Fungsi Eksponen dan Logaritma

A. Fungsi Eksponen

Fungsi adalah relasi yang bersifat khusus.

Ada dua bentuk umum fungsi eksponen, yaitu

a. Fungsi eksponen dengan bilangan basis  a>1

Perhatikan ilustrasi berikut

19[Sumber]

Perhatikan juga tabel berikut

\begin{tabular}{|r|l|c|r|c|c|}\hline x&-2&-1&0&1&2\\ \hline f(x)&{1/4}&{1/2}&1&2&4\\ \hline (x,f(x))&(-2,1/4)&(-1,1/2)&(0,1)&(1,2)&(1,4)\\ \hline\end{tabular}

b. Fungsi eksponen dengan bilangan basis  0<a<1

Perhatikan pula ilustrasi berikut ini

20

[Sumber]

Perhatikan pula tabel berikut

\begin{tabular}{|r|l|c|r|c|c|}\hline x&-2&-1&0&1&2\\ \hline f(x)&{4}&{2}&1&1/2&1/4\\ \hline (x,f(x))&(-2,4)&(-1,2)&(0,1)&(1,1/2)&(1,1/4)\\ \hline\end{tabular}

 Sifat-sifat pada bilangan bentuk eksponen

24[Sumber]

Silahkan anda pelajari beberapa bentuk persamaan eksponen dan langkah penyelesaiannya.

Sebagai tambahan  a^{a^{a+m}}=a^{a^{a+n}}\: \Rightarrow \: \: m=n .

\LARGE\fbox{Contoh Soal}

1. Tentukan penyelesaian dari  \sqrt{8^{x-1}}=2.\sqrt[3]{\left ( \frac{1}{4} \right )}

Jawab:

8^{\frac{x-1}{2}}=2.2^{-\frac{2}{3}}\: \Rightarrow\: 2^{\frac{3(x-1)}{2}}=2^{\frac{1}{3}} \frac{3x-3}{2}=\frac{1}{3}\: \Rightarrow \: 3x-3=\frac{2}{3}\: \Rightarrow \: x=\frac{11}{9}

Ingat: a^{f(x)}=a^{p}\: \Rightarrow \: f(x)=p\: ,\: dengan\: syarat\: (a>0\: ,\: a\neq 1)

2. Tentukanlah penyelesaian dari  5^{x^{2}+3x+5}=\left ( \frac{1}{5} \right )^{2x+1}

Jawab:

5^{x^{2}+3x+5}=5^{-2x-1} x^{2}+3x+5=-2x-1\: \Rightarrow \: x^{2}+5x+6=0 \left ( x+3 \right )\left ( x+2 \right )=0\: \Rightarrow \: x_{1}=-3\: \: atau\: \: x_{2}=-2

Ingat: a^{f(x)}=a^{g(x)}\: \Rightarrow \: f(x)=g(x)\: ,\: dengan \: syarat\: (a>0\: dan\: a\neq 1)

3. Tentukan penyelesaian dari 5^{x^{2}-3x+2}=3^{x^{2}-3x+2}

Jawab:

Penyelesaiannya adalah  x^{2}-3x+2=0\: \Rightarrow \: \left ( x-1 \right )\left ( x-2 \right )=0\: \Rightarrow \: x_{1}=1\: \: atau\: \: x_{2}=2

Ingat: a^{f(x)}=b^{f(x)}\: \Rightarrow \: f(x)=0

4. Tentukan penyelesaian dari  7^{3x-1}=5^{2x+1}

Jawab:

7^{3x-1}=5^{2x+1}, kemudian dilogkan keduanya, sehingga

\log 7^{3x-1}=\log 5^{2x+1}

(3x-1)\log 7=(2x+1)\log 5 ,

3x\log 7-2x\log 5=\log 5+\log 7,

x\left ( \log 7^{3}-\log 5^{2} \right )=\log 35\: \Leftrightarrow \: x\log \left ( \frac{343}{25} \right )=\log 35,

x=\left ( \frac{\log 35}{\log \left ( \frac{343}{25} \right )} \right ),

Jadi,\: \: x=^{\frac{343}{25}}\log 35

 

5. Tentukan semua solusi dari persamaan eksponen (x-3)^{x^{2}+3x-2}=x^{2}-6x+9

Jawab:

(x-3)^{x^{2}+3x-2}=x^{2}-6x+9\: \Leftrightarrow \: (x-3)^{x^{2}+3x-2}=(x-3)^{2}

 

Untuk bentuk f(x)^{g(x)}=f(x)^{h(x)}

ada 4 syarat yang perlu diperhatikan, antara lain:

  • Pertama: eksponen \: sama \: \: atau\: \: g(x)=h(x)
  • Kedua: Bilangan basis  f(x)=0, dengan ketentuan baik g(x)\: dan\: h(x) keduanya positif, atau g(a)\times h(a)=positif
  • Ketiga: Bilangan basis f(x)=1
  • Keempat: Bilangan basis f(x)=-1, dengan syarat  g(a)+h(a)=genap

Sehingga

Pertama: x^{2}+3x-2=2\: \Leftrightarrow \: (x^{2}+3x-4)=0

(x+4)(x-1)=0\: \Rightarrow \: x=-4\: atau\: x=1

Kedua: x-3=0\: \Rightarrow \: x=3\: :\left\{\begin{matrix} x=3 &, 3^{2}+3(3)-2=16 &positif \\ x=2& (konstan) & positif \end{matrix}\right.

memnuhi

Ketiga: x-3=1\: \Rightarrow \: x=4

Keempat: x-3=-1\: \Rightarrow \: x=2\left\{\begin{matrix} x=2 &,2^{2}+3(2)-2=8 &genap \\ x=2 & (konstan) &genap \end{matrix}\right.

Ternyata juga memenuhi.

Jadi Solusi dari persamaan di atas adalah: -4,\: 1,\:2,\: 3,\: 4 .

6. Tentukan nilai x bila  x^{x^{4}}=4 .

Jawab :

Perhatikan bahwa x^{x^{4}}=4  . Pangkatkan 4 masing-masing ruas, sehingga

\left ( x^{x^{4}} \right )^{4}=\left ( 4 \right )^{4}\\\\ maka\\\\ \left ( x^{4} \right )^{x^{4}}=\left ( 4 \right )^{4}\\\\ \Rightarrow \: \: x^{4}=4\\\\ diperoleh\: \: \sqrt[4]{x^{4}}=\sqrt[4]{4}\\\\ \left | x \right |=\sqrt[4]{2^{2}}\: \Leftrightarrow \: \left | x \right |=\sqrt{2}\\\\ jadi,\\\\ x=\sqrt{2}\: \: atau\: \: x=-\sqrt{2} .

7. Carilah nilai x jika x^{-x}=4 .

Jawab :

x^{-x}=2^{2}\: \Rightarrow \: x^{-x}=\left ( -2 \right )^{2}\\\\ sehingga\\\\ x^{-x}=\left ( -2 \right )^{-\left ( -2 \right )}\\\\ Jadi,\\\\ x=-2 .

B. Fungsi Logaritma

1. Fungsi logaritma dengan a>1

Perhatikan ilustrasi berikut

 21[Sumber]

2. Fungsi logaritma dengan 0<a<1

Perhatikan pula ilustrasi berikut

22[Sumber]

Sifat-sifat operasi pada logaritma

23[Sumber]

Silahkan anda pelajari beberapa bentuk persamaan logaritma dan langkah penyelesaiannya.

\LARGE\fbox{Contoh Soal}

1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan:

^{2}\log (x^{2}-7x+12)=1

Jawab:

ingat bahwa untuk  ^{a}\log b=c\: \: \Leftrightarrow \: \: b=a^{c}

Sehingga

x^{2}-7x+12=2^{1}

x^{2}-7x+10=0

(x-2)(x-5)=0

Jadi,   x=2\: \: atau\: \: x=5

2. Tentukan penyelesaian dari  \log (x+3)=\log (x^{2}-9)

Jawab:

x+3=x^{2}-9\: \Rightarrow \: x^{2}-x-12=0

(x+3)(x-4)=0\: \Leftrightarrow \: x=-3\: \: atau\: \: x=4\: \left\{\begin{matrix} x=-3 &,tidak\: \: memenuhi \\ x=4&,memenuhi \end{matrix}\right.

Catatan: lihat syarat numerus.

3. Carilah jumlah akar-akar dari persamaan

^{2}\log ^{2}x+7^{2}\log x+12=0

Jawab:

misalkan \: \: p=^{2}\log x\: \: \: maka\: \: \: ^{2}\log ^{2}x=\left ( ^{2}\log x \right )^{2}=p^{2}

Sehingga

p^{2}+7p+12=0\: \: \Rightarrow \: \: (p+4)(p+3)=0.

Maka untuk

p+4=0\: \: \Leftrightarrow \: \: ^{2}\log x+4=0\: \: \Leftrightarrow \: \: ^{2}\log x=-4

didapatkan nilai x=2^{-4}=\frac{1}{16}

untuk

p+3=0\: \: \Leftrightarrow \: \: ^{2}\log x+3=0\: \: \Leftrightarrow \: \: ^{2}\log x=-3

didapatkan nilai x=2^{-3}=\frac{1}{8}

Jadi, jumlah akar-akar yang dimaksud adalah  \frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{3}{16}

4. Tentukan nilai x + y  dari sistem persamaan

\begin{matrix} ^{7}\log x &+ &^{7}\log y &=&5 \\ ^{7}\log x^{3}&- &^{7}\log y^{4} &=&1 \end{matrix}

Jawab:

Misalkan

^{7}\log x=a\: \: \: dan\: \: \: ^{7}\log y=b

maka

\begin{matrix} a &+ & b &= &5 \\ 3a& - & 4b & = &1 \end{matrix}

dengan eliminasi ataupun substitusi diperoleh \left\{\begin{matrix} a=3 \\ b=2 \end{matrix}\right.

  • untuk  a=3\: \: \Rightarrow \: \: ^{7}\log x=3\: \: x=7^{3}=343
  • untuk  b=2\: \: \Rightarrow \: \: ^{7}\log y=2\: \: y=7^{2}=49

Jadi, nilai x + y = 343 + 49 = 392

\LARGE\fbox{Latihan Soal}

  1. Carilah solusi dari persamaan eksponen  (7x-1)^{3x-2}=(x-5)^{3x-2}
  2. Carilah solusi untuk 9\times \sqrt{(\frac{1}{27})^{2x-1}}=\sqrt{243}
  3. Gambarlah grafik fungsi f(x)=3^{x+1}, untuk x\epsilon \left \{ -3,-2,-1,0,1,2,3,4 \right \}
  4. Carilah solusi untuk (x^{2}-9x+19)^{3x+4}=(x^{2}-9x+19)^{4x+2}
  5. Gambarlah grafik fungsi f(x)=^{2}\log (x+1), untuk x\epsilon \left \{ -3,-2,-1,0,1,2,3,4 \right \}
  6. Carilah nilai x jika 2^{x+1}+2^{x+2}+2^{x+3}=56 .

C. Aplikasi Fungsi Eksponensial dan Fungsi Logaritma

1. Fungsi Eksponensial

a. Pertumbuhan(growth)

Misalkan seseorang menabung di sebuah bank menggunakan  sistem bunga majmuk dengan bungan p% pertahun, maka jumlah uangnya selah n adalah M_{n} adalah

\LARGE\boxed{M_{n}=M\left ( 1+\frac{p}{100} \right )^{n}}

b. Peluruhan(decay)

Misalkan suatu zat radioaktif yang meluruh dapat kita nyatakan dengan

\LARGE\boxed{x\left ( t \right )=x\left ( 0 \right ).e^{-\lambda .t}}

dengan

  • x\left ( t \right ) = massa yang tersisa setelah t detik
  • x\left ( 0 \right ) = massa awal
  • \lambda = konstanta peluruhan

2. Fungsi Logaritma

Misalkan suatu senyawa kimiawi dihitung nilai pH

\LARGE\boxed{pH=-\log \left [ H^{+} \right ]}

dengan

  • pH adalah sifat keasaman
  • \left [ H^{+} \right ] adalah konsentrasi ion hidrogen dalam mol per liter pada suatu larutan

Misalkan juga dalam bidang fisika berkaitan dengan taraf intensitas bunyi (TI). Dimana TI adalah perbandingan antara intensitas bunyi dengan intensitas ambang

\LARGE\boxed{TI=10\log \frac{I}{I_{0}}}

\LARGE\fbox{Contoh Soal}

1. Ahmad menyimpan uangnya di bank sebesar Rp200.000,00 dengan tingkat suku bunga majmuk 10% pertahun. Tentukan lamanya waktu supaya uang simpanan Ahmad di bank menjadi Rp600.000,00

Jawab:

Diketahui \left\{\begin{matrix} M_{n} &= & Rp 600.000,00 \\ M &= & Rp200.000,00 \\ p & = &10 \end{matrix}\right. .

M_{n}=M.\left ( 1+\frac{p}{100} \right )^{n},

600.000=200.000.\left ( 1+0,10 \right )^{n},

\left ( 1,1 \right )^{n}=\frac{600000}{200000}=3,

n\log \left ( 1,1 \right )=\log 3,

n=\frac{\log 3}{\log \left ( 1,1 \right )},

t=\frac{0,4771}{0,0414} , (gunakan kalkulator)

t=11,53.

Jadi, waktu yang dibutuhkan  adalah 11, 53 tahun

2. Massa suatu zat radioaktif dirumuskan yang meluruh dapat dinyatakan dengan rumus

x\left ( t \right )=x\left ( 0 \right ).e^{-\lambda .t}

a. Jika x(t)=7,1,\: x(0)=10,5,\: dan\: \lambda =1,3\times 10^{-3} , maka tentukan t dalam tahun

b. Jika t_{\frac{1}{2}} adalah waktu yang dibutuhkan sehinggga massa yang tertinggal sama dengan setengah dari jumlah massa awal, tunjukkan bahwa  t_{\frac{1}{2}}=\frac{0,693}{\lambda }

Jawab:

diketahui  x\left ( t \right )=x\left ( 0 \right ).e^{-\lambda .t}.

\log x(t)=\log x(0).e^{-\lambda .t},

\log x(t)=\log x(0)-\lambda .t\log e,

\lambda .t\log e=\log x(0)-\log x(t),

t=\frac{\log x(0)-\log x(t)}{\lambda \log e},

t=\frac{\log 10,5-\log 7,1}{1,3\times 10^{-3}.\log 2,71828}=300,8 \: \: tahun

 

b. diketahui bahwa \left\{\begin{matrix} t & = & t_{\frac{1}{2}} \\ x(t) & = & \frac{1}{2}x(0) \end{matrix}\right.

sehingga

\frac{1}{2}x(0)=x(0).e^{-\lambda .t_{\frac{1}{2}}},

e^{-\lambda .t_{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2},

e^{\lambda .t_{\frac{1}{2}}}=2,

\lambda. t_{\frac{1}{2}}\log e=\log 2,

t_{\frac{1}{2}}=\frac{\log 2}{\lambda . \log e},

t_{\frac{1}{2}}=\frac{0,3010}{\lambda .(0,434)},

t_{\frac{1}{2}}=\frac{0,693}{\lambda }.

terbukti

3. Jika diketahui konsentrasi ion hidrogen dari jus jeruk adalah 6,32\times 10^{-4} , maka tentukan pH dari jus jeruk tersebut!

Jawab:

pH=-\log \left [ H^{+} \right ],

pH=-\log \left ( 6,32\times 10^{-4} \right ),

pH=-\left ( \log 6,32+\log 10^{-4} \right ),

pH=-\log 6,32+4,

pH=-0,8007+4=3,1993.

Jadi, pH\approx 3,2.

 

4. Misalkan sebuah komputer saat kondisi baru bernilai N_{0} rupiah.. Andaikan komputer tersebut setelah t tahun mengalami penyusutan sebesar N_{0}\left ( \frac{2}{3} \right )^{t}. Harga komputer tersebut akan bernilai sebesar \frac{N_{0}}{9} setelah …. tahun.

Jawab:

diketahui harga awalnya N_{0} rupiah. Dan setelah t tahun , maka harganya akan menjadi N_{t}. Jika N_{t}=\frac{N_{0}}{9} , maka

N_{0}-N_{0}\left ( \frac{2}{3} \right )^{t}=\frac{N_{0}}{9},

1-\left ( \frac{2}{3} \right )^{t}=\frac{1}{9},

\left ( \frac{2}{3} \right )^{t}=\frac{8}{9},  masing-masing ruas di-logkan, sehingga

\log \left ( \frac{2}{3} \right )^{t}=\log\frac{8}{9},

t=\frac{\log \frac{8}{9}}{\log \frac{2}{3}}=\frac{\log 8-\log 9}{\log 2-\log 3}=\frac{3\log 2-2\log 3}{\log 2-\log 3}.

 

 \LARGE\fbox{Latihan Soal}

  1. Populasi hewan langka berkurang 20% setiap tahunnya. Jika sekarang populasinya tinggal 10.000 ekor, dalam berapa tahun tersebut tinggal 1000 ekor saja (gunakan rumus y=y_{0}.e^{kt}, serta anggap bahwa pelestarian hewan tersebut tidak membuahkan hasil)
  2. Dalam sebuah laboratorium sedang diteliti tentang pertumbuhan bakteri. Jika mula-mula terdapat 25 bakteri dan setelah 2 jam jumlah bakteri menjadi 100, maka berapakah jumlah bakteri setelah 4 jam (asumsikan bakteri terus bertambah dan dirumuskan dengan  k(x)=k.a^{x}
  3. 121perhatikan gambar di atas yang menunjukkan grafik fungsi tekanan udara terhadap perubahan ketinggian

a) Tunjukkan bahwa P sebagai fungsi h yang paling mendekati adalah P(h)=C.2^{ah},\: \: \: dengan\: \: C>0\: \: dan\: \: a<0

b) Jika P(h)=A.f(h) , tunjukkan bahwa P(10)=1013.\frac{f(10)}{f(0)}.

 

 

Sumber Referensi

  1. Luji, Willa Adrian Sukoco. 2006. Matematika Bilingual untuk SMA Kelas XII IPA Semester 1 & 2. Bandung: Yrama Widya.
  2. Sukino. 2013. Matematika Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam untuk SMA/MA Kelas X. Jakarta: Erlangga.
  3. Tampomas, Husein. 1999. Seribu Pena MatematikaSMU Kelas 2. Jakarta: Erlangga.
  4. Tung, Khoe Yao. 2012. Pintar Matematika SMA Kelas XII IPA Untuk Olimpiade dan Pengayaan Pelajaran. Yogyakarta: ANDI.
  5. Wirodikromo, Sartono. 1996. Matematika untuk SMU Jilid 6 Kelas 2. Jakarta: Erlangga.
  6. _________, Algebra: Teoria con 8000 Problemas Propuestos y Resueltos.

Kumpulan Soal dan Pembahasan Eksponen dan Logaritma

Kumpulan Soal dan Jawaban

1. Nilai dari  \frac{2^{5}-2^{7}}{2^{2}}=....

Jawab:

\frac{2^{5}-2^{7}}{2^{2}}=\frac{2^{2}(2^{3}-2^{5})}{2^{2}}=8-32=-24.

2. Sederhanakanlah \frac{a^{4}-b^{4}}{a-b}.

Jawab:

\frac{a^{4}-b^{4}}{a-b}=\frac{(a^{2}+b^{2})(a^{2}-b^{2})}{a-b}=(a^{2}+b^{2})(a+b).

3. Nilai x dari  \sqrt[3]{8^{x+2}}=(\frac{1}{32})^{2-x}.

Jawab:

\sqrt[3]{8^{x+2}}=(\frac{1}{32})^{2-x} \Rightarrow (2^{3})^{\frac{x+2}{3}}=(2^{-5})^{2-x}\Rightarrow 2^{x+2}=2^{5x-10}\Rightarrow x+2=5x-10\Rightarrow x=3.

4. Jika x> 0 dan x\neq 1 pada x^{p}=\frac{\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}{x} , maka nilai p adalah ….

Jawab:

Perhatikan bahwa \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}=\sqrt{x\sqrt{x^{\frac{3}{2}}}}=\sqrt{x^{\frac{7}{4}}}=x^{\frac{7}{8}}.

Sehingga persamaan menjadi

\frac{x^{\frac{7}{8}}}{x}=x^{p}\Rightarrow x^{-\frac{1}{8}}=x^{p}\Rightarrow p=-\frac{1}{8}.

5. (UN Mat SMA/MA IPA 2014) Bentuk sederhana dari  (\frac{4a^{-3}b^{-5}c}{36a^{-5}b^{-3}c^{-1}})^{2} adalah …

Jawab:

(\frac{4a^{-3}b^{-5}c}{36a^{-5}b^{-3}c^{-1}})^{2}=(\frac{a^{-3+5}b^{-5+3}c^{1+1}}{9})^{2}=(\frac{a^{2}b^{-2}c^{2}}{3^{2}})^{2}=(\frac{a^{2}c^{2}}{3^{2}b^{2}})^{2}=(\frac{ac}{3b})^{4}.

6. (UN Mat SMA/MA IPA 2014) Bentuk sederhana dari (\frac{3a^{-2}b^{3}c^{4}}{15a^{3}b^{-5}c^{-2}})^{-1} adalah ….

Jawab:

(\frac{3a^{-2}b^{3}c^{4}}{15a^{3}b^{-5}c^{-2}})^{-1}=(\frac{15a^{3}b^{-5}c^{-2}}{3a^{-2}b^{3}c^{4}})=5a^{3+2}b^{-5-3}c^{-2-4}=\frac{5a^{5}}{b^{8}c^{6}}.

7. (UN Mat SMA/MA IPA 2014) Bentuk sederhana dari  (\frac{3a^{-2}bc^{-3}}{24a^{5}b^{-3}c})^{-1} adalah ….

Jawab:

(\frac{3a^{-2}bc^{-3}}{24a^{5}b^{-3}c})^{-1}=(\frac{24a^{5}b^{-3}c}{3a^{-2}bc^{-3}})=8a^{5+2}b^{-3-1}c^{1+3}=\frac{8a^{7}c^{4}}{b^{4}}.

8. (UN Mat SMA/MA IPA 2014) Bentuk sederhana dari \frac{6}{3-2\sqrt{2}} adalah ….

Jawab:

\frac{6}{3-2\sqrt{2}}=\frac{6}{3-2\sqrt{2}}.(\frac{3+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}})=\frac{6(3+2\sqrt{2})}{9-8}=18+12\sqrt{2}.

9. (UN Mat SMA/MA IPA 2014) Bentuk sederhana dari \frac{9}{2\sqrt{2}-\sqrt{5}}=....

Jawab:

\frac{9}{2\sqrt{2}-\sqrt{5}}=\frac{9}{2\sqrt{2}-\sqrt{5}}.(\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{5}}{2\sqrt{2}+\sqrt{5}})=\frac{9.(2\sqrt{2}+\sqrt{5})}{8-5}=3(2\sqrt{2}+\sqrt{5}).

10. (UN Mat SMA/MA IPA 2014) Bentuk sederhana dari  \frac{12}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}} adalah ….

Jawab:

\frac{12}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}=\frac{12}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}.(\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}})=\frac{12(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{18-12}=2(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}).

11. (UN Mat SMA/MA IPA 2014) Nilai dari \frac{^{3}\log \frac{1}{9}+^{\sqrt{2}}\log 9.^{3}\log 16}{^{2}\log 10-^{2}\log 5}=....

Jawab:

\frac{^{3}\log \frac{1}{9}+^{\sqrt{2}}\log 9.^{3}\log 16}{^{2}\log 10-^{2}\log 5}=\frac{^{3}\log 3^{-2}+^{2^{\frac{1}{2}}}\log 3^{2}.^{3}\log 2^{4}}{^{2}\log \frac{10}{2}}=\frac{-2+\frac{2.4}{\frac{1}{2}}.^{2}\log 3.^{3}\log 2}{^{2}\log 2}=\frac{-2+16}{1}=14.

 

12. (UN Mat SMA/MA IPA 2014) Hasil dari \frac{^{3}\log 25.^{5}\log 81-^{4}\log 2}{^{3}\log 36-^{3}\log 4}=.....

Jawab:

\frac{^{3}\log 25.^{5}\log 81-^{4}\log 2}{^{3}\log 36-^{3}\log 4}=\frac{^{3}\log 5^{2}.^{5}\log 3^{4}-^{2^{2}}\log 2^{1}}{^{3}\log \frac{36}{4}}=\frac{2.4.^{3}\log 5.^{5}\log 3-\frac{1}{2}}{^{3}\log 3^{2}}=\frac{8-\frac{1}{2}}{2}=\frac{15}{4}.

 

13. Jadikanlah dalam bentuk \sqrt{a}\pm \sqrt{b} dengan a> b dari \sqrt{9-\sqrt{56}}.

Jawab:

\sqrt{9-\sqrt{56}}=\sqrt{9-\sqrt{4.14}}=\sqrt{7+2-2\sqrt{7.2}}=\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{7}-\sqrt{2}.

 

14. Jadikanlah dalam bentuk \sqrt{a}\pm \sqrt{b} dengan a> b dari \sqrt{5-\sqrt{21}}=.....

Jawab:

\sqrt{5-\sqrt{21}}=\sqrt{5-2.\frac{1}{2}.\sqrt{21}}=\sqrt{(\frac{7}{2}+\frac{3}{2})-2.\frac{1}{2}.\sqrt{7.3}}=\sqrt{(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}(\sqrt{14}-\sqrt{6}).

 

15. (Olimpiade Sains Mat SMA/MA Porsema NU Th 2012) Nilai  x  yang memenuhi jika (\sqrt{3+2\sqrt{2}})^{x}-(\sqrt{3+2\sqrt{2}})^{-x}=\frac{3}{2} adalah ….

Jawab:

Misalkan p=\sqrt{3+2\sqrt{2}}  maka p^{x}-p^{-x}=\frac{3}{2} \Rightarrow p^{x}-\frac{1}{p^{x}}=\frac{3}{2}.

Selanjutnya 2p^{2x}-3p^{x}-2=0 \Rightarrow (2p^{x}+1).(p^{x}-2)=0 maka p^{x}=-\frac{1}{2} atau p^{x}=2.

Sehingga yang memenuhi adalah p^{x}=(\sqrt{3+2\sqrt{2}})^{x}=2.

Untuk mencari x kita gunakan l0garitma, yaitu (\sqrt{3+2\sqrt{2}})^{x}=2\Rightarrow x=^{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}\log 2.

Karena \sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{(\sqrt{2}+1)^{2}}, kita mendapatkan jawaban akhir yaitu  x=^{\sqrt{2}+1}\log 2.

16. Tunjukkan bahwa

  1. \sqrt{1+a(a+1)(a+2)(a+3)}=a^{2}+3a+1
  2. \sqrt{16+a(a+2)(a+4)(a+6)}=a^{2}+6a+4
  3. \sqrt{81+a(a+3)(a+6)(a+9)}=a^{2}+9a+9
  4. \sqrt{256+a(a+4)(a+8)(a+12)}=a^{2}+12a+16
  5. \sqrt{625+a(a+5)(a+10)(a+15)}=a^{2}+15a+25
  6. \sqrt{n^{2}+a(a+n)(a+2n)(a+3n)}=a^{2}+3an+n^{2} , serta
  7.  Hitunglah nilai dari \sqrt{1+2012.2013.2014.2015}=.....

Jawab:

Akan ditunjukkan no. 1 saja dan nomor yang lain untuk dicoba sebagai latihan.

Perhatikan bahwa

\sqrt{1+a(a+1)(a+2)(a+3)}=\sqrt{1+a(a+3)(a+2)(a+1)}=\sqrt{1+(a^{2}+3a)(a^{2}+3a+2)}=\sqrt{1+(a^{2}+3a)^{2}+2(a^{2}+3a)}=\sqrt{(a^{2}+3a)^{2}+2(a^{2}+3a)+1}=\sqrt{(a^{2}+3a+1)^{2}}=a^{2}+3a+1.

17. Jika diketahui a^{b}=2^{2015}-2^{2014}\: ,\: \: tentukan\: nilai\: a+b\: ?

Jawab:

a^{b}=2^{2015}-2^{2014}=2^{2014+1}-2^{2014+0}=2^{2014}.2^{1}-2^{2014}.2^{0}=2^{2014}\left ( 2-1 \right )=2^{2014}.

Jadi, nilai  \left\{\begin{matrix} a & = & 2\\ b & = & 2014 \end{matrix}\right.,\: \: sehingga\: \: a+b=2016.

 

Eksponen Dan Logaritma(3)

Materi Berkaitan dengan Logaritma

Untuk Kelas X MA/SMA

Logaritma adalah invers dari perpangkatan. Misalkan kita kita diberikan persamaan 2^{x}=8, bagaimana kita mencari harga x ? kebanyakan kita langsung dapat menjawab 3, tetapi bagaimana jika bentuk persamaannya adalah 3^{x}=5 dapatkah kita dengan mudah menentukan berapa nilai x ?

Untuk mengatasi permasalahan di atas kita membutuhkan kebalikan(invers) dari perpangkatan tersebut, yaitu Logaritma yang selanjutnya disebut dengan “Log”

Perhatikan bahwa

Untuk a> 0 dan a\neq 1 ,

maka berlaku: {^{a}\textrm{log b}}=c \Leftrightarrow a^{c}=b

dengan:

a = bilangan pokok/basis

b = numerus (bilangan yang dicari nilai logaritmanya, b> 0 )
c = hasil logaritma

Sifat-sifat operasi aljabar pada logaritma

  1. a^{{^{a}}\textrm{log b}}=b
  2. ^{a}\log \left ( b.c \right )= ^{a}\log b+^{a}\log c
  3. ^{a}\log \frac{b}{c}=^{a}\log b-^{a}\log c
  4. ^{a}\log b=\frac{^{x}\log b}{^{x}\log a}
  5. ^{a}\log b=\frac{1}{^{b}\log a}
  6. ^{a}\log b=n\Rightarrow ^{b}\log a=\frac{1}{n}
  7. ^{a^{m}}\log b^{n}=\frac{n}{m}.^{a}\log b
  8. ^{a}\log b.^{b}\log c.^{c}\log d=^{a}\log d
  9. ^{a}\log a=1
  10. ^{a}\log 1=0
  11. ^{a}\log a^{n}=n
  12. \log b = ^{10}\log b

Ada beberapa yang perlu diketahui

  • \log 2 = 0,3010
  • \log 3 = 0,4771
  • \log 5 = 0,6990
  • \log 7 = 0,8451

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1

Nyatakan dalam logaritma

  • 2^{3}=8 \Leftrightarrow ^{2}\log 8=3
  • 2^{-3}=\frac{1}{8}\Leftrightarrow ^{2}\log \frac{1}{8}=-3
  • 11^{2}=121\Leftrightarrow ^{11}\log 121=2

Contoh 2

Jika diketahui ^{2}\log 3=p, maka tentukan

  1. ^{8}\log 9
  2. ^{9}\log 4
  3. ^{2}\log \sqrt{27}
  4. ^{4}\log \frac{1}{72}

Jawab:

  1. ^{8}\log 9=^{2^{3}}\log 3^{2}=\frac{2}{3}.^{2}\log 3=\frac{2}{3}p
  2. ^{9}\log 4=\frac{1}{^{4}\log 9}=\frac{1}{^{2^{2}}\log 3^{2}}=\frac{1}{p}
  3. ^{2}\log \sqrt{27}=^{2}\log 3^{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}.^{2}\log 3=\frac{3}{2}p
  4. ^{4}\log \frac{1}{72}=^{4}\log \frac{1}{8}.\frac{1}{9}=^{4}\log \frac{1}{8}+^{4}\log \frac{1}{9}=^{2^{2}}\log 2^{-3}+^{2^{2}}\log 3^{-2}=-\frac{3}{2}-p

Contoh 3

Sederhanakanlah  untuk ^{2}\log 8+^{3}\log 81-^{7}\log 1+^{2}\log 32

Jawab:

^{2}\log 8+^{3}\log 81-^{7}\log 1+^{2}\log 32=3+4-0+5=12

Contoh 4

(UN Mat IPA 2012) Jika diketahui  ^{5}\log 3=a  dan  ^{3}\log 4=b , maka nilai  ^{4}\log 15 = ….

Jawab:

^{4}\log 15=\frac{\log 15}{\log 4}=\frac{^{3}\log 15}{^{3}\log 4}=\frac{^{3}\log 3.5}{^{3}\log 4}=\frac{^{3}\log 3 +^{3}\log 5}{^{3}\log 4}=\frac{1+\frac{1}{a}}{b}=\frac{1+a}{ab}

Contoh 5

Jika  ^{2}\log (2x+3).^{25}\log 8=3 , maka nilai  x  yang memenuhi adalah ….

Jawab:

^{2}\log (2x+3).^{25}\log 8=^{25}\log 8.^{2}\log (2x+3)=^{5^{2}}\log 2^{3}.^{2}\log (2x+3)=\frac{3}{2}.^{5}\log 2.^{2}\log (2x+3)=\frac{3}{2}.^{5}\log (2x+3)=3

Sehingga

^{5}\log (2x+3)=2\Rightarrow 2x+3=5^{2}\Rightarrow 2x=25-3=22 \Rightarrow x=11

 

Soal Latihan

  1. Tentukanlah nilai dari a) \log 15, b) \log 18, c) \log 10,5, d) \log \frac{1}{7}, dan e) \log \frac{2}{3}
  2. (UN Mat IPA 2014) Nilai dari ^{2}\log 6+^{2}\log 4-^{2}\log 3=....
  3. Sederhanakanlah  ^{2}\log 4+^{2}\log 16-^{4}\log 64+^{2}\log \frac{1}{32}
  4. (UN Mat IPA 2014) Nilai dari  ^{3}\log 81+^{2}\log \frac{1}{32}-^{5}\log 5\sqrt{5}=....
  5. (UN Mat IPA 2014) Hasil dari \frac{^{\sqrt{2}}\log 4-^{5}\log 8.^{2}\log 25}{^{8}\log 14-^{8}\log 7}=....
  6. Carilah nilai x dari persamaan  ^{3}\log (4x+1)=4
  7. Sederhanakanlah  \log \sqrt{a}+\log \sqrt{b}-\frac{1}{2}\log ab
  8. Jika ^{2}\log 3=a dan ^{2}\log 5=b , maka nilai dari ^{25}\log 36=....
  9. Jika b=a^{4} dengan a,b> 0 , maka nilai dari ^{a}\log b-^{b}\log a=....
  10. (UM IKIP PGRI 2010) Tentukanlah nilai x dari persamaan  ^{2}\log .^{2}\log x=^{2}\log(6-^{2}\log x)+1
  11. Jika diketahui  ^{7}\log \frac{1}{x}=^{x}\log \frac{1}{y}=^{y}\log \frac{1}{7}, maka nilai 3x-2y=....
  12. (OSN Mat SMA Tk Kab 2014) Misalkan x,y,z> 1  dan w> 0. Jika ^{x}\log w=4 , ^{y}\log w=5 , dan  ^{xyz}\log w=2 , maka nilai dari ^{z}\log w=....

 

Referensi:

  1. Kanginan, Marthen, Yuza Terzalgi. 2013. Matematika Untuk SMA/MA Kelas X. Bandung: SEWU.

Eksponen Dan Logaritma(2)

Materi berkaitan dengan Bentuk Akar dan Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar

Untuk kelas X MA/SMA

Bentuk Akar

Bentuk akar di sini adalah kebalikan dari bentuk perpangkatan dari suatu bilangan. Untuk \sqrt{4} , \sqrt{25} nilainya dengan tepat kita dapat menentukannya, tetapi untuk \sqrt{3} , \sqrt{8}  tidaklah demikian karena bilangan-bilangan tersebut tidak dapat ditentukan nilai bulatnya atau tidak dapat dijadikan dalam bentuk pecahan. Bilangan-bilangan yang demikian yang tidak dapat ditentukan nilai bulat atau pecahannya tersebut selanjutnya dinamakan bilangan irasional.

Bilangan Rasional(pecahan) adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk  \frac{a}{b}  dengan a,b  \in bilangan bulat serta b\neq 0. Sehingga untuk bilangan irasional berlaku sebaliknya dan bentuk akar termasuk di dalamnya

Perhatikan bahwa:

  1. a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}
  2. a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}
  3. a^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{a^{1}}=\sqrt{a}

Sifat-sifat operasi aljabar pada bentuk akar

      • a\sqrt[n]{c}+b\sqrt[n]{c}=\left ( a+b \right )\sqrt[n]{c}
      • a\sqrt[n]{c}-b\sqrt[n]{c}=\left ( a-b \right )\sqrt[n]{c}
      • \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}
      • \sqrt[n]{a^{n}}=a
      • a\sqrt[n]{c} x b\sqrt[n]{d} = ab\sqrt[n]{cd}
      • \frac{a\sqrt[n]{c}}{b\sqrt[n]{d}}=\frac{a}{b}.\sqrt[n]{\frac{c}{d}}
      • \sqrt{\left ( a+b \right )+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}
      • \sqrt{\left ( a+b \right )-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}

 

Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar

Perhatikanlah cara merasionalkan penyebut

  • \frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a}{\sqrt{b}}.\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a}{b}\sqrt{b}

Merasionalkan dengan bantuan bentuk sekawan, misalkan bentuk a+\sqrt{b} maka bentuk sekawannya adalah a-\sqrt{b}. Tujuannya adalah menghilangkan bentuk akar pada bagian penyebut sehingga kita dapat mengarahkannya pada bentuk

  • \left ( a+b \right )\left ( a-b \right )=a^{2}-b^{2}
  • untuk bentuk \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b} Anda cukup mengalikannya dengan \sqrt[3]{a^{2}}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}} sehingga menghasilkan bentuk a+b. Demikian juga sebaliknya

Selanjutnya, perhatikan bentuk berikut

  • \frac{c}{a+\sqrt{b}}=\frac{c}{a+\sqrt{b}}.\frac{a-\sqrt{b}}{a-\sqrt{b}}=\frac{c\left ( a-\sqrt{b} \right )}{a^{2}-b}
  • \frac{c}{a-\sqrt{b}}=\frac{c}{a-\sqrt{b}}.\frac{a+\sqrt{b}}{a+\sqrt{b}}=\frac{c\left ( a+\sqrt{b} \right )}{a^{2}-b}
  • \frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{c\left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )}{a-b}

Contoh Soal dan Pembahasan

Sederhanakanlah bentuk berikut ini

Contoh 1

6\sqrt{3}+10\sqrt{3}=\left ( 6+10 \right )\sqrt{3}=16\sqrt{3}

Contoh 2

5\sqrt{12}-4\sqrt{3}=5\sqrt{4.3}-4\sqrt{3}=10\sqrt{3}-4\sqrt{3}=6\sqrt{3}

Contoh 3

5\sqrt{3}+\sqrt{48}-2\sqrt{27}=5\sqrt{3}+\sqrt{16.3}-2\sqrt{9.3}=5\sqrt{3}+4\sqrt{3}-6\sqrt{3}=\left ( 5+4-6 \right )\sqrt{3}=3\sqrt{3}

contoh 4

\left ( 6\sqrt{2}+\sqrt{5} \right )\left ( \sqrt{2}-3\sqrt{5} \right )=\left ( 6\sqrt{2}.\sqrt{2} \right )-\left ( 6\sqrt{2}.3\sqrt{5} \right )+\sqrt{5}.\sqrt{2}-\left ( \sqrt{5}.3\sqrt{5} \right )=12-18\sqrt{10}+\sqrt{10}-15=-3-17\sqrt{10}=-\left ( 3+17\sqrt{10} \right )

contoh 5

\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{8}{2}}=\sqrt{4}=2

Contoh 6

\frac{2\sqrt{3}.\sqrt{24}}{\sqrt{7}.3\sqrt{14}}=\frac{2\sqrt{72}}{3\sqrt{98}}=\frac{2.\sqrt{36}.\sqrt{2}}{3.\sqrt{49}.\sqrt{2}}=\frac{2.6}{3.7}=\frac{4}{7}

Contoh 7

  1. \sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{\left ( 5+2 \right )+2\sqrt{5.2}}=\sqrt{\left ( \sqrt{5}+\sqrt{2} \right )^{2}}=\sqrt{5}+\sqrt{2}
  2. \sqrt{11+4\sqrt{6}}=\sqrt{11+2.2.\sqrt{6}}=\sqrt{11+2\sqrt{24}}=\sqrt{\left ( 8+3 \right )+2\sqrt{8.3}}=\sqrt{\left ( \sqrt{8}+\sqrt{3} \right )^{2}}=\sqrt{8}+\sqrt{3}=2\sqrt{2}+\sqrt{3}
  3. \sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{\left ( 3+2-2\sqrt{3.2} \right )}=\sqrt{\left ( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right )^{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}, bolehkah jawaban akhir ditulis dengan \sqrt{2}-\sqrt{3} ?

Contoh 8

Rasionalkanlah penyebut dari pecahan berikut

  1. \frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}
  2. \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt[3]{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt[3]{5}}.\frac{\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{25}}=\frac{\sqrt{2}.\sqrt[3]{25}}{2.5}=\frac{1}{10}.\sqrt{2}.\sqrt[3]{25}
  3. \frac{2}{3-\sqrt{2}}=\frac{2}{3-\sqrt{2}}.\frac{3+\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}=\frac{2}{7}.\left ( 3+\sqrt{2} \right )

Latihan Soal

Sederhanakanlah bentuk berikut

  1. 2\sqrt{12}-5\sqrt{3}
  2. \sqrt{96}-3\sqrt{24}
  3. \sqrt{20}-\sqrt{125}+3\sqrt{5}
  4. \sqrt{3}\left ( 4-2\sqrt{3} \right )
  5. 2\sqrt{5}\left ( \sqrt{5}+3\sqrt{2} \right )
  6. \left ( \sqrt{5}-\sqrt{3} \right )\left ( \sqrt{5}+\sqrt{3} \right )
  7. \frac{\left ( 2+\sqrt{3} \right ).\left ( 2-\sqrt{3} \right )}{6}
  8. \sqrt{5+2\sqrt{6}}
  9. \sqrt{8+\sqrt{60}}
  10. \sqrt{18-2\sqrt{65}}
  11. Tunjukkan bahwa \sqrt{\left ( p+q+r \right )+2\left ( \sqrt{pq}+\sqrt{pr}+\sqrt{qr} \right )}=\sqrt{p}+\sqrt{q}+\sqrt{r}
  12. Tentukanlah luas persegi dengan sisi \left ( 2+\sqrt{3} \right ) cm
  13. Rasionalkanlah penyebut dari \frac{15}{\sqrt{48}}  dan \frac{\sqrt{24}+\sqrt{54}-\sqrt{150}}{\sqrt{96}}
  14. Sederhanan bentuk \frac{5}{\sqrt{7}}+\frac{3}{\sqrt{5}}  dan \frac{7}{2+\sqrt{8}}+\frac{11}{2-\sqrt{8}}
  15. Tentukan nilai x dan y agar persamaan \left ( x\sqrt{2}+y \right ).\left ( 3-\sqrt{2} \right )=-\sqrt{2}
  16. Jika \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=a+b\sqrt{6} , maka nilai dari a+b = ….

Referensi:

  1. Kanginan, Marthen, Yuza Terzalgi. 2013. Matematika Untuk SMA/MA Kelas X. Bandung: SEWU.
  2. Kurnianingsih, Sri, Kuntarti & Sulistiyono. 2007. Matematika SMA dan MA Untuk Kelas X Semester 1. Jakarta: ESIS.

 

 

Eksponen Dan Logaritma

Materi berkaitan dengan Eksponen

Untuk kelas x MA/SMA

  1. a^{n}= \overset{\underbrace{a.a.a...a}}{n} ,dibaca ” (a pangkat n)”
    dengan a disebut sebagai basis/bilangan pokok, sedangkan n disebut sebagai pangkat
    Misalkan 3^{4}=3.3.3.3=81
  2. \left (\frac{1}{3} \right )^{4}=\left ( \frac{1}{3} \right ).\left ( \frac{1}{3} \right ).\left ( \frac{1}{3} \right ).\left ( \frac{1}{3} \right )=\frac{1}{81}.
  3. Anda harus menghindari 0^{0} karena tidak terdefinisikan. Menurut definisi  a^{0}=1  apabila  a\neq o
  4. a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}
  5. Sifat-sifat operasi aljabar pada bilangan bulat positif untuk perpangkatan, antara lain
        • a^{m}.a^{n}=a^{m+n}
        • a^{m}:a^{n}=a^{m-n}
        • \left ( a^{m} \right )^{n}=a^{m.n}
        • \left ( ab \right )^{n}=a^{n}.b^{n}
        • \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}

Beberapa persamaan atau hal penting lainnya adalah:

  1. (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^2
  2. (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}
  3. \left ( a+\frac{1}{a} \right )^{2}=a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}}

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1

2^{6} x 2^{4} x 2^{7} = 2^{6+4+7}=2^{17}

Contoh 2

2^{5} x 3^{5} x 7^{5} = \left ( 2 . 3 . 7 \right )^{5}=\left ( 42 \right )^{5}

Contoh 3

\frac{a^{3}.a^{7}.a^{6}}{a^{9}}=\frac{a^{3+7+6}}{a^{9}}=\frac{a^{16}}{a^{9}}=a^{16-9}=a^{7}

Contoh 4

Sederhanakanlah menjadi bilangan pangkat positif

\frac{3^{7}.7^{3}.2}{\left ( 42 \right )^{3}}=\frac{2^{1}.3^{7}.7^{3}}{\left ( 2.3.7 \right )^{3}}=\frac{2^{1}.3^{7}.7^{3}}{2^{3}.3^{3}.7^{3}}=2^{1-3}.3^{7-3}.7^{3-3}=2^{-2}.3^{4}.7^{0}=\frac{1}{2^{2}}.3^{4}.1=\frac{3^{4}}{2^{2}}

Contoh 5

Sederhanakanlah bentuk berikut!

\frac{2^{2013}+2^{2014}+2^{2015}}{7}=\frac{1.2^{2013}+2^{1}.2^{2013}+2^{2}.2^{2013}}{7}=\frac{\left ( 1+2+4 \right ).2^{2013}}{7}=\frac{7.2^{2013}}{7}=2^{2013}

Latihan Soal

Sederhanakanlah

1. 3^{5} x 3^{9} x 3^{17}
2. 2^{6} x 3^{7} x 4^{7}
3. \frac{2^{6}.3^{6}.4^{2}}{12^{2}}
4. \frac{\left ( -5 \right )^{7}.25^{2}}{125}

5. (UN MAT IPA 2014) Bentuk sederhana dari  \frac{\left ( 2p^{-4}q^{3} \right )^{-2}}{\left ( 2^{2}p^{-1}q^{2} \right )^{-2}}
adalah ….

6. Jika diketahui 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=\left ( \frac{n.\left ( n+1 \right )}{2} \right )^{2} , maka 1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+\left ( 2n-1 \right )^{3}=....

7. Jika 2^{a}=3^{b}=6^{c}, nyatakan c dalam a dan b

8. Tentukanlah nilai dari \frac{\left ( 2^{n+2} \right )^{2}-2^{2}.2^{2n}}{2^{2n}.2^{n+2}}

Referensi:

  1. Kanginan, Marthen, Yuza Terzalgi. 2013. Matematika Untuk SMA/MA Kelas X. Bandung: SEWU.