Barisan dan Deret (2)

A. Barisan Geometri

Perhatikalah susunan bilangan berikut ini

1,\: \frac{1}2,\: \frac{1}{4},\: \frac{1}{8},\: \frac{1}{16},\: ...

Dari pola bilangan di atas kita menndapatkan bahwa

1,\: \frac{1}2,\: \frac{1}{2}\times \frac{1}{2},\: \frac{1}{2}\times\frac{1}{4} ,\: \frac{1}{2}\times \frac{1}{8},\: ...

sehingga ada hal menarik, yaitu

\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{u_{3}}{u_{2}}=\frac{u_{4}}{u_{3}}=...=\frac{u_{n}}{u_{n-1}}=\frac{1}{2}

selanjutnya dapat kita tuliskan

u_{1}=a=1\\ u_{2}=u_{1}\times \frac{1}{2}=1\times \frac{1}{2}\: \Leftrightarrow \: u_{2}=a.r\\ u_{3}=u_{2}\times \frac{1}{2}=1\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=1\times \frac{1}{4}\: \Leftrightarrow \: u_{3}=a.r^{2}\\ u_{4}=u_{3}\times\frac{1}{2}=1\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=1\times \frac{1}{8}\: \Leftrightarrow \: u_{4}=a.r^{3} \\ ...=...\\ u_{n}=a.r^{n-1}.

Pembanding yang selalu tetap selanjutnya disebut sebagai rasio  dalam hal ini adalah r.

2. Deret Geometri

deret geometri adalah penjumlahan pada suku-suku yang memiliki pola geometri.

Misalkan

S_{n}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+ar^{5}+...+ar^{n-1}

Untuk mencari besar S_{n} , maka dengan mengalikan sebesar r  ke S_{n}  kita mendapatkan bahwa

rS_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+ar^{5}+ar^{6}+...+ar^{n}

 S_{n}-rS_{n}=\left ( a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+...+ar^{n-2}+ar^{n-1} \right )-\left ( ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+ar^{5}+...+ar^{n-1}+ar^{n} \right )\\ \left ( 1-r \right )S_{n}=a-ar^{n}=a\left ( 1-r^{n} \right )\\ S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}

\LARGE\fbox{Contoh Soal}

1. Tentukanlah suku ke-10 dari barisan berikut

4,1,\frac{1}{4},\frac{1}{6},...

Jawab:

u_{10}=ar^{10-1}=ar^{9}\left\{\begin{matrix} a & = & 4\\ r & = & \frac{u_{2}}{u_{1}}&=&\frac{1}{4} \end{matrix}\right..

maka

u_{10}=ar^{9}=4.\left ( \frac{1}{4} \right )^{9}=\left ( \frac{1}{4} \right )^{-1}\times \left ( \frac{1}{4} \right )^{9}=\left ( \frac{1}{4} \right )^{8}.

2. Tentukan jumlah 10 suku pertama dari

4+1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+...

Jawab:

Dengan suku pertama dan rasio seperti pada soal no. 1 kita mendapatkan

S_{10}=\frac{4.\left ( 1-\left ( \frac{1}{4} \right )^{10} \right )}{1-\frac{1}{4}}=\frac{16}{3}\left ( 1-\left ( \frac{1}{4} \right )^{10} \right )

3. Suatu deret geometri  dengan S_{n}=3.2^{n}-1 , maka suku ke-2014 deret tersebut adalah… .

Jawab:

Diketahui S_{n}=3.2^{n}-1 , maka suku ke-2014 adalah u_{2014}=S_{2014}-S_{2013}.  Sehingga

u_{2014}=S_{2014}-S_{2013}\\ u_{2014}=\left ( 3.2^{2014}-1 \right )-\left ( 3.2^{2013}-1 \right )\\ =3.2^{2014}-3.2^{2013}\\ =3.2^{2013}\left ( 2-1 \right )\\ =3.2^{2013}.

4. Diketahui deret geometri dengan \frac{u_{4}}{u_{6}}=p dan u_{2}\times u_{8}=\frac{1}{p} , maka suku pertama deret geometri tersebut adalah… .

Jawab:

Diketahui bahwa

\left\{\begin{matrix} \frac{u_{4}}{u_{6}} &= & p\\ & & \\ u_{2}\times u_{8}&=&\frac{1}{p} \end{matrix}\right.

maka

\frac{u_{6}}{u_{4}}=\frac{ar^{5}}{ar^{3}}=r^{2}=\frac{1}{p}\\ dan\\ u_{2}\times u_{8}=ar\times ar^{7}=a^{2}r^{8}=\left ( ar^{4} \right )^{2}=\frac{1}{p}\Leftrightarrow \: u_{5}=\sqrt{\frac{1}{p}}\\ sehingga\\ u_{5}=ar^{4}=a\left ( r^{2} \right )^{2}\Leftrightarrow \: \sqrt{\frac{1}{p}}=a\left ( \frac{1}{p} \right )^{2}\\ a=p^{2}\times \sqrt{\frac{1}{p}}=p\times p\times p^{-\frac{1}{2}}=p\times p^{\frac{1}{2}}=p\sqrt{p}

\LARGE\fbox{Latihan Soal}

  1. Hitunglah jumlah 20 suku pertama dari deret geometri  1+\frac{4}{5}+\left ( \frac{4}{5} \right )^{2}+....
  2. Diketahui deret geometri  dengan S_{n}=3.2^{n}-1 , maka suku ke-20 deret tersebut adalah… .
  3. Jika suku pertama barisan geometri adalah \sqrt[3]{x} dan suku ke-2 adalah \sqrt{x} , maka suku ke-20 adalah…
  4. Jika suku pertama barisan geometri adalah 3 dan suku ke-6 adalah 96, maka 3072 adalah suku ke… .
  5. Tentukanlah suku ke-2014 dan jumlah 2014 suku pertama dari  3-2+\frac{4}{3}-\frac{8}{9}+....
  6. Tentukanlah  suku ke-2014 dan jumlah 2014 suku pertama dari  4+\frac{4}{3}+\frac{4}{9}+....
  7. Jika pada deret geometri u_{1}=x^{-2}\: ,\: u_{5}=x^{2}\: ,dan\: u_{9}=64 , maka u_{7}=....
  8. Jika jumlah n suku dari sebuah deret geometri yang rasionya r adalah S_{n}, maka nilai \frac{S_{6n}}{S_{3n}}=....

 

Sumber Referensi

  1. Wajik S, Jero, Suardhana Linggih dan Yose Rizal Syahrudin. 1981 . Ringkasan
    Matematika IPA . Bandung: Ganeca Exact.

Barisan Dan Deret

A. Pola Bilangan

Pola dalam matematika kaitannya dengan bilangan adalah suatu susunan bilangan dengan aturan tertentu.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Misalkan beberapa kelereng disusun  dan dikelompokkan dalam bentuk persegi sebagaimana berikut

64

kalau kita cermati maka kita dari kiri ke kanan masing-masing jumlah kelereng pada tiap kelompok berturut-turut adalah; 1, 4, 9, 16, 25.

sehingga kalau kita rinci

65

Dapatkah Anda menentukan kelompok ke-6, ke-7, ke-8, dan seterusnya?

Kalau kita amati dari kelompok 1, 2, 3, 4, sampai 5 ternyata membentuk pola banyak kelereng tertentu

 \begin{tabular}{|c|c|c|}\hline Kelompok&Banyak kelereng&pola\\\hline \boxed{k_{1}}&1&1=1x1\\\hline \boxed{k_{2}}&4&4=2x2\\\hline \boxed{k_{3}}&9&9=3x3\\\hline \boxed{k_{4}}&16&16=4x4\\\hline \boxed{k_{5}}&25&25=5x5\\\hline ... &...&...\\\hline \boxed{k_{n}}&?&?=nxn\\\hline \end{tabular}

dengan memperhatikan pola bilangan di atas kita akan dengan mudah menemukan jumlah kelereng kelompok 6 , yaitu jumlahnya akan sama dengan 6 x 6 = 36 demikian seterusnya.

B. Menemukan Pola Barisan dan Deret

Perhatikan bilangan berikut

\frac{1}{2}, \frac{1}{6},\frac{1}{12},\frac{1}{20},\frac{1}{30},...,\frac{1}{9900}

kalau kita tabelkan sebagaimana berikut

\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline Suku ke&Nilai&Pola\\\hline \boxed{u_{1}}&\boxed{\frac{1}{2}}&\boxed{\frac{1}{2}=\frac{1}{1\times 2}}\\\hline \boxed{u_{2}}&\boxed{\frac{1}{6}}&\boxed{\frac{1}{6}=\frac{1}{2\times 3}}\\\hline \boxed{u_{3}}&\boxed{\frac{1}{12}}&\boxed{\frac{1}{12}=\frac{1}{3\times 4}}\\\hline ...&...&...\\\hline \end{tabular}.

kita akan dengan mudah menentukan suku ke-n atau u_{n} , yaitu akan mengikuti pola u_{n}=\frac{1}{n\times (n+1)}. Sehingga kita tidak akan kesulitan apabila ingin mengetahui suku ke-2014, yaitu

u_{2014}=\frac{1}{2014\times (2015)}.

C. Barisan Aritmetika

Menurut definisi

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan di mana beda setiap suku yang berurutan akan sama.

Perhatikan untuk

jika u_{1}=au_{2}=a+b, maka u_{3}=a+b+b=a+2b dan untuk suku seterusnya akan selalu ditambahkan dengan beda ” b “. Sehingga

b=u_{2}-u_{1}=u_{3}-u_{2}=u_{4}-u_{3}=...=u_{n}-u_{n-1}. Selanjutnya suku-suku pada barisan aritmetika dapat kita tuliskan sebagai berikut:

\begin{matrix} u_{1} & = & a&\\ u_{2} & = & u_{1}&+&b&=&u_{1}&+&1.b\\ u_{3} & = & u_{2}&+&b&=&u_{1}&+&2.b\\ u_{4} & = & u_{3}&+&b&=&u_{1}&+&3.b\\ u_{5} & = & u_{4}&+&b&=&u_{1}&+&4.b\\ ... & = & ...\\ u_{n} & = & u_{1}&+&(n-1)b \end{matrix}

D. Deret Aritmetika

adalah apabila jika pada barisan aritmetika dijumlahkan atau dihubungkan dengan tanda jumlah

Perhatikanlah untuk deret aritmetika berikut

misalkan deret aritmetika dilambangkan dengan S_{n}
, maka

S_{n}=a+\left ( a+b \right )+\left ( a+2b \right )+\left ( a+3b \right )+...+\left ( a+(n-1)b \right )

dan

S_{n}=a+\left ( a+b \right )+\left ( a+2b \right )+\left ( a+3b \right )+...+\left ( a+(n-1)b \right )\\ S_{n}=\left ( a+(n-1)n \right )+...+\left ( a+3b \right )+\left ( a+2b \right )+\left ( a+b \right )+a

——————————————————   +

2S_{n}=2a+(n-1)b+2a+(n-1)b+...+2a+(n-1)b\\ 2S_{n}=n\left ( 2a+(n-1)b \right )\\ S_{n}=\frac{n}{2}\left ( 2a+(n-1)b \right )\\ S_{n}=\frac{n}{2}\left ( a+a+(n-1)b \right )\\ S_{n}=\frac{n}{2}\left ( u_{1}+u_{n} \right )

\LARGE\fbox{Contoh Soal}

1. Perhatikan susunan bilangan memiliki pola sebagai berikut

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\hline 1&3&7&15&...&... \\\hline \end{tabular}

maka tentukanlah titik-titik pada kotak ke-5 dan ke-6 adalah… .

Jawab:

dengan melihat polanya kita menemukan hubungan sebagai mana ilustrasi berikut

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\hline 1&3&7&15&...&... \\\hline 1&1+2=3&3+4=7&7+8=15&15+16=31&31+32=63\\\hline 1&3&7&15&31&63\\\hline \end{tabular}

ternyata suku setelahnya diperoleh dengan cara suku sebelumnya ditambah dengan  2^{n-1}.

Misalkan

u_{2}=u_{1}+2^{2-1}=1+2^{1}=1+2=3\\ u_{3}=u_{2}+2^{3-1}=3+2^{2}=3+4=7\\ u_{4}=u_{3}+2^{4-1}=7+2^{3}=7+8=15\\ ...\\ dst

2. Diketahui barisan aritmetika 1,2,3,4,5,…, maka besar suku ke-15 atau u_{15} adalah… .

Jawab:

Dari soal diketahui bahwa

\left\{\begin{matrix} u_{1} &= & 1,&u_{2}&=&2,&u_{3}&=&3,&dst\\ &&&\\ b & = &u_{2}-u_{1}&=&u_{3}-u_{2}=1 \\ & & \\ u_{n} & = & a&+&(n-1)b \end{matrix}\right.

sehingga

u_{15}=a+(15-1)b\: \: ,\: maka\\ u_{15}=1+14.1=15

3. Perhatikanlah barisan bilangan berikut

4, 1, -2, -5, -8, …, maka besar suku ke 15 adalah… .

Jawab:

\left\{\begin{matrix} u_{1} &=&4, &u_{2}&=&1,&u_{3}&=&-2\\ & & \\ b & = & u_{2}-u_{1}&=&u_{3}-u_{2}=-3\\ & & \\ u_{n} & = & a&+&(n-1)b \end{matrix}\right.

maka u_{15}=a+(15-1)b\\ u_{15}=4+(14).-3\\ u_{15}=-38

4. Tentukanlah jumlah deret aritmetika dari

1+2+3+4+5+...+2014

Jawab:

diketahui\\ n=2014\\ u_{1}=1,\: u_{2014}=2014\\ S_{2014}=\frac{1}{2}\left ( u_{1}+u_{2014} \right ).

Sehingga

S_{2014}=\frac{2014}{2}\left ( 1+2014 \right )=1007\times 2015

E. Induksi Matematika

Misalkan P(n)  adalah sebuah pernyataan yang akan dibuktikan kebenarannya untuk semua bilangan asli n,

  1. P(1) bernilai benar
  2. Jika P(n) benar, maka P(n+1) untuk semua n bilangan asli.
\LARGE\fbox{Contoh Soal}

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku

1+2+3+4+...+n=\frac{1}{2}\left ( n\times (n+1) \right )

Bukti:

Misalkan

P(n)=1+2+3+4+...+n=\frac{1}{2}\left ( n\times (n+1) \right )

Langkah pertama:

untuk n=1 , diperoleh 1=\frac{1}{2}\left ( 1\times (1+1) \right ) adalah benar, maka P(1) benar.

Langkah kedua:

Anggap P(n=k) benar, yakni

P(k)=1+2+3+4+...+k=\frac{1}{2}\left ( k\times (k+1) \right ).

Langkah ketiga:

Akan ditunjukkan P(n=k+1) benar, yaitu

1+2+3+4+...+k+(k+1)=\frac{(k+1)\times ((k+1)+1)}{2}.

Sebagai bukti:

1+2+3+4+...+k+(k+1)=\frac{k\times (k+1)}{2}+(k+1)\\ =(k+1)\left ( \frac{k}{2}+1 \right )\\ =\frac{1}{2}\left ( k+1 \right )\left ( k+1 \right )\\ =\frac{1}{2}\left ( k+1 \right )\left ( (k+1)+1 \right )

Karena p(k+1) terbukti, maka

terbukti bahwa

1+2+3+4+...+n=\frac{1}{2}\left ( n\times (n+1) \right ) berlaku untuk setiap bilangan asli  n.

\LARGE\fbox{Latihan Soal}

1. Carilah nilai titik-titik berikut berkaitan dengan pola bilangan

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline 1&1&2&3&5&8&...&...\\\hline \end{tabular}

2. Seutas pita dibagi 10 bagian dengan panjang yang membentuk deret aritmetika. Jika pita terpendek 20 cm dan yang terpanjang 155 cm, maka panjang pita semula adalah… .

3. Suku ke-2 dari suatu deret aritmetika adalah 5. Jika jumlah suku ke-4 dan ke-6 adalah 28, maka suku ke-9 adalah… .

4. Jika jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah S_{n}=2n^{2}+3n , maka beda deret tersebut adalah… .

5. Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk n bilangan asli berlaku

  • 1+2+3+4+...+n=\frac{1}{2}\left ( n^{2}+n \right )
  • 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+...+n^{2}=\frac{1}{6}\left ( 2n^{3}+3n^{2}+n \right )
  • 1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+...+n^{3}=\frac{1}{4}\left ( n^{4}+2n^{3}+n^{2} \right )
  • 1^{4}+2^{4}+3^{4}+4^{4}+...+n^{4}=\frac{1}{30}\left ( 6n^{5}+15n^{4}+10n^{3}-n \right )

Sumber Referensi

  1. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. 2013. Matematika Kelas X. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
  2. http://www.atilim.edu.tr/~abdullah/md200401.pdf

Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel (SPtLDV)

SPtLDV adalah gabungan dari beberapa pertidaksamaan yang salah satu variabelnya berderajat paling tinggi dua(kuadrat) dan derajat yang lainnya paling kecil nol.

Grafik untuk Sitem pertidaksamaan Linear Dua Variabel(SPtLDV) adalah himpunan titik-titik yang merupakan seluruh penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut dan himpunan titik-titik ini selanjutnya disebut sebagai daerah himpunan penyelesaian.

Ada beberapa ketentuan untuk gambar kurva

  • Jika pertidaksamaan menggunakan lambang < \: \: atau\: > , maka kurva pembatasnya berupa garis putus-putus.
  • jika pertidaksamaan menggunakan lambang \leq \: \: atau\: \geq , maka kurva pembatasnya berupa garis tanpa putus-putus

 

\LARGE\fbox{Contoh Soal}

1. Sketsalah grafik dari sistem pertidaksamaan kuadrat-linear dari

\left\{\begin{matrix} y & \geq & x^{2} \\ y & < & x & +&2 \end{matrix}\right.

Jawab:

Untuk menyelesaikan sketsa grafik dari pertidaksamaan soal tersebut di atas, coba perhatikanlah langkah berikut;

untuk  y\geq x^{2} ,

\begin{tabular}{|r|r|c|c|c|c|}\hline x&-2&-1&0&1&2\\\hline y&4&1&0&1&4\\\hline (x,y)&(-2,4)&(-1,1)&(0,0)&(1,1)&(2,4)\\\hline \end{tabular}

untuk  y< x+2

\begin{tabular}{|r|r|c|c|c|c|}\hline x&-2&-1&0&1&2\\\hline y&0&1&2&3&4\\\hline (x,y)&(-2,0)&(-1,1)&(0,2)&(1,3)&(2,4)\\\hline \end{tabular}

Untuk penentuan titik potong, maka yang perlu kita lakukan adalah menyamakan y=y.

x^{2}=x+2\: \: \Rightarrow \: x^{2}-x-2=0\: \: \Rightarrow \: \left ( x+1 \right )\left ( x-2 \right )=0

sehingga diperoleh

 x=-1\: \: atau\: \: x=2

Langkah berikutnya gunakan titik uji untuk mengetahui daerah penyelesaian yang dimaksud, misalkan kita ambil contoh titik\: (1,1) , kemudian kita cobakan ke kedua pertidaksamaan tersebut.

Langkah berikutnya membuat sketsa grafik yang diinginkan dari

\left\{\begin{matrix} y & \geq & x^{2} \\ y & < & x & +&2 \end{matrix}\right.

perhatikanlah hasil akhir berikut

62

Daerah yang berwarna hijau merupakan daerah himpunan penyelesaian

2. Sketsalah grafik dari sistem pertidaksamaan berikut

\left\{\begin{matrix} x^{2}&+&y^{2}&\geq &4 \\ x^{2}&+&y^{2}&< &9 \end{matrix}\right.

Jawab:

Untuk menyelesaikan sketsa grafik dari pertidaksamaan soal tersebut di atas, coba perhatikanlah pula langkah berikut;

kedua pertidaksamaan di atas adalah (persamaan) lingkaran

lingkaran yang berada di dalam adalah x^{2}+y^{2}=4 adalah sebuah persamaan lingkaran dengan pusat di (0,0) dan berjari-jari 2. Sedangkan lingkaran yang berada di sisi luar (yang besar) memiliki persamaan x^{2}+y^{2}=9 adalah persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari-jari 3.

Perhatikanlah tabel berikut

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline No&Lingkaran1&lingkaran2&Pusat&jari-jari\\\hline 1&x^{2}+y^{2}=4&&(0,0)&2\\\hline 2&&x^{2}+y^{2}=9&(0,0)&3\\\hline \end{array}.

Untuk mengetahui daerah penyelesaian, tentukanlah titik ujinya. Misalkan titik uji kita tetapkan (2,2) kita masukkan ke kedua pertidaksamaan tersebut yaitu

\left\{\begin{matrix} x^{2}&+&y^{2}&\geq &4 \\ x^{2}&+&y^{2}&< &9 \end{matrix}\right.

ternyata memenuhi, silahkan cek sendiri

Sebagai perbandingan hasil pengecekannya,

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \multicolumn{4}{|c|}{Lingkaran1;\quad x^{2}+y^{2}\geq 4}\\\hline No&Titik\quad uji&Proses&Hasil/Keterangan\\\hline 1&(0,0)&0^{2}+0^{2}\geq 4&Salah\\\hline 2&(1,1)&1^{2}+1^{2}\geq 4&Salah\\\hline 3&(2,2)&2^{2}+2^{2}\geq 4&Benar\\\hline 4&(3,3)&3^{2}+3^{2}\geq 4&Benar\\\hline 5&(4,4)&4^{2}+4^{2}\geq 4&Benar\\\hline \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\hline \vdots &dst&dst&dst\\\hline \end{array}\qquad \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \multicolumn{4}{|c|}{Lingkaran2;\quad x^{2}+y^{2}< 9}\\\hline No&Titik\quad uji&Proses&Hasil/Keterangan\\\hline 1&(0,0)&0^{2}+0^{2}< 9&Benar\\\hline 2&(1,1)&1^{2}+1^{2}< 9&Benar\\\hline 3&(2,2)&2^{2}+2^{2}< 9&Benar\\\hline 4&(3,3)&3^{2}+3^{2}< 9&Salah\\\hline 5&(4,4)&4^{2}+4^{2}< 9&Salah\\\hline \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\hline \vdots &dst&dst&dst\\\hline \end{array}.

Sebagai langkah akhir tinggal kita sketsa saja grafik yang diinginkan yaitu

63

Daerah yang berwarna hijau merupakan daerah himpunan penyelesaian

\LARGE\fbox{Latihan Soal}

Lukislah grafik dari SPtLDV berikut

1. \left\{\begin{matrix} x^{2} & + & y^{2} &< &25 \\ y &> & 2x \end{matrix}\right.

2. \left\{\begin{matrix} y&\leq &3 \\ x^{2} &+ & y^{2}> 16 \end{matrix}\right.

3. \left\{\begin{matrix} y&\geq &x^{2}&+&2x \\ y^{2} &- & x^{2}&\leq & 9 \end{matrix}\right.

4. \left\{\begin{matrix} y&< &x^{2}&+&2 \\ y &\geq &3x&+&4 \end{matrix}\right.

5. \left\{\begin{matrix} x^{2}&+&y^{2}&< &16 \\ x^{2}&+&y^{2}&\geq &4 \end{matrix}\right.

6. \left\{\begin{matrix} x^{2}&+&4y^{2}&> &16 \\ y&-&x^{2}&\leq &0 \end{matrix}\right.

7. \left\{\begin{matrix} y & \geq & 1 \\ 2x & - & 3y &\leq &0 \\ x^{2} & + & y^{2} & < &0 \end{matrix}\right.

8. \left\{\begin{matrix} 4x & + & 3y&\leq &12 \\ y& \geq & x^{2} &- &1\\ x & \leq & 2 \end{matrix}\right.

9. \left\{\begin{matrix} y& \geq &x^{2} \\ y& \leq & 2&-&x^{2}\\ x &\geq & 0 \end{matrix}\right.

10. \left\{\begin{matrix} y & \geq &x^{2}&-&4x&+&3 \\ y & \leq & -x^{2}&+&2x&+&3 \end{matrix}\right.

 

Catatan:

Sebagai jawaban untuk no. 4

berikut ilustrasi grafiknya

Sumber Referensi

  1. Sukino. 2013. Matematika Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Jakarta: Erlangga.

Contoh Soal Relasi dan Fungsi

1. perhatikan ilustrasi berikut

59

[sumber]

2. Jika diketahui  f(x)=-x+3  , maka f\left ( x^{2} \right )+f\left ( x \right )^{2}-2f\left ( x \right )=....

Jawab:

\left\{\begin{matrix} f\left ( x^{2} \right ) & = & -x^{2} &+&3 \\ \left ( f(x) \right )^{2} & = & x^{2} & -&6x&+&9\\ -2f(x) & = & 2x &-&6 \end{matrix}\right.

——————————   +

 =-4x+6

3. Diketahui f(x)=2x+3 , maka \frac{f(x+h)-f(x)}{h} adalah… .

Jawab:

\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{2(x+h)+3-(2x+3)}{h}=\frac{2x+2h+3-2x-3}{h}=\frac{2h}{h}=2

4. Jika f(x)=\frac{x}{x-1} maka nilai f(3x) jika dinyatakan  dalam f(x)  adalah… .

Jawab:

f(x)=\frac{x}{x-1}\: \: \Rightarrow \: \: f(3x)=\frac{3x}{3x-1}=\frac{\left ( \frac{3x}{x-1} \right )}{\left ( \frac{3x-1}{x-1} \right )}=\frac{3\left ( \frac{x}{x-1} \right )}{\frac{2x}{x-1}+\frac{x-1}{x-1}}=\frac{3f(x)}{2f(x)+1}

5. Untuk semua x >0 , tentukanlah nilai 2f(x) , jika diketahui  f(2x)=\frac{2}{2+x}

Jawab:

kita misalkan 2x=y , maka x=\frac{y}{2}. Sehingga  f(y)=\frac{2}{2+\frac{y}{2}}=\frac{4}{4+y}

atau dengan kata lain f(x)=\frac{4}{4+x}.

Jadi, nilai dari 2f(x)=2.\left ( \frac{4}{4+x} \right )=\frac{8}{4+x}

6. Untuk n> 0 , fungsi ditentukan oleh:

f(x)=\left\{\begin{matrix} n & + & 3 &,& jika&n&bilangan&ganjil, \\ \frac{n}{2} & , & jika &n&bilangan&genap. \end{matrix}\right.

Jika m bilangan bulat ganjil dan f(f(f(m)))=27 , maka jumlah digit dari m  adalah… .

Jawab:

Karena m adalah bilangan bulat ganjil, maka f(m)=m+3, yang mana merupakan bilangan bulat genap. Sehingga

f(f(m))=f(m+3)=\frac{m+3}{2}.

Sampai langkah di sini kita akan dihadapkan pada 2 kemungkinan , apakah bilangan genap atau ganjil bentuk f(f(m)).

Jika f(f(m)) adalah bilangan bulat genap, maka

f(f(f(m)))=\frac{\frac{m+3}{2}}{2}=\frac{m+3}{2}=27\: \: \Rightarrow \: m=105.

Jika f(f(m)) adalah bilangan bulat ganjil, maka

f(f(f(m)))=\frac{m+3}{2}+3=27\: \: \Rightarrow \: m=45.

untuk\left\{\begin{matrix} x=105 & maka & f(f(f(105)))=f(f(108))=f(54)=27 &adalah&benar \\ x=45 & maka & f(f(f(45)))=f(f(48))=f(24)=12 & berarti&salah \end{matrix}\right.

Jadi, nilai m=105 , dan jumlah digitnya adalah 1+0+5=6.

7. Tentukanlah nilai dari \sqrt{1+2011\times 2012\times 2013\times 2014}

Jawab:

Kita misalkan   f(x)=\sqrt{1+a\times (a+1)\times (a+2)\times (a+3)}.

Dari bentuk di atas sebenarnya kita mencari nilai dari f(2011).

f(x)=\sqrt{1+a\times (a+1)\times (a+2)\times (a+3)}=\sqrt{1+\left ( a^{2}+3a \right )\left ( a^{2}+3a+2 \right )}=.

dengan memisalkan  a^{2}+3a=y , maka kita memperoleh

f(x)=\sqrt{1+a\times \left ( a+2 \right )}=\sqrt{a^{2}+2a+1}=\sqrt{\left ( a+1 \right )^{2}}=\left | a+1 \right |.

Sehingga  nilai dari f(x)=\left | a\left ( a+3 \right )+1 \right |.

Jadi f(2011)=\left | 2011.2014+1 \right |=2011.2014+1.

Relasi dan Fungsi

A. Relasi

1. Pendahuluan

  • Pasangan terurut; didefinisikan sebagai pasangan bilangan (x,y) dengan x menempati urutan pertama dan y menempati urutan kedua. Selanjutnya pasangan (x,y) disebut koordinat, dengan x sebagai absis dan y sebagai ordinat.
  • Produk kartesius; jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, maka produk kartesius dari himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dengan  x ∈ A dan y ∈ B. Selanjutnya produk kartesius dari dua himpunan A dan B dituliskan sebagai   A\times B=\left \{ \left ( x,y \right )|\: x\: \epsilon \: A\: \: dan\: \: y\: \epsilon\: B \right \}

 

\LARGE\fbox{Contoh Soal}

Misal  A=\left \{ 7,8,9 \right \} dan B=\left \{ 4,5 \right \}, maka tentukanlah A x B dan B x A

Jawab:

A\times B=\left \{ (7,4),(7,5),(8,4),(8,5),(9,4),(9,5) \right \} B\times A=\left \{ (4,7),(4,8),(4,9),(5,7),(5,8),(5,9) \right \}
  • Sebagai definisi berikutnya; untuk A x B produk kartesius himpunan A dan B, maka relasi R dari himpunan A ke B  adalah sembarang himpunan bagian dari produk kartesius A x B

Perhatikan kembali contoh si atas. Dari contoh di atas kita dapat menemukan beberapa himpunan bagian dari B x A yaitu di antaranya  sebagai berikut

R_{1}=\left \{ (4,7),(4,8),(4,9),(5,7) \right \}.

R_{2}=\left \{(4,8),(4,9),(5,7) \right \}.

R_{3}=\left \{(4,8),(5,7) \right \}.

 

2. Beberapa hal tentang relasi

Perhatikanlah ilustrasi berikut

45

atau

46

[sumber]

 Beberapa hal tersebut adalah

  • Untuk pasangan terurut (x,y)  dengan x ∈ A dan y ∈ B , maka \left \{ \left ( x,y \right )|\: x\: \epsilon \: A \: dan \: y\: \epsilon\: B \right \} dinamai relasi x ∈ A ke y ∈ B dan dinotasikan dengan  x R y
  • himpunan A adalah daerah asal (Domain) dari relasi R
  • himpunan B adalah daerah kawan (kodomain) dari relasi R
  • himpunan bagian dari B dengan x R y  atau y ∈ B adalah daerah hasil/jelajah (Range) dari relasi R

Untuk memperjelas

47

[sumber]

\LARGE\fbox{Contoh Soal}

1. Jika R suatu relasi dari A ke B , di mana A=\left \{ 2,3,4 \right \} dan B=\left \{ p,q \right \} serta R=\left \{ (2,p),(2,q),(3,q) \right \}, maka 2 R p, 2 R q, 3 R q, tetapi 3 \not{R} p.

2. Pada soal no.1 jelajah dari R adalah R=\left \{ p,q \right \}

 

B. Fungsi(Pemetaan)

Fungsi adalah bentuk khusus dari relasi

  • Setiap x dari domain hanya akan berkaitan dengan satu y, unsur sari kodomain.
  • Pada suatu fungsi tidak ada pasangan terurut  dengan absis yang sama, tetapi untuk ordinat boleh sama.
  • Setiap unsur pada Domain harus terpakai dan harus berkaitan hanya tepat satu unsur pada kodomain.
  • Semua unsur pada kodomain tidak harus punya pasangan dari unsur-unsur domain (tidak harus habis terpakai).
  • Suatu fungsi dari himpunan A ke B dilambangkan dengan  f : A → B.
  • Untuk x ∈ A dan y ∈ B pada  f : A → B  , x disebut pra peta (variabel bebas) dan y disebut peta dari x jika x berkaitan dengan y(variabel terikat) dan dituliskan sebagai y = f(x).
  • Daerah asal (domain) fungsi f adalah himpunan A dan dilambangkan dengan D_{f}.
  • Daerah kawan (kodomain) fungsi f adalah himpunan B dan dilambangkan dengan K_{f}.
  • Himpunan sumua peta (daerah hasil) di kodomain disebut jelajah f dan dilambangkan dengan R_{f}.

 

\LARGE\fbox{Contoh Soal}

1. Nyatakan relasi berikut apakah fungsi atau bukan fungsi

a) 48     b) 49

c) 51       d) 52

[sumber]

 

Jawab:

a), b), dan d) adalah fungsi sedangkan c) bukan fungsi karena terdapat  2 anggota himpunan asal(domain) tidak memiliki kawan di daerah kawan(kodomain)

2. Tentukan domain, kodomain, dan rang fungsi yang ditunjukkan oleh gambar berikut

53

[sumber]

Jawab:

Himpunan  A=\left \{ 1,2,3 \right \} adalah himpunan asal atau domain dari fungsi f, sehingga D_{f}=\left \{ 1,2,3 \right \}.

Sedangkan himpunan  B=\left \{ 4,5,6,7,8 \right \}  adalah daerah kawan atau kodomain fungsi f, sehingga K_{f}=\left \{ 4,5,6,7,8 \right \}.

Sedangkan untuk hasilnya dari fungsi f adalah range yaitu R_{f}=\left \{ 5,6,7 \right \}.

3. Perhatikanlah gambar berikut!

manakah yang merupakan fungsi, jika daerah asalnya adalah sumbu X

a) 54

 b) 55

 c) 56

d) 57

e) 58

Jawab:

Dengan memperhatikan definisi fungsi, maka gambar a) dan c) bukan termasuk fungsi, karena dengan sebuah anggota daerah asal (prapeta) ternyata akan memiliki pasangan lebih dari satu dari anggota daerah kawan(peta ).

4) Tentukanlah daerah asal di anggota himpunan bilangan real dari fungsi berikut

a) f(x)=2x+1.

b) g(x)=x^{2}+2x-3.

c) h(x)=\: ^3\log\left ( 2x-3 \right ).

d) f(x)=\sqrt{3x+2}.

e) g(x)=\frac{4x-2}{2x+1}.

f) g(x)=\sqrt{\frac{4x-2}{2x+1}}.

Jawab:

Untuk a) dan b) semua x ∈ ℜ memenuhi. Untuk c) karena fungsi logaritma, maka perhatikanlah syarat numerusnya yaitu 2x-3> 0  sehingga 2x-3> 0\: \: \Rightarrow \: 2x> 3\: \Rightarrow \: \: x> \frac{3}{2}.

Sedangkan untuk d) daerah asalnya adalah 2x+3\geq 0, sehingga 2x+3\geq 0\: \: \Rightarrow \: 2x\geq -3\: \: \Rightarrow \: x\geq -\frac{3}{2}. Sedangkan e) supaya terdefinisi di ℜ , maka 2x+1\neq 0 . Sehingga 2x+1\neq 0\: \: \Rightarrow \: 2x\neq -1\: \:\Rightarrow \: x\neq -\frac{1}{2}. Untuk  f) supaya terdefinisi di ℜ , maka \frac{4x-2}{2x+1}\geq 0. Sehingga \frac{4x-2}{2x+1}\geq 0 \: \: \Leftrightarrow \: \: \left ( 4x-2 \right )\left ( 2x+1 \right )\geq 0\: \: \Leftrightarrow \: \: x< -\frac{1}{2}\: \: atau\: \: x\geq \frac{1}{2}.

5. Diketahui f(x)=\frac{x-1}{x^{2}+5}. Tentukanlah

a) f(2x).

b) f\left ( \frac{1}{2} \right ).

c) f(x+2).

d) f(-x).

e) f\left ( x\sqrt{x} \right ).

f) f(x+h).

g) f(f(x)).

Jawab:

a) \LARGE{f(2x)=\frac{2x-1}{\left ( 2x \right )^{2}+5}=\frac{2x-1}{4x^{2}+5}}.

b) f\left ( \frac{1}{x} \right )=\frac{\frac{1}{x}-1}{\left ( \frac{1}{x} \right )^{2}+5}=\frac{x-x^{2}}{1+5x^{2}}.

c) f(x+2)=\frac{\left ( x+2 \right )-1}{\left ( x+2 \right )^{2}+5}=\frac{x+1}{x^{2}+4x+9}.

d) f(-x)=\frac{\left ( -x \right )-1}{\left ( -x \right )^{2}+5}=\frac{-x-1}{x^{2}+5}.

e) f\left ( x\sqrt{x} \right )=\frac{x\sqrt{x}-1}{\left ( x\sqrt{x} \right )^{2}+5}=\frac{x\sqrt{x}-1}{x^{3}+5}.

f) f(x+h)=\frac{x+h-1}{\left ( x+h \right )^{2}+5}=\frac{x+h-1}{x^{2}+2xh+h^{2}+5}.

g) f(f(x))=\frac{\left ( \frac{x-1}{x^{2}+5}\right )-1}{\left ( \frac{x-1}{x^{2}+5} \right )^{2}+5}\: ,\: silahkan\: \: dilanjutkan\:\: sendiri\: \: sebagai\: \: latihan.

6. Sketsalah grafik fungsi f(x)=\left | x^{2}-4 \right |.

Jawab:

60

\LARGE\fbox{Latihan Soal}

1. Relasi dari M=\left \{ 0,1,2,5 \right \} ke N=\left \{ 1,2,3,4,6 \right \} adalah ” satu kurangnya dari ”  .Tentukanlah domain, kodomain, dan range serta sajikan relasi itu ke dalam diagram panah, diagram Cartesius dan himpunan pasangan terurut.

2. Tentukan domain, kodomain , dan range dari fungsi f yang ditunjukkan oleh diagram panah di bawah!

61

[sumber]

3. Tentukanlah daerah asal dari fungsi-fungsi berikut

a) f(x)=3x-1.

b) f(x)=x^{2}+9x+14.

c) f(x)=\: ^{5}\log \left ( 3x-7 \right ).

d) f(x)=\sqrt{9-x^{2}}.

e) f(x)=\sqrt{\frac{x}{3-2x}}.

f) f(x)=\frac{3x}{x^{2}-x-2}.

4. Diketahui daerah asal suatu fungsi adalah D_{f}=\left \{ -3,-2,-1,0,1,2,3 \right \} . Tentukanlah daerah hasil fungsi-fungsi berikut

a) f(x)=-3x+1.

b) f(x)=x^{2}-2x-3.

c) f(x)=x^{3}-4x+5.

d) f(x)=\frac{2}{x+4}.

e) f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-1}.

f) f(x)=\log \left ( x^{2}-2x+7 \right ).

5. Fungsi   f : R → R yang ditentukan oleh f(x)=x^{2}-2x-2. Tentukanlah

a) Domain dan range dari f.

b) Range fungsi f , jika domain f\left \{ x\: |-1\leq x\leq 2,x\: \epsilon \mathbb\: {R} \right \}.

c) Range fungsi f , jika domain f\left \{ x\: |0\leq x\leq 3,\: x \: \epsilon \: \mathbb{Z}\right \}.

d) Domain f , jika range f\left \{ 1,22 \right \}.

e) m , jika f(m)=78.

f) f(-20)-f(14)

6. Diketahui kurva fungsi g yang didefinisikan

g(x)=\left\{\begin{matrix} 2x+8 & , & untuk & -4\leq x\leq -2\\ x^{2} & , & untuk & -2\leq x\leq 2\\ -2x+8 & , & untuk & 2\leq x\leq 4 \end{matrix}\right..

a) buatlah sketsa grafik fungsi itu

b) Tentukanlah nilai g(-1),g(1),g(-3),\: dan\: \: g(3).

Sumber Referensi

  1. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. 2013. Matematika Kelas X. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
  2. Marwanta, dkk. 2013. Matematika SMA Kelas X. Jakarta: Yudistira.
  3. Tampomas, Husein. 1999. Seribu Pena Matematika SMU Jilid 2 Kelas 2. Jakarta: Erlangga.
  4. Wajik S, Jero, Suardhana Linggih dan Yose Rizal Syahrudin. 1981 . Ringkasan
    Matematika IPA . Bandung: Ganeca Exact.