Soal-Jawab-Pembahasan 8

Soal-Jawab-Pembahasan 8

Berikut masih pembahsan beberapa soal OMITS 2012

1. (OMITS 2012)

Jika diketahui :

∏ = 3, 141592…(Bilangan Pi)

ø = 1, 618033…(Golden Ratio)

γ = 0, 577215…(Konstanta euler)

e = 2, 718282…(Bilangan Natural)

Diantara bilangan berikut yang mempunyai nilai terbesar?

a. ∏^e             b. e^∏             c. e^γ         d. ∏^ø         e.  ø^γ

Jawab :

Bilangan terbesar adalah antara pilihan a dan b

Untuk mencari mana dari kedua itu yang terbesar, karena kita tidak dibolehkan menggunakan alat hitung dalam bentuk apapun, menurut saya coba kita gunakan logaritma natural (ln)

Perhatikan rumus berikut

  • ln x    = 2, 303 log x
  • log x  = 0,4343 ln x

Dan juga anda harus ingat log 2 = 0, 3010 , log 3 = 0, 4771 , log 4 = 2. log 2 = 0, 6020 ,serta sifat ln sama dengan sifat pada logaritma, misalkan

x1 = ∏^e                            x2 = e^∏

log x1 = ln ∏^e              ln x2 = ln e^∏

ln x1 = e . ln ∏               ln x2 = ∏.ln e

ln x2 = ∏ = 3, 141592

ln x1 = 2,718282. ln (3,141592) = 2,718282. (2,303) log (3,141592)

dengan memperkirakan log (3,141592) berada pada interval log 3 < log (3,141592) < log 4

yaitu 0, 4771 < log (3,141592) < 0, 6020

Kalau kita ambil perkiraan log (3,141592) ≈ 0, 5

maka ln x1 = 2,718282. (2,303) log (3,141592) = 2,718282. (2,303) . (0, 5) = 3, 130101

Dari uraian di atas diperoleh bahwa ln x1 < ln x2

Jadi nilai terbesar adalah e^∏  (B)

2. (OMITS 2012)

Bilangan tiga digit yang merupakan faktorial dari digit-digitnya adalah …

Jawab :

Perhatikan bahwa

1! = 1

2! = 2

3! = 6

4! = 24

5! = 120

6! = 720

Yang agak mungkin adalah bilangan tersebut ≤ 5!

Dengan cara coba-coba, misalkan

123 ≠ 1! + 2! + 3!

123 ≠ 1 + 2 + 6 = 9

Coba yang ini

145 = 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145

Jadi bilangan tersebut 145

3. (OMITS 2012)

Jarak terdekat untuk titik ( M, T) dengan garis Ox + Iy + S adalah …

Jawab :

Jarak terdekatnya adalah (OM + IT + S)/√ (O^2 + I^2)

Soal-Jawab-Pembahasan 7

Soal-Jawab-Pembahasan 7

Masih contoh soal disertai solusi

1. (OMITS 2012)

Jika suatu fungsi didefinisikan dengan

f(a) = FPB(2012,a)

g(a) = FPB(a,2012)

g^2 (a) = g(g(a))

g^3 (a) = g(g(g(a)))

dst

Maka nilai g^2012 (f(100)) adalah …

Jawab :

f(100) = FPB(2012,100) = 4, karena 2012 = 4 x 503 dan 100 = 4 x 25

503 adalah bilangan prima

g^2012 (f(100)) = g^2012 (4)

g^2012 (4) = g^2011 (g (4))   dengan g(4) = FPB(4,2012) = 4

Sehingga begitu seterusnya

Jadi g^2012 (f(100)) = 4

2. (OMITS 2012)

Diketahui w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8 adalah akar-akar untuk persamaan

w^8 + 1/[1 – (5)^1/4] + 1/[1 + (5)1/4] + (-1 – √5)/2 = 0

Jika jumlah dari akar- akar persamaan tersebut adalah v, maka nilai dari v^2 adalah …

Jawab :

Karena yang ditanyakan adalah jumlah akar – akar dari persamaan di atas dan jumlah dari akar – akar persamaan tersebut adalah

v=  w1 + w2 + w3 + w4 + w5 + w6 + w7 + w8 = – (Koef dari x^7)/(Koef dari x^8) = – 0/1 = 0

[Perhatikan bahwa tidak ada koefisien x^7, sehingga koef x^7 = 0 ]

Jadi nilai v^2 = 0

3. (OMITS 2012)

Untuk pasangan bilangan bulat (x,y,n) yang memenuhi :

(x! + y!)/n! = 3^n

Maka nilai maksimum dari x + y + n adalah …

Jawab :

Pada pasangan (x,y,n) berlaku (x! + y!)/n! = 3^n, maka

x! + y! = n!.3^n

  • untuk xy = 0 dan n = 0 atau (0,0,0) memenuhi
  • untuk x = 1, y = 0 dan n = 0 atau (1,0,0) tidak memenuhi
  • untuk x = 0 , y = 1 dan n = 0 atau (0,1,0) tidak memenuhi
  • untuk x = 2 , y = 1 dan n = 1 atau (2,1,1) memenuhi
  • untuk x = 1, y = 2 dan n = 1 atau (1,2,1) juga memenuhi
  • untuk yang lain silahkan cek sendiri dan tidak ada yang memenuhi

Sehingga nilai maksimum untuk x + y + n = 2 + 1 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4

Selingan – Bilangan 28

Fakta tentang 28

1. Bilangan Cacah ke-28 adalah 27

2. Bilangan Asli ke-28 adalah 28

3. Bilangan Prima(Basit) ke-28 adalah 107

4. Bilangan Komposit ke-28 adalah 42

5. Faktor(pembagi sejati) dari 28 adalah ; 1, 2, 4, 7, 14 dan jumlahnya juga 28

(Pembagi sejati adalah seluruh faktor dari bilangan tersebut kecuali dirinya sendiri)

5. 28 ——> 2 x 8 – 2 – 8 = 8 – 2

6. Dalam tahun tidak kabisat jumlah hari pada bulan Februari ada 28 hari

7. Peristiwa Sumpah Pemuda (28 Oktober 1928 )

8. Jumlah hari dalam sebulan terpendek dalam tahun masehi

9. Tanggal dimana ketiga anak kami terlahir

 

Tanggal 28

Tanggal 28 bagi keluarga kami begitu istimewa, spesial sekali.

Mengapa saya katakan istimewa karena ketiga anak kami lahir pada tanggal tersebut-memang semuanya atas kehendak Allah SWT-tapi itulah yang jadi begitu spesial untuk kami dari-Nya.

Kebetulan hari ini adalah dirgahayu sumpah pemuda yang jatuh pada 28 Oktober, dan pada tanggal itu pula anak kami yang ketiga lahir dengan selamat yang berjenis kelamin putri.

Soal-Jawab-Pembahasan 6

Soal-Jawab-Pembahasan 6

Berikut lanjutan untuk pembahasan soal OMITs 2012

1. (OMITS 2012)

Tentukan nilai dari

1/2 + 2/3 + 3/10 + 5/24 + 8/65 + 13/168 + 21/442 + . . . = . . .

Jawab :

Deret bilangan di atas mereupakan deret teleskopik, coba anda perhatikan penguraian dari bilangan di atas

1/2 = 1 – 1/2

2/3 = 1 – 1/3

3/10 = 1/21/5

5/24 = 1/31/8

8/65 = 1/51/13

13/168 = 1/81/21

21/442 = 1/131/34

……….    =   ……

dst

_____________________  +

1 + 1 = 2

Jadi

1/2 + 2/3 + 3/10 + 5/24 + 8/65 + 13/168 + 21/442 + . . . = 2

2. (OMITS 2012)

Banyaknya pembagi positif untuk 1005010010005001 adalah …

Jawab :

Untuk mengetahui berapa banyak pembagi positif dari 1005010010005001, maka

1005010010005001 = 1001 x 1001 x 1001 x 1001 x 1001 = 1001^5

1001^5 = (7. 11. 13)^5 = 7^5. 11^5. 13^5

Sehingga banyaknya pembagi positifnya adalah = (5+1)(5 + 1)(5 + 1)= 6. 6. 6 = 216

3. (OMITS 2012)

Tentukan jumlah semua koefisien dari S(x) jika

S(x) = (1 + x)^1000 + x(1 + x)^999 + x^2(1 + x)^998 + . . . + x^1000

Jawab :

Kita cek untuk n sebagai pangkat, kita substitusikan nilai

n = 1 ===> S(x) = (1 + x)^1 + x^1 = 1 + x + x = 1 +2x , kalau x = 1 ===> S(x) = 3

                     S(x) = 2^2 -1

n = 2 ===> S(x) = (1 + x)^2 +(1 + x).x + x^2 = 3x^2 + 3x + 1 , jika x =1 ===> S(x) = 7

                      S(x) = 2^3 – 1

.

.

.dst

n = 1000 ===> S(x) = 2^1001 – 1

Soal-Jawab-Pembahasan 5

Soal-Jawab-Pembahasan 5

Berikut masih lanjutan untuk beberapa contoh soal dan pembahasan OMITS 2012

1. (OMITS 2012)

Untuk fungsi Ackermann yang didefinisikan dengan beberapa fungsi sebagai berikut :

  • f(0,y) = y – 1
  • f(x + 1,y – 1) = f(0,f(x,y))
  • g(x, 0) = 3
  • g(x – 2, y + 1) = =f(x – 1, g(x,y))
  • h(x,0) = 2
  • h(h – 1, y) = g(x – 1, h(x – 2, y – 1))
  • i(0, y + 1) = y – 1
  • i(x,y) = h(y – 1, i(x – 1,y))

Nilai untuk i(6,7) adalah …

Jawab :

Melihat fungsi di atas tentunya filing kita sudah dapat menebak bahwa jawabannya pasti membutuhkan langkah yang panjang dan menjemukan.

Coba anda perhatikan pada fungsi di atas, untuk harga x, y pada fungsi i ternyata bergantung harganya dengan fungsi h dan fungsi h bergantung pada fungsi g demikian juga fungsi f. 

Dan fungsi g sendiri berakhir dengan nilai konstan 3, silahkan anda cek sendiri

Sehingga Jawab fungsi Ackermann di atas adalah 3

2. (OMITS 2012)

Jika Un = C(n,0) + C(n-1,1) + C(n-2,2) + C(n-3,3) + . . .  untuk n ≥ 1

Tentukan nilai U2012?

Jawab :
U1 = C(1,0) + C(0,1) = 1 + 0 = 1

U2 = C(2,0) + C(1,1) + C(0,2) = 1 + 1 + 0 = 2

U3 = C(3,0) + C(2,1) + C(1,2) + C(0,3) = 1 + 2 + 0 + 0 = 3

U4 = C(4,0) + C(3,1) + C(2,2) + C(1,3) + C(0,4) = 1 + 3 + 1 + 0 + 0 = 5

dst

Perhatikan bahwa U3 = U2 + U1  dan U4 = U3 + U2 atau Fn+2 = Fn+1 + Fn adalah barisan Fibonacci

Gunakan rumus  Fn+1 = Σ(n – k + 1, k) dengan batas bawah k = 0 samapai n sebagai batas atas

Sehingga U2012 = ΣC(n-k+1,k) dengan batas bawah k = 0 samapai n= 2011 sebagai batas atas

3. (OMITS 2012)

Tentukan nilai eksak dari

[ 27 sin^3 9^0 + 9 sin^3 27^0 + 3 sin^3 81^0 + sin^3 243^0 ] / sin 9^0 ?

Jawab :

Ingat bahwa

sin 81 = cos 9 dan sin 243 = – cos 27

4 sin^3 x = 3 sin x – sin 3x

4 cos^3 x = 3 cos x + cos 3x

maka

27 sin^3 9^0 = 27/4 (3 sin 9 – sin 27) = 1/4.(81 sin 9 – 27 sin 27)

9 sin^3 27^0 = 1/4.(27 sin 27 – 9 sin 81)

3 sin^3 81^0 = 3 cos^3 9^0 = 1/4.(9 cos 9 + 3 cos 27)

sin^3 243^0 = – cos^3 27^0 = 1/4.(-3 cos 27 – cos 81)

Sehingga

[ 81/4 sin 9 – 27/4 sin 27 + 27/4 sin 27 – 9/4 sin 81 + 9/4 cos 9 + 3/4 cos 27 – 3/4 cos 27 – 1/4 cos 81 ] / sin 9

= [81/4 sin 9 – 27/4 sin 27 + 27/4 sin 27 – 9/4 cos 9 + 9/4 cos 9 + 3/4 cos 27 – 3/4 cos 27 – 1/4 cos 81] / sin 9

= [81/4 sin 9 – 1/4 sin 9 ] / sin 9

= [ 80/4 sin 9 ] / sin 9

= 20

Jadi, [ 27 sin^3 9^0 + 9 sin^3 27^0 + 3 sin^3 81^0 + sin^3 243^0 ] / sin 9^0 = 20

4. (OMITS 2012)

Tentukan banyaknya bilangan positif n yang tidak lebih dari 2012 dan memenuhi kondisi

( n x 2^n ) + 1 habis dibagi 3?

Jawab :

n = 1 ===> 1. 2^1 + 1 = 3 ——–> memenuhi

n = 2 ===> 2. 2^2 + 1 = 9 ——-> memenuhi

n = 3 cek sendiri

n = 4 cek sendiri

n = 5 cek sendiri

n = 6 cek sendiri

n = 7 ===> 7. 2^7 + 1 = 897 memnuhi karena 8 + 9 + 7 = 24 kelipatan 3

n = 8 ===> 8. 2^8 + 1 = 2049   tidak memenuhi karena 2049 > 2012

yang memenuhi yaitu saat n = 1, 2, 7 jadi ada 3 bilangan

5. (OMITS 2012)

Sisa pembagian untuk suku banyak f(x) = (x – a)(x – b) adalah …

Jawab :

Rumus untuk sisa pembagian

S(x) = px + q

dengan 

           p = [ f(a) – f(b)] / a – b

           q = [ a.f(b) – b.(a)] / a – b

Atau

S(x) = [ [x – b][(f(a)] / (a – b) ] + [[x – a][f(b)] / (b – a)

Soal-Jawab-Pembahasan 4

Bagian ke 4 Soal dan Pembahasan 

Membahas soal memang kadang mengasyikkan itu kalau ketemu jawabannya, kalau belum jawabannya ya sabar dulu, yang penting tetap semangat

Berikut masih contoh soal pembahasan dari Olimpiade matematika ITS 2012 (OMITS 2012)

1. (OMITS 2012)

Tentukan nilai dari 

1/[1.2.3.4] + 1/[2.3.4.5] + 1/[3.4.5.6] + … + 1/[2012.2013.2014.2015]

Jawab :

Sebenarnya soal seperti ini mudah ditebak pasti menggunakan prinsip teleskopis, yaitu saling menghabiskan suku sebelahnya

1/[1.2.3.4] + 1/[2.3.4.5] + 1/[3.4.5.6] + … + 1/[2012.2013.2014.2015]

Pecahlah masing masing-masing bilangan pecahan di atas menjadi penguran 2 bilangan pecahan dari bilangan(penyebut) pembentuknya

Perhatikan untuk

 1/[1.2.3.4] = 1/[1.2.3] – 1/[2.3.4] = 1/6 – 1/24 = 3/24

 1/[2.3.4.5] = 1/[2.3.4] – 1/[3.4.5] = 1/24 – 1/60 = 3/120

…….

…….

……

dst

1/[2012.2013.2014.2015] = 1/[2012.2013.2014] – 1/[2013.2014.2015] 

Perhatikan dengan prinsip teleskopis akan terlihat unik

Kita tulis ulang untuk langkah solusi di awal tadi, yaitu

( 1/1.2.3 – 1/2.3.4) + ( 1/2.3.4 – 1/3.4.5 ) + . . . + ( 1/2012.2013.2014 – 1/2013.2014.2015 ) 

= ( 1/6 – 1/24) + ( 1/24 – 1/60 ) + . . . + ( 1/2012.2013.2014 – 1/2013.2014.2015 )

Karena pecahan satu suku menjadi dua suku tadi mengandung pembilang 3 masing semuanya dikalikan dengan 1/3, sehingga 

= 1/3 . ( 1/6 – 1/24 + 1/24 – 1/60 + . . . +  1/2012.2013.2014 – 1/2013.2014.2015 )

Sekali lagi kalau anda perhatikan suku kedua yaitu -1/24 akan habis dengan + 1/24

Jadi ,

 1/[1.2.3.4] + 1/[2.3.4.5] + 1/[3.4.5.6] + … + 1/[2012.2013.2014.2015] 

= 1/3 . ( 1/6 – 1/2013.2014.2015 )

2. (OMITS 2012)

Pada suatu permainan, STIMO meminta anda untuk memikirkan sebuah bilangan tiga digit ITS, dimana I, T dan S adalah digit-digit basis 10. Kemudian STIMO meminta anda untuk memikirkan bilangan baru dengan bentuk IST, TSI, TIS, STI dan SIT kemudian menjumlahkannya. Jika kelima bilangan baru berjumlah 3194 dan STIMO dapat menebak bilangan yang anda pikirkan di awal tadi, Berapakah bilangan ITS itu?

Jawab :

Sebuah bilangan yang terdiri dari 3 digit(masing-masing berbeda) kalau digitnya dipermutasikan akan berupa 6 bilangan yang masing-masing juga berupa bilangan 3 digit pula.

Dan jumlah hasil permutasi tadi adalah 222 kali dari jumlah salah satu bilangan yang dipermutasikan

Misalkan bilangan itu I, T dan S dan hasil permutasinya ITS,IST, SIT, STI, TIS dan TSI

maka

ITS = 100I + 10 T + S

IST = 100I + 10 S + T

SIT = 100S + 10 I + T

STI = 100S + 10 T + I

TIS = 100T + 10 I + S

TSI = 100T + 10 S + I

________________   +

ITS+IST+SIT+STI+TIS+TSI= 100.(2I + 2T + 2S) + 10.(2I + 2T + 2S) + (2I + 2T + 2S)

= 200.(I+T+S) + 20.(I+T+S) + 2.(I+T+S) = 222.(I+T+S)

Pada soal terdapat fakta

222.(I+T+S) – ITS = 3194

Karena ITS dengan I≠T≠S maka dapat dipastikan ITS adalah bilangan genap. Untuk jumlah digit ITS karena ketiganya berbeda nilai paling tinggi adalah 24(dengan memisalkan I = 7, T = 8 dan S = 9) dan paling rendah bernilai 6

Dengan cara coba-coba kita akan tertuju pada jawaban yang diinginkan.

Misal

  • 222 .24 = 5328 —–>tentunya ini kebanyakan
  • 222. 23 = 5106 —–>masih sama, kebanyakan
  • 222. 22 = 4884
  • 222. 21 = 4662
  • 222. 20 = 4440
  • 222. 19 = 4218
  • 222. 18 = 3996
  • 222. 17 = 3774
  • 222. 16 = 3552 ——————————–> mungkin
  • 222. 15 = 3330 —–> mulai mengecil
  • 222. 14 = 3108 —–> tidak mungkin

Ambil 3552, dengan mengambil bilangan bebas yang terdiri 3 digit berbeda dimungkinkan akan ketemu jawabannya

Andai ITS = 358 (jumlahnya = 16)

222 .(3+5+8) – 358 = 3194

Jadi bilangan yang kita pikirkan tadi adalah 358

3. (OMITS 2012)

Jika I, T dan S adalah digit-digit yang memenuhi

IST + TIS + TSI +STI + SIT – 1 = 2012
, tentukan bilangan ITS itu?

Jawab :

Perhatikan soal di atas

IST + TIS + TSI +STI + SIT – 1 = 2012

IST + TIS + TSI +STI + SIT  = 1 + 2012 = 2013

Perhatikan pada pembahasan no. 2 di atas

222.(Bilangan yang diinginkan) – ITS = 2013

222.(I+T+S) – ITS = 2013

Misal

222. 10 = 2220 —-> mungkin

Ambil saja 10 = 2 + 1 + 7, sehingga

222. (2 + 1 + 7) – 217 =2013

Jadi ITS = 217

4. (OMITS 2012)

Di sebuah perpustakaan terdapat beberapa orang yang suka membaca buku. Pada hari selasa 31 Januari 2012 terdapat 5 orang ke perpustakaan meminjam buku, mereka adalah Puput, Nadia, Dina, Dika dan Aulia. jika Puput datang untuk datang ke perpustakaan tiap 2 hari sekali, Nadia 3 hari sekali, Dina tiap 5 hari sekali, Dika tiap 7 hari sekali dan Aulia setiap 11 hari sekali, maka mereka berlima akan meminjam buku secara bersama-sama lagi pada hari selasa tanggal …

Jawab :

Gunakan KPK untuk soal di atas

Jika tidak pada tahun kabisat misal 2013, 2014, 2015, 2017, 2018 dst, maka

Januari 31 hari                              Juli 31 hari

Februari 28 hari                           Agustus 31 hari

Maret 31 hari                               September 30 hari

April 30 hari                                Oktober 31 hari

Mei 31 hari                                   Nopember 30 hari

Juni 30 hari                                  Desember 31 hari

_______________________________________   +

sehingga jumlah hari dalam 1 tahun = 365 hari

Jika pada tahun kabisat maka maka jumlah hari dalam 1 tahun = 366 hari

Sehingga KPK dari 2, 3, 5, 7, 11 adalah = 2310

Perhatikan untuk tahun

2012         2013     2014    2015     2016     2017     Januari 2018   Februar1  Maret April Mei

335hari    365       365      365        366       365      31                       28             31         30     29 = 2310

Jadi mereka bersama-sama lagi pada 29 Mei 2018

5. (OMITS 2012)

Banyaknya bilangan yang tidak lebih dari 2012 dan jika dibagi dengan 2, 3, 4, 5, dan 7 akan bersisa 1 adalah …

Jawab :

Misalkan bilangan itu X, maka

a1 : X ≡ 1 (mod 2)

a2 : X ≡ 1 (mod 3)

a3 : X ≡ 1 (mod 4)

a4 : X ≡ 1 (mod 5)

a5 : X ≡ 1 (mod 7)

Sehingga X = 420k + 1 dan kalua yang diinginkan ≤ 2012

Maka bilangan itu adalah

X1 = 421

X2 = 841

X3 = 1261

X4 = 1681

X5 = 2101 —–> tidak memenuhi

Jadi ada 4 bilangan

Ilmu

Ada kata-kata mutiara/ pepatah arab mengatakan tentang ilmu sebagai berikut

“Almaalu yufna wal ‘ilmu yabqo”

Harta benda itu rusak(fana) dan ilmu itu abadi.

Mari kita isi waktu kita yang mana hidup ini kita jalani hari demi hari, detik demi detik dan dalam kehidupan kita tuhan telah menganugerahkan segala sesuatu untuk kita dengan menambah ilmu pengetahuan.

“Halaqu ummati fi sai aini, tarqil ilmi wa jam’il maal”

Rusaknya ummatku sebab 2  perkara, yang pertama karena tak mau cari/menambah ilmu pengetahuan yang kedua karena suka/selalu berorientasi menumpuk harta

Hadits tersebut akan selalu menjadi peringatan bagi kita(ummat islam khususnya), bagai mana kita menatap masa depan.

Semoga tuhan selalu menjaga kita dari segala keburukan, dan semoga kita selalu mendapatkan petunjuk-Nya.

amin