Contoh Soal Nilai Mutlak

\LARGE\fbox{Contoh Soal Nilai Mutlak}

Berikut Contoh-Contoh Soal Berkaitan Nilai Mutlak

1. Untuk x bilangan real. Tentukanlah penyelesaian untuk

a. \left | 2x-3 \right |=5

b. \left | 2x-3 \right |\leq 5

c. \left | 2x-3 \right |< 5

d. \left | 2x-3 \right |\geq 5

e. \left | 2x-3 \right |> 5

f. \left | 2x-3 \right |\leq -5

g. \left | 2x-3 \right |< -5

h. \left | 2x-3 \right |\geq -5

i. \left | 2x-3 \right |> -5

 

Jawab:

a. \left | 2x-3 \right |=5\: \: \Leftrightarrow \: \: \sqrt{\left ( 2x-3 \right )^{2}}=5

kuadratkan masing-masing ruas sehingga kita mendapatkan

\left ( 2x-3 \right )^{2}=5^{2}\: \: \Leftrightarrow \: \: \left ( 2x-3 \right )^{2}-5^{2}=0 \left ( 2x-3+5 \right )\times \left ( 2x-3-5 \right )=0\: \: \Leftrightarrow \: \: \left ( 2x+2 \right )\times \left ( 2x-8 \right )=0

Jadi,   x=-1\: \: atau\: \: x=4

Kiat juga dapat mengerjakannya dengan

\left | 2x-3 \right |=\left\{\begin{matrix} (2x-3) \\ -(2x-3) \end{matrix}\right.

(1) untuk 2x-3=5\: \: \Rightarrow \: \: 2x=8\: \: \Rightarrow \: \: x=4 , atau

(2) untuk -\left ( 2x-3 \right )=5\: \: \Rightarrow \: \: -2x+3=5\: \: \Rightarrow \: \: -2x=2\: \: \Rightarrow \: \: x=-1

Jadi, jawabannya juga sama   x=-1\: \: atau\: \: x=4

b. \left | 2x-3 \right |\leq 5 \: \: maka\: \: -5\leq 2x-3\leq 5

-5\leq 2x-3\leq 5\: \: \Rightarrow \: \: -5+3\leq 2x-3+3\leq 5+3\: \: \Rightarrow \: \: -2\leq 2x\leq 8\: \: \Rightarrow \: \: -1\leq x\leq 4\: \: \left ( dengan\: \: membagi\: \: 2 \right )

 

c. Dengan cara yang kurang lebih sama dengan b) akan didapatkan -1< x< 4

d. \left | 2x-3 \right |\geq 5 \: \: maka \: \: 2x-3\leq -5\: \: atau\: \: 2x-3\geq 5

Jadi akan didapatkan x\leq -1\: \: atau\: \: x\geq 4

e. Dengan cara yang kurang lebih sama dengan d) akan didapatkan x< -1\: \: atau\: \: x> 4

f. \left | 2x-3 \right |\leq -5 \: \: maka \: tidak\: akan\: ada\: nilai\: x\: \epsilon \: R\: \: yang\: memenuhi

g. Sama seperti jawaban f), yaitu tidak ada harga x elemen real yang memenuhi

h. \left | 2x-3 \right |\geq -5\: \: semua\: nilai\: x\: \epsilon \: R\: \: akan\: memenuhi

i. Sama seperti jawaban h), semua nilai x elemen real pasti memenuhi.

 

2. Carilah solusi dari \left | x+2 \right |=\left | x+4 \right |

Jawab:

\left | x+2 \right |=\left | x+4 \right | , kuadratkan keduanya

x^{2}+4x+4=x^{2}+8x+16\: \Leftrightarrow \: -4x=12\: \Leftrightarrow \: x=-3

 

3. Carilah semua bilangah real a, sehingga

\left | x-1 \right |+\left | x-2 \right |+\left | x-3 \right |+...+\left | x-2015 \right |=a

memiliki tepat satu solusi?

Jawab:

untuk x=1 dan x= 2015 ternyata nilainya sama

misal untuk x=1\Rightarrow \left | 1-1 \right |+\left | 1-2 \right |+\left | 1-3 \right |+...+\left | 1-2015 \right |=0+1+2+...+2014=\frac{\left ( 2015 \right )\times \left ( 2016 \right )}{2}

demikian juga untuk x= 2 dan x= 2014 dan begitu seterusnya dan akan ada satu yang tidak berpasangan, yaitu saat x=\frac{1+2015}{2}=1008.

Jadi , hanya ada satu nilai a yaitu saat x= 1008.

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

A. Nilai Mutlak

Nilai mutlak adalah jarak pada garis bilangan real antara bilangan yang dimaksud dengan dengan nol.

untuk  x bilangan real didefinisikan \left | x \right |=\left\{\begin{matrix} x &jika & x\geqslant 0\\ -x&jika & x< 0 \end{matrix}\right.

Contoh:

\left | 8 \right |=8,

\left | -8 \right |=8,

\left | 0 \right |=0

 

B. Persamaan Nilai Mutlak

Sifat-sifat nilai mutlak

  1. \left | ab \right |=\left | a \right |.\left | b \right |
  2. \left | \frac{a}{b} \right |=\frac{\left | a \right |}{\left | b \right |}
  3. \left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |,  (ketaksamaan segitiga)
  4. \left | a-b \right |\geqslant \left | \left | a \right |-\left | b \right | \right |
  5. \sqrt{x^{2}}=\left | x \right |
  6. \left | x \right |^{2}=x^{2}
  7. \left | x \right |< a\Leftrightarrow -a< x< a
  8. \left | x \right |> a\Leftrightarrow x<-a atau x> a

 

Contoh Soal:

1. Tentukan nilai x  yang memenuhi \left | x-3 \right |=2014
Jawab:

  • x-3=2014 ………………… 1)
  • -(x-3)=2014  ……………. 2)

Dari persamaan (1) diperoleh  x=2014+3=2017, dan dari persamaan (2) diperoleh -x+3=2014 \Rightarrow x=3-2014=-2011.
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x=-2011 atau x=2017

 

2. Tunjukkan bahwa \left | mn \right |=\left | m \right |.\left | n \right |
Bukti:

\left | mn \right |=\sqrt{(mn)^{2}}=\sqrt{m^{2}.n^{2}}=\sqrt{m^{2}}.\sqrt{n^{2}}=\left | m \right |.\left | n \right |

 

3. Tentukan nilai x yang memenuhi \sqrt{(x-3)^{2}}=7
Jawab:

\sqrt{(x-3)^{2}}=7

—————————————————   ,masing-masing ruas dikuadratkan

(x-3)^{2}=49 x^{2}-6x+9-49=0 x^{2}-6x-40=0 (x+4)(x-10)=0 x+4=0\:\: \: V\: \: x-10=0 x=-4\: \: \: atau\: \: x=10

 

4. Gambarkanlah grafik f(x)=\frac{\left | x \right |}{x} untuk x  bilangan real!

Jawab :

untuk

x=0\: \: \Rightarrow f(0)=\frac{\left | 0 \right |}{0}=\frac{0}{0} = tak tentu (indeterminate)

x=1\: \: \Rightarrow f(1)=\frac{\left | 1 \right |}{1}=\frac{1}{1}=1

 

x=2\: \: \Rightarrow f(2)=\frac{\left | 2 \right |}{2}=\frac{2}{2}=1

 

x=-1\: \: \Rightarrow f(-1)=\frac{\left | -1 \right |}{-1}=\frac{1}{-1}=-1

 

x=-2\: \: \Rightarrow f(-2)=\frac{\left | -2 \right |}{-2}=\frac{2}{-2}=-1

 

dan seterusnya

Perhatikanlah ilustrasi berikut ini

index.jpg27[sumber]

Soal Latihan

  1. Tentukan nilai dari \frac{\left | 40 \right |}{\left | 8 \right |}
  2. Tentukan nilai dari 2012-\left | 2013-\left | 2014 \right | \right |
  3. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan \left | x-20 \right |-30=23
  4. Carilah harga x yang memenuhi \sqrt{(x-5)^{2}}=-2
  5. Carilah harga x yang memenuhi \left | \frac{2x+3}{5} \right |=6
  6. Tunjukkan bahwa \left | \frac{x}{y} \right |=\frac{\left | x \right |}{\left | y \right |}
  7. Tunjukkan bahwa  \left | x \right |^{2}=x^{2}=\left | -x \right |^{2}
  8. Gambarlah grafik f(x)=\left | x \right |,\: \: untuk \: \: x\: \varepsilon \: R
  9. Gambarkanlah grafik f(x)=\left | 2x-1 \right |, untuk 1<x<10

 

C. Pertidaksaan Nilai Mutlak

Untuk k,\: x,\: y,\: bilangan real dan k>0, maka

  • \left | x \right |\geqslant 0
  • \left | x+y \right |\leqslant \left | x \right |+\left | y \right |
  • \left | x-y \right |\leqslant \left | x \right |+\left | y \right |
  • Jika x<y, maka x^{2}<y^{2}
  • \left | x \right |\leq k\: \: \Leftrightarrow \: \: -k\leq x\leq k
  • \left | x \right |\geq k\: \: \Leftrightarrow \: x\leq -k\: \, atau\: x\geq k

 

Contoh Soal:

1. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari \left | x-2014 \right |\leq 6

Jawab:

\left | x-2014 \right |\leq 6 -6\leq x-2014\leq 6\: \: \Leftrightarrow \: \: -6+2014\leq x-2014+2014\leq 6+2014\: \: \Leftrightarrow \: \: 2008\leq x\leq 2020 HP=\left \{ x\: |\: 2008\leq x\leq 2020,\: x\: \epsilon \: R\, \right \}

 

2. Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan harga mutlak dari \left | 2x-3 \right |\geq 5

Jawab :

  • 2x-3\leq -5\: \Leftrightarrow \: 2x\leq -5+3\: \Leftrightarrow \: 2x\leq -2\: \Leftrightarrow\: x\leq -1  , atau
  • 2x-3\geq 5\: \Leftrightarrow \: 2x\geq 5+3\: \Leftrightarrow \: 2x\geq 8\: \Leftrightarrow \: x\geq 4

Sehingga penyelesaiannya adalah  x\leq -1\: \: atau\: \: x\geq 4

3. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan harga mutlak dari \frac{2}{1+x}\leq \left | x \right |

Jawab:

\frac{2}{1+x}\leq \left | x \right |\: \Leftrightarrow \: \left | x \right |\geq \frac{2}{1+x}
  • x\leq -\frac{2}{1+x}\: \Leftrightarrow \: x+\frac{2}{x+1}\leq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{x(x+1)+2}{x+1}\leq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{x^{2}+x+2}{x+1}\leq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{definit\:\: positif}{x+1}\leq 0\: \Leftrightarrow \: x< -1, atau
  • x\geq \frac{2}{1+x}\: \Leftrightarrow \: x-\frac{2}{x+1}\geq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{x(x+1)-2}{x+1}\geq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{x^{2}+x-2}{x+1}\geq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{(x+2)(x-1)}{x+1}\geq 0\: \Leftrightarrow \: -2\leq x< -1\: \: atau\: \: x\geq 1

Jadi, penyelesaiannya adalah x< -1\: \: atau\: \: x\geq 1

 

Latihan Soal

  1. Penyelesaian dari pertidaksamaan \left | x-5 \right |<5 adalah ….
  2. Penyelesaian dari pertidaksamaan \left | 3x-2 \right |\geq 7 adalah ….
  3. Penyelesaian dari pertidaksamaan \left | x^{2}+5x \right |\leq 6 adalah ….
  4. Carilah nilai x yang memenuhi  x\: +\: \left | x-3 \right |\leq 3
  5. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan \left | x-1 \right |-2\left | x \right |>3  adalah ….
  6. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan \left | x-2 \right |^{2}>4\left | x-2 \right |+12
  7. Penyelesaian dari pertidaksamaan \left | \frac{5}{4x-3} \right |\leq 1 adalah ….
  8. Penyelesaian dari pertidaksamaan \left | \frac{2x-1}{x+5} \right |\leq 3

Sumber Referensi

  1. Enung, Untung. 2009. Mandiri Matematika SMAjilid 1 Untuk Kelas X. Jakarta: Erlangga.