Contoh Soal Matriks

1. Jika diketahui matriks  A=\begin{pmatrix} -2\\ -3 \end{pmatrix}\: ,\: B=\begin{pmatrix} -1\\ 4 \end{pmatrix}\: ,\: C=\begin{pmatrix} 5\\ -2 \end{pmatrix},  tentukanlah

\begin{matrix} a. & A & + & B \\ b. & B & + & A \\ c. & B & - & C \\ d. & C & - & B \\ e.&(A+B)&+&C\\ f.&A&+&(B+C)\\ g.&(B-C)&-&A\\ h.&B&-&(A-C) \end{matrix}

Jawab:

a. A+B=\begin{pmatrix} -2\\ -3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2+-1\\ -3+4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\ 1 \end{pmatrix}.

b. B+A=\begin{pmatrix} -\\ 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\\ -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1+-2\\ 4+-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\ 1 \end{pmatrix}.

c. B-C=\begin{pmatrix} -1\\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5\\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1-5\\ 4--2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6\\ 6 \end{pmatrix}.

d. C-B=\begin{pmatrix} 5\\ -2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -1\\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5--1\\ -2-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6\\ -6 \end{pmatrix}

d, e, f, g, h sebagai latihan.

2. Diketahui  A=\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 3 & -1\\ 1 & 5 \end{pmatrix}\: ,\: B=\begin{pmatrix} 4 & 8\\ 3 & 2\\ -3 & 4 \end{pmatrix}\: ,\: C=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ -3 & 4\\ 5 & 1 \end{pmatrix}\: ,\: dan\: D=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4\\ -2 & 7 & 5 \end{pmatrix}. Tentukanlah matrik yang diwakili oleh

\begin{matrix} a.&A &+&B \\ b. &A^{t}&+&B^{t} \\ c. &B&-&C \\ d. &B&+&D^{t} \\ e. &C^{t}&+&D \\ f. &(A+B)^{t} \end{matrix}

Jawab:

a. A+B=\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 3 & -1\\ 1 & 5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 & 8\\ 3 & 2\\ -3 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2+4 & 4+8\\ 3+3 & -1+2\\ 1+(-3) &5+4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 & 12\\ 6 & 1\\ -2 & 9 \end{pmatrix}.

b. A^{t}+B^{t}=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\ 4 & -1 & 5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 & 3 & -3\\ 8 & 2 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2+4 & 3+3 & 1+(-3)\\ 4+8 & (-1)+2 & 5+4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 & 6 & -2\\ 12 & 1 & 9 \end{pmatrix}.

c. B-C=\begin{pmatrix} 4 & 8\\ 3 & 2\\ -3 & 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 2\\ -3 & 4\\ 5 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4-1 & 8-2\\ 3--3 & 2-4\\ -3-5 & 4-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 6\\ 6 & -2\\ -8 & 3 \end{pmatrix}.

d,e, dan f sebagai latihan.

3. Jika  A=\begin{pmatrix} -1 & 3\\ -3 & 1 \end{pmatrix}\: \: dan\: \: B=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 3 & 2 \end{pmatrix} , maka tentukanlaj

\begin{matrix} a. & A^{2} \\ b. & B^{2} \\ c. & \left ( AB \right )^{2} \\ d. & A^{2}.B^{2} \\ e. & \left ( A-B \right )\left ( A+B \right ) \\ f. & \left ( A^{2}-B^{2} \right ) & & \\ g. & Apakah &\left ( AB \right )^{2}=A^{2}.B^{2} \\ &dan& \left ( A^{2}-B^{2} \right )=\left ( A-B \right )\left ( A+B \right ) \end{matrix}

Jawab:

a. A^{2}=\begin{pmatrix} -1 & 3\\ -3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 3\\ -3 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1-9 & -3+3\\ 3-3 & -9+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -8 & 0\\ 0 & -8 \end{pmatrix}

b. B^{2}=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 3 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1-3 & -1-2\\ 3+6 & -3+4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & -3\\ 9 & 1 \end{pmatrix}

c. AB=\begin{pmatrix} -1 & 3\\ -3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 3 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1+9 & 1+6\\ -3+3 & 3+2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 & 7\\ 0 & 6 \end{pmatrix}

d. \left ( AB \right )^{2}=\begin{pmatrix} 8 & 7\\ 0 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 8 & 7\\ 0 & 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 64+0 & 56+42\\ 0+0 & 0+36 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 64 & 98\\ 0 & 36 \end{pmatrix}

untuk e, f, dan g sebagai latihan

4. Tentukan nilai x dan y jika \begin{pmatrix} 6 & 5\\ 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\ 1 \end{pmatrix}

Jawab:

misalkan A=\begin{pmatrix} 6 & 5\\ 3 & 2 \end{pmatrix}\: ,\: X=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\: ,dan\: B=\begin{pmatrix} 4\\ 1 \end{pmatrix}

\boxed{AX=B}\: \: \Rightarrow \: \: \boxed{X=A^{-1}B}

\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\frac{1}{\begin{vmatrix} 6 & 5\\ 3 & 2 \end{vmatrix}}.\begin{pmatrix} 2 & -5\\ -3 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4\\ 1 \end{pmatrix}=\frac{1}{12-15}\begin{pmatrix} 8-5\\ -12+6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3}{-3}\\ \frac{-6}{-3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}.

Jadi, x = -1 dan y = 2

5. Hasil kali akar-akar persamaan \begin{vmatrix} 3x-1 & 3\\ x+1 & x+2 \end{vmatrix}=0 adalah… .

Jawab:

\begin{vmatrix} 3x-1 & 3\\ x+1 & x+2 \end{vmatrix}=\left ( 3x-1 \right )\left ( x+2 \right )-3\left ( x+1 \right )=3x^{2}+6x-x-2-3x-3=3x^{2}+2x-5=0.

maka  3x^{2}+2x-5=0\:\left\{\begin{matrix} a & = & 3\\ b & = & 2\\ c & = & -5 \end{matrix}\right.

Sehingga hasil kali akar-akarnya adalah   x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{-5}{3}

6. Jika A=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 6\\ 8 & 3 & 9\\ 4 & 1 & 7 \end{pmatrix} , maka determinan A  adalah… .

Jawab:

det A = \begin{vmatrix} 5 & 2 & 6\\ 8 & 3 & 9\\ 4 & 1 & 7 \end{vmatrix}=5.3.7+2.9.4+6.1.8-4.3.6-1.9.5-7.8.2=225-229=-4.

7. Diketahui f(x)=x^{2}-2x\: \: dan\: \: A=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 3 & 2 \end{pmatrix}.\: \: Nilai \: f(A)\: adalah... .

Jawab:

F(A)=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 3 & 2 \end{pmatrix}^{2}-2\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 3 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 9 & 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 6 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 3 & 0 \end{pmatrix}

8. Jika matriks A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 5\\ 4 & 6 & x\\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} adalah matriks singular, maka nilai x adalah… .

Jawab:

Karena A matriks singular, maka det A = 0.

Sehingga untuk \begin{vmatrix} 2 &3 & 5\\ 4 & 6 & x\\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix}=7x-70=0\: \: \Rightarrow \: \: x=10

9. Jika x memnuhi persamaan

\begin{pmatrix} ^x\log a & \log \left ( 2a-6 \right )\\ \log \left ( b-2 \right ) & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \log b & 1\\ \log a & 1 \end{pmatrix},

maka nilai x adalah… .

Jawab:

Dari soal kita mendapatkan bahwa untuk kesamaan matriks di atas terdapat

\left\{\begin{matrix} ^x\log a & = & \log b \\ \log \left ( 2a-6 \right ) & = & 1 \\ \log \left ( b-2 \right ) & = & \log a \end{matrix}\right.

  • \log \left ( 2a-b \right )=\log 10\: \: \Rightarrow 2a-6=10\: \: \Rightarrow \: \: a=8
  • \log \left ( b-2 \right )=\log a\: \: \Rightarrow \: \: b-2=a=8\: \: \Rightarrow \: \: b=10
  • ^x\log a=\log b\: \: \Rightarrow \: \: ^x\log 8=\log 10=1\: \: \Rightarrow \: \: x^{1}=8\: \:\Rightarrow \: \: x=8

Jadi, nilai x = 8.

10. Tentukan determinan dari

\begin{pmatrix} a & b & c\\ c & a &b \\ b & c & a \end{pmatrix}

Jawab:

\begin{vmatrix} a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{vmatrix}=a^{3}+b^{3}+c^{3}-abc-abc-abc.

sehingga

\begin{vmatrix} a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{vmatrix}=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc

11. Buktikan bahwa

\begin{vmatrix} a+b & c & c\\ a& b+c & a\\ b & b & c+a \end{vmatrix}=4abc

Bukti

\begin{vmatrix} a+b & c & c\\ a & b+c & a\\ b & b & c+a \end{vmatrix}=\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )+abc+abc-bc\left ( b+c \right )-ab\left ( a+b \right )-ac\left ( a+c \right ).

\begin{vmatrix} a+b & c & c\\ a & b+c & a\\ b & b & c+a \end{vmatrix}=abc+a^{2}b+ac^{2}+a^{2}c+b^{2}c+ab^{2}+bc^{2}+abc+abc+abc-bc\left ( b+c \right )-ab\left ( a+b \right )-ac\left ( a+c \right )=4abc.  terbukti

12. Tentukan determinan dari matriks

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ a & b & c\\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \end{pmatrix}

Jawab:

perhatikanlah kembali soal no.10) apa bila saat \left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right ), kita medapatkan

\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right )=abc+a^{2}c+ab^{2}+bc^{2}-a^{2}b-b^{2}c-ac^{2}-abc.

untuk

\begin{vmatrix} 1 & 1 &1 \\ a & b & c\\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \end{vmatrix}=bc^{2}+a^{2}c+ab^{2}-a^{2}b-b^{2}c-ac^{2}=\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right ).

13. Jika

\begin{pmatrix} 3 & 3 & x\\ -2 & -3 & -3\\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix}^{2013}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

maka nilai x adalah… .

Jawab:

diketahui   \begin{pmatrix} 3 & 3 & x\\ -2 & -3 & -3\\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix}^{2013}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

determinankan kedua ruas sehingga didapat

\begin{vmatrix} 3 & 3 & x\\ -2 & -3 & -3\\ -1 & -2 & 0 \end{vmatrix}^{2013}=0.

\begin{vmatrix} 3 & 3 & x\\ -2 & -3 & -3\\ -1 & -2 & 0 \end{vmatrix}=\sqrt[2013]{0}=0.

0+9+4x-3x-18+0=0\: \: \Rightarrow \: \: x-9=0\: \: \Rightarrow \: \: x=9.

jadi, nilai x adalah 9.

14. Carilah penyelesaian dari sistem persamaan linier di bawah ini dengan menggunakan metode determinan

\left\{\begin{matrix} 2x & + & 3y & - & z & =&11\\ x & + & 2y & + & z &=&3 \\ 3x & - & y & + & 2z & =&4 \end{matrix}\right.

Jawab:

kita mencari nilai x, y, dan z dengan x=\frac{D_{x}}{D}\: ,\: \: y=\frac{D_{y}}{D}\: ,dan\: \: z=\frac{D_{z}}{D}

serta nilai

D=\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1\\ 1 & 2 & 1\\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix}=8+9+1-(-6)-(-2)-6=20.

D_{x}=\begin{vmatrix} 11 & 3 & -1\\ 3 & 2 & 1\\ 4 & -1 & 2 \end{vmatrix}=44+12+3-(-8)-(-11)-18=60.

D_{y}=\begin{vmatrix} 2 & 11 & -1\\ 1 & 3 & 1\\ 3 & 4 & 2 \end{vmatrix}=12+33+(-4)-(-9)-8-22=20.

D_{z}=\begin{vmatrix} 2 & 3 & 11\\ 1 & 2 & 3\\ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix}=16+27+(-11)-66-(-6)-12=-40.

Sehingga

\left\{\begin{matrix} x & = & \frac{D_{x}}{D} & =\frac{60}{20}=3\\ y & = & \frac{D_{y}}{D} & =\frac{20}{20}=1\\ z & = & \frac{D_{z}}{D} & =\frac{-40}{20}=-2 \end{matrix}\right.

Jadi, penyelesaian untuk SPLTV tersebut di atas adalah x = 3 , y = 1 , dan z = -2.

Sumber Referensi

  1. Johanes, Kastolan, Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika 3A SMA Kelas XII Program IPA Semester Pertama. Jakarta: Yudistira.
  2. Tung, Khoe Yao. 2012. Pintar Matematika SMA Kelas XII IPA Untuk Olimpiade dan Pengayaan Pelajaran. Yogyakarta: ANDI.

Internet

  1. http://math.sun.ac.za/~swagner/TMO/CompleteSolutions2013.pdf

Determinan dan Invers Matriks

A. Determinan Matriks

1. Determinan Matriks Ordo 2×2

Perhatikan ilustrasi berikut!

Jika dua buah bilangan asli apabila dijumlah sama dengan 2014 dan selisihnya adalah 14 berapakah bilangan bilangan terbesarnya?

apabila kita tuliskan atau nyatakan dalam SPLDV dengan bilangan pertama sebagai x, dan bilangan kedua adalah y, maka menjadi

\left\{\begin{matrix} x & + & y & = & 2014\\ x & - & y & = & 14 \end{matrix}\right.

Persoalan di atas dapat langsung diselesaikan dengan SPLDV dengan metode eliminasi maupun substitusi.

Kaitannnya dengan matriks, apabila persoalan di atas direpresentasikan dengan matriks, maka

\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 1&-1 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2014\\ 14 \end{bmatrix} ..............(1)

Sehingga, untuk SPLDV

\left.\begin{matrix} a_{1}x & + &b_{1}y & = &c_{1} \\ a_{2}x & + &b_{2}y & = & c_{2} \end{matrix}\right\}\rightarrow \begin{bmatrix} a_{1} &b_{1} \\ a_{2}& b_{2} \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} c_{1}\\ c_{2} \end{bmatrix}

 penyelesaian untuk persamaan tersebut adalah:

\LARGE\boxed{x=\frac{b_{2}\times c_{1}-b_{1}\times c_{2}}{a_{1}\times b_{2}-a_{2}\times b_{1}}}

dan

\LARGE\boxed{y=\frac{a_{1}\times c_{2}-a_{2}\times c_{1}}{a_{1}\times b_{2}-a_{2}\times b_{1}}}

dengan

\LARGE\boxed{a_{1}\times b_{2}\neq a_{2}\times b_{1}}

Selanjutnya \boxed{a_{1}\times b_{2}-a_{2}\times b_{1}} disebut sebagai determinan matriks \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2} \end{bmatrix} serta dinotasikan dengan \begin{vmatrix} a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}.

Misalkan A adalah sebuah matriks persegi ordo 2 x 2 yang dapat ditulis A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} maka hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi dengan hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder disebut sebagai determinan matriks A dan selanjutnya dinotasikan dengan det. A.

2. Determinan Matriks Ordo 3×3

Perhatikatikan ilustrasi berikut

31

[sumber]

dengan aturan perkaliannya sebagaimana berikut ini

32

[sumber]

Misalkan B adalah matriks ordo 3×3

\LARGE{B=\begin{bmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{bmatrix}}

maka determinan dari matriks B adalah

33

[sumber]

\LARGE\fbox{Contoh Soal}

1. Diketahui matriks A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} , tentukan determinan dari matriks A tersebut!

Jawab:

determinan dari matriks A = \left | A \right |=\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc

Catatan:

  • Jika det.A = 0, maka matriks tersebut dinamakan matriks singular dan karenanya matriks itu tidak memiliki invers.
  • Jika det.A \neq 0, maka matriks tersebut selanjutnya disebut sebagai matriks non singular dan karenanya matriks tersebut memiliki invers.

2. Jika diketahui B=\begin{pmatrix} 2 & 5\\ 3 & 7 \end{pmatrix}, maka carilah nilai det.B?

Jawab:

det.B=\begin{vmatrix} 2 &5 \\ 3 & 7 \end{vmatrix}=2.7-5.3=14-15=-1

3. Sebuah matriks A=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 11\\ 0 & -3 & 5\\ -1 & 3 & 0 \end{bmatrix}, tentukan determinan matriks A!

Jawab:

34

[sumber]

\LARGE\fbox{Latihan Soal}

1. Tentukan determinan dari matriks

a. A=\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}

b. B=\begin{bmatrix} -1 & 2\\ -3 & 4 \end{bmatrix}

c. C=\begin{bmatrix} 2014 & 2\\ 2010 & 4 \end{bmatrix}

d. D=\begin{bmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{3}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{3} \end{bmatrix}

2. Tentukan determinan dari matriks

a. A=\begin{bmatrix} 1 & 2 &3 \\ 4 & 5 &6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}

b. B=\begin{bmatrix} 0 & -2 &3 \\ 4 & 0 &\sqrt{5} \\ -\sqrt{5} & 8 & 0 \end{bmatrix}

c. C=\begin{bmatrix} 1 & -1 &1 \\ 0 & 2 &7 \\ -4 & 8 & 9 \end{bmatrix}

d. D=\begin{bmatrix} 1 & -1 &-1 \\ -8 & 7 &6 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}

3. Tentukan determinan dari matriks

\LARGE{M=\begin{bmatrix} n^{2} & (n+1)^{2} & (n+2)^{2}\\ (n+1)^{2} & (n+2)^{2} & (n+3)^{2}\\ (n+2)^{2} & (n+3)^{2} & (n+4)^{2} \end{bmatrix}}

4. Tunjukkan bahwa matriks A adalah

A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ a & b & c\\ a^{3} & b^{3} & c^{3} \end{pmatrix}.

Tunjukkan bahwa

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ a & b & c\\ a^{3} & b^{3} & c^{3} \end{vmatrix}=\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right )\left ( a+b+c \right )

B. Invers Matriks Ordo 2×2

Perhatikan kembali determinan pada contoh soal no (1) di atas, maka untuk menentukan invers dari matriks A tersebut adalah

\LARGE\boxed{A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}}

\Large\fbox{Contoh Soal}

1. Perhatikan contoh (2) tentukan invers matriks tersebut.

Jawab:

B^{-1}=\frac{1}{\left | B \right |}\begin{pmatrix} 7 &-5 \\ -3 & 2 \end{pmatrix},

A^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix} 7 &-5 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}=-\begin{pmatrix} 7 & -5\\ -3 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -7 & 5\\ 3 & -2 \end{pmatrix}.

2. Nyatakan apakah matriks-matriks berikut mempunyai invers. Jika ada inversnya tentukan inversnya

a. X=\begin{pmatrix} 1 & 4\\ 1 & 5 \end{pmatrix}

b. Y=\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 4 & 2 \end{pmatrix}

c. Z=\begin{pmatrix} 4 & 2\\ 10 & 5 \end{pmatrix}

Jawab:

a. Karena 1.5 – 4.1 \neq 0, maka matriks X memiliki invers.

X^{-1}=\frac{1}{1.5-4.1}\begin{pmatrix} 5 & -4\\ -1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & -4\\ -1 & 1 \end{pmatrix}

b.Karena 3.2 – 1.4 \neq 0, maka matriks Y memiliki invers.

Y^{-1}=\frac{1}{3.2-1.4}\begin{pmatrix} 2 &-1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 &-1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2}\\ -2 & \frac{3}{2} \end{pmatrix}

c. Karena 4.5 – 2.10 = 0, maka matriks Z tidak memiliki invers.

3. Jika A=\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{pmatrix}. Tunjukkan bahwa A.A^{-1}=A^{-1}.A=I

Jawab:

A.A^{-1}=\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{pmatrix}\times \frac{1}{3.3-2.2}\begin{pmatrix} 3 & -2\\ -2 & 3 \end{pmatrix}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 3 & -2\\ -2 & 3 \end{pmatrix},

A.A^{-1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3.3+2(-2) & 3.(-2)+2.3\\ 2.3+3.(-2) & 2.(-2)+3.3 \end{pmatrix}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 5 & 0\\ 0 & 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{5}{5} & \frac{0}{5}\\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Sehingga terbukti bahwa A.A^{-1}=I

Untuk A^{-1}.A=I, silahkan Anda buktikan sendiri sebagai latihan.

\LARGE\fbox{Latihan Soal}

1. Jika diketahui matriks A=\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 0 & 1 \end{pmatrix} dan B=\begin{pmatrix} 2 & 5\\ 1 & 3 \end{pmatrix}, maka tentukanlah

a. AB

b. BA

c. A^{-1}.

d. B^{-1}.

e. (AB)^{-1}.

f. (BA)^{-1}.

g. A^{-1}.B^{-1}.

h. B^{-1}.A^{-1}

2. Jika A=\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 4 & 1 \end{pmatrix}, dan I adalah matriks identitas, untuk ordo 2 x 2 adalah I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, maka tentukanlah

a. A^{t}

b. A^{-1}.

c. (2A^{t})^{-1}.

d. \left ( A+A^{t} \right )^{-1}.

e. A^{-2} , dengan A^{-p}=\left ( A^{-1} \right )^{p}.

f. A^{-3}.

g. A^{-4}.

h. A^{-2}-2A^{-1}+I.

i. \left ( A+I \right )^{-3}.

C. Invers Matriks untuk SPLDV dan Aturan Cramer untuk SPLTV

1. Invers Matriks untuk SPLDV

Perhatikan Ilustrasi berikut!

Suatu ketika pak Ahmad membeli 3  roti kaleng dan 2 buah mainan untuk anaknya di sebuah toko seharga Rp 210.000,00. Dan pada saat yang bersamaan pak Aziz membeli 2 buah  roti kaleng dan 3 buah mainan seharga Rp 190.000,00. Berapakan harga perbarang yang dibeli oleh mereka berdua?

Jawab:

Dimisalkan  \left\{\begin{matrix} x & = & Roti & kaleng\\ y & = & mainan & anak \end{matrix}\right.

untuk kasus di atas, model matematikanya adalah sebagai berikut:

\left\{\begin{matrix} 3x & + & 2y & = & 210.000\\ 2x & + & 3y & = & 190.000 \end{matrix}\right.

Representasi matriks yang bersesuaian dari SPLDV di atas adalah

\begin{bmatrix} 3 &2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 210.000\\ 190.000 \end{bmatrix}

Persamaan tersebut adalah  A.X=B, sehingga untuk mendapatkan X , kita dapat memanfaatkan invers dari matriks A , yaitu

A^{-1}.A.X=A^{-1}.B\Leftrightarrow I.X=A^{-1}.B\Leftrightarrow X=A^{-1}.B.

\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{bmatrix}^{-1}\times \begin{bmatrix} 210.000\\ 190.000 \end{bmatrix}.

\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\frac{1}{\begin{vmatrix} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{vmatrix}}\times \begin{bmatrix} 3 & -2\\ -2 & 3 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 210.000\\ 190.000 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\frac{1}{5}\begin{bmatrix} 3.(210.000) & +&(-2).(190.000)\\ (-2).(210.000) & +&3.(190.000) \end{bmatrix}=\frac{1}{5}\begin{bmatrix} 250.000\\ 150.000 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 50.000\\ 30.000 \end{bmatrix}

Jadi, nilai x= Rp 50.000,00 dan y = Rp 30.000,00

2. Aturan Cramer untuk SPLDV

Perhatikan kembali pada poin A. Determinan Matriks

untuk SPLDV

\left.\begin{matrix} a_{1}x & + &b_{1}y & = &c_{1} \\ a_{2}x & + &b_{2}y & = & c_{2} \end{matrix}\right\}\rightarrow \begin{bmatrix} a_{1} &b_{1} \\ a_{2}& b_{2} \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} c_{1}\\ c_{2} \end{bmatrix}

di mana , nilai x-nya adalah

\LARGE\boxed{x=\frac{b_{2}\times c_{1}-b_{1}\times c_{2}}{a_{1}\times b_{2}-a_{2}\times b_{1}}}

\Rightarrow \LARGE\boxed{x=\frac{\begin{vmatrix} c_{1} & b_{1}\\ c_{2} & b_{2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}}}

serta nilai y-nya adalah

\LARGE\boxed{y=\frac{a_{1}\times c_{2}-a_{2}\times c_{1}}{a_{1}\times b_{2}-a_{2}\times b_{1}}}

\Rightarrow \LARGE\boxed{y=\frac{\begin{vmatrix} a_{1} & c_{1}\\ a_{2} & c_{2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}}}

berkaitan dengan kasus pak Ahmad dan pak Aziz di atas, jika kita ingin menggunakan aturan Cramer, maka

\LARGE{x=\frac{\begin{vmatrix} 210.000 & 2\\ 190.000 & 3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{vmatrix}}}=\frac{630.000-380.000}{9-4}=\frac{250.000}{5}=50.000

dan

\LARGE{x=\frac{\begin{vmatrix} 3 & 210.000\\ 2 & 190.000 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{vmatrix}}}=\frac{570.000-420.000}{9-4}=\frac{150.000}{5}=30.000

3. Aturan Cramer untuk SPLTV

untuk SPLTV

\left\{\begin{matrix} a_{1}x &+ &b_{1}y & + &c _{1}z & = & d_{1} \\ a_{2}x & + &b_{2}y & + & c_{2}z & = & d_{2} \\ a_{3}x & + &b _{3} & + &c _{3}z & = & d_{3} \end{matrix}\right.

maka Aturan Cramer untuk SPLTV tersebut adalah

\LARGE{x=\frac{\begin{vmatrix} d_{1} & a_{1} & b_{1}\\ d_{2} & a_{2} & b_{2}\\ d_{3} & a_{3} & b_{3} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} &c_{1} \\ a_{2} & b_{2} &c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}}}

\LARGE{y=\frac{\begin{vmatrix} a_{1} & d_{1} & b_{1}\\ a_{2} & d_{2} & b_{2}\\ a_{3} & d_{3} & b_{3} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} &c_{1} \\ a_{2} & b_{2} &c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}}}

\LARGE{z=\frac{\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & d_{1}\\ a_{2} & b_{2} & d_{2}\\ a_{3} & b_{3} & d_{3} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} &c_{1} \\ a_{2} & b_{2} &c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}}}

\LARGE\fbox{Latihan Soal}

1. Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan cara Cramer

a. \left\{\begin{matrix} x & + & y & = & -1\\ 2x & - & y & = & 7 \end{matrix}\right.

b. \left\{\begin{matrix} -x & + & 2y & = & 24\\ 3x & - & 6y & = & 10 \end{matrix}\right.

c. \left\{\begin{matrix} 2x & + & y & = & 8\\ 5x & - & 3y & = & 9 \end{matrix}\right.

2. Tentukanlah penyelesaian dari SOLTV berikut dengan cara Cramer

a. \left\{\begin{matrix} x & - & 4y & + & z & = &6 \\ 4x & - & y & + & 2z & = &-1 \\ 2x & + & 2y & - & 3z & = & -20 \end{matrix}\right.

b. \left\{\begin{matrix} x & + & 8y & + & 7z & = &0 \\ 2x & + & 3y & + & 5z & = &4 \\ 7x & + & 4y & - & z & = & 2 \end{matrix}\right.

c. \left\{\begin{matrix} 2x & + & y & + & 2z & = &10 \\ -5x & + & 6y & + & 4z & = &9 \\ 10x & + & 4y & + & 2z & = & 46 \end{matrix}\right.

Sumber Referensi

  1. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. 2013. Matematika Kelas X. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
  2. Kuntart, Sulistiyono, Sri Kuntarti. 2007. Matematika SMA dan MA untuk Kelas XII Semester 1 Program IPA . Jakarta: esis

Matriks

A. Pengertian Matriks

Perhatikan ilustrasi dari data berikut:

images (3)

[sumber]

Dari ilustrasi di atas, ada bilangan 5, 12, 17, dan 23 di barisan atas atau pertama. Kemudian 6, 18, 22, dan 30 di barisan kedua serta 9 , 27, 33, dan 45 berada di barisan ketiga dari susunan bilangan-bilangan sebagaimana ilustrasi di atas.

Perhatikan juga bilangan 5, 6, dan 9 berada di kolom pertama(kita sebut saja demikian) dan 12, 18, dan 27 berada di urutan kolom kedua begitu seterusnya. Susunan bilangan-bilangan tersebut sebagaimana ilustrasi di atas selanjutnya dinamakan matriks. Jadi matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan atau elemen-elemen yang diatur dalam baris dan kolom dan diletakkan di dalam kurung biasa ” ( ) ” ataupun kurung siku ” [ ] “..

\LARGE\fbox{Contoh Dalam Kehidupan Sehari-Hari}

1. Diketahui data hasil penjualan tiket penerbangan tujuan Semarang dan Solo, dari sebuah agen tiket, selama empat hari berturut-turut disajikan dalam tabel berikut

\begin{tabular}{|r|l|c|r|c|c|}\hline Tujuan&hari\: ke&I&II&III&IV\\ \hline Semarang&&3&4&2&5\\ \hline Solo&&7&1&3&2\\ \hline\end{tabular}

Data di atas dapat disederhanakan menjadi matriks berikut

\begin{bmatrix} 3 & 4 & 2 & 5\\ 7 & 1 & 3 & 2 \end{bmatrix}

2. Seorang wisatawan domestik hendak berlibur ke beberapa tempat tujuan wisata yang terdapat di pulau Jawa. untuk mengoptimalkan waktu kemudian wisatawan tersebut mencatat beberapa jarak  antar kota, sebagai berikut:

\begin{matrix} Bandung-Bogor &126&km& &Bandung-semarang &367&km \\ Bandung-Cirebon & 130&km& &Bandung-Yogyakarta &428&km \\ Bandung-Surabaya& 675 &km& &Bogor-Cirebon&256&km \\ Bogor-Surabaya&801&km& &Cirebon-Yogyakarta &317&km \\ Bogor-Semarang &493&km& &Surabaya-Semarang &308&km \\ Bogor-Yogyakarta &554&km & &Surabaya-Yogyakarta &327&km \\ Cirebon-Surabaya &545&km & &Semarang-Yogyakarta &115&km \\ Cirebon-Semarang &237&km & & & \end{matrix}

Tentukanlah susunan antar kota tujuan tersebut, seandainya wisatawan domestik tersebut hendak memulai perjalanannya dari Bandung.

Jawab:

Data dari soal di atas dapat kita tuliskan jarak antar kota di Pulau Jawa apabila di Mulai dari Bandung

\begin{tabular}{|r|r|r|r|c|c|c|c}\hline Tujuan&Bandung&Cirebon&Semarang&Yogyakarta&Surabaya&Bogor\\\hline Bandung&0&130&367&428&675&126\\\hline Cirebon&130&0&237&317&545&256\\\hline Semarang&367&237&0&115&308&493\\\hline Yogyakarta&428&317&115&0&327&554\\\hline Surabaya&675&545&308&327&0&801\\\hline Bogor&125&256&493&554&801&0\\\hline \end{tabular}

Jika wisatawan domestik tersebut ingin menampilkan jarak-jarak tersebut, maka ia dapat menuliskannya sebagai berikut

\begin{bmatrix} 0 &130 & 367 &428 & 675 &126 \\ 130 & 0 &237 &317 & 545 &256 \\ 367 & 237 & 0 &115 & 308 & 493\\ 428 & 317 &115 & 0 &327 &554 \\ 675 & 545 &308 & 437 &0 &801 \\ 126& 256 &493 & 554 & 801 &0 \end{bmatrix}

Hal-hal yang berkaitan dengan matriks

  • Nama matriks : Biasanya di wakili satu huruf kapital
  • Ordo matriks : Ukuran matriks; baris x kolom
  • Kesamaan dua matriks : Dua matriks dikatakan sama jika elemen-elemen yang seletak juga sama.
  • Jenis-jenis matriks: ada bermacam-macam jenis matriks; ada matriks kolom, matriks baris, matriks persegi, matriks diagonal, matriks identitas dan lain-lain.
\LARGE\fbox{Contoh}

1. Tentukan ordo dari matriks-matriks berikut ini?

a. \begin{bmatrix} 2 & 3\\ 4 & 9 \end{bmatrix}

b. \begin{bmatrix} 8 & 0 & 11\\ 2014 & 2013 & 2012 \end{bmatrix}

c. \begin{bmatrix} 2 &3 &4 &5 & 10\\ -5 &-3 & -2 & -1 &7 \\ 1& 1 & 6 &9 &-9 \end{bmatrix}

d. \begin{bmatrix} -2\\ -3\\ 6\\ -5 \end{bmatrix}

e. \begin{bmatrix} 2 & -5 &3 \end{bmatrix}

f. \begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}

 

Jawab :

a. 2 x 2       b. 2 x 3      c. 3 x 5     d.  4 x 1    e.  1 x 3     f.  3 x 3

sebagai catatan misal untuk soal b) baris ada 2 dan banyak kolom 3 maka ordo matiks tersebut adalah 2 x 3

2. Jika  \begin{bmatrix} 1 &2 & 3\\ 4 & 5 &6 \\ 0 & 0 &0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & b &c \\ d& e &f \\ g & h & i \end{bmatrix}  tentukan nilai ( a + b + c + d) – ( e + f + g + h + i ) ?

jawab:

(1+2+3+4) – (5+6+0+0+0)=10 – 11 = -1

3. Tentukan nilai  x dan y pada persamaan matriks berikut

\begin{bmatrix} 2x-3 & 20\\ 31& y+2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7 &20 \\ 31 & -2 \end{bmatrix}

 

Jawab:

2x-3=7\: \Rightarrow \: 2x=10\: \Rightarrow \: x=5\: \: dan\: \: y+2=-2\: \Rightarrow \: y=-4

 

B. Transpose Matriks

Transpose dari suatu matriks adalah baris dan kolom dipertukarkan. misalkan A adalah sebuah matriks maka transpose dari matriks A adalah A^{t} secara otomatis ordo matriksnya juga ikut menyesuaikan. Kalau matriknya persegi ordo tidk berubah tetapi kalau tdak persegi pasti berubah.

Misal sebuah matriks A=\begin{bmatrix} 2 & 2 & 3\\ 4 & 4 & 5 \end{bmatrix}, maka transpose matriks A adalah  A^{t}=\begin{bmatrix} 2 & 4\\ 2 & 4\\ 3 & 5 \end{bmatrix}, perhatikan juga bahwa ordonya juga berubah.

\LARGE\fbox{Contoh}

Tentukanlah nilai a, b, c, dan d yang memenuhi  D^{t}=E  dengan D=\begin{bmatrix} 2a-4 &3b \\ d+2a & 2c\\ 4& 7 \end{bmatrix}  dan E=\begin{bmatrix} b-5 & 3a-c &4 \\ 3 & 6 & 7 \end{bmatrix}

 

Jawab:

Dari soal diketahui bahwa  D^{t}=E . Akibatnya \begin{bmatrix} 2a-4 & d+2a &4 \\ 3b& 2c &7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b-5 & 3a-c & 4\\ 3 & 6 & 7 \end{bmatrix}

dari kesamaan di atas diperoleh fakta sebagai berikut:

  • 3b=3 maka b=1, dan 2c=6 maka c=3
  • 2a-4=b-5\: \: maka\: \: 2a-4=-4\: \: sehingga\: \: a=0
  • Karena a=0 maka d= – 3

Jadi, nilai a=0, b=1, c=3, dan d= -3

 

C. Operasi Sederhana Matriks

1. Penjumlahan dan pengurangan dua buah matriks

Dua matriks atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan  hanya jika ordonya sama

Sebagai ilustrasi untuk matriks persegi ordo 2 x 2

 27

[sumber]

2. Perkalian dua buah matriks dapat dilakukan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua

perhatikan ilustrasi berikut

26

[sumber]

3. Perkalian matriks dengan skalar

sebagai ilustrsinya

28

\LARGE\fbox{Contoh}

1. Tentukan nilai dari operasi matriks A.B
, jikaA=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}, dan B=\begin{bmatrix} e & f\\ g & h \end{bmatrix}

Jawab:

30

[sumber]

2. Diketahui matriks P=\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 5 & -6 \end{bmatrix}Q=\begin{bmatrix} 5 & a\\ b & 3 \end{bmatrix} , dan R=\begin{bmatrix} 4 & 5\\ -11 & 2 \end{bmatrix}. Jika  PQ=R, maka nilai a dan b berturut-turut adalah… .

Jawab:

PQ=R

\begin{bmatrix} 2 &-1 \\ 5&-6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 & a\\ b & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & 5\\ -11 &2 \end{bmatrix} ,

\begin{bmatrix} 10-b & 2a-3\\ 25-6b & 5a-18 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & 5\\ -11 &2 \end{bmatrix} ,

Dari data di atas diperoleh \left\{\begin{matrix} 10 &- &b &=&4 \\ 2a &- &3 &=&5 \\ 25 &- & 6b &=&-11 \\ 5a &- &18 &=&2 \end{matrix}\right.

dari data di atas didapatkan pula bahwa a=4\: \: \: dan\: \: \: b=6

3. Jika diketahui matriks A=\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} , maka hitunglah A^{2014}

Jawab:

Perhatikan bahwa

A^{2}=AA=\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}=-1\times \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}=-1\times I=-I

Karena A^{2}=-I , maka A^{4}=I. Hal ini berarti setiap pangkat kelipatan 4 maka akan berupa matriks identitas ordo 2 x 2 .

Selanjutnya,  2014 dapat dituliskan sebagai 2014 = 4. (503) + 2 , akibatnya A^{2014}=A^{4.503+2}=A^{4.503}.A^{2}=I.A^{2}=A^{2}

Sehingga A^{2014}=A^{2}=\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}

\LARGE\fbox{Soal Latihan}

  1. Diketahui A=\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} dan B=\begin{bmatrix} 2 &2 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}. Tentukan nilai dari A.B
  2. Jika matriks P=\begin{bmatrix} 5 &-2a \\ 6 & x-1 \end{bmatrix} dan Q=\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ -3 & a \end{bmatrix}. Jika P^{t}=Q, maka nilai x adalah… .
  3. Misalkan \begin{bmatrix} -1 & 3\\ -4& 2a \end{bmatrix}-3\begin{bmatrix} 5 &3 \\ -4 &2 \end{bmatrix}=2\begin{bmatrix} -8 &-b \\ 4 &4 \end{bmatrix} , maka nilai 2a+b
  4. Diberikan matriks A=\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 0 & 1 \end{bmatrix}. Jika A^{2}=AA,\: \: A^{3}=A^{2}A,\: \:dan\: \: \: A^{4}=A^{3}A dan seterusnya, maka hitunglah A^{2014}

 

 

Sumber Referensi

  1. Budhi, Wono Setya. 2014. Bupena Matematika SMA/MA Kelas X Kelompok Wajib. Jakarta: Erlangga.
  2. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. 2013. Matematika Kelas X. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.

Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat Dua Variabel

A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel(SPLDV)

Perhatikan kembali tentang materi Siatem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Beberapa metode penyelesaiannya adalah sebagai berikut

 1. Dengan metode grafik

sebagaimana contoh berikut

a)

16

dan

b)

17

2. Dengan metode eliminasi dan atau substitusi

Perhatikan contoh poin b) di atas. Jika dua buah garis dengan persamaan 3x+y=4  dan 2x-y=1, maka untuk mencari titik potong kedua garis tersebut kita dapat menggunakan metode eliminasi atau substitusi atau gabungan keduanya.

Misalkan kita ingin menggunakan metode gabungan eliminasi dan substitusi, maka

\begin{matrix} 3x&+&y&=&4& \\ 2x& -&y&=&1&\\ \end{matrix}

————————-  +

5x=5

  x=1

Selanjutnya nilai x=1 dimasukkan kesalah satu persamaan, misalkan ke 3x + y = 4, sehingga

x=1\: \: \Rightarrow \: \: 3\left ( 1 \right )+y=4\: \: maka\: \: akan\: \: diperoleh \: \: y=1

Coba cermati lagi ternyata titik potong kedua garis tersebut terletak di (1,1), tepat sebagaimana gambar grafik di atas.

B. Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

\LARGE\boxed{ax^{2}+bx+c=0}

dengan \: \: a,b,c\: \epsilon \: \: \mathbb{R}\: \: dan\: \: a\neq 0

Cara penyelesaian persamaan kuadrat di antaranya sebagai berikut

Persamaan kuadrat \mathbf{ax^{2}+bx+c=0}\: \: dengan\: \: \mathbf{a,b,c\: \epsilon\: \mathbb{R}\: \: dan\: \: a\neq 0 } memiliki akar-akar  \mathbf{x_{1}\: \: dan\: \: x_{2}}  di mana cara memperolehnya dapat menggunakan salah satu di antara 3 cara sebagaimana berikut; pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna dan formula abc.

1. Pemfaktoran

\LARGE\boxed{ax^{2}+bx+c=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )=0}

untuk koefisien  x^{2} lebih dari 1, maka ubahlah menjadi  bentuk

\LARGE\boxed{\frac{1}{a}\left ( ax-p \right )\left ( ax-q \right )=0}

Contoh:

a. Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat  x^{2}-3x-10=0

Jawab:

x^{2}-3x-10=\left ( x+2 \right )\left ( x-5 \right )=0 \Leftrightarrow \: \: x=-2\: \: atau \: \: x=5

 

b. Tentukan akar-akar dari persamaan  2x^{2}-3x-5=0

Jawab:

2x^{2}-3x-5=\frac{1}{2}\left ( 2x+2 \right )\left ( 2x-5 \right )=\left ( x+1 \right )\left ( 2x-5 \right )=0 \Leftrightarrow \: \: x=-1\: \: atau\: \: x=\frac{5}{2}

 

2. Melengkapkan kuadrat sempurna

ax^{2}+bx+c=0\: \: masing-masing\: \: ruas\: \: dibagi\: \: a,

x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0

x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\: \: kedua\: \: ruas\: \: ditambah\: \: \LARGE\boxed{(\frac{b}{2a})^{2}},

x^{2}+\frac{b}{a}x+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}=-\frac{c}{a}+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2},

\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=\Large{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}},

\LARGE\boxed{\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=\Large{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}.

 

Contoh:

Dengan melengkapkan kuadrat sempurna, tentukan akar-akar dari  2x^{2}-3x-5=0

 

Jawab:

2x^{2}-3x-5=0.

\frac{2x^{2}}{2}-\frac{3x}{2}-\frac{5}{2}=\frac{0}{2},

x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2},

x^{2}-\frac{3}{2}x+\left ( \frac{3}{2\times 2} \right )^{2}=\frac{5}{2}+\left ( \frac{3}{2\times 2} \right )^{2},

\Large{\left ( x-\frac{3}{4} \right )^{2}=\frac{5}{2}+\left ( \frac{3}{4} \right )^{2}},

\Large{\left ( x-\frac{3}{4} \right )=\pm \sqrt{\frac{5}{2}+\frac{9}{16}}=\pm \sqrt{\frac{49}{16}}=\pm \frac{7}{4}},

\Leftrightarrow \: \: \Large{x=\frac{3}{4}\pm \frac{7}{4}},

\Leftrightarrow \: \: \Large{x=\frac{3+7}{4}=\frac{5}{2}\: \: atau\: \: x=\frac{3-7}{4}=-1}.

 

c. formula abc

Perhatikan kembali langkah pada melengkapkan kuadrat sempurna. formula abc sebenarnya pengembangan dari bagian langkah akhirnya.

ax^{2}+bx+c=0\: \: masing-masing\: \: ruas\: \: dibagi\: \: a,

x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0

x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\: \: kedua\: \: ruas\: \: ditambah\: \: \LARGE\boxed{(\frac{b}{2a})^{2}},

x^{2}+\frac{b}{a}x+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}=-\frac{c}{a}+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2},

\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=\Large{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}},

\Large{x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}} },

\LARGE\boxed{x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}

 

Contoh:

Dengan menggunakan formula abc, tentukan akar-akar dari  2x^{2}-3x-5=0

 

Jawab:

2x^{2}-3x-5=0\left\{\begin{matrix} a &=&2 \\ b &=&-3 \\ c &=&-5 \end{matrix}\right.

\Large{x=\frac{-(-b)\pm \sqrt{(-3)^{2}-4(2)(-5)}}{2(2)}},

\Large{x=\frac{3\pm \sqrt{9+40}}{4}},

\Large{x=\frac{3\pm 7}{4}},

\Leftrightarrow \: \: x=\frac{5}{2}\: \: atau\: \: x=-1.

 

c. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat dua Variabel

Bentuk umum:

\left\{\begin{matrix} y &= &ax &+&b \\ y &= &px^{2} &+&qx&+&r \end{matrix}\right.

Langkah-langkah penyelesaian:

  • Substitusikan y=ax+b ke bagian y=px^{2}+qx+r, diperoleh ax+b=px^{2}+qx+r. Sehingga kita mendapatkan px^{2}+(q-a)x+(r-b)=0
  • Nilai-nilai x pada langkah pertama disubstitusikan ke y=ax+b atau y=px^{2}+qx+r
  • Nilai x yang ada tergantung dari nilai diskriminan D persamaan kuadrat , yaitu  \LARGE{D=\left ( q-a \right )^{2}-4p\left ( r-b \right )}

Untuk rincian nilai D sebagai berikut:

\begin{tabular}{|c|c|r|r|}\hline \emph{No}& \multicolumn{1}{|r|}{\emph{Jenis Nilai D}}&{\emph{penjelasan nilai D}}\\\hline 1&\boxed{D>0}&sistem persamaan mempunyai dua anggota dalam himpunan penyelesaiannya\\\hline 2&\boxed{D=0}&sistem persamaan mempunyai tepat satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya\\\hline 3&\boxed{D<0}&sistem persamaan tidak memiliki anggota dalam himpunan penyelesaiannya\\\hline\end{tabular}

Contoh:

Tentukan penyelesaian SPLKDV  dari y=x+1  dan  y=x^{2}-3x+4 dan buatlah pula gambar grafiknya?

Jawab:

Langkah pertama yaitu kita samakan-y nya, yaitu \Large\fbox{y=y}

x^{2}-3x+4=x+1\: \: \Leftrightarrow \: \: x^{2}-4x+3=0,

\Leftrightarrow \: \: \left ( x-1 \right )\left ( x-3 \right )=0,

\Leftrightarrow \: \: x=1\: \: \: atau\: \: \: x=3

dengan memasukkan nilai x ke persamaan y=x+1 , maka diperoleh nilai y sebagai berikut:

\left\{\begin{matrix} x &= &1, &y=1+1&=&2&titiknya&(1,2) \\ x &= &3, &y=3+1&=&4&titiknya&(3,4) \end{matrix}\right.

Untuk gambar grafiknya perhatikan ilustrasi berikut:

29

[sumber]

\LARGE\fbox{Latihan Soal}

  1. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV \left\{\begin{matrix} 2x & - & 3y & = &-12 \\ 3x & + & 5y & = & 1 \end{matrix}\right.
  2. Enam tahun yang lalu jumlah umur ayah dan ibu adalah sebelas kali selisihnya. jika sekarang umur ayah adalah tujuh per enam umur ibu, maka jumlah umur mereka berdua sekarang adalah… .
  3. Jika pembilang sebuah pecahan ditambah 2, maka nilai pecahan tersebut menjadi \frac{1}{4}. Dan jika penyebutnya dikurangi 5, maka nilai pecahannya menjadi \frac{1}{5}. Tentukan nilai pecahan yang dimaksud!
  4. Diketahui jumlah dua buah bilangan adalah 16 dan jumlah kuadratnya sama dengan 146. carilah bilangan-bilangan yang dimaksud?
  5. Selisih dua buah bilangan sama dengan hasil kalinya serta jumlah kebalikannya adalah 5. Tentukan bilangan-bilangan yang dimaksud!
  6. Tanpa menyelesaikan sistem persamaan berikut, tentukan banyaknya penyelesaian dari sistem persamaan \left\{\begin{matrix} y & = & 6x & - & 4\\ y & = & x^{2} & - &13 \end{matrix}\right.
  7. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLKDV dari \left\{\begin{matrix} y & = & 3x & + & 1\\ y & = & x^{2} & - &9 \end{matrix}\right., kemuadian buatlah gambar grafiknya!
  8. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan \left\{\begin{matrix} x^{2} & - & y^{2} & = & 8\\ x^{2} & - & 2xy & - &y^{2}&=&2 \end{matrix}\right.

 

Sumber Referensi:

  1. Kurnianingsih, Sri, Kuntarti & Sulistiyono. 2007. Matematika SMA dan MA Untuk Kelas X Semester 1. Jakarta: ESIS.
  2. Sobirin. 2005. Kompas Matematika: Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika SMA Kelas 1. Jakarta: Kawan Pustaka

Contoh Soal Fungsi Ekponensial dan Logaritma

1. Jika y=3^{x} , nyatakan bentuk berikut ini dalam bentuk y

\begin{matrix} a. & 3^{x+1} & - & 3^{x-1}\\ b. & 3^{2x+1} & - &3^{x-2} \\ c. & 2\left ( 3^{1-x} \right )\\ d. & 3^{x} & + & 3^{x+1}&+&3^{x+2}\\ e. & 9^{x} & - & 27^{\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}\\ f. & 3^{x} & - & 9^{\frac{1}{2}x+1}&+&27^{\frac{1}{3}\left ( x+2 \right )} \end{matrix}

Jawab:

 a. 3^{x+1}-3^{x-1}=3^{x}.3-3^{x}.\frac{1}{3}=\left ( 3-\frac{1}{3} \right )3^{x}=\frac{8}{3}3^{x}=\frac{8}{3}y.

b. 3^{2x+1}-3^{x-2}=3^{2x}.3-3^{x}.\frac{1}{9}=3.\left ( 3^{x} \right )^{2}-\frac{3^{x}}{9}=3y^{2}-\frac{1}{9}y.

c. 2\left ( 3^{1-x} \right )=2.\frac{3}{3^{x}}=\frac{6}{3^{x}}=\frac{6}{y}

d. 3^{x}+3^{x+1}+3^{x+2}=3^{x}+3.3^{x}+9.3^{x}=\left ( 1+3+9 \right ).3^{x}=13y

e. 9^{x}-27^{\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}=3^{2x}-3^{3\left ( \frac{1}{3}x \right )+\frac{2}{3}}=\left ( 3^{x} \right )^{2}-3^{x+2}=y^{2}-9y

f. 3^{x}-9^{\frac{1}{2}x+1}+27^{\frac{1}{3}\left ( x+2 \right )}=3^{x}-3^{2\left ( \frac{1}{2}x+1 \right )}+3^{3.\frac{1}{3}\left ( x+2 \right )}=3^{x}-3^{x+2}+3^{x+2}=3^{x}=y.

2. Jika p=2^{2x} , nyatakan bentuk berikut dalam bentuk p

\begin{matrix} a. & 2^{2x} & + & 3\left ( 2^{-2x} \right )\\ b. & 4^{x} & - & 3\left ( 16^{x} \right )\\ c. & 2^{2x+1} & + & 4^{x-1}\\ d. & 8^{\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}} & + & 4^{x+1}\\ e. & 2^{2x} & + & 2^{2x+1}&+&4^{x+2}\\ f. & 2^{2x-1} & - & 4^{2x+1}&+&16^{x-1} \end{matrix}

Jawab:

a. 2^{2x}+3\left ( 2^{-2x} \right )=2^{2x}+\frac{3}{2^{2x}}=p+\frac{3}{p}=\frac{p^{2}+3}{p}.

b. 4^{x}-3\left ( 16^{x} \right )=2^{2x}-3\left ( 2^{4x} \right )=2^{2x}-3.\left ( 2^{2x} \right )^{2}=p-3p^{2}.

c. 2^{2x+1}+4^{x-1}=2.2^{2x}+\frac{4^{x}}{4}=2p+\frac{p}{4}=\frac{9}{4}p.

d, e, dan f  sebagai latihan.

3. Sederhanakanlah

\begin{matrix} a. & 3^{x+4} &.& 5^{x+1}&.&15^{2x-1} \\ b. & 6^{3x+1} &.&8^{x-1} &. &24^{3x-1} \\ c. & 5^{x+7} &.&25^{2x-1}&. &125^{2-x} \\ d. & 2^{x-1} &.&4^{3x-2}&. &32^{2x+1} \\ e. & \left ( 6^{x}.12^{2x+2} \right ) &:& \left ( 27^{x}.32^{3x} \right ) \\ f.&20^{x+3} &.& 15^{2x+5} & .&6^{2x-1} \end{matrix}

Jawab:

a. 3^{x+4}.5^{x+1}.15^{2x-1}=3^{x}.3^{4}.5^{x}.5.(3.5)^{2x}.\frac{1}{15}=27.15^{3x}=3^{3}.\left ( 15^{x} \right )^{3}=\left ( 3.15^{x} \right )^{3}

b. 6^{3x+1}.8^{x-1}.24^{3x-1}=6^{3x}.6.2^{3x-3}.\frac{24^{3x}}{24}=\frac{1}{8}.\frac{6}{24}.\left ( 2.3 \right )^{3x}.2^{3x}.\left ( 2^{3}.3 \right )^{3x}=\frac{1}{32}.2^{3x+3x+9x}.3^{3x+3x}=\frac{1}{32}.2^{15x}.3^{6x}=2^{15x-5}.3^{6x}

c. 5^{x+7}.25^{2x-1}.125^{2-x}=5^{x+7}.5^{4x-2}.5^{6-3x}=5^{x+4x-3x+7-2+6}=5^{2x+11}

d, e, dan f sebagai latihan

4. Jika diberikan  f(x)=8^{x}, maka nilai dari

\begin{matrix} a. & f\left ( \frac{a}{3} \right )\\ b. & f\left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right ) \end{matrix}

Jawab:

Dari soal diketahui  f\left ( x \right )=8^{x}=\left ( 2^{3} \right )^{x}=\left ( 2^{x} \right )^{3}

a. f\left ( \frac{a}{3} \right )=\left ( 2^{\frac{a}{3}} \right )^{3}=2^{a}

b. f\left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right )=\left ( 2^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \right )^{3}=\left ( 2^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \right )^{\sqrt{3}.\sqrt{3}}=2^{\sqrt{3}}

5. Jika diketahui

\left\{\begin{matrix} f\left ( x \right ) & = & \frac{1}{2}\left ( a^{x} +a^{-x}\right ) \\ g\left ( x \right ) & = & \frac{1}{2}\left ( a^{x}-a^{-x} \right ) \end{matrix}\right.

Tunjukkan bahwa   f^{2}\left ( x \right )-g^{2}\left ( x \right )=1

Jawab:

\left ( f\left ( x \right ) \right )^{2}=\left ( \frac{1}{2} \left ( a^{x}+a^{-x} \right )\right )^{2}=\frac{1}{4}\left ( a^{2x}+2+a^{-2x} \right ).

\left ( g\left ( x \right ) \right )^{2}=\left ( \frac{1}{2} \left ( a^{x}-a^{-x} \right )\right )^{2}=\frac{1}{4}\left ( a^{2x}-2+a^{-2x} \right ).

sehingga

\left ( f\left ( x \right ) \right )^{2}-\left ( g\left ( x \right ) \right )^{2}=\frac{1}{4}\left ( a^{2x}+2+a^{-2x} \right )-\frac{1}{4}\left ( a^{2x}-2+a^{-2x} \right )=\frac{2}{4}+\frac{2}{4}=\frac{4}{4}=1

terbukti

6. Diketahui f\left ( x \right )=a^{x}+a^{-x}  dan g\left ( x \right )=a^{x}-a^{-x}. Tentukanlah

\begin{matrix} a. & \left ( f\left ( x \right ) \right )^{2} &-&\left ( g\left ( x \right ) \right )^{2} \\ b. & g\left ( 2x \right ) &-&f\left ( x \right ).g\left ( x \right ) \end{matrix}

Jawab:

a. \left ( f\left ( x \right ) \right )^{2}-\left ( g\left ( x \right ) \right )^{2}=\left ( a^{2x}+2+a^{-2x} \right )-\left ( a^{2x}-2+a^{-2x} \right )=2+2=4.

b. g\left ( 2x \right )-f\left ( x \right ).g\left ( x \right )=a^{2x}-a^{-2x}-\left ( a^{x}+a^{-x} \right )\left ( a^{x} -a^{-x}\right )=a^{2x}-a^{-2x}-\left ( a^{2x}-a^{-2x} \right )=0.

7. Diberikan f\left ( x \right )=2^{x}. Tunjukkan bahwa

\frac{f\left ( x+h \right )-f\left ( x \right )}{h}=2^{x}\left ( \frac{2^{h}-1}{h} \right )

Jawab:

\frac{f\left ( x+h \right )-f\left ( x \right )}{h}=\frac{2^{x+h}-2^{x}}{h}=\frac{2^{x}.2^{h}-2^{x}}{h}=2^{x}\left ( \frac{2^{h}-1}{h} \right ).

8. Diketahui \Phi \left ( t \right )=a^{t}+1 . Tunjukkan bahwa

\frac{1}{\Phi \left ( t \right )}+\frac{1}{\Phi \left ( -t \right )}=1

Jawab:

\frac{1}{\Phi \left ( t \right )}+\frac{1}{\Phi \left ( -t \right )}=\frac{1}{a^{t}+1}+\frac{1}{a^{-t}+1}=\frac{1}{1+a^{t}}+\frac{1}{\frac{1}{a^{t}}+1}=\frac{1}{1+a^{t}}+\frac{a^{t}}{1+a^{t}}=\frac{1+a^{t}}{1+a^{t}}=1.

9. Jika a^{2x}=\sqrt{2}-1, maka nilai dari

\begin{matrix} a. & a^{x} &+&a^{-x} \\ b. & \frac{a^{3x}+a^{-3x}}{a^{x}+a^{-x}} \end{matrix}

Jawab:

a.  perhatikan bahwa

\left ( a^{x}+a^{-x} \right )^{2}=a^{2x}+2+a^{-2x}\: \Rightarrow \: a^{x}+a^{-x}=\sqrt{a^{2x}+2+\frac{1}{a^{2x}}}=\sqrt{\sqrt{2}-1+2+\frac{1}{\sqrt{2}-1}}=\sqrt{\sqrt{2}-1+2+\sqrt{2}+1}=\sqrt{2\sqrt{2}+2}.

b. karena\: \: \frac{a^{3x}+a^{-3x}}{a^{x}+a^{-x}}=a^{2x}-1+a^{-2x}=a^{2x}-1+\frac{1}{a^{2x}} , sehingga

a^{2x}-1+\frac{1}{a^{2x}}=\sqrt{2}-1-1+\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}-1-1+\sqrt{2}+1=2\sqrt{2}-1.

10. Diketahui f\left ( x \right )=1-\frac{1}{x}\: ,\: f^{2}\left ( x \right )=f\left ( f\left ( x \right ) \right )\: ,dan\: \: f^{n}\left ( x \right )=f\left ( f^{n-1}\left ( x \right ) \right )  untuk n=3,4,5,....

Tentukanlah nilai dari f^{2014}\left ( \frac{1}{2} \right )

Jawab:

Perhatikan bahwa f\left ( \frac{1}{2} \right )=1-\frac{1}{\frac{1}{2}}=1-2=-1.

Selanjutnya

\begin{matrix} f\left ( \frac{1}{2} \right ) & = &1-\frac{1}{\frac{1}{2}}= 1-2=-1\\ f^{2}\left ( \frac{1}{2} \right ) & = &f\left ( f\left ( \frac{1}{2} \right ) \right )=f\left ( -1 \right )=2 \\ f^{3}\left ( \frac{1}{2} \right ) & = & f\left ( f^{2}\left ( \frac{1}{2} \right ) \right )=f\left ( 2 \right )=\frac{1}{2}\\ f^{4}\left ( \frac{1}{2} \right ) & = & f\left ( f^{3}\left ( \frac{1}{2} \right ) \right )=f\left ( \frac{1}{2} \right )=-1\\ f^{5}\left ( \frac{1}{2} \right ) & = & f\left ( f^{4}\left ( \frac{1}{2} \right ) \right )=f\left ( -1 \right )=2\\ \vdots &=&\vdots&\cdots \\ \vdots &=&\vdots&\cdots \\ f^{2014}\left ( \frac{1}{2} \right )&=&\cdots =f^{4}\left ( \frac{1}{2} \right )=f\left ( \frac{1}{2} \right )=-1 \end{matrix}

Sumber Referensi

  1. Sukino. 2013. Matematika Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam untuk SMA/MA Kelas x. Jakarta: Erlangga.

Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linier

A. Sistem Persamaan Linier

Sistem Persamaan Linier Dua Variabel adalah sistem persamaan  linier yang mempunyai bentuk

\left\{\begin{matrix} a_{1}x &+ &b_{1}y &=c_{1}\\ a_{2}x&+ &b_{2}y &=c_{2} \end{matrix}\right.

dengan a_{1},\: b_{1},\: a_{2},\: b_{2},\: dan\: c_{1},\: c_{2} adalah bilangan real

B. Hubungan Dua Buah Garis Lurus(Sistem Persamaan Linier Dua Variabel)

  • Jika kedua garis berpotongan, maka sistem persamaan linier memiliki sebuah penyelesaian. Hal ini terjadi jika \frac{a_{1}}{a_{2}}\neq \frac{b_{1}}{b_{2}}
  • Jika kedua garis sejajar, maka sistem persamaan linier tidak memiliki penyelesaian. Hal ini jika \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}\neq \frac{c_{1}}{c_{2}}
  • Jika kedua garis itu berimpit, maka memiliki tak terhingga penyelesaian. ini terjadi saat  \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}= \frac{c_{1}}{c_{2}}

Contoh ilustrasi persamaan linier dua variabel

17              dan            16

[Sumber]

\LARGE\fbox{Contoh Soal}

1.Penyelesaian sistem persamaan \left\{\begin{matrix} 3x &- & 4y &=14 \\ x& - & 2y &=6 \end{matrix}\right. adalah ….

Jawab:

perhatikan untuk \left\{\begin{matrix} 3x &- & 4y &=14\: ..........1) \\ x& - & 2y &=6 \: ............2) \end{matrix}\right.

Untuk persamaan 2)  x= 6 + 2y kita substitusikan ke persamaan 1). Selanjutnya kita mendapatkan 3(6+2y)-4y=14\: \Rightarrow 18+6y-4y=14\: \Rightarrow 2y=-4\: \Rightarrow y=-2\:\: \: .....................3)

Kemudian persamaan 3) disubstitusikan ke persamaan 2), maka akan didapatkan x = 2.

Jadi penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah x=2\: dan\: y=-2

2. Jika diketahui  x dan y memenuhi sistem persamaan \frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1 dan \frac{1}{x}-\frac{2}{y}=8 , maka nilai \frac{1}{x+y} = ….

Jawab:

Dengan cara kurang lebih sama dengan pembahasan soal pada contoh no 1) di atas tetapi dengan gabungan eliminasi dan substitusi. Misalkan

\begin{matrix} \frac{2}{x} &+ &\frac{1}{y} &=1&|\times 2|&\frac{4}{x}&+&\frac{2}{y}&=2 \\ \frac{1}{x}&- & \frac{2}{y} &=8&|\times 1|&\frac{1}{x}&-&\frac{2}{y}&=8\\ \end{matrix}

——————————————————  +

\frac{5}{x}=10\: \Rightarrow x=\frac{1}{2}\: \: dan \: \: diperoleh\: \: y=-\frac{1}{3}

Jadi, nilai  \frac{1}{x+y}=\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=6

3. Enam tahun yang lalu, umur Budi 4 tahun lebih muda dari seperenam umur ayahnya. Jika umur Budi sekarang 3 tahun lebih tua dari seperdelapan umur ayahnya, maka jumlah umur mereka berdua sekarang adalah ….

Jawab:

Misalkan umur Budi = x , dan umur ayahnya = y , maka persoalan di atas dapat dimodelkan sebagai berikut

  • (x-6)+4=\frac{1}{6}(y-6)\: \Rightarrow x=\frac{1}{6}y+1\: .........(1)
  • x-3=\frac{1}{8}y\: \Rightarrow x=\frac{1}{8}y+3\: ............(2)

Dari persamaan 1) dan 2) diperoleh  \frac{1}{6}y+1=\frac{1}{8}y+3\: \Rightarrow y=48\: \: tahun,\: dan\: ahirnya\:\: diperoleh\:\: x= 9\:\: tahun

Jadi, jumlah umur mereka adalah 48 + 9 = 57  tahun.

C. Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel

Sistem persamaan ini memiliki bentuk

\left\{\begin{matrix} a_{1}x &+ &b_{1}y &+&c_{1}z&=d_{1} \\ a_{2}x&+ & b_{2}y &+&c_{2}z&=d_{2} \\ a_{3}x &+ &b_{3}y &+&c_{3}z&=d_{3} \end{matrix}\right.

Untuk ketentuan yang lain kurang lebih sama seperti sistem persamaan linier dua variabel

\LARGE\fbox{Contoh Soal}

1. Himpunan penyelesaian sistem persaman

\left\{\begin{matrix} x & + &y & =5 \\ y &+ &z &=6 \\ 2x&+ &y &+ &z&=4 \end{matrix}\right.

adalah {(x,y,z)}. Nilai untuk x + y + z = ….

Jawab:

Perhatikan bahwa

\left\{\begin{matrix} x & + &y & =5&..........(1)\\ y &+ &z &=6&...........(2)\\ 2x&+&y&+&z&=4&..........(3) \end{matrix}\right.

Persamaan 2) disubsitusi ke persamaan 3)

2x+6=4\: \Rightarrow x=-1\: \: .........(4).  Kemudian persamaan 2) dan 4) dijumlahkan. Selanjutnya kita mendapatkan x+y+z=-1+6=5.

2. (OMITS SMP/MTs 2012) Ada 3 bilangan bulat. Jika masing-masing bilangan itu dipasangkan maka akan didapatkan jumlah 2006, 2010, dan 2012. Jumlah bilangan terbesar yang dimaksud adalah ….

Jawab:

Misalkan bilangan yang dimaksud adalah a, b, dan c, maka

\left\{\begin{matrix} a & + & b &=2006 \\ b & + & c &=2010 \\ c & + & a &=2012 \end{matrix}\right.

Selanjutnya jumlahkan ketiga persamaan tersebut di atas. Sehingga kita mendapatkan

2(a+b+c)=6028\: \Rightarrow \: a+b+c=3014

Maka bilangan terbesarnya adalah saat  (a+b+c)-(a+b)=3013-2006=1008=c

(yakni persamaan ke 4) dikurangi persamaan pertama)

\LARGE\fbox{Soal Latihan}

  1. Diketahui sistem persamaan \left\{\begin{matrix} 2x & + & 3y &=13 \\ 3x & + & 4y &=19 \end{matrix}\right.. Nilai x.y adalah ….
  2. Penyelesaian sistem persamaan  \left\{\begin{matrix} \frac{x+5}{2} &+ & \frac{3y+9}{3} &=9 \\ \frac{2x+3y}{4}&+ &6 &=9 \end{matrix}\right. adalah ….
  3. Di sebuah toko, Aziz membeli 3 buku dan 2 buah pensil seharga Rp5.200,00. Sedangkan Fatimah membeli 2 buku dan 3 pensil seharga Rp4.800,00. Harga 1 buku adalah ….
  4. Jika jumlah dua bilangan adalah 67 dan selisihnya adalah 45, maka kedua bilangan tersebut adalah ….
  5. Sebuah bilangan terdiri dari dua angka yang besarnya 7 kali jumlah angka-angkanya. Jika kedua angka dipertukarkan, akan diperoleh bilangan baru, 18 lebih dari jumlah angka-angkanya. Bilangan yang dimaksud adalah ….
  6. Jika pembilang dan penyebut sebuah pecahan, keduanya dikurangi 5, akan diperoleh pecahan sama dengan \frac{1}{2}.  Bila pembilang dan penyebut keduanya ditambah dengan 1, pecahan itu sama dengan \frac{2}{3}. Pecahan yang dimaksud adalah ….
  7. Para bola y=ax^{2}+bx+c melalui titik (1,1), (-1,-5), dan (3,23). Tentukanlah nilai a, b, dan c
  8. Jika diketahui sistem persamaan linier: \left\{\begin{matrix} a &+ &3b &+ &2c&=6160 \\ 6a& + &2b &=7680 \\ 6c&+ & 3d &=8820 \end{matrix}\right.

 

Sumber Referensi

  1. Enung, Untung. 2009. Mandiri Matematika SMAjilid 1 Untuk Kelas X. Jakarta: Erlangga.
  2. Sukino. 2004. Persiapan Menghadapi Olimpiade Matematika Tingkat SMP Seri B. Jakarta: BSD MIPA.

 

D. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Perhatikan ilustrasi soal berikut

Misalkan suatu ketika seseorang sebut saja pak Ahmad berencana membangun 2 tipe rumah, yaitu, tipe A dan tipe B di atas sebidang tanah seluas 10.000 m^{2}. Setelah ditanyakan kepada seorang arsitek ternyata untuk membangun rumah tipe A dibutuhkan tanah seluas 100 m^{2} dan untuk rumah tipe B dibutuhkan tanah seluas 75 m^{2}. Karena keterbatasan dana, akhirnya yang akan dibangun paling banyak 125 unit rumah saja, maka

1) berapa banyak rumah tipe A dan tipe B yang harus dibangun sesuai dengan kondisi luas tanah yang tersedia  dan jumlah rumah yang akan dibangun oleh pak Ahmad

2) gambarkanlah daerah penyelesaian pada koordinat kartesius berdasarkan batasan-batasan yang telah diberikan

Jawab:

Dimisalkan:    x : banyak  rumah tipe A yang segera dibangun

y : banyak  rumah tipe B yang segera dibangun

1) Banyaknya rumah tipe A dan tipe B yang akan dibangun

  • Dari soal diketahui luas bidang tanahnya adalah 10.000 m^{2} , maka model matematikanya adalah 100x+75y\leq 10.000. Selanjutnya kita sederhanakan menjadi 4x+3y=400  …………………………….(1)
  • Dan jumlah rumah yang segera dibangun, dimodelkan sebagai x+y\leq 125 …………………………………..(2)
  • Sebagai tambahannya, baik x dan y  minimal adalah nol (kondisi dimana apabila kedua tipe rumah tersebut tidak jadi dibangun)

Sehingga dengan eliminasi dan substitusi, maka

\left\{\begin{matrix} 4x & + &3y & = & 400 \\ x & + & y & = & 125 \end{matrix}\right.

Dengan mengalikan x + y = 125 dengan 3 kemudian dieliminasikan ke 4x + 3y = 400 diperoleh

x=25

untuk  x=25, maka y=125-x=125-25=100

Hal ini menunjukkan bahwa pak Ahmad dapat membangun rumah tipe A sebanyak 25 unit dan rumah tipe B sebanyak 100 unit.

2) Untuk gambar grafiknya pada bidang kartesius, kita perlu menentukan beberapa titik potong

untuk  persamaan garis 4x+3y=400 maka y=\frac{400-4x}{3}

\begin{tabular} {|r|c|c|}\hline x&0&100\\\hline y&133,3&0\\\hline (x,y)&(0,133,3)&(100,0)\\\hline\end{tabular}

untuk persaman  x+y=125 maka y=125-x

\begin{tabular} {|r|c|c|}\hline x&0&125\\\hline y&125&0\\\hline (x,y)&(0,125)&(125,0)\\\hline\end{tabular}

Selanjutnya buatlah titik uji, misalkan saja titik (0,0), kemudian kita substitusikan ke pertidaksamaan 4x+3y\leq 400  maupun x+y\leq 125. Kalau hasilnya memenuhi maka daerah titik (0,0) termasuk penyelesaian.

Silahkan kamu memasukkan titik uji yang lain

Dan akhirnya kita akan mendapatkan gambar grafik diagram kartesius sebagai berikut:

Untitled

Sumber Refernsi

  1. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. 2013. Matematika Kelas X. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.