Kumpulan Soal (Lanjutan 4)

46. Jika  \sqrt[x]{5^{x+2}+5^{x+1}+5^{x}}=155 , maka nilai x adalah ….

\begin{matrix} a. & & -1 & & & & d. & & 4\\ & & & & & & & & \\ b. & & 3 & & & & e. & & 1\\ & & & & & & & & \\ c. & & \frac{1}{3} & & & & & & \end{matrix}   .

47. Jika S=\left ( \frac{1}{2} \right )^{-\left ( \frac{1}{2} \right )^{-1}}+\left ( \frac{1}{3} \right )^{-\left ( \frac{1}{3} \right )^{-1}}+\left ( \frac{1}{4} \right )^{-\left ( \frac{1}{4} \right )^{-1}}+\left ( \frac{1}{5} \right )^{-\left ( \frac{1}{5} \right )^{-1}} , maka nilai S adalah ….

\begin{matrix} a. & & 3142 & & & & d. & & 4116\\ & & & & & & & & \\ b. & & 287 & & & & e. & & 4096\\ & & & & & & & & \\ c. & & 3412 & & & & & & \end{matrix}  .

48. Untuk x\in \mathbb{N} yang memenuhi

\frac{\overset{81}{\overbrace{\left ( x^{10} \right )^{36}+\left ( x^{10} \right )^{36}+...+\left ( x^{10} \right )^{36}}}}{\underset{10}{\underbrace{\left ( 3^{4} \right )\left ( 3^{4} \right )\left ( 3^{4} \right )...\left ( 3^{4} \right )}}}=\left ( 9^{2} \right )^{9^{2}} .

maka nilai x+1 adalah ….

\begin{matrix} a. & & 4 & & & & d. & & 1\\ & & & & & & & & \\ b. & & 3 & & & & e. & & 10\\ & & & & & & & & \\ c. & & 2 & & & & & & \end{matrix} .

49. Jika m^{m^{4}}=4 , maka banyak nilai m yang memenuhi persamaan ada sebanyak ….

\begin{matrix} a. & & 1 & & & & d. & & 4\\ & & & & & & & & \\ b. & & 2 & & & & e. & & tidak&ada\\ & & & & & & & & \\ c. & & 3 & & & & & & \end{matrix} .

50. Diketahui b^{b^{b}}=2 . Jika p=b^{b^{b}+b^{b+b^{b+b^{b}}}} , maka nilai p adalah ….

\begin{matrix} a. & & 16 & & & & d. & & 48\\ & & & & & & & & \\ b. & & 8 & & & & e. & & 81\\ & & & & & & & & \\ c. & & 32 & & & & & & \end{matrix} .

51. Nilai x  yang memenuhi x^{x^{16}}=\sqrt[8]{2} adalah ….

\begin{matrix} a. & & \sqrt[4]{2} & & & & d. & & \sqrt{8}\\ & & & & & & & & \\ b. & & \sqrt[8]{2} & & & & e. & & \sqrt[16]{2}\\ & & & & & & & & \\ c. & & \sqrt{32} & & & & & & \end{matrix} .

52. Jika x^{x}=2^{24} , maka nilai dari  x^{2}+x+1 adalah ….

\begin{matrix} a. & & 73 & & & & d. & & 31\\ & & & & & & & & \\ b. & & 34 & & & & e. & & 21\\ & & & & & & & & \\ c. & & 57 & & & & & & \end{matrix} .

53. Jika x^{x}=2 dan A=\sqrt[3]{x^{x^{x+1}}-x^{2x}} , maka nilai A adalah ….

\begin{matrix} a. & & 0 & & & & d. & & \frac{1}{2}\\ & & & & & & & & \\ b. & & 1 & & & & e. & & 3\\ & & & & & & & & \\ c. & & 2 & & & & & & \end{matrix} .

54. (Olimpiade Sains Porsema NU Th 2012) Nilai x yang memenuhi  \left ( \sqrt{3+2\sqrt{2}} \right )^{x}-\left ( \sqrt{3+2\sqrt{2}} \right )^{-x}=\frac{3}{2} adalah ….

\begin{matrix} a. & ^{\sqrt{2}+1}\log 2\\\\ b. & ^{3+\sqrt{2}}\log 2\\\\ c. & ^{\sqrt{2}+1}\log 3\\\\ d. & ^{\sqrt{2}-1}\log 2\\\\ e. & ^{\sqrt{2}+2}\log 3 \end{matrix} .

55. Bentuk sederhana dari \frac{\left ( \frac{a}{b^{3}} \right )^{-2}\left ( \frac{b}{a} \right )^{5}\left ( \frac{a^{2}}{b^{3}} \right )^{3}}{\left ( \frac{a^{3}}{b} \right )^{2}\left ( \frac{b}{a} \right )^{3}} adalah ….

\begin{matrix} a. & & \frac{b^{2}}{a} & & & & d. & & \frac{b}{a^{4}}\\ & & & & & & & & \\ b. & & \frac{b}{a^{2}} & & & & e. & &\frac{b^{4}}{a} \\ & & & & & & & & \\ c. & & \frac{b}{a} & & & & & & \end{matrix} .

56. Diketahui  x^{x}=\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}} . Nilai untuk x^{2}+2^{x} adalah ….

\begin{matrix} a. & & 2+2^{\sqrt{2}} & & & & d. & & 8\\ & & & & & & & & \\ b. & & 17 & & & & e. & &16 \\ & & & & & & & & \\ c. & & 32 & & & & & & \end{matrix} .

57. Diketahui sistem persamaan sebagai berikut

\left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )^{x+2}+\left ( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right )^{x+2}=10 .

Banyaknya nilai x yang memenuhi persamaan di atas adalah ….

\begin{matrix} a. & & 0 & & & & d. & & 3\\ & & & & & & & & \\ b. & & 1 & & & & e. & & 4\\ & & & & & & & & \\ c. & & 2 & & & & & & \end{matrix}  .

58. Diketahui sistem persamaan sebagai berikut

\left ( 2+\sqrt{3} \right )^{x^{2}-2x+1}+\left ( 2-\sqrt{3} \right )^{x^{2}-2x-1}=\frac{4}{2-\sqrt{3}} .

Banyaknya nilai x yang memenuhi persamaan di atas adalah ….

\begin{matrix} a. & & 1 & & & & d. & & 4\\ & & & & & & & & \\ b. & & 2 & & & & e. & & 5\\ & & & & & & & & \\ c. & & 3 & & & & & & \end{matrix}  .

59. (Olimpiade Matematika ITS SMA 2012) Diketahui sistem persamaan sebagai berikut

x^{2}=2^{\left | x \right |}+\left | x \right |-y-m\\ \\ x^{2}=1-y^{2} .

Banyaknya nilai m yang memenuhi persamaan di atas adalah ….

\begin{matrix} a. & & 0 & & & & d. & & 3\\ & & & & & & & & \\ b. & & 1 & & & & e. & & 4\\ & & & & & & & & \\ c. & & 2 & & & & & & \end{matrix}  .

60. Diketahui persamaan 5^{\left | x+6 \right |}=5^{\left |2x-12 \right |} . Banyaknya nilai x yang memenuhi persamaan di atas adalah ….

\begin{matrix} a. & & 1 & & & & d. & & 4\\ & & & & & & & & \\ b. & & 2 & & & & e. & & 5\\ & & & & & & & & \\ c. & & 3 & & & & & & \end{matrix}  .

Kumpulan Soal (Lanjutan 3)

32. Diketahui sistem persamaan \left\{\begin{matrix} xy & + & y^{2} & = & 0\\ x & - & 2y & = & 3 \end{matrix}\right. adalah ….

\begin{matrix} a. & & -1 & & & & d. & &2 \\ & & & & & & & & \\ b. & & 0 & & & & e. & & 4\\ & & & & & & & & \\ c. & & 1 & & & & & & \end{matrix}   .

33. Jika penyelesaian dari sistem persamaan \left\{\begin{matrix} y & = & x^{2} & - & 9\\ y & = & x & + & 3 \end{matrix}\right. adalah \left ( m,n \right ) , maka nilai m^{2}+n^{2} adalah ….

\begin{matrix} a. & & 65 & & & & d. & &9 \\ & & & & & & & & \\ b. & & 39 & & & & e. & & 5\\ & & & & & & & & \\ c. & & 17 & & & & & & \end{matrix}   .

34. Diketahui sistem persamaan \begin{matrix} x^{2} & + & y^{2} & + & 2x & - & 5y & =&21\\ x & - & y&+ & 4 & = & 0 & & \end{matrix} mempunyai penyelesaian \left ( x_{1},y_{1} \right ) dan \left ( x_{2},y_{2} \right ) . Nilai dari x_{1}.x_{2}\: +\: y_{1}.y_{2} adalah ….

\begin{matrix} a. & & -7 & & & & d. & & -6\\ & & & & & & & & \\ b. & & -1 & & & & e. & & -19\\ & & & & & & & & \\ c. & & 6 & & & & & & \end{matrix}   .

35. Jika diketahui

\begin{matrix} x & + & y & + & z & = & 18\\ x^{2} & + & y^{2} & + & z^{2} & = & 756\\ x^{2} & = & yz & & & & \end{matrix}

maka nilai x adalah ….

\begin{matrix} a. & & -18 & & & & d. & & 12\\ & & & & & & & & \\ b. & & -12 & & & & e. & & 18\\ & & & & & & & & \\ c. & & 1 & & & & & & \end{matrix}  .

36. (SIMAK UI 2009) Himpunan penyelesaian untuk sistem persamaan \left\{\begin{matrix} x & - & y & = & 7\\ y & = & x^{2} & + & 3x&-&10 \end{matrix}\right.  adalah \left \{ \left ( x_{1},y_{1} \right ),\left ( x_{2},y_{2} \right ) \right \} . Nilai dari  y_{1}+y_{2}  adalah ….

\begin{matrix} a. & & -16 & & & & d. & & 12\\ & & & & & & & & \\ b. & & -2 & & & & e. & & 20\\ & & & & & & & & \\ c. & & 8 & & & & & & \end{matrix}  .

37 . Coba Anda perhatikan ilustrasi gambar berikut

83

Sistem pertidaksamaan yang sesuai untuk daerah yang diarsir adalah ….

\begin{matrix} a. & \left\{\begin{matrix} x^{2} & + & y^{2} & \leq &16\\ y & \geq & 2x & -&3 \end{matrix}\right.\\\\ b. & \left\{\begin{matrix} x^{2} & + & y^{2} & \geq &16 \\ y & < & 2x & - & 3 \end{matrix}\right.\\\\ c. & \left\{\begin{matrix} x^{2} & + & y^{2} & < & 16\\ y & < & 2x & - & 3 \end{matrix}\right.\\\\ d. &\left\{\begin{matrix} x^{2} & + & y^{2} & \leq & 16\\ y & > & 2x & - & 3 \end{matrix}\right. \\\\ e. & \left\{\begin{matrix} x^{2} & + & y^{2} & \leq & 16\\ y & \leq & 2x & - & 3 \end{matrix}\right. \end{matrix}  .

38. Perhatikan pula ilustrasi gambar berikut

82

Sistem pertidaksamaan yang sesuai dengan daerah yang diarsir adalah ….

\begin{matrix} a. & \left\{\begin{matrix} y & \geq & x^{2} & + & 2x & - & 15 & \\ y & \leq & -x^{2} & +&2x & + & 8 & \end{matrix}\right.\\ \\ b. & \left\{\begin{matrix} y & \geq & x^{2} & + & 2x & - & 15 & \\ y & \geq & -x^{2} & + &2x & + & 8 & \end{matrix}\right.\\\\ c. & \left\{\begin{matrix} y & \leq & x^{2} & + & 2x & + & 15 & \\ y & \leq & x^{2} & + & 2x & + &8 & \end{matrix}\right.\\\\ d. & \left\{\begin{matrix} y & \geq & -x^{2} & + & 2x & + & 8 & \\ y & \leq & x^{2} & + & 2x & - & 15 & \end{matrix}\right.\\\\ e. & \left\{\begin{matrix} y & \geq & -x^{2} & + & 2x & - & 15 & \\ y & \geq & -x^{2} & + & 2x & + & 8 & \end{matrix}\right. \end{matrix}  .

39. Perhatikan juga ilustrasi gambar berikut

84

Untuk daerah berarsir tersebut di atas, sistem pertidaksamaan yang sesuai adalah ….

\begin{matrix} a. & \left\{\begin{matrix} x & > & 2 & & & \\ 4x^{2} & + & 4y^{2} & \geq & 49 & \end{matrix}\right.\\\\ b. & \left\{\begin{matrix} y & > & 2 & & & \\ 4x^{2} & + & 4y^{2} & \geq & 49 & \end{matrix}\right.\\\\ c. & \left\{\begin{matrix} x & \geq & 2 & & & \\ 4x^{2} & + & 4y^{2} & \leq & 49 & \end{matrix}\right.\\\\ d. & \left\{\begin{matrix} x & < & 2 & & & \\ 25x^{2} & + & 25y^{2} & > &49 & \end{matrix}\right.\\\\ e. & \left\{\begin{matrix} y & \geq & 2 & & & \\ 25x^{2} & + & 25y^{2} & \leq & 49 & \end{matrix}\right. \end{matrix}  .

40. Banyaknya bilangan bulat yang memenuhi pertidaksamaan x^{2}-16x< -48 adalah ….

\begin{matrix} a. & & 0 & & & & d. & & 7\\ & & & & & & & & \\ b. & & 4 & & & & e. & & tak&terhingga\\ & & & & & & & & \\ c. & & 6 & & & & & & \end{matrix} .

41. Jika persamaan \left ( p+2 \right )x^{2}\: +\: 6x\: +\: 3p\: =\: 0  memiliki akar-akar real, maka nilai p adalah ….

\begin{matrix} a. & -3\leq p\leq 1\\\\ b. & -1\leq p\leq 3\\ \\ c. & 1\leq p\leq 3\\\\ d. & p\leq -1&atau&p\geq 3\\\\ e. & p\leq -3&atau&p\geq 1 \end{matrix}     .

42. Jika kedua akar persamaan kuadrat x^{2}+\left ( 2p-5 \right )x+\left ( p^{2}-2p-15 \right )=0  real dan negatif , maka nilai  p  adalah ….

\begin{matrix} a. & p< -3\\\\ b. & p< 5\\\\ c. & 5< p\leq 7\frac{1}{12}\\\\ d. & -3< p< 5\\\\ e. & p< -3&atau&p> 5 \end{matrix}    .

43. (SPMB 2004) Kurva parabola y=p^{2}x^{2}+px+p berada di bawah kurva parabola 2px^{2}-y+px+1=0  Jika ….

\begin{matrix} a. & 0< p< 2\\\\ b. & 0< p< 1\\\\ c. & 1< p< 2\\\\ d. & p< 0\\\\ e. & p> 2 \end{matrix}  .

44. Jika kurva f\left ( x \right )=px^{2}-2px+p seluruhnya berada di atas kurva g\left ( x \right )=2x^{2}-3 , maka nilai p  harus memenuhi ….

\begin{matrix} a. & p> 2\\\\ b. & p> 6\\\\ c. & 2< p< 6\\\\ d. & -6< p< 2\\\\ e. & p< -6 \end{matrix}   .

45. Jika semua x\in \mathbb{R} memenuhi pertidaksamaan  2x^{2}+4x+a^{2}> 6 , maka ….

\begin{matrix} a. & a> 2&atau&a< -2\\\\ b. & -2< a< 2\\\\ c. & -2\sqrt{3}< x< 2\sqrt{2}\\\\ d. & a< -2\sqrt{2}&atau&a> 2\sqrt{2}\\\\ e. & a< -3&atau&a> 3 \end{matrix}  .

Kumpulan Soal (Lanjutan 2)

\LARGE\fbox{Kelas X Peminatan IPA }

Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat untuk pilihan ganda dan tentukan penyelesaian jika soal bentuk uraian! 

1. Jika diketahui x^{x^{x^{x^{...}}}}=2014 , maka nilai x adalah ….

\begin{matrix} a. & & \sqrt{2014} & & & & d. & & \sqrt{2014}^{\sqrt{2014}} \\ & & & & & & & & \\ b. & & \sqrt[2014]{2014} & & & & e. & & \sqrt{2014\sqrt{2014}}\\ & & & & & & & & \\ c. & & 2014^{\sqrt{2014}} & & & & & & \end{matrix}.

2. Jika \sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} , maka nilai dari \left ( a+b-c \right )^{abc} adalah ….

\begin{matrix} a. & & 1000 & & & & d. & & -1\\ & & & & & & & & \\ b. & & 1 & & & & e. & & -1000\\ & & & & & & & & \\ c. & & 0 & & & & & & \end{matrix}.

3. \sqrt[3]{\frac{16}{\sqrt[3]{\frac{16}{\sqrt[3]{\frac{16}{...}}}}}} = ….

\begin{matrix} a. & & 8 & & & & d. & & \frac{1}{4}\\ & & & & & & & & \\ b. & & 4 & & & & e. & & \frac{1}{16}\\ & & & & & & & & \\ c. & & 2 & & & & & & \end{matrix}.

4. Nilai eksak dari  \frac{1}{10^{-2014}+1}+\frac{1}{10^{-2013}+1}+\frac{1}{10^{-2012}+1}+...+\frac{1}{10^{2012}+1}+\frac{1}{10^{2013}+1}+\frac{1}{10^{2014}+1} adalah ….

\begin{matrix} a. & & 2014 & & & & d. & & 2015,5\\ & & & & & & & & \\ b. & & 2014,5 & & & & e. & & 2016\\ & & & & & & & & \\ c. & & 2015 & & & & & & \end{matrix}.

5. Jika f(x)=\frac{1}{2}\left ( a^{x}+a^{-x} \right ) dan g(x)=\frac{1}{2}\left ( a^{x}-a^{-x} \right ) , maka f(x)\times f(y)+g(x)\times g(y) adalah ….

\begin{matrix} a. & & f(x+y) & & & & d. & & g(x-y)\\ & & & & & & & & \\ b. & & g(x+y) & & & & e. & & f(2x)\\ & & & & & & & & \\ c. & & f(x-y) & & & & & & \end{matrix}.

6. Jika suatu fungsi dinyatakan sebagai f\left ( x \right )=\frac{e^{x}}{e^{x}+\sqrt{e}} di mana e\approx 2,718 , maka nilai dari f\left ( \frac{1}{2014} \right )+f\left ( \frac{2}{2014} \right )+f\left ( \frac{3}{2014} \right )+...+f\left ( \frac{2013}{2014} \right )  adalah ….

\begin{matrix} a. & & 2015 & & & & d. & & 1007\\ & & & & & & & & \\ b. & & 2014 & & & & d. & & 1006,5\\ & & & & & & & & \\ c. & & 2013 & & & & & & \end{matrix} .

7. (Prestasi Maksima 2007) Diketahui f\left ( x \right )=\frac{g^{x}}{g^{x}+3} . Tentukanlah jumlah dari f\left ( \frac{1}{2007} \right )+f\left ( \frac{2}{2007} \right )+f\left ( \frac{3}{2007} \right )+...+f\left ( \frac{2006}{2007} \right ) adalah ….

8. (Prestasi Maksima 2007) Misalkan diberikan m=\frac{1}{2}\left ( \left ( 2007 \right )^{\frac{1}{2000}}-\left ( 2007 \right )^{-\frac{1}{2000}} \right ). Nilai dari \left ( \sqrt{1+x^{2}}-x \right )^{-2000} adalah ….

9. Nilai x yang memenuhi persamaan 3^{x+1}=27 adalah ….

\begin{matrix} a. & & -4 & & & & d. & & 2\\ & & & & & & & & \\ b. & & -2 & & & & e. & & 4\\ & & & & & & & & \\ c. & & 0 & & & & & & \end{matrix} .

10. Nilai x yang memenuhi persamaan \sqrt{8^{x+5}}=4^{x+3} adalah ….

\begin{matrix} a. & & 5 & & & &d. & & 2\\ & & & & & & & & \\ b.& & 4 & & & & e. & & 1\\ & & & & & & & & \\ c.& & 3 & & & & & & \end{matrix}.

11. Nilai x yang memenuhi persamaan 4.8^{2x-1}=\frac{1}{16^{1-5x}} adalah ….

\begin{matrix} a. & & 1 & & & & d. & &\frac{3}{14} \\ & & & & & & & & \\ b. & & \frac{1}{4} & & & & e. & & -1\\ & & & & & & & & \\ c. & & \frac{3}{7} & & & & & & \end{matrix}.

12. Diketahui Nilai x,\: y,\: dan\: z  memenuhi persamaan \left\{\begin{matrix} 2^{x+y} & = & 10\\ 2^{y+z} & = & 20\\ 2^{z+x} & = & 30 \end{matrix}\right. . Nilai dari 2^{x} adalah ….

\begin{matrix} a. & & \frac{1}{2\sqrt{6}} & & & & d. & & 10\sqrt{6}-20\\ & & & & & & & & \\ b. & & \frac{3}{2} & & & & e. & &\sqrt{30} \\ & & & & & & & & \\ c. & & \sqrt{15} & & & & & & \end{matrix} .

13. Jika f\left ( x \right )=2^{x} , maka 4^{8} sama dengan ….

\begin{matrix} a. & f\left ( f\left ( 2 \right ) \right ) & \\ & & \\ b. & f\left ( f\left ( f\left ( 2 \right ) \right ) \right ) & \\ & & \\ c. & f\left ( f\left ( f\left ( f\left ( 2 \right ) \right ) \right ) \right ) & \\ & & \\ d. & f\left ( f\left ( f\left ( f\left ( f\left ( 2 \right ) \right ) \right ) \right ) \right ) & \\ & & \\ e. & f\left ( f\left ( f\left ( f\left ( f\left ( f\left ( 2 \right ) \right ) \right ) \right ) \right ) \right ) & \\ & & \end{matrix}.

14. Himpunan penyelesaian dari \left ( x^{2}+\frac{4}{x^{2}} \right )-7\left ( x+\frac{2}{x} \right )+16=0 adalah ….

\begin{matrix} a. & \left \{ 1,2 \right \} & \\ & & \\ b. & \left \{ 1,2+\sqrt{2} \right \} & \\ & & \\ c. & \left \{ 2,2-\sqrt{2} \right \} & \\ & & \\ d. & \left \{ 2+\sqrt{2},2-\sqrt{2} \right \} & \\ & & \\ e. & \left \{ 2+\sqrt{2},2-\sqrt{2},2,1 \right \} & \\ & & \end{matrix}.

15. (Prestasi Maksima 2007) Tentukanlah jumlah semua nilai x yang memenuhi persamaan eksponensial  9^{x}-4.3^{x}+6-\frac{4}{3^{x}}+\frac{1}{9^{x}}=0

16. (Prestasi Maksima 2007) Carilah semua bilangan real x yang memenuhi persamaan eksponensial \frac{8^{x}+27^{x}}{12^{x}+18^{x}}=\frac{7}{6}

17. Nilai x yang memenuhi persamaan ^2\log\: ^2\log \left ( 2^{x+1}+3 \right )=1+\: ^2\log x adalah ….

\begin{matrix} a. & \log \frac{2}{3} & & & & & d. & -1 & atau & 3\\ & & & & & & & & & \\ b. & ^2\log 3 & & & & & e. & 8 & atau & \frac{1}{2}\\ & & & & & & & & & \\ c. & ^3\log 2 & & & & & & & & \end{matrix} .

18. Grafik fungsi logaritma y=^{\frac{1}{5}}\log x adalah bayangan dari pencerminan grafik fungsi eksponen pada garis y=x , yaitu ….

\begin{matrix} a. & & x=\left ( \frac{1}{5} \right )^{y} & & & & d. & & y=5^{x}\\ & & & & & & & & \\ b. & & x=5^{y} & & & & e. & & x=5^{\left ( \frac{1}{y} \right )}\\ & & & & & & & & \\ c. & & y=\left ( \frac{1}{5} \right )^{x} & & & & & & \end{matrix} .

19. Jumlah semua nilai x yang memenuhi persamaan 2014^{x^{2}-7x+7}=2015^{x^{2}-7x+7} adalah ….

\begin{matrix} a. & & -7 & & & & d. & & 5\\ & & & & & & & & \\ b. & & -5 & & & & e. & & 7\\ & & & & & & & & \\ c. & & -3 & & & & & & \end{matrix} .

20. Diketahui x bilangan bulat yang memenuhi \left ( x-2 \right )^{x^{2}-x-2}=1 adalah ….

\begin{matrix} a. & -6 & dan & 3 & & & d. &-1,2, & dan & 3\\ & & & & & & & & & \\ b. & -3,-1, & dan & 1 & & & e. & 1,2, &dan & 3\\ & & & & & & & & & \\ c. & -1,1, & dan & 3 & & & & & & \end{matrix} .

21. Solusi dari persamaan eksponen \left ( x^{2}-5x+5 \right )^{2x+3}=\left ( x^{2}-5x+5 \right )^{3x-2} adalah ….

\begin{matrix} a. & 1,2,4,5, \frac{9-\sqrt{5}}{2},\frac{9+\sqrt{5}}{2}\\ & & \\ b. & 1,3,4,5, \frac{9-\sqrt{5}}{2},\frac{9+\sqrt{5}}{2} \\ & & \\ c. & 1,2,4,5, \frac{5-\sqrt{5}}{2},\frac{5+\sqrt{5}}{2} \\ & & \\ d. & 1,3,4,5, \frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3+\sqrt{5}}{2} \\ & & \\ e. & 1,2,3,6, \frac{5-\sqrt{5}}{2},\frac{5+\sqrt{5}}{2} \\ & & \end{matrix} .

22. Perhatikan gambar berikut

79

Persamaan grafik yang tampak seperti di atas adalah ….

\begin{matrix} a. & y=2^{x-2} & & & & d. & y=^2\log \left ( x-1 \right ) & & \\ & & & & & & & & \\ b. & y=2^{x}-2 & & & & e. & y=^2\log \left ( x+1 \right ) & & \\ & & & & & & & & \\ c. & y=2^{x}-1 & & & & & & & \end{matrix} .

23. (UN Mat IPA 2012) Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut

81

adalah ….

\begin{matrix} a. & f(x)=2^{x-1} & & & & & d. & f(x)=^2\log \left ( x-1 \right ) & \\ & & & & & & & & \\ b. & f(x)=2^{x}-1 & & & & & e. & f(x)=2^{x}-2 & \\ & & & & & & & & \\ c. & f(x)=^2\log x & & & & & & & \end{matrix} .

24. Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut

80

adalah ….

\begin{matrix} a. & y=\: ^3\log x & & & & & d. & y=\left ( -3 \right )^{x} & \\ & & & & & & & & \\ b. & y=\: ^{\frac{1}{3}}\log x & & & & & e. & y=\left ( 3 \right )^{-x} & \\ & & & & & & & & \\ c. & y=\: \left ( -\frac{1}{3} \right )^{x} & & & & & & & \end{matrix} .

25. Nilai x yang memenuhi pada persamaan 9^{{^3\log \left ( 2x+1 \right )}}+4^{{^2\log \left ( x+3 \right )}}=85 adalah ….

 \begin{matrix} a. & & -5 & & & & d. & & 5\\ & & & & & & & & \\ b. & & -3 & & & & e. & -5 &atau&3 \\ & & & & & & & & \\ c. & & 3 & & & & & & \end{matrix} .

26. Diketahui persamaan \LARGE{\frac{x^{2}}{10000}}=\LARGE{\frac{1000}{x^{2\left ( {{^{10}\log x}} \right )-8}}} . Hasil kali dari nilai-nilai x adalah ….

\begin{matrix} a. & & 10^{2} & & & & d. & & 10^{7}\\ & & & & & & & & \\ b. & & 10^{3} & & & & e. & & 10^{8}\\ & & & & & & & & \\ c. & & 10^{4} & & & & & & \end{matrix} .

27. Nilai x yang memenuhi persamaan ^3\log x^{\left ( 5-{{^{3}\log x}} \right )}=4 adalah ….

\begin{matrix} a. & 3 &atau&9 \\ & & \\ b. & 3 &atau&18 \\ & & \\ c. & 3 &atau&27 \\ & & \\ d. & 3 &atau&81 \\ & & \\ e. & 3 &atau&243 \\ & & \end{matrix} .

28. Nilai x yang memenuhi persamaan 2.x^{{^6\log x}}+72.x^{{^\frac{1}{6}\log x}}=24 adalah ….

\begin{matrix} a. & \frac{1}{6} & dan & \frac{1}{18}\\ & & & \\ b. & 6 & dan & \frac{1}{6}\\ & & & \\ c. & 36 & dan & \frac{1}{6}\\ & & & \\ d. & 18 & dan & \frac{1}{36}\\ & & & \\ e. & 24 & dan & 2\\ & & & \end{matrix} .

29. (Seleksi Mahasiswa Baru TELKOM 2006) Misalkan sebuah komputer pada saat kondisi baru berharga N_{0} rupiah. Diandaikan komputer tersebut setelah t tahun akan mengalami penyusutan sebesar  N_{0}\left ( \frac{2}{3} \right )^{t} . Harga komputer tersebut akan berharga \frac{N_{0}}{9} setelah …. tahun.

\begin{matrix} a. & 2 & & \\ & & & \\ b. & ^2\log 3 & & \\ & & & \\ c. & ^3\log 2 & & \\ & & & \\ d. & \frac{3\log 2-2\log 3}{\log 2-\log 3} & & \\ & & & \\ e. & \frac{3\log 2+2\log 3}{\log 2+\log 3} & & \\ & & & \end{matrix} .

30. Ahmad menabung di sebuah Bank sebesar Rp 1.000.000,00. Jika bank tersebut memberikan suku bunga majmuk sebesar 8% pertahun, maka banyak uang tabungan Ahmad setelah 8 tahun tanpa pengembilan!

31. Konsentrasi ion Hidrogen \left [ H^{+} \right ] dari suatu larutan adalah 6,4\times 10^{-7} . Tentukan pH larutan yang dimaksud!

Sumber Referensi

  1. Sukino. 2013. Matematika Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam untuk SMA/MA Kelas x. Jakarta: Erlangga.
  2. Susianto, Bambang. 2011. Olimpiade Matematika dengan Proses Berpikir Aljabar dan Bilangan. Jakarta: Grasindo.
  3. Tung, Khoe Yao. 2012. Pintar Matematika SMA Kelas XII IPA Untuk Olimpiade dan Pengayaan Pelajaran. Yogyakarta: ANDI.
  4. Kanginan, Marthen, Ghany Akhmad, Hadi Nurdiansyah. 2014. Matematika untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: Yrama Widya.
  5. _________, Algebra: Teoria con 8000 Problemas Propuestos y Resueltos

Kumpulan Soal (Lanjutan)

36. Diketahui A=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} . Matriks A^{2014} = ….

\begin{matrix} a. & \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} & & & & & d. &\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} & \\ & & & & & & & & \\ b. & \begin{pmatrix} 0 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} & & & & & e. & \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} & \\ & & & & & & & & \\ c. & \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} & & & & & & & \end{matrix}.

37. Misalkan matriks A=\begin{pmatrix} 2 & -3\\ 1 & 4 \end{pmatrix}  memenuhi A^{2}=xA+yI dengan I adalah matriks identitas dengan ordo 2 x 2 . Nilai x+y adalah ….

\begin{matrix} a. & & -5 & & & & d. & & 3\\ & & & & & & & & \\ b. & & -3 & & & & e. & & 5\\ & & & & & & & & \\ c. & & 0 & & & & & & \end{matrix}.

38. Diketahui himpunan \left \{ (3,2),(4,2),(3,1),(7,1),(2,3) \right \} adalah suatu fungsi, nggota yang harus dihapus dari himpunan tersebut adalah ….

\begin{matrix} a. & & (3,2) & & & & d. & & (7,1)\\ & & & & & & & & \\ b. & & (4,2) & & & & e. & & semua\:\: salah\\ & & & & & & & & \\ c. & & (2,3) & & & & & & \end{matrix}.

39. Diketahui fungsi f dengan rumus f\left ( x \right )=\sqrt{\frac{1}{2}x-8} . Domain fungsi f agar memiliki pasangan di anggota himpunan bilangan real adalah ….

\begin{matrix} a. & & x\geq -4 & & & & d. & & x\geq 8\\ & & & & & & & & \\ b. & & x\geq 4 & & & & e. & & x\geq 16\\ & & & & & & & & \\ c. & & x\geq -8 & & & & & & \end{matrix}.

40. Berikut yang merupakan fungsi , jika daerah asalnya adalah sumbu X

i.58

ii. 57

 

iii. 56

 

iv. 55

 

v. 54

 

\begin{matrix} a. & i & , & ii & & & d. & iii &,&iv \\ & & & & & & & & &\\ b. & i & , & iii & & & e. & iv &, &v\\ & & & & & & & & &\\ c. & ii & , & iii & & & & & & \end{matrix}.

40. Diketahui  f adalah suatu fungsi f:x\rightarrow f(x) . Jika 1 berpasangan dengan 4 dan f(x+1)=2f(x) , maka pasangan dari x=2014 adalah ….

\begin{matrix} a. & & 2^{2014} & & & & d. & & 2^{2017}\\ & & & & & & & & \\ b. & & 2^{2015} & & & & e. & & 2^{2018}\\ & & & & & & & & \\ c. & & 2^{2016} & & & & & & \end{matrix}.

41. Diketahui fungsi f:x\rightarrow f(x) dengan rumus f(x)=ax-b. Jika f(1)=-3 dan f(4)=3 , maka nilai untuk a^{b}+b^{a} adalah ….

\begin{matrix} a. & & 20 & & & & d. & & 60\\ & & & & & & & & \\ b. & & 35 & & & & e. & & 67\\ & & & & & & & & \\ c. & & 52 & & & & & & \end{matrix}.

42. Bila f\left ( x \right )=\frac{x}{a}\left ( \frac{b^{2}}{x^{2}} \right )+\frac{x}{b}\left ( 1-\frac{a^{2}}{x^{2}} \right ) , maka nilai f(a+b) adalah ….

\begin{matrix} a. & & \frac{a+b}{2a} & & & & d. & & \frac{2}{a+b}\\ & & & & & & & & \\ b. & & \frac{a}{2a+b} & & & & e. & & \frac{a+b}{a-b}\\ & & & & & & & & \\ c. & & \frac{2a}{a+b} & & & & & & \end{matrix}.

43. Jika diketahui f\left ( n+1 \right )=f\left ( n \right )+\frac{1}{2} untuk n=1,2,3,4,... dan f(1)=2 , maka nilai f\left ( 101 \right ) = ….

\begin{matrix} a. & & 49 & & & & d. & & 52\\ & & & & & & & & \\ b. & & 50 & & & & e. & & 53\\ & & & & & & & & \\ c. & & 51 & & & & & & \end{matrix}.

44. Diketahui f\left ( n \right )=\left ( \frac{5+3\sqrt{5}}{10} \right )\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{n}+\left ( \frac{5-3\sqrt{5}}{10} \right )\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^{n} . Nilai f\left ( n+1 \right )-f\left ( n-1 \right ) jika dinyatakan dalam f(n) adalah ….

\begin{matrix} a. & \frac{1}{2}f\left ( n \right ) & & & & & d. & f^{2}\left ( n \right ) & & \\ & & & & & & & & & \\ b. & f\left ( n \right ) & & & & & e. & \frac{1}{2}\left ( f^{2}\left ( n \right )-1 \right ) & & \\ & & & & & & & & & \\ c. & 2f\left ( n \right )+1 & & & & & & & & \end{matrix}.

45. Jika relasi f memiliki sifat

\begin{matrix} (i) & f\left ( 1 \right ) &= & 1 & & &&\\ & & & & & \\ (ii) & f\left ( 2x \right ) & = & 4f\left ( x \right ) & + & 6&&\\ & & & & & \\ (iii) & f\left ( x+2 \right ) & = & f\left ( x \right ) & +&12x & +&12\\ & & & & & \end{matrix}.

Nilai f(10) adalah ….

\begin{matrix} a. & & 190 & & & & d. & & 298\\ & & & & & & & & \\ b. & & 210 & & & & e. & & 348\\ & & & & & & & & \\ c. & & 265 & & & & & & \end{matrix}.

46. Fungsi f didefinisikan sebagai f\left ( x \right )=ax^{2}-\sqrt{2} dengan a>0 . Jika f\left ( f\left ( \sqrt{2} \right ) \right )=-\sqrt{2} , maka nilai a adalah ….

\begin{matrix} a. & & \frac{2+\sqrt{2}}{2} & & & & d. & & 2-\sqrt{2}\\ & & & & & & & & \\ b. & & \frac{2-2\sqrt{2}}{2} & & & & e. & & \frac{\sqrt{2}}{2}\\ & & & & & & & & \\ c. & & \frac{1}{2} & & & & & & \end{matrix}.

47. Perhatikan susunan kelereng dari jumlah terkecil ke jumlah besar sebagaimana ilustrasi berikut

72

Banyak kelereng pada kelompok ke-19 adalah ….

\begin{matrix} a. & & 210 & & & & d. & & 170\\ & & & & & & & & \\ b. & & 190 & & & & e. & & 160\\ & & & & & & & & \\ c. & & 180 & & & & & & \end{matrix}.

48. Jika A=\left ( 99- \frac{1}{10}\right )^{2}\times \left ( 99-\frac{2}{10} \right )^{2}\times \left ( 99-\frac{3}{10} \right )^{2}\times ...\times \left ( 99-\frac{2014}{10} \right )^{2} , maka nilai A adalah ….

\begin{matrix} a. & &-99 & & & & d. & & 1\\ & & & & & & & & \\ b. & & -1 & & & & e. & & 99^{2}\\ & & & & & & & & \\ c. & & 0 & & & & & & \end{matrix}.

49. Jumlah dari \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{4\times 5}+...+\frac{1}{999\times 1000}  adalah ….

\begin{matrix} a. & & \frac{99}{100} & & & & d. & & \frac{989}{1000}\\ & & & & & & & & \\ b. & & \frac{89}{100} & & & & e. & & \frac{899}{1000}\\ & & & & & & & & \\ c. & & \frac{999}{1000} & & & & & & \end{matrix}.

50. Jumlah n suku dari barisan aritmetika adalah 2n^{2}-3n . Beda dari barisan ini adalah ….

\begin{matrix} a. & & 2 & & & & d. & & 5\\ & & & & & & & & \\ b. & & 3 & & & & e. & & 6\\ & & & & & & & & \\ c. & & 4 & & & & & & \end{matrix}.

51. Suku ke-8 dari deret aritmetika adalah 40 dan suku ke-10 adalah 64. Jumlah 20 suku yang pertama adalah ….

\begin{matrix} a. & & 4000 & & & & d. & & 1400\\ & & & & & & & & \\ b. & & 1500 & & & & e. & & 1800\\ & & & & & & & & \\ c. & & 1600 & & & & & & \end{matrix}.

52. Panjang sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika. Jika keliling segitiga tersebut adalah 72 , maka luasnya adalah ….

\begin{matrix} a. & & 216 & & & & d. & & 383\\ & & & & & & & & \\ b. & & 363 & & & & e. & & 432\\ & & & & & & & & \\ c. & & 364 & & & & & & \end{matrix}.

53. Suku ke-n suatu barisan geometri adalah u_{n} . Jika u_{1}=ku_{2}=3k  dan u_{3}=8k+4 , maka nilai u_{5} adalah ….

\begin{matrix} a. & & 81 & & & & d. & & 648\\ & & & & & & & & \\ b. & & 162 & & & & e. & & 864\\ & & & & & & & & \\ c. & & 324 & & & & & & \end{matrix}.

54. Pada matriks A=\begin{pmatrix} 1 & a\\ b & c \end{pmatrix} , jika bilangan positif 1, a, c membentuk barisan geometri berjumlah 13 dan bilangan positif 1, b, c membentuk barisan aritmetika , maka det A adalah ….

\begin{matrix} a. & & 17 & & & & d. & &-6 \\ & & & & & & & & \\ b. & & 6 & & & & e. & & -22\\ & & & & & & & & \\ c. & & -1 & & & & & & \end{matrix}.

55. Jika u_{1}\: ,\: u_{2}\: ,\: u_{3}\: ,...,\: u_{7} membentuk barisan geometri , u_{3}=12 , dan  \log u_{1}+\log u_{2}+...+\log u_{7}=7\log 3 , maka u_{5} adalah ….

\begin{matrix} a. & & \log 3 & & & & d. & & \frac{3}{4}\\ & & & & & & & & \\ b. & & 16 & & & & e. & & \frac{1}{2}\\ & & & & & & & & \\ c. & & 3 & & & & & & \end{matrix}.

 56. Suku negatif pertama dari barisan 500, 465, 430, 395, … adalah ….

\begin{matrix} a. & & -5 & & & & d. & & -20\\ & & & & & & & & \\ b. & & -10 & & & & e. & & -25\\ & & & & & & & & \\ c. & & -15 & & & & & & \end{matrix} .

57. Jika n> 0, n\: \epsilon \: \mathbb{N} , maka hasil dari \left ( 1-\frac{1}{2} \right )\left ( 1-\frac{1}{3} \right )\left ( 1-\frac{1}{4} \right )...\left ( 1-\frac{1}{n} \right ) adalah ….

\begin{matrix} a. & \frac{1}{n} & & & & d. & \frac{2}{n(n-1)} & & \\ & & & & & & & & \\ b. & \frac{n-1}{n} & & & &e. & \frac{2}{n} & & \\ & & & & & & & & \\ c. & n & & & & & & & \end{matrix} .

58. Nilai dari \left ( 1-\frac{1}{2^{2}} \right )\left ( 1-\frac{1}{3^{2}} \right )\left ( 1-\frac{1}{4^{2}} \right )....\left ( 1-\frac{1}{200^{2}} \right ) adalah ….

\begin{matrix} a. & \frac{1}{2} & & & & & d. & \frac{7}{10} & \\ & & & & & & & & \\ b. & \frac{5}{12} & & & & & e. & \frac{201}{400} & \\ & & & & & & & & \\ c. & \frac{99}{200} & & & & & & & \end{matrix} .

59. Diketahui bilangan ^y\log \, (x-1),\: ^y\log \, (x+1),\: ^y\log\, (3x-1) merupakan tiga suku deret aritmetika yang berurutan. Jika jumlah tiga bilangan itu adalah 6 , maka nilai x+y adalah ….

\begin{matrix} a. & 57 & & & & & d. & 54 & \\ & & & & & & & & \\ b. & 56 & & & & & e. & 53 & \\ & & & & & & & & \\ c. & 55 & & & & & & & \end{matrix} .

60. Jumlah k suku pertama dari deret ^7\log 2+^7\log 8+^7\log 32+... adalah ….

\begin{matrix} a. & & \left ( 1+k^{2} \right )\: ^7\log 2\\ & & \\ b. & & \frac{1}{2}k\left ( k-1 \right )\: ^7\log 2\\ & & \\ c. & & \frac{1}{2}k\left ( k+2 \right )\: ^7\log 2\\ & & \\ d. & & k^{2}\times ^7\log 2\\ & & \\ e. & & \left ( k^{2}-1 \right )\: ^7\log 2\\ & & \end{matrix} .

Kumpulan Soal

Kumpulan Soal 

\LARGE\fbox{MATEMATIKA WAJIB X}

Silahkan dikerjakan sendiri sebagai bahan latihan

Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!

1. Bentuk paling sederhana dari \frac{32x^{2}y^{-3}}{2x^{-4}y^{-7}}  adalah… .

\begin{matrix} a. & &2^{2}x^{-6}y^{-10} \\ & & \\ b. & & 2^{4}x^{6}y^{4}\\ & & \\ c. & & 8x^{\frac{1}{2}}y^\frac{3}{7}\\ & & \\ d. & & 8x^{-\frac{1}{2}}y^{\frac{3}{7}}\\ & & \\ e. & & 8x^{\frac{1}{2}}y^{-\frac{3}{7}}\\ & & \end{matrix}.

2. Bentuk  \left ( \frac{p^{-\frac{2}{3}}}{q^{-\frac{1}{3}}} \right )\times \left ( p^{\frac{2}{3}}.q^{\frac{1}{2}} \right )^{2}\div \left ( \frac{p^{\frac{1}{2}}}{q^{\frac{1}{3}}} \right ) akan senilai dengan… .

\begin{matrix} a. & &pq & &&& d. &&p\sqrt[6]{q^{5}} \\ & & & & & \\ b. & & p\sqrt{q} & & &&e.&&p^{\frac{1}{3}}q^{\frac{1}{2}} \\ & & & & & \\ c. & & q\sqrt[6]{pq^{4}} & & & \end{matrix}.

3. Bentuk sederhana dari \frac{\sqrt[3]{x^{4}\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}}{\sqrt{x\sqrt[3]{x}}}  adalah… .

\begin{matrix} a. & & \frac{1}{\sqrt[6]{x^{5}}} & & & & d. & & \frac{1}{\sqrt[6]{x}}\\ & & & & & & & & \\ b. & &\sqrt[6]{x^{5}} & & & & e. & & \sqrt[6]{x}\\ & & & & & & & & \\ c. & & x\sqrt[5]{x} & & & & & & \end{matrix}.

4. Bentuk \frac{3^{m+1}-3^{m}}{3^{m}+3^{m-1}} dapat disederhanakan menjadi… .

\begin{matrix} a. & & \frac{3}{4} & & & & d. & & \frac{4}{3}\\ & & & & & & & & \\ b. & & \frac{3}{2} & & & & e. & & \frac{5}{3}\\ & & & & & & & & \\ c. & & \frac{5}{4} & & & & & & \end{matrix}.

5. Nilai \frac{2^{-1}+2^{0}+2^{1}}{2^{-4}+2^{-3}+2^{-2}}=... .

\begin{matrix} a. & & 6 & & & & d. & & 24\\ & & & & & & & & \\ b. & & 8 & & & & e. & & 512\\ & & & & & & & & \\ c. & & 15,5 & & & & & & \end{matrix}.

6. Dalam bentuk pangkat positif  \left (\frac{a^{-1}+b^{-1}}{a^{-1}-b^{-1}} \right )^{-1}=....

\begin{matrix} a. & & \frac{b+a}{b-a} & & & & d. & & \frac{a-b}{a+b}\\ & & & & & & & & \\ b. & & \frac{a+b}{a-b} & & & & e. & & \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\\ & & & & & & & & \\ c. & & \frac{b-a}{b+a} & & & & & & \end{matrix}

7. Jika \sqrt{125}+\sqrt{3125}-\sqrt{80}=x\sqrt{5}\: ,\: maka\: nilai\: x\: adalah....

\begin{matrix} a. & & 24 & & & & d. & & 27\\ & & & & & & & & \\ b. & & 25 & & & & e. & & 28\\ & & & & & & & & \\ c. & & 26 & & & & & & \end{matrix}.

8. \sqrt{48}+\sqrt{75}-\sqrt{392}+\sqrt{128}=....

\begin{matrix} a. & & \sqrt{3}-\sqrt{2}\\ & & \\ b. & & 3\sqrt{3}-2\sqrt{2}\\ & & \\ c. & & 3\left ( 3\sqrt{3}-2\sqrt{2} \right )\\ & & \\ d. & & \sqrt{3}+\sqrt{2}\\ & & \\ e. & & 3\left ( 2\sqrt{3}+3\sqrt{2} \right )\\ & & \end{matrix}.

9. \sqrt[3]{16\sqrt[3]{16\sqrt[3]{16\sqrt[3]{16...}}}}=....

\begin{matrix} a. & & 2 & & & & d. & & 16\\ & & & & & & & & \\ b. & & 4 & & & & e. & & 64\\ & & & & & & & & \\ c. & & 8 & & & & & & \end{matrix}.

10. Bentuk senilai dengan \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} adalah… .

\begin{matrix} a. & & \sqrt{3}-\sqrt{2} & & & & d. & & 2+\sqrt{3}\\ & & & & & & & & \\ b. & & \sqrt{3}+2 & & & & e. & & 2-\sqrt{3}\\ & & & & & & & & \\ c. & & \sqrt{3}+\sqrt{2} & & & & & & \end{matrix}.

11. Hasil dari \left ( 1+\sqrt{2}-\sqrt{3} \right )\left ( 1+\sqrt{2}+\sqrt{3} \right )^{2}  adalah… .

\begin{matrix} a. & & \left ( 2+\sqrt{2}+\sqrt{6} \right )\\ & & \\ b. & & \left ( 2+\sqrt{2}-\sqrt{6} \right )\\ & & \\ c. & & 2\left ( 2-\sqrt{2}+\sqrt{6} \right )\\ & & \\ d. & &2\left ( 2+\sqrt{2}-\sqrt{6} \right ) \\ & & \\ e. & & 2\left ( 2+\sqrt{2}+\sqrt{6} \right )\\ & & \end{matrix}.

12. Jika \sqrt{5x^{2}+6x+7}-\sqrt{5x^{2}+6x-8}=5 , maka nilai dari \sqrt{5x^{2}+6x+7}+\sqrt{5x^{2}+6x-8}=....

\begin{matrix} a. & & 3 & & & & d. & &15 \\ & & & & & & & & \\ b. & & 5 & & & & e. & &20 \\ & & & & & & & & \\ c. & & 10 & & & & & & \end{matrix}.

13. Jika  \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=a+b\sqrt{6} , a dan b adalah bilangan bulat, maka a+b adalah… .

\begin{matrix} a. & & -5 & & & & d. & & 2\\ & & & & & & & & \\ b. & & -3 & & & & e. & &3 \\ & & & & & & & & \\ c. & & -2 & & & & & & \end{matrix}.

14. Nilai x yang memenuhi persamaan \left ( \sqrt{3+2\sqrt{2}} \right )^{x}-\left ( \sqrt{3-2\sqrt{2}} \right )^{x}=\frac{3}{2}  adalah… .

\begin{matrix} a. & &^{3-\sqrt{2}}\log 2 \\ & & \\ b. & & ^{3-\sqrt{2}}\log 3\\ & & \\ c. & & ^{1+\sqrt{2}}\log 2\\ & & \\ d. & & ^{\sqrt{2}}\log \left ( 1+\sqrt{2} \right )\\ & & \\ e. & & ^{\sqrt{3}}\log 2\\ & & \end{matrix}.

15. Nilai p yang memenuhi  8^{3p+1}=128^{p-1} adalah… .

\begin{matrix} a. & & -10& & & & d. & &2 \\ & & & & & & & & \\ b. & & -5 & & & & e. & & 5\\ & & & & & & & & \\ c. & & -2 & & & & & & \end{matrix}.

16. Bentuk 4^{x}=5 senilai dengan … .

\begin{matrix} a. & & ^5\log 4=x & & & & d. & & ^4\log 5=x\\ & & & & & & & & \\ b. & & ^9\log x=4 & & & & e. & & ^x\log 54\\ & & & & & & & & \\ c. & & ^4\log x=5 & & & & & & \end{matrix}.

17. Jika ^4\log 5=p\:\: dan\: \: ^4\log 28=q\: ,\: maka\: \: ^4\log 70 adalah… .

\begin{matrix} a. & & p+q-\frac{1}{2}\\ & & \\ b. & & p+2q+\frac{1}{2}\\ & & \\ c. & & p-q+1\frac{1}{2}\\ & & \\ d. & & p-q+\frac{1}{2}\\ & & \\ e. & & 2p-q+\frac{1}{2}\\ & & \end{matrix}.

18. Nilai dari  16^{{^2\log 3}}+27^{{^3\log \frac{1}{2}}}-\frac{3^{{^3\log 2}}}{2^{{^2\log 3}}}  adalah… .

\begin{matrix} a. & & 36\frac{4}{25} & & & & d. & & 79\frac{8}{13}\\ & & & & & & & & \\ b. & & 45\frac{16}{21} & & & & e. & & 80\frac{11}{24}\\ & & & & & & & & \\ c. & & 62\frac{2}{5} & & & & & & \end{matrix}.

19. (UN IPA 2014)Nilai dari \frac{^4\log 9.^3\log 2+^4\log 8}{^9\log 6-^9\log 2} adalah… .

\begin{matrix} a. & & 5 & & & & d. & & \frac{5}{4}\\ & & & & & & & & \\ b. & & 4 & & & & e. & & \frac{3}{4}\\ & & & & & & & & \\ c. & & 3 & & & & & & \end{matrix}.

20. Bentuk \frac{1}{\left | x \right |-2}  memiliki arti untuk… .

\begin{matrix} a. & & semua & bilangan & x\\ b. & & semua & bilangan & x,&kecuali&nol\\ c. & & semua & bilangan & positif&x\\ d. & & semua & bilangan & x,&kecuali&2\\ e. & & semua & bilangan & x,&kecuali&2&dan&-2 \end{matrix}.

21. Semua bilangan real p  yang jaraknya terhadap 3 kurang dari 1 adalah… .

\begin{matrix} a. & & 3<p<4 & & & & d. & & 3<p<5\\ & & & & & & & & \\ b. & & 2<p<3 & & & & e. & & 1<p<3\\ & & & & & & & & \\ c. & & 2<p<4 & & & & & & \end{matrix}.

22. Banyaknya nilai m yang memenuhi persamaan \left | 2m-1 \right |=4m+5 adalah… .

\begin{matrix} a. & & 0 & & \\ b. & & 1 & & \\ c. & & 2 & & \\ d. & & tak & terhingga & \\ e. & & a,b,c, d&bukan&jawaban&yang&tepat \end{matrix}.

23. Bentuk \left | 2k-1 \right |<5  dapat dituliskan sebagai… .

\begin{matrix} a. & & k>3 & & \\ b. & & k>-2 & atau & k<3\\ c. & & k>-2 & dan &k<3 \\ d. & & k>3 & atau & k<-2\\ e. & & k>3 & dan & k<-2 \end{matrix}.

24. Himpunan seluruh nilai y yang memenuhi 2\leq \left | y-1 \right |\leq 5 adalah… .

\begin{matrix} a. & & -4\leq y\leq -1 & atau & 3\leq y\leq 6 & & & & \\ b. & & 3\leq y\leq 6 & atau & -6\leq y\leq -3 & & & & \\ c. & & y\leq -1 & atau & y\geq 3 & & & & \\ d. & & -1\leq y\leq 3 & & & & & & \\ e. & & -4\leq y\leq 6 & & & & & & \end{matrix}.

25. Pertidaksamaan 2x-a<\frac{x-1}{2}+\frac{ax}{3} mempunyai penyelesaian x>5. Nilai a adalah… .

\begin{matrix} a. & & 2 & & & &d. & &5 \\ & & & & & & & & \\ b. & & 3 & & & &e. & & 6\\ & & & & & & & & \\ c. & & 4 & & & & & & \end{matrix}.

26. Jika p\: dan\: q memenuhi persamaan \left\{\begin{matrix} 2p & - & q & =&4\\ p & + & q &=&2 \end{matrix}\right. , nilai p-2pq+q adalah… .

\begin{matrix} a. & & 0 & & & & d. & & -1\\ & & & & & & & & \\ b. & & 1 & & & & e. & & -2\\ & & & & & & & & \\ c. & & 2 & & & & & & \end{matrix}.

27. Nilai p+q  yang memenuhi persamaan  \frac{2p+3q+4}{3p-q-10}=3  dan \frac{p-q+7}{-2p+q+5}=-3  adalah… .

\begin{matrix} a. & & -3 & & & & d. & & 3\\ & & & & & & & & \\ b. & & -1 & & & & e. & & 5\\ & & & & & & & & \\ c. & & 1 & & & & & & \end{matrix}.

28. Jika nilai a,\: b,\: dan\: c  memenuhi persamaan-persamaan berikut : \frac{25ab}{a+b}=\frac{1}{2}\: ,\: \: \frac{15bc}{b+c}=-1\: ,\: \: dan \: \frac{5ac}{a+c}=-\frac{1}{3} , maka nilai  \left ( a-b \right )^{1-c}  adalah… .

\begin{matrix} a. & & -2 & & & & d. & & 1\\ & & & & & & & & \\ b. & & -1 & & & & e. & & 2\\ & & & & & & & & \\ c. & & 0 & & & & & & \end{matrix}.

29. Jika matriks  A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5\\ 2 & 3 & 5\\ -3 & 0 & 8 \end{pmatrix} dan a_{ij}  menunjukkan unsur dari matriks A baris ke-i kolom ke-j , maka nilai a_{11}+a_{22}^{2}+\frac{1}{64}a_{33}^{3}

\begin{matrix} a. & & 16 & & & & d. & & 19\\ & & & & & & & & \\ b. & &17 & & & & e. & & 20\\ & & & & & & & & \\ c. & & 18 & & & & & & \end{matrix}.

30. Diketahui  matriks P=\begin{pmatrix} 2a-4 & 3b\\ d+2a & 2c\\ 4 & 7 \end{pmatrix} dan  matriks R=\begin{pmatrix} b-5 & 3a-c & 4\\ 3 & 6 & 7 \end{pmatrix} , jika matriks P^{t}=R , maka nilai dari a+b+c-d adalah… .

\begin{matrix} a. & & 3 & & & & d. & & 6\\ & & & & & & & & \\ b. & & 4 & & & & e. & & 7\\ & & & & & & & & \\ c. & & 5 & & & & & & \end{matrix}.

31. Diketahui matriks A=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} , maka nilai A^{2014} adalah… .

\begin{matrix} a. & \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 &1 \end{pmatrix} & & & & & d. & \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 2014 \end{pmatrix} & & \\ & & & & & & & & & \\ b. & \begin{pmatrix} 2014 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} & & & & & e. & \begin{pmatrix} 1 & 2014\\ 2014 & 1 \end{pmatrix} & & \\ & & & & & & & & & \\ c. & \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2014 & 1 \end{pmatrix} & & & & & & & & \end{matrix}.

32. Nilai dari \begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & 3 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & 4 \end{vmatrix}+...+\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & n \end{vmatrix}  adalah… .

\begin{matrix} a. & \frac{\left ( n-1 \right )n}{2} & & & & & d. & &\frac{n}{2} \\ & & & & & & & & \\ b. & \frac{n\left ( n+1 \right )}{2} & & & & & e. & & n\\ & & & & & & & & \\ c. & \frac{n+1}{2} & & & & & & & \end{matrix}.

33. Diketahui \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 210000\\ 190000 \end{pmatrix} . Nilai dari \frac{1}{10000}\left ( p-q \right ) … .

\begin{matrix} a. & & 1 & & & & d. & & 6\\ & & & & & & & & \\ b. & & 2 & & & & e. & & 8\\ & & & & & & & & \\ c. & & 3 & & & & & & \end{matrix}.

34. Diketahui A=\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\: ;\: B=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 2 & 3 \end{pmatrix}\: ;\: C=\begin{pmatrix} -1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}  dan jika 3\left ( X-C \right )=A+2B+2\left ( X-C \right ) , maka matriks X adalah… .

\begin{matrix} a. & \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 5 & 5 \end{pmatrix} & & & & & d. & \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 7 & 7 \end{pmatrix} & \\ & & & & & & & & \\ c. & \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 7 & 5 \end{pmatrix} & & & & & e. & \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2 & 5 \end{pmatrix} & \\ & & & & & & & & \\ c. & \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 5 & 7 \end{pmatrix} & & & & & & & \end{matrix}.

35. Nilai dari \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} adalah… .

\begin{matrix} a. & & -2 & & & & d. & &1 \\ & & & & & & & & \\ b. & & -1 & & & & e. & & 2\\ & & & & & & & & \\ c. & & 0 & & & & & & \end{matrix}.

Sumber Referensi

  1. Budhi, Wono Setya. 2014. Bupena Matematika SMA/MA Kelas X Kelompok Wajib. Jakarta: Erlangga.
  2. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. 2013. Matematika Kelas X. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
  3. Sobirin. 2005. Kompas Matematika: Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika SMA Kelas 1. Depok: Kawan Pustaka.
  4. Susianto, Bambang. 2011. Olimpiade Matematika dengan Proses Berpikir Aljabar dan Bilangan. Jakarta: Grasindo.
  5. _________, Algebra: Teoria con 8000 Problemas Propuestos y Resueltos

Contoh Soal Barisan dan Deret

1. Misalkan di pojok sebuah ruangan beberapa kubus diletakkan bersusun terdiri dari 4 lapisan, perhatikan gambar berikut

68

Berdasarkan gambar di atas, tentukanlah

a. Berapa jumlah kubus yang terdapat pada lapisan ke-4?

b. Berapakah total jumlah kubus yang terdapat pada gambar di atas?

c. Misalkan terdapat 8 lapisan, maka berapakah total kubus yang terdapat pada pojok ruangan?

d. Berapakah banyak lapisan akan ada, jika pada dasar lapisan terdapat 300 kubus?

Jawab:

Dengan mengasumsikan lapisan pertama adalah yang paling atas, maka banyak kubus sesuai lapisan dapat kita tuliskan sebagai pola bilangan sebagai berikut:

1,3,6,10

Sehingga apa bila ada 10 lapisan maka

1,3,6,10,15,21,28,36,45,55

a. jumlah kubus yang terdapat pada lapisan ke-4 adalah sebanyak 10.

b. Jumlah total kubus yang terdapat sesuai gambar adalah dengan memperhatikan polanya ada sebanyak 20 kubus.

c. Jika ada 8 lapisan maka total kubus ada sebanyak 120.

d. Banyak lapisan jika paling dasar saja terdapat 300

Perhatikan lagi pola bilangan di atas. Pola bilangan tersebut kalau kita tuliskan lagi dapat kita kondisikan sebagai berikut

69

yaitu

u_{n}=\frac{1}{2}n\left ( n+1 \right )

Sehingga untuk

u_{n}=\frac{1}{2}n\left ( n+1 \right )=300\\ n\left ( n+1 \right )=600\\ n\left ( n+1 \right )=24\times 25\\ n\left ( n+1 \right )=24\times \left ( 24+1 \right )\\ Jadi\\ n=24

2. Tentukanlah apakah barisan berikut  adalah barisan aritmetika, geometri atau barisan lainnya

\begin{matrix} a. & &u_{n}=10-\frac{3}{5}n \\ b. & &-2,-4,-8,-16,... \\ c. & & 1,1,2,3,5,8,...\\ d. & &u_{n}=3^{\frac{n}{2}} \end{matrix}

Jawab:

a. Karena peubahnya hanya n , dan pangkatnya 1 maka u_{n} akan berupa barisan aritmetika.

b. Perhatikanlah pola barisan bilangan tersebut, bilangan berikutnya dikalikan 2 , sehingga dapat dikatakan barisan tersebut adalah barisan geometri

c. Untuk barisan bilangan ini, dari suku pertama ke suku kedua dan berikutnya ternyata tidak memenuhi ketentuan barisan aritmetika maupun geometri. Jadi barisan ini termasuk bukan barisan aritmetika maupun geometri.

d.  Barisan ini memiliki aturan geometri, yaitu u_{n}=3^{\frac{n}{2}}=\sqrt{3}^{n} sehingga termasuk barisan geometri.

Berkaitan beda pada barisan aritmetika dan rasio pada barisan geometri silahkan dicari sebagai latihan.

3. Tentukanlah suku ke-8 dari barisan geometri berikut

\begin{matrix} a. & & 3,1,\frac{1}{3},\frac{1}{9},...\\ b. & & 1,4,16,64,... \end{matrix}

Jawab:

a. 3,1,\frac{1}{3},\frac{1}{9},...\left\{\begin{matrix} u_{1} & = & 3\\ & & \\ u_{2}&=&1\\ & &\\ r&=&\frac{u_{2}}{u_{1}}&=&\frac{1}{3} \end{matrix}\right.

Sehingga

u_{n}=ar^{n-1}\\ u_{8}=3.\left ( \frac{1}{3} \right )^{8-1}\\ u_{8}=3.3^{-7}\\ u_{8}=3^{-6}\\ u_{8}=\frac{1}{3^{6}}

b. Dengan ketentuan yang sama kita mendapatkan

1,4,16,64,...\left\{\begin{matrix} u_{1} & = & 1\\ & & \\ u_{2} & = & 4\\ & & \\ r & = & \frac{u_{2}}{u_{1}}&=&\frac{4}{1}&=&4 \end{matrix}\right.

sehingga

u_{8}=ar^{n-1}\\ u_{8}=1.4^{8-1}\\ u_{8}=4^{7}

 4. Tentukan banyak suku yang harus diambil supaya deret geometri 1+\left ( \frac{5}{4} \right )+\left ( \frac{5}{4} \right )^{2}+...  memiliki jumlah tidak lebih dari 32.

Jawab:

Diketahui bahwa deret geometri dengan

\left\{\begin{matrix} u_{1} & = & 1\\ & & \\ u_{2} & = & \frac{5}{4}\\ & & \\ r & = & \frac{5}{4} \end{matrix}\right.

Selanjutnya

S_{n}=\frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1}\leq 32\\ \frac{1.\left ( \left ( \frac{5}{4} \right )^{n}-1 \right )}{\frac{5}{4}-1}\leq 32\\ \left ( \frac{5}{4} \right )^{n}-1\leq 32.\frac{1}{4}\\ \left ( \frac{5}{4} \right )^{n}\leq 8+1\\ \log \left ( \frac{5}{4} \right )^{n}\leq \log 9

Sehingga

n\log \left ( \frac{5}{4} \right )\leq \log 9\\ n\leq \frac{\log 9}{\log \left ( \frac{5}{4} \right )}\\ n\leq 9,837.

Jadi, banyak suku supaya jumlah deret tersebut di atas tidak memiliki jumlah lebih dari 32 adalah 8 suku.

5. Tentukanlah jumlah dari

\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+...+\frac{1}{2014\times 2015}

Jawab:

Perhatikan bahwa

\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+...+\frac{1}{2014\times 2015}\\ =\left ( \frac{1}{1}-\frac{1}{2} \right )+\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right )+\left ( \frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right )+...+\left ( \frac{1}{2013}-\frac{1}{2014} \right )\\ =1-\frac{1}{2015}=\frac{2014}{2015}

6. Jumlah 5 suku pertama deret geometri adalah 93 dan rasio deret itu adalah 2. Hasil kali suku-3 dan ke-6 adalah…

Jawab:

Diketahui deret geometri dengan r=2 , dan

a+2a+4a+8a+16a=93\\ 31a=93\\ a=3\\ \\ maka\\ \\ u_{3}\times u_{6}=\left ( 4\times 3 \right )\times \left ( 32\times 3 \right )\\ =1152

 7. Sebuah bola dijatuhkan dari gedung setinggi 3 meter ke lantai dan memantul kembali setinggi \frac{4}{5} dari tinggi sebelumnya (lihat ilustrasi gambar di bawah). Tentukanlah panjang lintasan bola tersebut sampai pada pantulan ke-10

71

Jawab:

Misalkan panjang lintasannya adalah S_{total} , maka

S_{total}=u_{1}+2\left ( u_{2}+u_{3}+u_{4}+...+u_{10} \right )\\ \Leftrightarrow \: S_{total}=2\left ( u_{1}+u_{2}+u_{3}+...+u_{10} \right )-u_{1}\\ \Leftrightarrow \: S_{total}=2S_{10}-u_{1}

Perhatikan tabel berikut

\begin{array}{|c|c|c|}\hline Deret&Jumlah\quad suku-suku&Nilai\\\hline S_{1}&u_{1}&3\\\hline S_{2}&u_{1}+u_{2}&\displaystyle 3+\frac{12}{5}=3\left ( \frac{9}{5} \right )=3\left ( \frac{25-16}{5} \right )\\\hline S_{3}&u_{1}+u_{2}+u_{3}&\displaystyle 3+\frac{12}{5}+\frac{48}{25}=3\left ( \frac{61}{25} \right )=3\left ( \frac{125-64}{25} \right )\\\hline S_{4}&u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}&\displaystyle 3+\frac{12}{5}+\frac{48}{25}+\frac{192}{125}=3\left ( \frac{369}{125} \right )=3\left ( \frac{625-256}{125} \right )\\\hline ...&...&...\\\hline S_{n}&u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+...+u_{n}&\displaystyle S_{n}=3\left ( \frac{5^{n}-4^{n}}{5^{n-1}} \right )\\\hline \end{array}.

Sehingga

S_{10}=3\left ( \frac{5^{10}-4^{10}}{5^{9}} \right ).

maka

S_{total}=6\left ( \frac{5^{10}-4^{10}}{5^{9}} \right )-3.

8. Tentukanlah nilai dari

1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+...+\frac{1}{1+2+3+4+...+2014}

Jawab:

1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+...+\frac{1}{1+2+3+4+...+2014}.

=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+...+\frac{1}{\frac{1}{2}\left ( 2014\times 2015 \right )}.

\begin{matrix} 1 & = & \frac{2}{1} &-&\frac{2}{2} \\ \frac{1}{1+2} & = & \frac{2}{2} &-&\frac{2}{3} \\ \frac{1}{1+2+3} & = & \frac{2}{3} &-&\frac{2}{4} \\ \vdots & = & \vdots & -&\vdots \\ \frac{1}{1+2+3+4+...+2014}& = & \frac{2}{2014} &-&\frac{2}{2015} \end{matrix}.

Jadi

\frac{2}{1}-\frac{2}{2015}=\frac{4030-2}{2015}=\frac{4028}{2015}.

9. Diberikan susunan bilangan

7474474447444474444474444447...

Berapa banyak bilangan sebelum digit 7 yang ke-2014?

Jawab:

Coba perhatikan untuk

\bullet \: Sebelum\: digit\: 7\: yang\: ke-2\: ada\: 2\: bilangan\: atau\: \frac{2\times 3}{2}-1\: bilangan\\ \\ \bullet \:Sebelum\: digit\: 7\: yang\: ke-3\: ada\: 5\: bilangan\: atau\: \frac{3\times 4}{2}-1\: bilangan\\ \\ \bullet \: Sebelum\: digit\: 7\: yang\: ke-4\: ada\: 9\: bilangan\: atau\: \frac{4\times 5}{2}-1\: bilangan\\ \\ dst\\ \\ \bullet \: Sebelum\: digit\: 7\: yang\: ke-n\: ada\: bilangan\: sebanyak\: \frac{n\times (n+1)}{2}-1\: bilangan\\

Sehingga sebelum digit 7 yang ke-2014 akan ada bilangan sebanyak \frac{2014\times 2015}{2}-1

10. Sederhanakan penjumlahan dari

  • 1+11+111+1111+...+\underset{2014}{\underbrace{1...1}}
  • 9+99+999+9999+...+\underset{2014}{\underbrace{9...9}}

Jawab:

Misalkan kita kerjakan yang

9+99+999+9999+...+\underset{2014}{\underbrace{9...9}}.

Kita anggap sebagai

S_{n}=9+99+999+9999+...+\underset{n}{\underbrace{9...9}}\\ \\ S_{n}=\left ( 10-1 \right )+\left ( 10^{2}-1 \right )+\left ( 10^{3}-1 \right )+\left ( 10^{4}-1 \right )+...+\left ( 10^{n}-1 \right )\\ \\ S_{n}=10+10^{2}+10^{3}+10^{4}+...+10^{n}-\left ( \underset{n}{\underbrace{1+1+1+...+1}} \right )\\ \\ S_{n}=10\left ( \frac{10^{n}-1}{10-1} \right )-n\\ \\ S_{n}=\frac{1}{9}\left ( 10^{n+1}-10-9n \right )

Sehingga

S_{2014}=\frac{1}{9}\left ( 10^{2015}-10-9\times 2014 \right ).

Untuk bentuk

1+11+111+1111+...+\underset{2014}{\underbrace{1...1}} , cukup dengan

9+99+999+9999+...+\underset{2014}{\underbrace{9...9}} kita bagi dengan 9.

1+11+111+1111+...+\underset{m}{\underbrace{1...1}}\\ \\ S_{m}=1+11+111+1111+...+\underset{m}{\underbrace{1...1}}\\ \\ S_{m}=\frac{1}{81}\left ( 10^{m+1}-10-9m \right )\\ \\ Sehingga\\ \\ S_{2014}=\frac{1}{81}\left ( 10^{2015}-10-9\times 2014 \right ).

Sumber Referensi

  1. Kanginan, Marthen, Yuza Terzalgi. 2013. Matematika Untuk SMA/MA Kelas X. Bandung: SEWU.
  2. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. 2013. Matematika Kelas X. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.