{array}.

2. Jika  \alpha  dan  \beta  akar-akar persamaan kuadrat  3x^{2}-x-4=0 , tanpa menyelesaikan persamaannya terlebih dahulu, tentukanlah nilai dari

\begin{array}{llll}\\ &&a.&\left ( \alpha +\beta \right )\quad dan\quad \left ( \alpha \beta \right )\\ &&b.&\displaystyle \frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }\\ &&c.&\alpha ^{2}+\beta ^{2}\\ &&d.&\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }+\frac{\beta }{\alpha }\\ &&e.&\displaystyle \frac{1}{\alpha +1}+\frac{1}{\beta +1}\\ &&f.&\alpha ^{3}+\beta ^{3}\\ &&g.&\alpha -\beta \\ &&h.&\alpha ^{2}-\beta ^{2}\\ &&i.&\alpha ^{3}-\beta ^{3} \end{array}.

3. Tentukan  p  jika akar-akar dari persamaan kuadrat  3p+1=p\left ( x^{2}-x+2 \right )  saling berkebalikan kemudian carilah akar-akarnya.

4. Salah satu akar  persamaan  \left ( q-2 \right )x^{2}-2x+2+2q=0  adalah dua kali akarnya yang lain, maka nilai q ?.

5. Diketahui akar-akar persamaan kuadrat  x^{2}-2x-8=0  adalah  \alpha  dan  \beta. Buatlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah sebagai berikut:

\begin{array}{llll}\\ &&a.&\alpha \quad dan\quad \beta \\ &&b.&3\alpha \quad dan\quad 3\beta \\ &&c.&\displaystyle \frac{\alpha }{3}\quad dan\quad \frac{\beta }{3}\\ &&d.&\displaystyle \frac{1}{4\alpha }\quad dan\quad \frac{1}{4\beta }\\ &&e.&\left ( 3\alpha -2 \right )\quad dan\quad \left ( 3\beta -2 \right )\\ &&f.&\left ( \alpha +\beta \right )\quad dan\quad \left ( \alpha -\beta \right ) \end{array}.

6. Tentukanlah fungsi parabola jika diketahui:

  • Grafiknya melalui titik (-1, 8),  (0, 4), dan (1, 2).
  • grafiknya menyinggung sumbu X di titik (2, 0) dan melalui titik (0, -1)
  • grafiknya mempunyai koordinat titik balik (-1, -1) dan melalui titik (0, 1).

7. Perhatikanlah gambar segitiga berikut, kemudian tentukanlah panjang tiap sisi, keliling dan luasnya

156

8. Selisih dua bilangan positif adalah 3 dan jumlah dari kuadratnya adalah 117. Carilah dua bilangan tersebut.

9. Perhatikanlah gambar tabung berikut

157

Diketahui luas permukaan sebuah tabung dirumuskan sebagai

\mathbf{Luas\: (L)=2\pi r^{2}+2\pi rt}.

dengan  t  menyatakan tinggi tabung.  Jika luas permukaan tabung adalah  \mathbf{748\: cm^{2}}  serta tingginya adalah 10 cm, maka jari-jari tabung tersebut adalah ….

10. Perhatikanlah gambar berikut:

158

ABCD dan PQRS adalah persegi panjang sebagaimana ilustrasi gambar di atas.

(a). Tunjukkan bahwa luas PQRS adalah  4x^{2}-70x+300.

(b). Jika diketahui luas PQRS adalah setengah dari luas ABCD, buatlah sebuah persamaan dalam  x  dan carilah solusinya untuk mengetahui  panjang masing-masing sisi persegi panjang PQRS.

Sumber Referensi:

  1. Kurnianingsih, Sri, Kuntarti, Sulistiyono. 2007. Matematika SMA dan MA untuk Kelas X Semester 1 Standar Isi 2006. Jakarta: ESIS.
  2. Marwanta, dkk. 2013. Matematika SMA Kelas X. Jakarta: Yudistira.
  3. Marwanta, Sigit Suprijanto, Herynugroho, Suwarni Murniati, Kamta Agus Sajak, Soetiyono. 2004. Matematika Interaktif 1A Kelas 1 SMA Semester Pertama. Jakarta: Yudistira.

Logika Matematika (KTSP)

\LARGE\fbox{Kelas X}

kurikulum 2006

1. LOGIKA MATEMATIKA

1.1. Pernyataan, Bukan Pernyataan, Kalimat Terbuka, dan Nilai Kebenaran

Perhatikan ilustrasi berikut

Kalimat=\left\{\begin{matrix} Berarti\left\{\begin{matrix} Pernyataan\left\{\begin{matrix} Pernyataan(Proposisi)\\\\ Kalimat\: faktual \end{matrix}\right.\\\\\\\\\\\\ Bukan\: Pernyataan\left\{\begin{matrix} 1.\: Kalimat\: Terbuka\\ 2.\: Kalimat\: Perintah\\ 3.\: Kalimat\: Ucapan\: Selamat\\ 4.\: Kalimat\: Pertanyaan\\ 5.\: Doa\\ 6.\: Harapan\\ 7.\: Kalimat\: Larangan\setminus himbauan\\ 8.\: Ada\: Kata\: Sifat \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\\\\\\\\ Tak\: Berarti \end{matrix}\right..

\begin{tabular}{|p{4.0cm}|p{8.0cm}|}\hline Istilah&Definisi\\\hline Pernyataan(Proposisi)&Suatu kalimat yang menyatakan sesuatu yang bernilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus keduanya\\\hline Kalimat Terbuka&Suatu kalimat bukan pernyataan yang nilai kebenarannya belum dapat ditentukan\\\hline \end{tabular}.

\LARGE\fbox{Contoh Soal}.

1. Contoh Kalimat Berarti(Pernyataan)

  • “1+1=2”
  • “Sudut dalam sebuah segitiga adalah 180^{0}
  • “Jumlah hari dalam seminggu ada 7 hari”

2. Contoh Kalimat tak berarti

  • “Kursi bergoyang menangis”
  • “Matahari tersenyum kepadaku”
  • “Daun kelapa melambai-lambai kepadaku”

3. Contoh Kalimat Faktual(termasuk Pernyataan)

  • “Amin adalah siswa MA Futuhiyah Jeketro”
  • “Budi adalah karyawan PT.ABC di Semarang”
  • “Hari ini akan ada konser grup musik SLANK di alun-alun kota Purwodadi”

4. Contoh Kalimat Bukan Pernyataan

  • 2x+5=1000000
  • “Kerjakan tugasmu, Budi!”
  • “Selamat ulang tahun Aziz”
  • “Apakah kamu sudah belajar Anton?”
  • “Ya Allah, tunjukkanlah jalan-Mu yang lurus”
  • “Semoga engaku panjang umur”
  • “Hati-ati di jalan”
  • “Mustofa wajahnya ganteng”

1.2. Notasi dan Nilai Kebenaran dari pernyataan

Suatu pernyataan dalam logika dinotasikan dengan satu huruf kecil   p,\: q,\: r,\: s,\:...dsb .

Misalkan ada sebuah pernyataan ” 2013+2=2015″ dan “Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 180^{0}“. pernyataan-pernyataan tersebut dapat dituliskan kembali dengan notasi pernyataan sebagai  q\quad dan\quad s ini.

\begin{array}{ll}\\ q&:2013+2=2015\\ r&:Jumlah\: sudut\: dalam\: suatu\: segitiga\: adalah\: 180^{0} \end{array}.

Untuk nilai kebenaran dinotasikan dengan  ” \tau ” (dibaca: tau). Sehingga untuk nilai kebenaran dua pernyataan  q\quad dan\quad s  di atas adalah

\tau \left ( q \right )=Benar\quad dan\quad \tau \left ( s \right )=Benar.

\LARGE\fbox{Latihan Soal}

a. Apakah kalimat-kalimat berikut ini merupakan pernyataan, bukan pernyataan, dan kalimat terbuka? kemudian, tentukan penyelesaian dari kalimat terbuka tersebut!

  1. bentuk aljabar  a^{2}-2ab+b^{2}  habis dibagi a-b.
  2. Semoga hari ini cerah.
  3. Berapakah akar  \sqrt{2015} itu?
  4. x^{2}-3x-10=0,\quad x\: \in \: \mathbb{R}.
  5. Satu hari sama dengan  x  jam.
  6. Ceramah ilmiah kemaren cukup menarik.
  7. Semua siswa memakai seragam.
  8. Tujuh adalah bilangan prima.
  9. 2013+2014=2015.
  10. \displaystyle \left ( x-3 \right )^{2}=x^{2}-9.

b. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut

  1.  p : 2015 adalah bilangan prima
  2. q : Semarang terletak di Jawa tengah
  3. r : Jika suatu bilangan habis dibagi 4 , maka bilangan tersebut habis dibagi 2.
  4. s : 3+4+5+6+7+8+9+10 > 345

1.3 operasi logika

Perhatikan tabel berikut

\begin{array}{|c|l|c|}\hline& \multicolumn{2}{c|}{Operator}\\\cline{2-3}{NO} &Nama&Lambang\\\hline 1&Negasi(uner)&\sim \\\hline 2&Konjungsi(biner)&\wedge \\\hline 3&Disjungsi(biner)&\vee \\\hline 4&Implikasi(biner)&\rightarrow \\\hline 5&Biimplikasi(biner)&\leftrightarrow \\\hline \end{array}.

1.3.1 Kalimat Majmuk

Perhatikan juga tabel berikut

\begin{array}{|c|l|c|c|}\hline& \multicolumn{3}{c|}{Contoh\quad Aplikasi}\\\cline{2-4}{NO} &Nama&Bentuk&Negasi\\\hline 1&Konjungsi(biner)&p \wedge q &\sim p\: \vee \sim q\\\hline 2&Disjungsi(biner)&p \vee q &\sim p\: \wedge \sim q\\\hline 3&Implikasi(biner)&p \rightarrow q&p\: \wedge \sim q \\\hline 4&Biimplikasi(biner)&p \leftrightarrow q& \left ( p\: \wedge \sim q \right )\vee \left ( q\: \wedge \sim p \right )\\\hline \end{array}.

1.3.2 Tabel kebenaran Kalimat majmuk

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&p\wedge q&p\vee q&p\rightarrow q&p\leftrightarrow q\\\hline B&B&B&B&B&B\\\hline B&S&S&B&S&S\\\hline S&B&S&B&B&S\\\hline S&S&S&S&B&B\\\hline \end{array}.

\LARGE\fbox{Contoh Soal}.

1. Tuliskan ingkaran atau negasi dari proposisi berikut, dan tentukanlah nilai kebenarannya.

\begin{array}{llrl}\\ a.&&p:&Sekarang\: hujan\: lebat\\ b.&&q:&Semua\: bilangan\: prima\: adalah\: ganjil\\ c.&&r:&Ada\: x\in \mathbb{R}\: yang\: memenuhi\: x^{2}-x-6=0\\ d.&&s:&Ada\: x\in \mathbb{R}\: yang\: memenuhi\: x^{2}-x-6< 0\\ e.&&t:&x^{2}> 0,x\in bilangan\: asli\\ f.&&u:&Semua\: kepala\: negara\: laki-laki\\ g.&&v:&Semua\: kucing\: berwarna\: putih \end{array}.

Jawab:

a. ~ p : Tidak benar bahwa sekarang hujan lebat .  Jika τ(p) = Benar (B), maka τ(~ p) = Salah(S).

b. ~ q : Tidak benar bahwa semua bilangan prima adalah ganjil. atau

     ~ q : Ada bilanga prima yang tidak ganjil.  Sehinga  τ(q) = S  dan τ( ~ q) = B.

c. ~ r : Tidak benar bahwa  ada  x\: \in \mathbb{R}  yang memenuhi  x^{2}-x-6=0.

dapat juga dikatakan   ~ r : Semua  x  bilangan real memenuhi  x^{2}-x-6\neq 0. Untuk  τ(r) = B dan  τ(~ r) = S.

Yang lain sebagai latihan

2. Lengkapilah tabel kebenaran berikut!

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&\sim p\wedge q&p\: \wedge \sim q&\sim p\wedge \sim q\\\hline B&B&&&&&\\\hline B&S&&&&&\\\hline S&B&&&&&\\\hline S&S&&&&&\\\hline \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&\sim p\wedge q&p\: \wedge \sim q&\sim p\wedge \sim q\\\hline B&B&S&S&S&S&S\\\hline B&S&S&B&S&B&S\\\hline S&B&B&S&B&S&S\\\hline S&S&B&B&S&S&B\\\hline \end{array}.

3. Lengkapilah tabel kebenaran berikut!

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&\sim p\vee q&p\: \vee \sim q&\sim p\: \vee \sim q\\\hline B&B&&&&&\\\hline B&S&&&&&\\\hline S&B&&&&&\\\hline S&S&&&&&\\\hline \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&\sim p\vee q&p\: \vee \sim q&\sim p\: \vee \sim q\\\hline B&B&S&S&B&B&S\\\hline B&S&S&B&S&B&B\\\hline S&B&B&S&B&S&B\\\hline S&S&B&B&B&B&B\\\hline \end{array}.

4. Lengkapilah tabel kenenaran berikut!

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&\sim p\rightarrow q&p\: \rightarrow \sim q&\sim p\: \rightarrow \sim q&\sim q\rightarrow \sim p&q\rightarrow p\\\hline B&B&&&&&&&\\\hline B&S&&&&&&&\\\hline S&B&&&&&&&\\\hline S&S&&&&&&&\\\hline \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&\sim p\rightarrow q&p\: \rightarrow \sim q&\sim p\: \rightarrow \sim q&\sim q\rightarrow \sim p&q\rightarrow p\\\hline B&B&S&S&B&S&B&B&B\\\hline B&S&S&B&B&B&B&S&B\\\hline S&B&B&S&B&B&S&B&S\\\hline S&S&B&B&S&B&B&B&B\\\hline \end{array}.

5. Lengkapilah juga tabel kebenaran berikut!

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&\sim p\leftrightarrow q&p\: \leftrightarrow \sim q&\sim p\: \leftrightarrow \sim q&\sim q\leftrightarrow \sim p&q\leftrightarrow p\\\hline B&B&&&&&&&\\\hline B&S&&&&&&&\\\hline S&B&&&&&&&\\\hline S&S&&&&&&&\\\hline \end{array}.

Jawab:

Sebagai latihan

6. Tentukan nilai kebenaran dari bentuk konjungsi berikut

a. 5 adalah bilangan prima dan 7 adalah faktor dari 14

b. Persamaan  x^{2}-2x-8=0  memiliki dua akar real dan Semarang ibukota provinsi Jawa Timur

Jawab:

6a.  p : 5 adalah bilangan prima

       q : 7 adalah faktor dari 14.

Karena  τ(p) = B , τ(q) = B , Sehingga  \tau \left ( p\wedge q \right )=B.

6b. p : Persamaan  x^{2}-2x-8=0  memiliki dua akar real.

      q : Semarang ibukota provinsi Jawa Timur.

Karena  τ(p) = B , τ(q) = S , Sehingga  \tau \left ( p\wedge q \right )=S.

7. Tentukan  x  agar implikasi berikut benar.

2x=18\rightarrow 3+4=10.

Jawab:

\begin{aligned}p:\quad 2x&=18\\ x&=9\quad (B)\\ \\ q:\quad 3+4&=10\quad (S) \end{aligned}.

Karena q salah, maka agar supaya  p(x)\rightarrow q  bernilai benar , maka p harus salah juga (lihat tabel kebenaran implikasi baris ke-4). Jadi  x\neq 9.

8. Tentukanlah nilai  x  agar pernyataan  p(x)\wedge q(x)  berikut bernilai benar.

a.  p(x):x^{2}-2x-35=0;   q(x): jumlah sudut suatu segitiga adalah  180^{0}.

b. p(x): 3 bilangan prima;   q(x):x^{2}-3x-18\geq 0.

Jawab:

8a. Karena τ(q) = B , maka supaya konjungsi ini bernilai benar, maka p juga harus merupakan pernyataan yang bernilai benar, yaitu nilai x harusnya adalah

\begin{aligned}x^{2}-2x-35&=0\\ \left ( x+5 \right )\left ( x-7 \right )&=0\\ x=-5\: atau\: x&=7 \end{aligned}.

8b. Sebagai latihan

\forall n\in \mathbb{N}

a. Tentukanlah negasi dari pernyataan-pernyataan berikut dan tentukanlah nilai kebenarannya

  1. \left ( 5\sqrt{3}+2\sqrt{7} \right )^{2}  senilai dengan 103+20\sqrt{21}
  2. \log 5+\log 2=1
  3. Persamaan 6x^{2}-12x+6=0  memiliki dua akar real dan sama
  4. Persamaan sumbu simetri fungsi  f(x)=x^{2}-2x-8  adalah  x=1.

b. Tentukanlah nilai kebenaran dari  proposisi berikut

  1. 3 adalah genap dan 4 adalah bilangan ganjil
  2. salah satu akar persamaan kuadrat  x^{2}-2x-24=0  adalah – 4 dan \sqrt{19}.\sqrt{106}=\sqrt{2014}.
  3. \displaystyle 2^{2^{2}}=8  dan  \displaystyle \left ( a-b \right )^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab.
  4. \displaystyle \sqrt{2012}+\sqrt{3}=\sqrt{2015}  dan \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{1}{5}.
  5. 4 adalah bilangan ganjil atau 5 adalah ganjil
  6. \displaystyle ^{2}\log \frac{1}{8}=-3  atau  \displaystyle \sqrt{5}.\sqrt{6}=\sqrt{11}
  7. 3^{4}=64  atau  4^{3}=64
  8. Jika  \log 5+\log 15=\log 20  maka  \log 20-\log 15=\log 5
  9. ^{2}\log 16=4  jika dan hanya jika  2^{4}=16.

c. Lengkapilah tabel kebenaran berikut!

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p& \sim q&p\wedge \sim q&\sim p\rightarrow \left ( p\wedge \sim q \right )\\\hline B&B&&&&\\\hline B&S&&&&\\\hline S&B&&&&\\\hline S&S&&&&\\\hline\end{array}.

d. Lengkapi juga tabel kebenaran berikut

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&r&\sim p& \sim q&r\wedge \sim q&\sim p\rightarrow \left ( r\wedge \sim q \right )\\\hline B&B&B&&&&\\\hline B&B&S&&&&\\\hline B&S&B&&&&\\\hline B&S&S&&&&\\\hline S&B&B&&&&\\\hline S&B&S&&&&\\\hline S&S&B&&&&\\\hline S&S&S&&&&\\\hline\end{array}.

e. Diketahui

\begin{tabular}{lp{6.0cm}}\\ p:&Ungaran hujan deras\\ q:&Semarang banjir \end{tabular}.

Nyatakanlah bentuk logika berikut dalam kalimat

  1. p\wedge q
  2. \sim p\wedge q
  3. p\wedge \sim q
  4. \sim p\wedge \sim q
  5. \sim \left ( p\wedge q \right )
  6. p\vee q
  7. \sim p\vee q
  8. p\vee \sim q
  9. \sim p\vee \sim q
  10. \sim \left ( p\vee q \right )
  11. p\rightarrow q
  12. \sim p\rightarrow q
  13. p\rightarrow \sim q
  14. \sim p\rightarrow \sim q
  15. \sim \left ( p\rightarrow q \right )
  16. p\leftrightarrow q
  17. \sim p\leftrightarrow q
  18. p\leftrightarrow \sim q
  19. \sim p\leftrightarrow \sim q
  20. \sim \left ( p\leftrightarrow q \right )

f.  Tentukanlah nilai  x  agar pernyataan  p(x)\vee q(x)  bernilai benar

  1. p(x):3x^{2}-2x=5;  q(x):  8 adalah bilangan komposit
  2. p(x):3x-4< 5,x\in \left \{ 0,1,2,...,9 \right \}q(x):  7 adalah bilangan prima.

g.  Tentukanlah nilai  x  agar pernyataan p(x)\rightarrow q(x) bernilai benar

  1. p(x):x^{2}-5x-6\geq 0;  q(x): 3 adalah faktor dari 51.
  2. p(x):  Semarang adalah ibukota Jawa Timur;  \displaystyle q(x)=\: ^{2}\log\left ( x^{2}-3x-2 \right )=1.

1.3.3 Tautologi, kontradiksi serta Kontingensi

  • Tautologi yaitu jika suatu pernyataan majmuk dimana nilai kebenarannya adalah benar semuanya.
  • Kontradiksi (lawan dari Tautologi) berarti jika pernyataan majmuk dimana nilai kebenarannya salah semua.
  • Kontingensi yaitu jika sebuah pernyataan majmuk dimana nilai kebenarannya terdapat nilai benar dan salah.

1.4 Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari suatu Implikasi

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \multicolumn{8}{|c|}{Bentuk}\\\hline &&&&Implikasi&Konvers&Invers&Kontraposisi\\\hline p&q&\sim p&\sim q&p\rightarrow q&q\rightarrow p&\sim p\rightarrow \sim q&\sim q\rightarrow \sim p\\\hline B&B&S&S&B&B&B&B\\\hline B&S&S&B&S&B&B&S\\\hline S&B&B&S&B&S&S&B\\\hline S&S&B&B&B&B&B&B\\\hline \end{array}.

1.4.1 Pernyataan Majmuk yang Ekuivalen

\begin{array}{|c|c|c|}\hline No&Pernyataan /Pernyataan\: Majmuk&Ekuivalen\\\hline 1&\sim \left ( \sim p \right )&p\\\hline 2&\sim \left ( p\wedge q \right )&\sim p\: \vee \sim q\\\hline 3&\sim \left ( p\vee q \right )&\sim p\: \wedge \sim q\\\hline 4&p\rightarrow q&\sim p\vee q\\\hline 5&p\rightarrow q&\sim q\rightarrow \sim p\\\hline 6&\sim \left ( p\rightarrow q \right )&p\: \wedge \sim q\\\hline \end{array}.

1.5 Proposisi Berkuantor

Kuantor adalah suatu lambang yang pada kalimat terbuka yang menunjukkan jumlah/kuantitas yang menjadikannya menjadi sebuah pernyataan.

Ada 2 buah kuantor  \left\{\begin{matrix} Kuantor\quad Universal\\ \\ \\ Kuantor\quad Eksistensial \end{matrix}\right..

\begin{array}{|c|c|c|c|c|p{3.0cm}|}\hline No&Kuantor&Notasi&Pernyataan&ingkaran&Contoh\\\hline 1&Universal&"\forall"\quad (dibaca:Semua..../setiap...)&\forall (x),\: p(x)&\exists (x),\sim p(x)&p\: :\: "Semua\: bilangan\: prima\: ganjil." \\\hline 2&Eksistensial&"\exists "\quad (dibaca:ada..../beberapa....)&\exists (x),p(x)&\forall (x),\sim p(x)&p\: :\: "Ada\: bilangan\: prima\: yang\: genap." \\\hline \end{array}.

\LARGE\fbox{Contoh Soal}.

1. Perhatikanlah tabel berikut

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&p\rightarrow q&\sim q\rightarrow \sim p&\left ( p\rightarrow q \right )\leftrightarrow \left ( \sim q\rightarrow \sim p \right )\\\hline B&B&S&S&B&B&B\\\hline B&S&S&B&S&S&B\\\hline S&B&B&B&B&B&B\\\hline S&S&B&B&B&B&B\\\hline \end{array}.

Kolom terakhir nilai kebenarannya pada tabel di atas adalah selalu benar yang selanjutnya disebut Tautologi.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&p\rightarrow q&p\wedge \sim q&\left ( p\rightarrow q \right )\leftrightarrow \left ( p\wedge \sim q \right )\\\hline B&B&S&B&S&S\\\hline B&S&S&S&B&S\\\hline S&B&B&B&S&S\\\hline S&S&B&B&S&S\\\hline \end{array}.

Untuk tabel di atas pada kolom terakhir nilai kebenarannya selalu salah yang selanjutnya disebut sebagai kontradiksi.

Perhatikan pula untuk contoh tabel kebenaran kontingensi berikut

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim q&\sim p\vee q\\\hline B&B&S&B\\\hline B&S&S&S\\\hline S&B&B&B\\\hline S&B&B&B\\\hline \end{array}.

2. Tentukan ingkaran dari pernyataan berkuantor berikut!

\begin{tabular}{p{10.0cm}}\\ 1. Ada burung yang tidak dapat terbang\\ 2. Semua mahluk hidup adalah fana \end{tabular}.

Jawab:

Misalkan

\begin{tabular}{p{10.0cm}}\\ p: Ada burung yang tidak dapat terbang\\ q: Semua mahluk hidup adalah fana \end{tabular}.

\begin{array}{ll}\\ \sim p:&Semua\: burung\: terbang\\ \sim q:&Beberapa\: mahluk\: hidup\: tidak\: fana \end{array}.

3. Jika x\in \mathbb{R} , tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berkuantor berikut:

\begin{array}{l}\\ a.\quad \left ( \exists x \right )\left ( 3x+2=1 \right )\\ b.\quad \left ( \forall x \right )\left ( 3x+2=11 \right )\\ \end{array}.

Jawab:

3a. Pernyataan tersebut benar, sebab ada  x\in \mathbb{R} , yaitu \displaystyle x=-\frac{1}{3}.

3b. Pernyataan tersebut bernilai salah, karna ada nilia x\in \mathbb{R}, tidak memenuhi, istilah lainnya tidak semua nilai x\in \mathbb{R} memenuhi. Nilai x\in \mathbb{R}  memenuhi hanya saat  \displaystyle x=3.

1.6 Penarikan Kesimpulan

Penarikan kesimpulan atau konklusi diambil dari pernyataan-pernyataan yang diasumsikan benar tang selanjutnya disebut premis.

Berikut beberapa metode penarikan kesimpulan

1.6.1 Modus Ponens

\begin{array}{lccl}\\ Premis&1&:&p\rightarrow q\\ Premis&2&:&p\\\hline konklusi&&:& q \end{array}.

1.6.2 Modus Tollens

\begin{array}{lccl}\\ Premis&1&:&p\rightarrow q\\ Premis&2&:&\sim q\\\hline konklusi&&:& \sim p \end{array}.

1.6.3 Silogisme

\begin{array}{lccl}\\ Premis&1&:&p\rightarrow q\\ Premis&2&:&q\rightarrow r\\\hline konklusi&&:&p\rightarrow r \end{array}.

1.7 Bukti Langsung dan Tak langsung

Yang termasuk  bukti langsung adalah modus ponens, modus tollens, dan silogisme. Sedangkan bukti tak langsung dapat dilakukan dengan 2 cara yaitu dengan kontradiksi dan kontraposisi.

1.8 Induksi Matematika

Perhatikan bilangan susunan berikut

\begin{aligned}1&=1^{2}\\ 1+3&=2^{2}\\ 1+3+5&=3^{2}\\ 1+3+5+7&=4^{2}\\ 1+3+5+7+9&=5^{2}\\ \vdots &\\ 1+3+5+7+...+(2n-1)&=n^{2},\: untuk\: n\: \in \mathbb{N} \end{aligned}.

Ilustrasi rumus di atas dapat berlaku secara umum dengan bukti secara formal yaitu dengan Induksi Matematika (Induksi Lengkap)

Berikut langkah untuk Induksi Matematika, yaitu

\begin{tabular}{|lcp{7.0cm}|}\hline Langkah&1.&Rumus dibuktikan benar untuk n=1\\ Langkah&2.&Rumus diasumsikan berlaku untuk n=k, Selanjutnya rumus dibuktikan berlaku untuk n=k+1\\ &&\\ &&\\\hline Kesimpulan&&Rumus berlaku untuk setiap n bilangan Asli(disesuaikan dengan kondisi)\\\hline\end{tabular}.

\LARGE\fbox{Contoh Soal}.

1. Berikut tabel kebenaran untuk modus Ponens

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline p&q&p\rightarrow q&\left ( p\rightarrow q \right )\wedge p&\left ( \left ( p\rightarrow q \right )\wedge p \right )\rightarrow q\\\hline B&B&B&B&B\\\hline B&S&S&S&B\\\hline S&B&B&S&B\\\hline S&S&B&S&B\\\hline \end{array}.

2. Berikut tabel kebenaran untuk modus Tollens

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&p\rightarrow q&\left ( p\rightarrow q \right )\wedge \sim q&\left ( \left ( p\rightarrow q \right )\wedge \sim q \right )\rightarrow \sim p\\\hline B&B&S&S&B&S&B\\\hline B&S&S&B&S&S&B\\\hline S&B&B&S&B&S&B\\\hline S&S&B&B&B&B&B\\\hline \end{array}.

3. Berikut adalah tabel kebenaran untuk Silogisme

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&r&p\rightarrow q&q\rightarrow r&p\rightarrow r&\left ( p\rightarrow q \right )\wedge \left ( q\rightarrow r \right )&\left ( \left ( p\rightarrow q \right )\wedge \left ( q\rightarrow r \right ) \right )\rightarrow \left ( p\rightarrow r \right )\\\hline B&B&B&B&B&B&B&B\\\hline B&B&S&B&S&S&S&B\\\hline B&S&B&S&B&B&S&B\\\hline B&S&S&S&S&S&S&B\\\hline S&B&B&B&B&B&B&B\\\hline S&B&S&B&B&B&S&B\\\hline S&S&B&B&B&B&B&B\\\hline S&S&S&B&B&B&B&B\\\hline \end{array}.

4. Periksa sah atau tidak argumentasi berikut

a.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ q\\\hline \therefore \sim p\end{array}\quad\quad b.\quad \begin{array}{l}\\ p\vee q\\ \sim p\\\hline \therefore \sim q \end{array}\quad\quad c.\quad \begin{array}{l}\\ \sim p\vee q\\ p\\\hline \therefore q \end{array}\quad\quad d.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ \sim q\rightarrow \sim r\\\hline \therefore p\rightarrow \sim r \end{array}\\\\\\ e.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ r\rightarrow \sim q\\\hline \therefore p\rightarrow \sim r \end{array}\quad\quad f.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ \sim r\rightarrow \sim q\\\hline \therefore \sim r\rightarrow \sim p \end{array}\quad\quad g.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ r\rightarrow \sim q\\ r\\\hline \therefore p \end{array}\quad\quad h.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ q\rightarrow \sim r\\ s\rightarrow r\\ p\\\hline \therefore s \end{array}.

Jawab:

a. Bukan modus, ponens, modus tollens, ataupun silogisme Sehingga penarikan kesimpulan tidak sah.

b. \begin{array}{l}\\ p\vee q\\ \sim p\\\hline \therefore \sim q \end{array}\quad \equiv\quad \begin{array}{l}\\ \sim p\rightarrow q\\ \sim p\\\hline \therefore \sim q \end{array}.

c. \begin{array}{l}\\ \sim p\vee q\\ p\\\hline \therefore q \end{array}\quad \equiv\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ p\\\hline \therefore q \end{array}

Karena penarikan kesimpulan poin b tidak sesuai dengan kaidah modus ponens, modus tollens, atau silogisme, maka penarikan kesimpulan tersebut tidak sah sedangkan poin c sesuai kaidah modus ponens, maka penarikan kesimpulan tersebut adalah sah.

d, e, f, g, dan h sebagai latihan

5. Jika  a,b,c\in \mathbb{R} , buktikan bahwa  \displaystyle \left ( a+b+c \right )^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc

Bukti:

\begin{aligned}\left ( a+b+c \right )^{2}&=\left ( a+b+c \right )\left .( a+b+c \right )\\ &=a\left ( a+b+c \right )+b\left ( a+b+c \right )+c\left ( a+b+c \right )\\ &=a^{2}+ab+ac+ab+b^{2}+bc+ac+bc+c^{2}\\ &=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc\quad(\mathbf{terbukti}) \end{aligned}.

6. Buktikan untuk  a,b,c\in \mathbb{R},a\neq 0 bahwa ax^{2}+bx+c=0  memiliki penyelesaian  \displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

Bukti:

\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\ \leftrightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}&=0\\ \leftrightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x&=-\frac{c}{a}\\ \leftrightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}&=-\frac{c}{a}+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}\\ \leftrightarrow \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}&=\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a}=\frac{b^{2}-4a}{4a^{2}}\\ \leftrightarrow x+\frac{b}{2a}&=\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\ \leftrightarrow x&=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\ \leftrightarrow x&=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\quad (\mathbf{terbukti}) \end{aligned}.

7. Buktikan dengan bukti tak langsung , bahwa  jika  n^{2}  bilangan ganjil maka n  bilangan ganjil.

Bukti:

Kontraposisi dari pernyataan tersebut adalah  jika  n  tidak ganjil maka  n^{2}  tidak ganjil.

Misalkan n  bilangan genap, sehingga n dapat dinyatakan dengan  n=(2k),\quad k\in \mathbb{Z}.

\begin{aligned}n&=2k\\ &=\left ( 2k \right )^{2}\\ &=4k^{2}\\ &=2\left ( 2k^{2} \right )\\ &=2m,\quad m\in \mathbb{Z}\quad (\mathbf{Benar})\quad \textbf{Terbukti} \end{aligned}.

8. Buktikan bahwa  \sqrt{2} irasional

Bukti:

Kontradiksinya adalah \sqrt{2} rasional.

Andaikan \sqrt{2}  rasional . Karena  \sqrt{2}  rasional, maka dapat dinyatakan sebagai  \displaystyle \sqrt{2}=\frac{p}{q}  dengan  p\:\: dan\:\: q  adalah bilangan bulat yang tidak memiliki faktor persekutuan.

\begin{aligned}\sqrt{2}&=\frac{p}{q}\quad (dikuadratkan)\\ 2&=\frac{p^{2}}{q^{2}}\\ p^{2}&=2q^{2} \end{aligned}.

Karena  \displaystyle p^{2}=2q^{2} , maka  \displaystyle p^{2}  adalah bilangan genap dan dapat dinyatakan dengan  p=2n.

Sehingga

\begin{aligned}\left ( 2n \right )^{2}&=2q^{2}\\ 4n^{2}&=2q^{2}\\ 2n^{2}&=q^{2}\\ q^{2}&=2n^{2} \end{aligned}.

q^{2}  juga bilangan genap.

Karena  p\:\: dan\:\: q  keduanya genap, maka 2 adalah faktor persekutuan.

Hal ini bertentangan dengan pengandaian, sehingga pengandaian harus diingkari.

Berarti   \sqrt{2}  rasional salah, akibatnya  \sqrt{2}  irasional

Jadi, Terbukti  bahwa  \sqrt{2}  irasional.

9. Untuk  \forall n\in \mathbb{N}
, buktikan dengan induksi matematika bahwa

\begin{array}{l}\\ a.\quad 1+2+3+4+...+n=\frac{1}{2}n\left ( n+1 \right )\\ b.\quad 1+3+5+7+...+\left ( 2n-1 \right )=n^{2}\\ c.\quad 2^{3n}-1\quad habis\: dibagi\: 7 \end{array}.

Bukti:

a.  Langkah  1  

Untuk  n=1 ,

\begin{aligned}1&=\frac{1}{2}.1.\left ( 1+1 \right )\\ 1&=1\\ ruas\: kiri&=ruas\: kanan \end{aligned}.

Maka rumus berlaku untuk  n=1.

   Langkah  2

Misalkan rumus berlaku untuk  n=k, maka

\displaystyle 1+2+3+4+...+k=\frac{1}{2}k\left ( k+1 \right ).

Akan ditunjukkan rumus berlaku untuk  n=k+1, yaitu

\begin{aligned}1+2+3+4+...+k+(k+1)&=\frac{1}{2}(k+1)\left ( (k+1)+1 \right )\\ \underset{\frac{1}{2}k(k+1)}{\underbrace{1+2+3+4+...+k}}+(k+1)&=\frac{1}{2}(k+1)\left ( (k+1)+1 \right )\\ \frac{1}{2}k(k+1)+(k+1)&=\frac{1}{2}(k+1)\left ( (k+1)+1 \right )\\ \frac{1}{2}k(k+1)+\frac{2}{2}(k+1)&=\frac{1}{2}(k+1)\left ( (k+1)+1 \right )\\ \frac{1}{2}\left ( k+1 \right )\left ( k+1 \right )&=\frac{1}{2}(k+1)\left ( (k+1)+1 \right )\\ ruas\: kiri&=ruas\: kanan \end{aligned}.

Karena ruas kiri = ruas kanan maka rumus berlaku untuk  n=k+1.

Kesimpulan:

Jadi, \displaystyle 1+2+3+4+...+n=\frac{1}{2}n\left ( n+1 \right )
berlaku untuk  \forall n\in \mathbb{N}.

\LARGE\fbox{Latihan Soal}

1. Diketahui implikasi ” Anton tidak akan pergi jika ia sakit atau membantu ayahnya”. Tentukan konvers, inver, kontraposisi, ekuivalensi dan negasinya dari implikasi tersebut.

2. Tunjukkan dengan tabel kebenaran tautologi-tautologi berikut berikut:

\begin{array}{llll}\\ &&(a)&\left ( \left ( p\vee q \right )\rightarrow \sim p \right )\rightarrow p\\ &&(b)&\sim \left ( p\rightarrow q \right )\leftrightarrow \left ( p\wedge \sim q \right )\\ &&(c)&\left ( p\rightarrow \left ( q\rightarrow r \right ) \right )\leftrightarrow \left ( \left ( p\wedge q \right )\rightarrow r \right )\\ &&(d)&\left ( p\rightarrow q \right )\rightarrow \left ( \left ( r\wedge p \right )\rightarrow \left ( r\wedge q \right ) \right )\\ &&(e)&\left ( \left ( p\wedge q \right )\rightarrow r \right )\leftrightarrow \left ( \left ( p\rightarrow r \right )\vee \left ( q\rightarrow r \right ) \right ) \end{array}.

3. Dengan menggunakan tabel kebenaran, tentukanlah pernyataan-pernyataan berikut ini adalah tautologi, kontradiksi, atau kontingensi.

\begin{array}{llll}\\ &&(a)&\left ( \left ( p\wedge q \right )\rightarrow p \right )\rightarrow q\\ &&(b)&p\wedge \left ( \sim \left ( p\vee q \right ) \right )\\ &&(c)&\left ( p\rightarrow q \right )\leftrightarrow \left ( \sim p\vee q \right )\\ &&(d)&\left ( p\rightarrow q \right )\rightarrow \left ( q\rightarrow p \right )\\ &&(e)&p\vee \left ( q\rightarrow \sim r \right ) \end{array}.

4. Tentukanlah nilai kebenaran proporsi-proporsi berikut:

\begin{tabular}{lllp{16.0cm}}\\ &&(a)&Jika 2014 bilangan genap, maka 2014 habis dibagi 2\\ &&(b)&5 bilangan prima hanya jika 5 bilangan ganjil\\ &&(c)&Semarang terletak di Provinsi Jawa Tengah atau Provinsi D.I.Y\\ &&(d)&0 bilangan positih atau bilangan negatif\\ &&(e)&x habis dibagi 2 adalah syarat perlu dan cukup agar x adalah bilangan bulat genap \end{tabular}.

5. Untuk x,y\in \mathbb{R} , tentukan nilai kebenran dari pernyataan-pernyataan berikut:

\begin{array}{llll}\\ &&(a)&\left ( \exists x \right )\left ( 2x+3=1 \right )\\ &&(b)&\left ( \forall x \right )\left ( 5x+2014=2015 \right )\\ &&(c)&\left ( \exists x \right )\left ( x^{2}-6x+5> 0 \right )\\ &&(d)&\left ( \forall x \right )\left ( x^{2}-6x+5> 0 \right )\\ &&(e)&\left ( \forall x \right )\left ( x^{2}\geq 0 \right )\\ &&(f)&\left ( \exists y \right )\left ( y=2x^{2}> 0 \right )\\ &&(g)&\left ( \forall x \right )\left ( \forall y \right )\left ( x+y> 0 \right ) \end{array}.

6. Periksa sah atau tidaknya argumentasi berikut

a.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ q\\\hline \therefore p \end{array}\quad\quad b.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ r\rightarrow q\\\hline \therefore r\rightarrow p \end{array}\quad\quad c.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow \sim q\\ \sim p\\\hline \therefore p \end{array}\quad\quad d.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ \sim r\rightarrow \sim q\\\hline \therefore \sim r\rightarrow \sim p \end{array}\quad\quad e.\quad \begin{array}{l}\\ q\rightarrow p\\ \sim p\\\hline \therefore \sim q \end{array}\\ f.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow r\\ q\rightarrow p\\\hline \therefore q\rightarrow r \end{array}\quad\quad g.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow \sim q\\ r\rightarrow \sim q\\\hline \therefore p\rightarrow r \end{array}\quad\quad h.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow \sim q\\ \sim r\rightarrow \sim q\\\hline \therefore p\rightarrow r \end{array}\quad\quad i.\quad \begin{array}{l}\\ \sim p\vee q\\ q\rightarrow \sim r\\ p\\\hline \therefore r \end{array}\quad\quad j.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow \sim q\\ q\vee \sim r\\ r\\\hline \therefore \sim p \end{array}.

7. Buktikan bahwa  x^{2}  ganjil maka  x  ganjil.

8. Buktikan bahwa  \sqrt{3}  irasional.

9. Buktikan bahwa persamaan  ax^{2}+bx+c=0  dengan  a\neq 0 , tidak mungkin mempunyai 3 buah akar yang berbeda.

10. Jika  a,b\in \mathbb{R}  maka buktikan bahwa  \left ( a+b \right )^{3}=a^{3}+b^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}.

11. Jika  \displaystyle x_{1}\:\: dan\: \: x_{2}  adalah akar-akar dari persamaan kuadrat  \displaystyle ax^{2}+bx+c=0 , buktikan bahwa :

\begin{array}{llll}\\ &&(a)&\displaystyle x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}\\ &&(b)&\displaystyle x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}\\ &&(c)&\displaystyle \left |x_{1}-x_{2} \right |=\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a} \end{array}.

12. Untuk  \forall n\in \mathbb{N} , buktikan dengan induksi matematika bahwa

\begin{array}{llll}\\ &&(1)&1+3+5+...+(2n-1)=n^{2}\\ &&(2)&\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\frac{1}{6}.n(n+1)(2n+1)\\ &&(3)&\displaystyle 1+2+2^{2}+2^{3}+...+2^{n-1}=2^{n}-1\\ &&(4)&\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=\frac{1}{4}n^{2}\left ( n+1 \right )^{2}\\ &&(5)&\displaystyle 2+5+8+...+(3n-1)=\frac{1}{2}n\left ( 3n+1 \right )\\ &&(6)&\displaystyle \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+...+\frac{1}{n\times (n+1)}=\frac{n}{n+1}\\ &&(7)&Buktikan\: bentuk\: 5^{2n}-1\: habis\: dibagi\: 3\\ &&(8)&Buktikan\: bentuk\: 7^{2n+1}+1\: habis\: dibagi\: 8\\ \end{array}.

Sumber Referensi

  1. Kanginan, Marthen. 2007. Matematika untuk Kelas X Semester 2 Sekolah Menengah Atas. Bandung: Grafindo Media Pratama.
  2. Kurnianingsih, Sri , Kuntarti dan Sulistiyono. 2007. Matematika SMA dan MAuntuk Kelas X Semester 2 Standar Isi 2006. Jakarta: esis.
  3. Marwanta, dkk. 2013. Matematika SMA Kelas X. Jakarta: Yudistira.
  4. Sembiring, Suwah. 2002. Kompetensi Dasar Pelajaran Matematika untuk SMU Kelas 1B. Bandung: Yrama Widya.
  5. Susilo, Frans. 2012. Landasan Matematika. Yogyakarta: Graha Ilmu.
  6. Tim Inovasi Guru Matematika SMA. Suplemen Matematika KBK Kelas X Semester II. Semarang: Sarana Ilmu.