Integral

A. Pendahuluan

Gagasan integral mula-mula berawal dari Metode yang digunakan Archimedes, seorang ilmuan bangsa Yunani dari Syracusa (287-212 M) dimana di dalam suatu daerah yang akan ditentukan luasnya maka dilukislah beberapa daerah poligon yang luasnya mendekati luas daerah itu, dikarenakan daerah poligon mudah dihitung. Selanjutnya supaya lebih presisi dipilihlah poligan yang lebih banyak yang merupakan pendekatan yang lebih baik untuk daerah itu. Jika hal ini dilakukan terus-menerus maka semua daerah poligon akan mencakupi daerah itu.

Sehingga arti secara fisis dari integral adalah limit jumlah, di mana sering dianggap seperti mencari luas daerah.

B. Integral Tak Tentu

\LARGE\boxed{\int f(x)\: dx=F(x)+C}

dengan

\left\{\begin{matrix} F(x) & adalah & fungsi & integral&umum&di&mana&F'(x)=f(x)\\ f(x) & adalah & integran \\ C & adalah & konstanta & integral \end{matrix}\right.

 Rumus-rumus integral

  • \LARGE{\int a\: x^{n} dx=\frac{a}{n+1}.x^{n+1}+C}, \: dengan\: \: n\neq -1
  • \int a\: dx=ax+C
  • \int \frac{1}{x}\: dx=\int x^{-1}\: dx=\ln x+C
  • \int \left | x \right |\: dx=\frac{1}{2}x\left | x \right |+C
  • \int \ln x\: dx=x\ln x-x+C
  • \int e^{x}\: dx=e^{x}+C
  • \int a^{x}\: dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C
  • \int \sin x\: dx=-\cos x+C
  • \int a\sin bx\: dx=-\frac{a}{b}\cos bx\: +C
  • \int \cos x\: dx=\sin x+C
  • \int a\cos bx\: dx=\frac{a}{b}\sin bx\: +C
  • \int e^{ax}\: dx=\frac{1}{a}.e^{ax}+C
  • \int (x^{m}+x^{n}+...+x^{p})\: dx=\int x^{m}\: dx+\int x^{n}\: dx+...+\int x^{p}\: dx

Sifat-sifat integral

  • \int dx=x+C
  • \int a\: f(x)\: dx=a\int f(x)\: dx
  • \int a\left ( f(x)+g(x) \right )\: dx=a\int f(x)\: dx\: +\: a\int g(x)\: dx
  • \int a\left ( f(x)-g(x) \right )\: dx=a\int f(x)\: dx\: -\: a\int g(x)\: dx

 

\LARGE\fbox{Contoh Soal}


 

1. \int x^{5}\: dx=\frac{1}{5+1}.x^{5+1}+C=\frac{1}{6}.x^{6}+C

2. \int 3x^{5}\: dx=\frac{3}{5+1}.x^{5+1}+C=\frac{1}{2}.x^{6}+C

3. \int \frac{1}{x^{4}}\: dx=\int x^{-4}\: dx=\frac{1}{-4+1}.x^{-4+1}+C=-\frac{1}{3}.x^{-3}+C=-\frac{1}{3x^{3}}+C

4. \int 5y\: dy=\frac{5}{1+1}y^{1+1}+C=\frac{5}{2}y^{2}+C.

5. \int e^{6x}\: dx=\frac{1}{6}.e^{6x}+C.

6. \int 2014^{x}\: dx=\frac{2014^{x}}{\ln 2014}.

7. \int \left ( 3x^{2}-x+2-\frac{1}{x}+ \frac{3}{x^{2}}\right )dx=\int 3x^{2}\: dx-\int x\: dx+2\int dx-\int \frac{1}{x}\: dx+3\int \frac{1}{x^{2}}\: dx=\frac{3}{2+1}x^{2+1}-\frac{1}{1+1}x^{1+1}+2x-\ln x\: +3\left ( \frac{1}{-2+1}x^{-2+1} \right )+C=\frac{2}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}+2x-\ln x\: -\frac{3}{x}+C.

8. \int \left ( x^{2}-2xy+y^{2} \right )dx=\int x^{2}\: dx-2y\int x\: dx+y^{2}\int dx=\frac{1}{2+1}x^{2+1}-\frac{2y}{1+1}x^{1+1}+y^{2}.x+C=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}y+xy^{2}+C.

9. \int \left | x-1 \right |\: +\left | x-2 \right |\: dx=(x-1)\left | x-1 \right |\: +(x-2)\left | x-2 \right |+C.

10. \int 3\sin 4x\: dx=-\frac{3}{4}\cos 4x+C.

11. \int \frac{1}{3}\cos 5x\: dx=\frac{1}{15}\sin 5x+C.

Lanjutkan membaca